CC BY
40
Том 155, кн. 1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2013
УДК 530.145
ВРЕМЯ ЖИЗНИ НЕЙТРАЛЬНОГО ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННОГО ВАКУУМА В ПРИСУТСТВИИ СВЕРХКРИТИЧЕСКОГО КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ
Р.Х. Гайпутдипов, A.A. Мутыгуллипа, A.C. Петрова
Аннотация
Рассмотрено взаимодействие сверхкритического ядра с электроп-позптроппым вакуумом. Для нахождения энергии этого взаимодействия использовано обобщенное динамическое уравнение. Выведено уравнение, позволяющее определить время жизни нейтрального вакуума в сверхкритическом поле.
Ключевые слова: нестабильный вакуум, сверхтяжелые ядра, поляризация вакуума, время жизни стабильного вакуума, сверхкритические поля.
Введение
Описание позитронных спектров, наблюдаемых при столкновении очень тяжелых ионов, до сих пор остается сложной физической проблемой, суть которой подробно изложена в [1]. Предполагается, что при столкновениях ионов с суммарным зарядом Z > 173 должна происходить генерация позитронов, обусловленная «погружением» вакантной K-оболочки в «море» Дирака. В стандартных экспериментах (Z < 173) основными механизмами рождения позитронов являются процессы внутренней конверсии и сильные переменные электромагнитные поля, а распределение позитронов по энергиям представляет собой непрерывный спектр шириной порядка 1 МэВ. Предполагается, что при Z > 173 должен дополнительно включаться механизм так называемой «спонтанной» эмиссии пози-
K
фоие непрерывного спектра резких узких линий шириной порядка нескольких килоэлектронвольт. В первых экспериментах такого рода, проведенных на ускорителе тяжелых иоиов в г. Дармштадте (Германия) [2], узкие линии действительно были обнаружены. Однако эти результаты не нашли подтверждения в ходе последующих, более точных, экспериментов, поставленных в Аргоннской национальной лаборатории (США) [3], и на данный момент происхождение узких пиков в энергетическом спектре позитронов, наблюдаемых при столкновениях тяжелых попов, объясняется, как правило, погрешностью приборов и различными флуктуациями. И все же однозначное решение вопроса о возможности спонтанной эмиссии является принципиальным для физики и сопряжено с такими важными физическими задачами, как описание состояния электронного вакуума в присутствии сильных электромагнитных полей, нахождение времени жизни стабильного вакуума, определение островов стабильности для сверхтяжелых элементов и т. д. Существующие методы решения этой проблемы базируются на уравнении Дирака и потому не вполне удовлетворительны. Теория Дирака успешно применяется для решения многих задач, однако она не совсем верно принимает в расчёт взаимодействие с вакуумом, то есть рождение и уничтожение частиц. Именно рождение виртуальной
элоктрон-позитронной пары с последующим захватом электрона в реальное связанное состояние на K-оболочке сверхкритического ядра является базовым процессом. приводящим к спонтанному излучению позитронов. Важной характеристикой является время жизни т нейтрального электрон-позитронного вакуума в поле сверхкритического ядра, поскольку оно однозначно определяет ширину линии Г в позитронном энергетическом спектре (Г = h/т). Кроме того, величина времени распада электронного вакуума в поле сверхкритического ядра имеет решающее значение в вопросе о принципиальной возможности наблюдения этого процесса в эксперименте по столкновению тяжелых ионов. В настоящей работе проблема рассматривается с точки зрения формализма обобщенной квантовой динамики (ОКД) [4], позволяющего последовательно описывать взаимодействие сверхкритического ядра с вакуумом. Показывается, что оценка времени жизни т = 10-19 с, полученная на основе решения уравнения Дирака, не совсем корректна. Значение т, полученное в рамках ОКД, имеет порядок 10-21 с, что существенно лучше согласуется с предсказаниями ядерной физики [5], которая оценивает время жизни сверхкритического ядра Tnucieaг ~ 10-21 с.
1. Спонтанная эмиссия позитронов и уравнение Дирака
Поляризация вакуума связана с возможностью рождения частиц всех сортов электрон-позитронных, мюон-антимюонных пар и т. д. Однако в первом приближении каждый тип частиц вносит вклад, обратно пропорциональный квадрату массы частицы, так что фактически к наблюдаемым эффектам приводят только электрон-позитронные пары. Если говорить о поляризации вакуума в кулоновском поле ядра, необходимо отметить следующее. Голое ядро, взаимодействуя с фоном, окружается виртуальным облаком электрон-позитронных пар. На больших расстояниях проявляется действие перенормированного заряда Ze, тогда как на расстояниях, меньших h/mec2 (me - масса покоя электрона), эффективный заряд ока-Ze
сверхкритических атомах настолько велик, что энергия связи основного электронного уровня по модулю превышает энергию рождения элоктрон-позитронной пары. Физически это означает возможность рождения реальных пар: электроны из виртуального облака пар могут захватываться в связанное состояние, приобретая при этом огромную отрицательную энергию, оставшийся позитрон удаляется на бесконечность, испытывая отталкивающий потенциал ядра. Таким образом, происходит рождение реальных частиц. Этот процесс возможен, так как он не противоречит закону сохранения энергии
Есв = -2me - En, (1)
где ECB - энергия электрона в 1s-состоянии, Еп - кинетическая энергия свободного позитрона, 2me - энергия покоя электрон-позитронной пары (в естественных единицах). В общем случае происходит рождение двух пар, электроны которых занимают два возможных спиновых состояния основного уровня. В результате рождения реальной пары электростатическое поле вблизи ядра понижается, энергии En оставшихся незанятых уровней по модулю не превосходят 2me, и дальнейшее рождение реальных пар становится невозможным. Как показано в [1], критический заряд составляет Zcr = 173 (при этом константа связи Za > 1). На больших расстояниях система «ядро — 2 вакуумных электрона» ведет себя как система с эффективным Z = Z - 2 = 137
(КЭД) не допускает существования голого ядра с зарядом выше критического. Получившееся состояние представляет собой заряженный вакуум, характеризующийся наличием двух заряженных электронов и стабильный в силу принципа
Паули. Ядра с таким зарядом можно создавать в ускорителях путем столкновения ионов очень тяжелых элементов, например ядер урана (228и + 928и)- В рамках стандартного подхода к решению задачи о нахождении энергетического распределения связанного состояния в поле сверхкритического ядра вектор погруженного одноэлектронного состояния |фв(х)) раскладывается по собственным векторам гамильтониана Дирака Нсг = ¿7м(д/джм) + т + V(^сг), включающего кулоновский потенциал критического ядра V(^сг) [1]
—тс2
Фе(х) = аи(Е)ф^] (х)+ / Нв'(Е)^ (х) <Е', (2)
где Нсг|Фп^) = Е„|фПсг^) - состояния дискретного спектра (Е„ € (—т, т)), нормированные на единицу; Нсг ) = ) _ состояния непрерывного спектра (Е < — т), нормированные на дельта-функцию Дирака. Было показано, что коэффициент а1с(Е), определяющий вероятность обнаружить электрон в ^-состоянии |ф^), представляет собой брейт-впгнеровское энергетическое распределение шириной Г в несколько кэВ и с максимумом вблизи энергии Еге8 = Е1с + + (ф1с8г)IV(Я')|ф!с8г)), где V(£') = V(Я) — V(£сг). Согласно теореме Фока-Крылова [6] отсюда следует, что рассматриваемое состояние фв (х) является нестабильным и имеет время жизни т = К/Г ~ 10—19 с. В [1] нестабильность одноэлектронного уровня отождествляется с нестабильностью вакуума и делается вывод о том, что время т = 10—19 с является временем рождения из вакуума электрон-позитронной пары. Однако обоснованность такого переноса свойств одноэлектронного состояния на состояние вакуума весьма сомнительна. Во-первых, потому что уравнение Дирака включает электроны и виртуальные электрон-познтронные пары и не описывает состояние вакуума. Во-вторых, если погруженный уровень уже занят, как это предполагается при выводе (2), то рождение пар из вакуума запрещено принципом Паули, и энергетическое распределение характеризует именно одноэлектрон-ное состояние.
2. Подход обобщенной квантовой динамики
В нашем подходе к исследованию эффектов поляризации вакуума в интенсив-пых полях мы используем обобщенное динамическое уравнение (ОДУ) [4], которое было выведено как прямое следствие первых принципов квантовой физики. Это уравнение формулируется в терминах оператора ¿>(¿2,^), описывающего вклады в оператор эволюции от процессов, в которых взаимодействие начинается в момент времени ¿1 и заканчивается в момент времени ¿2 :
¿2 ¿4
(¿2 — ¿1)5^1) = У <1^1 А3 (¿4 — ¿4)5(^1). (з)
¿1 ¿1
ОДУ позволяет получить операторы Я(¿2, ¿1) для любых времен ¿1 и ¿2 , если известны вклады от процессов с бесконечно малой длительностью взаимодействия ¿2 — ¿1. В пределе при ¿2 ^ ¿1 наибольший вклад в оператор эволюции дают процессы, связанные с фундаментальным взаимодействием в системе. Обозначив эти вклады Нщ^,^), получим граничное условие для ОДУ
¿>(¿2, ¿1) ^ Нй(i2.i1).
¿2—>¿1
ОДУ (3) эквивалентно уравнению Шродингора, когда взаимодействие является мгновенным во времени, то есть когда оператор взаимодействия имеет вид Нщ(¿1,^2) = — — ¿1)Нт(¿1). В то же время ОДУ позволяет обобщить квантовую динамику на случай нелокальных во времени взаимодействий.
В представлении Шродингора оператор эволюции может быть записан в виде [7]
сю
0) = — ¿г ехр(-¿^)С(,г), (5)
2п ]
— с
6(г) = Сс(г) + Сс(г)Т (^(г). (6)
Здесь С0(г) = (г — Н0) —-1, Но - свободный гамильтониан, оператор Т(г) определяется следующим образом:
Т(г) = ¿у ¿техр(—¿гт)Т(т), (7)
о
где Т(£2 — ¿1) = ехр(—гН0£2)5(£2,ехр^Но^). В термина оператора Т(г) ОДУ (3) и граничное условие (4) примут вид [4]
^Т (г) = —Т (г)(Со(г))2Т (г), (8)
сс
Т (г) ^ В(г) = ¿1 ¿т ехр(ггт )В(т
где В(т) = ехр(—гН0£2)Нп<;(¿2, ¿1) ехр^Но^). Вклад в оператор Грина С(г) от процессов, связанных с самодействием частиц, имеет такую же структуру, как свободный гриновский оператор 6*0(2;). По этой причине естественно заменить свободный оператор С0(г) та пропагатор 60(,г), который описывает эволюцию частиц, взаимодействующих с вакуумом, а следовательно,
60(3) = (г — Н0 — С(г)) — 1. (9)
Оператор С(г) определяется уравнением С(г)|п) = Сп(г)|п), где |п) - собственные векторы свободного гамильтониана Н0 |п) = Еп |п). Условие г — Еп — Сп(г) =0 определяет физические массы частиц. Соответственно, оператор Т(г) необходимо заменить оператором М(г), описывающим взаимное действие частиц. Эти операторы связаны соотношением [8]
С0(г) + С0(г)Т (г)С0 = ^(г) + С?0(г)М (г)(?0, используя которое, можно переписать ОДУ (8) в терминах операторов М(г) и
СП (г)
¿г (П2|М (г)|щ) = — Ы^г (г)|щ) —
— (П2|М(гЖ^ЫД;(г)|щ) + ЫД^Ж)^) , (10)
-^Сп(г) = — (пД; (г)|п), (И)
аг
где (п1|.Ог(г)|п1) и (п2|Дг(г)|п1) связаны с М(г) и С?0(г) соотношениями [9]
ЫОДК) = (П2|П1)ЫД; (г)|щ) + (г)|щ), (12)
£(г) = М (г)С?2(г)М (г). (13)
Первый член в правой части выражения (12) содержит множитель (п2|п1) и описывает сингулярную часть (п2|-0(.г)|п1). Граничные условия для уравнений (10), (11) имеют вид
(П2|М (¿)К) = (П2|ВГ (г)|щ), (14)
Сп(г) —--►(п2|Вй(г)|п2), (15)
где В;(г) и Вг (г) описывают соответственно сингулярную и регулярную части оператора взаимодействия
(п2|В(г)|щ) = (П2|П1)(П2|ВЙ (г)|щ) + ЫВГ (г)|щ). (16)
Здесь Вг(г) - регулярная часть оператора взаимодействия, описывающая взаимодействие между частицами, а В; (г) - сингулярная часть оператора взаимодействия, описывающая их самодействие.
3. Время жизни нейтрального вакуума в сверхкритическом поле
В [10] было проведено рассмотрение погруженного уровня в рамках ОКД. Решение ОДУ (11) для состояния одного электрона в поле сверхкритического ядра было рассмотрено в [11]. Было показано, что в лидирующем порядке (разложение по малому параметру А = (^ — )/^сг) энергетическое распределение основного электронного уровня является брейт-вигнеровским, что совпадает с решением, полученным в [1]. Однако более точное решение, полученное в следующем порядке, имеет отклонение от брейт-внгнеровского распределения (порядка 1%). Отмстим еще раз, что эти выводы относятся именно к связанному состоянию электрона в иоле ядра и не затрагивают эволюцию вакуумного состояния.
В [11] также был предложен способ вычисления поправок на поляризацию вакуума для связанного состояния, учитывающий тот факт, что это состояние является энергетическим распределением. Для описания процесса рождения элсктрон-позитронной пары из вакуума необходимо рассмотреть эволюцию состояния элсктрон-позитронного вакуума в поле свсрхкритичсского ядра. Обозначим это состояние как |Ем, q), подразумевая под ЕN полную энергию ядра, а иод q - трехмерный импульс кулоновского фотона. Эволюция описывается оператором Грина
(Ем, q|G0cr)(г)|Е„, ^ = ^ — ^^ , (17)
где энергия голого ядра принята за начало отсчета. Поправка (г) = = (Ем, q|C(z)|EN, q) характеризует энергию взаимодействия ядра с электрон-позитронным вакуумом и подчиняется ОДУ (11). Под взаимодействием с вакуумом подразумеваются в первую очередь вакуум-поляризационные эффекты, которые с точностью до
сводятся к распаду кулоновского фотона на электрон-позитронную пару. В случае обычных атомов эти эффекты описываются одно-петлевой диаграммой, включающей виртуальные частицы, и приводят к поправке к энергии связанного состояния, называемой поправкой Юлинга. В специфическом случае сверхкритического ядра именно этот эффект играет ключевую роль, так как существует вероятность перехода виртуального электрона в реальное
связанное состояние \фв (Х)Ь что фактически означает рождение реальной пары из вакуума.
В качестве базиса представления Фарри для оператора Грина, входящего в (11). удобно выбрать векторы состояний, содержащих ядро с энергией EN, и электрон-позитронную пару. Обозначим это состояние через |EN; pi, si; p2, p^ si -
импульс и спин электрона, находящегося в связанном ls-состоянии в поле ядра |^icsr) (pi, si)), p2, s2 - импульс и спин позитрона в поле ядра. Следовательно, оператор Грина GgCr^ (z) в этом представлении имеет вид
(En ; pi, si; p2, S2|C?^) (z)|En; pi, si; p2, S2) =
= y- f dpi f __l_ гш
Iii (2n)^ (2n)3 z - Eic - Ep2 - C (z - Eic - Ep2)' 1 S1 j s 2
Величина C(z - Eic - Ep2) определяет энергию взаимодействия с вакуумом электронов и позитронов в состоянии |EN; pi, si; p2, s2), содержащем связанный электрон и свободный позитрон. Эта величина с точностью до Za2 также определяется диаграммой, описывающей процесс рождения пары виртуальным фотоном, с тем отличием, что теперь эта диаграмма описывает рождение пары фотоном с захватом электрона на оставшийся свободный уровень K-оболочки, и спин этого второго электрона фиксирован. Следовательно, если в величину CN (z) = = (En, q|C(z)|EN, q) дают вклад две вероятные ориентации спина электрона, то в C(z - Eic - Ep2) остается одно слагаемое, а значит, она должна войти с множителем 1/2. Учитывая это и подставляя (18) в ОДУ (11), получим
dCN(z) ^ i dpi dz = - ^ J (2п)3 X
Sl, s 2 V '
f dp2 (En, q|M(z)|EN; pi, si; p2, s2)(En; pi, si; p2, s2|M(z)|En, q)
(2П)3 (z - Eic - Ep2 - 2C(z - Eic - Ep2))2
(19)
В первом приближении с точностью до а2 уравнение (10) для матричных элементов , я|М; Р1, ; р2, в2) и ; Р1, р2, 82|М, я) будет иметь следующее решение:
, ; Р1, вх; р2, в2) = , яН; Р1, вх; Р2, в2) =
= -^т(Р1, в1)70^(Р2, - Р1 - Р2); (20)
я2
; Р1, в1; Р2, в2|М , я) = ; Р1, в1; Р2, в2|Я/ , я) =
= -^Т^(Р2, 82)70^1Сяг) (Р1, в1ЖР1 + Р2 - я), (21) я2
где учтено, что основной вклад в эффект дают кулоновские фотоны. Подставляя это выражение в уравнение (11), получим
¿б^ Г ¿я Г ¿Р1 Г ¿Р2
= -У (2Л)зУ х
, 7 2 Ч2 Е ?!СГ) (Р1, Sl)Y0v(Р2, в2(Р2, 82)70^1СГ) (Р1, ®1) х( ^Н ^-1-Г2-^ - Р1 - Р2). (22)
V Ч / тт. т? _п<-V т?. т? и
- Eic - Ep2 - ^C(z - Eic - Ep2 )
Уравнение (22) позволяет найти функцию CN (г) = (Е^, q|C (г)|Е^, q), которая с точностью до ^а2 описывает энергию взаимодействия голого сверхкритического ядра с элоктрон-позитронным вакуумом. Эта функция полностью определяет энергетическое распределение состояния | EN, q) и позволяет определить время распада вакуума в сверхкритическом поле. Решение уравнения (22) довольно сложно с математической точки зрения, но уже сейчас по виду самого уравнения можно сделать некоторые выводы. Существуют точки, в которых знаменатель уравнения (22) обращается в нуль, а следовательно, функция CN (г) будет иметь мнимую и действительную части: CN(г) = Е + ¿(Г/2). Это означает, что оператор Грина (17) имеет вид
Е, ^0СГ)(г)|^, ^ = г — Е — ¿(Г/2)
Г
Размерный анализ показывает, что функция CN(г), являющаяся решением уравнения (22), будет иметь тот же порядок, что и энергия покоя электрона: CN (г) ~ те, что соответствует времени жизни нестабильного состояния т = Н/Г ~ ~ 10—21 с. Это означает, что нет необходимости заниматься поиском дополнительных специфических механизмов, удерживающих ядра вместе на время 10—19 с. Это означает также существенное уширонио позитронных линий по сравнению со значением, полученным в [1].
Заключение
В рамках формализма ОКД рассмотрено взаимодействие сверхкритического ядра с элоктрон-позитронным вакуумом и записано уравнение для энергии этого взаимодействия, описываемой функцией CN(г). Преимущество используемого подхода заключается в том, что он допускает последовательный учет вакуум-поляризационных эффектов, что невозможно в рамках подхода, основанного на решении уравнения Дирака. Размерный анализ уравнения (22) приводит к выводу о том, что рассматриваемая энергия по порядку величины будет соответствовать энергии покоя электрона. Кроме того, наличие у функции CN (г) мнимой части означает, что состояние нейтрального элоктрон-позитронного вакуума в сверхкритическом поле является нестабильным и распадается в течение некоторого времени т ~ 10—21 с. Это значение оказывается на два порядка меньше времени жизни, полученного в рамках стандартного подхода к решению проблемы. Полученное нами значение, в свою очередь, лучше согласуется с выводами ядерной физики о том, что время жизни сверхкритического ядра не превышает 10—21 с. Таким образом, показана принципиальная возможность наблюдения спонтанной эмиссии позитронов в экспериментах по столкновению очень тяжелых попов.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ-5289.2010.2) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 2013 годы (ГК 02.740.11.0428).
Summary
R.Kh. Gainutdinuv, A.A. Mutygullina, A.S. Petrova. The Lifetime of a Neutral Electron-Positron Vacuum in the Presence of a Supercritical Coulomb Field.
The paper deals with the interaction of a supercritical nucleus with an electron-positron vacuum. The generalized dynamic equation is used to find the energy of this interaction.
An equation is derived wliicli allows one to determine the lifetime of a neutral electron-
positron vacuum in the presence of a supercritical Coulomb field.
Keywords: unstable vacuum, superheavy nuclei, vacuum polarization, lifetime of a stable
vacuum.
Литература
1. Greiner W., Müller В., Rafelski J. Quantum Electrodynamics of strong field. Berlin: Heidelberg: Springer-Verlag, 1985. 594 p.
2. Sehweppe J., Gruppe A., Bethge K., Bukemeyer H., Cowan Т., Folger H., Greenberg J.S., Grein H., Ito S., Sehule R., Sehwalm D., Stiebing K.E., Trautmann N.. Vincent P., Waldschmidt M. Observation of a peak structure in positron spectra from U — Cm collisions // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51, No 25. P. 2261 2264.
3. Ahmad I., Austin Sam.M., Back B.B., Betts R.R., Calaprice F.F., Chan K.C., Chishti A., Conner C.M., Dunford R.W., Fox J.D., Freedman S.J., Freer M., Gazes S.B., Hallin A.b., Happ Th., Henderson D., Kaloskamis N.I., Kashy E., Kutschern W., Last, J., Lister C.J., Liu M., Maier M.R., Mercer D.M., Mikolas D., Perera P.A., Rhein M.D., Roa D.E., Schiffer J.P., Trim,or T.A., Wilt P., Winfield J.S., Wolanski M., Wolfs F.L., Wuosmaa A.H., Young A.R., Yurkon J.E. Positron-electron pairs produced in lieavy-ion collisions // Phys. Rev. C. 1999. V. 60, No 6. P. 064601-1 064601-14.
4. Gainutdinov R.Kh. Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Phys. A: Mat.li. Gen. 1999. V. 32, No 30. P. 5657 5677.
5. Backe H., Senger P., Bonin W., Kankeleit, E., Kramer M., Krieg R., Metag V., Trautmann N., Wilhelmy J.B. Estimates of the nuclear time delay in dissipative U —U and U + Cm collisions derived from the shape of positron and ¿-ray spectra // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50, No 23. P. 1838 1841.
6. Крылов H.G., Фок В.А. О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени // Жури, эксперим. и теорет. физики. 1947. Т. 17, Вып. 2. Р. 93 107.
7. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A. Nonlocality of t.lie NN interaction in an effective field theory // Phys. Rev. C. 2002. V. 66, No 1. P. 014006-1 014006-13.
8. Гайиутдииоа Р.Х. Естественное уширепие спектральных лилий мпогозарядпых иопов и проблема поверхностных расходимостей // Журп. эксперим. и теорет. физики. 1995. Т. 108, Вып. 5. С. 1600 1613.
9. Gainutdinov R.Kh., Iyutlin A.S., Mutygullina A.A. Description of t.lie polarization effects in t.lie muoiiic atoms within t.lie framework of generalized quantum dynamics // Proc. SPIE. 2006. V. 6181. P. 618113-1 618113-10.
10. Гайиутдииоа P.X., Мутыгуллхта A.A., Петрова A.C. Энергетические распределения электронных связанных состояний в поле сверхтяжелого ядра // Учеп. зап. Казан. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 2. С. 104 111.
11. Гайиутдииоа Р.Х., Мутыгуллхта A.A., Петрова A.C. Связанные состояния в суперкритических полях и обобщенная квантовая динамика // Учеп. зап. Казап. уп-та. Сер. физ.-матем. пауки. 2009. Т. 151, kii. 1. С. 74 81.
Поступила в редакцию 21.06.11
Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор кафедры оптики и папофотопики. Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань. Россия.
Е-шаП: КепМ.GainutdinovQkpfu.ru
Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей физики. Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань. Россия.
Е-шаП: Aigul.MutygullinaQkpfu.ru
Петрова Александра Сергеевна аспирант кафедры оптики и папофотопики. Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань. Россия. Е-шаП: Aleksandra.PetrovaQkpfu.ru
