CC BY
19ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
71
Из полученной зависимости cya ~ 2,057а3 — 1,054а для модели ММС (кривая 4 на рис. 2) видно, что подъемная сила отрицательна. Такое аномальное поведение подъемной силы связано с особенностями обтекания модели, так как значительную роль играет перераспределение давления на затупленной боковой кромке в окрестности донного отрыва (рис. 1). Интересно, что из-за большого сопротивления нормальная и подъемная силы имеют противоположные знаки; это обеспечивает статическую устойчивость ММС при сверхзвуковом полете. Для коэффициентов нормальной силы cn и момента тангажа mz получены аппроксимации (кривые 2 и 3 на рис. 2)
о о
cn = cya cos а + cxa sin а œ 2,3а +0,209а, mz œ—0,2а — 0,31а.
Рассмотрим влияние угла атаки на положение центра давления Cd = —mz/cn (кривая 5 на рис. 2). С увеличением а от 0 до 12° значение Cd уменьшается от 1,48 до 1,02, следовательно, модель статически устойчива, но с ростом угла атаки устойчивость снижается. Сегментальные тела и затупленные конусы малого удлинения могут быть близки по форме к возможным деформированным конфигурациям ММС. Сравнивая значения Cd для данной модели с величинами Cd для других тел малого удлинения [1, 2], можно отметить, что как угол атаки, так и число Маха слабо влияют на положение центра давления, который расположен за моделью на расстоянии порядка калибра.
Выполненные исследования показали, что аэродинамические характеристики модели ММС удовлетворяют заданным траекторным параметрам. Представленные результаты могут быть использованы для верификации численных методов моделирования аэродинамики спускаемых аппаратов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Швец А.И. Пространственное обтекание затупленных конусов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1966. № 6. 85-89.
2. Карягин В.П., Лошаков А.Б., Швец А.И. Обтекание затупленных конусов и сегментальных тел // Изв. СО АН СССР. Прикл. матем. и теор. физ. 1978. № 5. 98-102.
3. Гувернюк С.В., Савинов К.Г. Некоторые обобщения задачи о взаимодействии затупленных тел с неравномерными сверхзвуковыми потоками // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1996. № 2. 164-171.
4. Борисов В.М., Иванков А.А., Финченко В.С. Расчет радиационных тепловых потоков у космических аппаратов при их полете в атмосфере Венеры // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. 42, № 5. 718-728.
5. Whiddon W, Paige C.A., Hadden B. Flexible, inexpensive means of precision-targeting Mars entry vehicles from orbit // AIAA-2004-6092. 163-171.
6. Huxley-Reynard C.S. An airbag landing system for the Beagle 2 Mars probe // AIAA-2001-2046. 337-3480.
7. Аэродинамические установки Института механики Московского университета / Под ред. Г.Г. Черного, А.И. Зуб-кова, Ю.А. Панова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
Поступила в редакцию 21.04.2008
УДК 531.36
РОТАЦИОННЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МАЯТНИКА С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСЬЮ ВРАЩЕНИЯ
Л. А. Климина1
Аэродинамический маятник, находящийся в стационарном горизонтальном потоке, рассматривается в связи с построением модели ветроприемного элемента ветротурбины с вертикальной осью вращения. При моделировании воздействия среды на маятник комбинируются два подхода: квазистатический, основанный на использовании результатов стационарных экспериментов в аэродинамических трубах, и нестационарный, в основе которого лежат классические теоретические результаты, связанные с концепцией присоединенных масс. Аналитически (методом Пуанкаре-Понтрягина) и численно исследуется вопрос существования устойчивых и неустойчивых ротационных режимов в зависимости от
1 Климина Любовь Александровна — мл. науч. сотр. лаб. 302 НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].
72
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
параметров, характеризующих вязкое трение на оси вращения и влияние присоединенных масс.
Ключевые слова: ветротурбина с вертикальной осью вращения, квазистатическая модель аэродинамического воздействия, ротационный режим движения, параметрический анализ.
An aerodynamic pendulum in a steady horizontal wind flow is studied in connection with modeling a wind-receiving element of a straight winged vertical axis wind turbine (VAWT). The model of aerodynamic action on the pendulum is assumed to consist of two components: the quasi-steady one (using data obtained in stationary wind tunnel experiments) and the non-steady one (taking into account the added masses effect). The question of existence of stable and unstable rotational modes is studied analytically (via the Poincare-Pontriagin method) and numerically. The dependence on parameters responsible for a viscous friction at the shaft and for an influence of added masses is taken into account.
Key words: VAWT, quasi-steady model of aerodynamic load, rotational mode of motion, parametrical analysis.
1. Описание механической системы. Аэродинамический маятник с вертикальной осью вращения исследуется в контексте задачи о моделировании ветроприемного элемента вертикально-осевой ветроэнергетической установки с плоскими лопастями.
Маятник состоит из тонкой плоской прямоугольной пластины большого удлинения (высота пластины Н много больше ширины 21) и горизонтальной невесомой державки ОН, длина г которой много больше ширины пластины. Пластина закреплена на державке в своем геометрическом центре N так, что плоскость пластины вертикальна и ортогональна державке. Пластина и державка представляют собой одно твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через точку О. Центр масс пластины совпадает с ее геометрическим центром N; .]о — момент инерции пластины относительно оси вращения.
Маятник расположен в стационарном горизонтальном потоке воздуха плотности р. Вектор скорости потока обозначим V. Течение, формирующееся при обтекании пластины, считаем плоско-параллельным. Будем предполагать, что аэродинамическое воздействие на пластину складывается из двух компонент.
1) Квазистатическая компонента определяется на основе стационарных экспериментов в аэродинамических трубах (аналогично [1-3]). При этом используются понятия мгновенного центра давления, мгновенного угла атаки и т.д. Предполагаем, что мгновенный центр давления совпадает с точкой N, его скорость относительно среды обозначаем и. Пусть а — мгновенный угол атаки (т.е. угол между вектором и и пластиной); Сх(а), Су(а) — классические коэффициенты сопротивления и подъемной силы (при расчетах считаем эти функции заданными для плоской пластины с удлинением 8, см. [4]). Величины силы лобового сопротивления и подъемной силы задаются формулами X = Сх(а)р1Ни2, У = Су(а)р1Ни2.
Пример обоснованного использования квазистатической модели в задаче подобного типа представлен в работе [5], где результаты теоретических расчетов сравниваются с экспериментальными измерениями и приводятся выводы о диапазоне условий движения, при которых квазистатическая модель дает хорошие совпадения с экспериментом.
2) Нестационарная компонента описывается при помощи центрального тензора diag(ml, 0,^) присоединенных масс плоской пластины (как и в работах [3, 6]). Определение значений Ш1 и ] для конкретной пластины затруднительно, но можно поставить задачу описания характера параметрической зависимости траекторий движения системы от этих величин.
Считаем, что на оси вращения действует момент вязкого трения с коэффициентом С. Это соответствует частичному отъему энергии для работы генератора.
2. Уравнения движения. Учитывая, что рассматриваемая система имеет одну степень свободы, примем в качестве обобщенной координаты угол § между державкой и вектором V. Тогда уравнения Лагранжа для маятника в безразмерных переменных имеют вид (см. [1-3])
где = \/(и + sin $)2 + cos2 °9{Су{а) cos $ — Сх(а)(и + sin$)); а = arctan(^™si^). Здесь точкой обо-
значена производная по безразмерному времени s = Vt/r и введены обозначения:
(1)
A=i0+J ь= Ш! „ С
plhr3 ' plhr Vplhr2'
Далее в качестве фазового пространства системы (1) рассматривается цилиндр или его развертка на плоскость.
Периодические траектории системы (1), охватывающие фазовый цилиндр, соответствуют ротационным режимам движения маятника. Они представляют особый интерес, поскольку могут служить прототипами рабочих режимов ветроколеса.
Для обоснования того, что при больших значениях A у системы (1) существуют периодические траектории, охватывающие фазовый цилиндр, применим метод Пуанкаре-Понтрягина [7].
3. Периодические фазовые траектории, рождающиеся из траекторий вида u(s) = const. В системе (1) примем величину 1/A за малый параметр. При 1/A = 0 получаем порождающую систему с гамильтонианом H(§,и) = и2/2. Траектории порождающей системы имеют вид u(s) = Q = const. Применяя метод Пуанкаре-Понтрягина [7], получим следующий критерий.
Пусть для некоторого значения Qo = const = 0 выполняется
Ф(По) = cQo, Ф'(По) = с, (2)
где
2п
Ф(По) = I j тяо)м. o
Тогда при достаточно больших значениях A у системы (1) существует периодическая фазовая траектория, "рождающаяся" из прямой и = Qo. Если Ф'(По) < с, то периодическая траектория орбитально устойчива, а если Ф'(Оо) > с, то неустойчива.
Используя свойства четности-нечетности и периодичности функций Cx(a) и Cy(а) для типовых симметричных профилей [4], можно показать, что Ф(—Q) = —Ф(П), Ф(+го) < 0. Для плоской пластины с удлинением 8 получаем Ф'(0) > 0. Таким образом, при с < си = Ф'(0) существуют по крайней мере два значения Qo (разных знаков), удовлетворяющие (2), причем Ф'(По) < с (мы считаем, что прямые вида cQ не имеют с кривой Ф^) точек касания порядка более высокого, чем второй). А значит, при с < си у системы (1) существует не менее двух (одна при и > 0, другая при и < 0) устойчивых периодических траекторий, "рождающихся" из прямых вида u(s) = const для достаточно больших значений A. Численные расчеты показали, что при b = с = 0 эти траектории существуют при A ^ 0,1.
4. Периодические фазовые траектории, возникающие из контура сепаратрис. Для пластин рассматриваемого типа зависимости Cx(a), Cy(а) таковы, что система (1) имеет несколько точек покоя, некоторые из них всегда неустойчивы и являются седловыми точками (в частности, точка (0, 0)), остальные могут быть устойчивы в зависимости от параметров b и с. Помимо этого система может иметь устойчивые и неустойчивые циклы.
В ходе численного интегрирования системы (1) для A ~ 10 было показано, что при некоторых значениях параметров b и с на фазовом цилиндре существует неустойчивый цикл, охватывающий все точки покоя системы, кроме седловой точки (0, 0). Также было показано, что с ростом величины (b+с) этот цикл расширяется, переходя в контур, составленный из сепаратрис, а затем распадается на две неустойчивые периодические траектории (одна для и > 0, другая для и < 0).
При аналитическом описании такого возникновения периодических траекторий будем учитывать, что речь идет о траекториях, находящихся вблизи прямой и = 0, т.е. и мало. Применим метод Понтрягина, предварительно сделав замену переменных в системе (1): и = у/л/А, т = вл/А. Перепишем уравнения (1), раскладывая правую часть в ряд по малому параметру \/у/~А\
% = v, % = № 0) + -JjVifM 0) + bcos V - с) + i y2F(ti, у, A). (3)
Тогда порождающая консервативная система имеет гамильтониан H = у2/2 — g(§) = h, где g(§) =
If (p, 0) dp.
о
Заметим, что g(2n) = Ф(0) = 0, и, таким образом, g(§) является 2п-периодической функцией. Помимо этого для плоских пластин рассматриваемого типа имеем: g(§) > 0 при 0 < § < 2п.
В силу симметрии уравнений ограничимся рассмотрением верхней полуплоскости.
При h > 0 и при выполнении условий
I(h) = K(h) - bL(h) - cM(h) = 0, Ii(h) = Ki(h) + bLi(h) - cMi(h) = 0,
где
2n
2n
K(h) = J fU$,0)s/2h + 2g(9)d9, 0
L{h) = - J eos§\/2h + 2g{§)d§,
2n
2n
M{h) = J \/2h + 2g{9) dt), I<i{h) = J
0
2n
Mo)
\J 2h + 2 g(§)
Li(h) = j
cos 9
2n
\J 2h + 2 g(9)
d9, Mi(h) =
1
\j2h + 2 g(9)
d9,
d9,
00 у системы (3) для достаточно больших A существует неустойчивая периодическая траектория, возникающая из траектории у = \f2h + 2g(9) консервативной системы (см. [7]). Значению h = 0 соответствует сепаратриса консервативной системы. При h ^ж получаем I(ж) = 0 ^ Ь(ж) = 0 ^ c = cu.
Для каждого h значения 1(h) и I\(h) линейно зависят от параметров b и c. Для пластин выбранного типа получаем следующую картину (рис. 1) линий на плоскости параметров (b,c). При c < cu имеем Ii(h) > 0 для любого h < 0. Таким образом, если точка с координатами (b, c) расположена между прямыми I(0) =0 и I(ж) = 0, то при достаточно больших A у системы (1) существуют две неустойчивые периодические траектории, возникающие из контура сепаратрис.
5. Пример качественной диаграммы существования периодических траекторий для конкретных значений параметров системы. Объединяя предыдущие результаты, приведем качественную диаграмму существования периодических траекторий системы (1) для больших значений A.
На рис. 2 жирными линиями показана эволюция устойчивых периодических траекторий, а тонкими — неустойчивых; стрелками отмечены зоны притяжения устойчивых траекторий. Три верхние ветви на рис. 2 соответствуют траекториям, возникающим из прямых u(s) = const. Нижняя ветвь представляет эволюцию неустойчивой периодической траектории, возникающей из сепаратрисы при c = cm. При увеличении параметра b значение cm уменьшается. При A ^ ж нижняя ветвь приближается к прямой w|$=o = 0, а значение cs стремится слева к cu.
Заключение. Используемая в работе модель взаимодействия тела со средой позволяет как численно, так и аналитически исследовать ротационные режимы движения маятника, расположенного в потоке воздуха. Полученный в этой модели неустойчивый режим с низкими угловыми скоростями можно рассматривать как отражение экспериментально наблюдаемого свойства, когда вертикально-осевой ветряк не выходит на авторотационный режим без предварительной раскрутки.
Для параметрического анализа картины периодических траекторий можно эффективно применять метод Понтрягина. При этом аналитические результаты хорошо согласуются с результатами, получаемыми в ходе численного интегрирования уравнений движения.
Рис. 1. Параметры Ь и с, для которых при больших значениях А существует неустойчивая периодическая траектория, возникающая из сепаратрисы
Рис. 2. Диаграмма значений ш\#=о = 0 на периодических траекториях в зависимости от параметра с
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. М.: Изд-во МГУ, 1992.
2. Паршин Д.Е., Самсонов В.А. Качественный анализ в задаче о движении аэродинамического маятника. Отчет № 4194 НИИ механики МГУ. М., 1992.
3. Локшин Б.Я., Самсонов В.А. Расчетно-аналитическое исследование поведения аэродинамического маятника // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 6. 50-52.
4. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Тр. ЦАГИ. 1974. Вып. 1621. 79-93.
5. Зенкин А.Н., Самсонов В.А. Экспериментальное исследование тела, авторотирующего в потоке среды. Отчет № 3844 НИИ механики МГУ. М., 1989.
6. Klimina L.A., Lokshin B.Y., Samsonov V.A. Parametrical analysis of behavior of the aerodynamic pendulum with vertical axis of rotation // Proc. 9th Conf. on Dynamical Systems — Theory and Applications. Vol. 1. 2007. 219-226.
7. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.
Поступила в редакцию 16.06.2008
УДК 532.546+532.584
ЗАСОРЕНИЕ ПОРИСТОГО ПЛАСТА ПРИ ДВИЖЕНИИ ФРОНТОВ С КОНЕЧНЫМ СКАЧКОМ ПОРИСТОСТИ
Н. Е. Леонтьев1
Изучается засорение первоначально незагрязненного пористого пласта при движении в нем малоконцентрированной суспензии. В рамках односкоростной гиперболической модели, учитывающей большие изменения пористости, получены точные решения задачи с конечным скачком пористости на переднем фронте в случае течений с плоскими или цилиндрическими волнами. Дано объяснение отставания границы продвижения частиц от границы распространения несущей жидкости. Показано, что конечность скачка пористости на фронте волны засорения приводит к замедлению движения скачка, что может быть использовано для экспериментального нахождения определяющих параметров модели. Указана возможность существования решений с несколькими скачками.
Ключевые слова: пористая среда, суспензия, фронт засорения, скачок пористости, отставание фронта частиц.
The clogging of a porous bed in the course of particulate suspension flow is investigated. Within the framework of a hyperbolic model allowing for large variations of porosity, exact solutions are given to the problem with finite porosity jump at the leading edge of the clogging front in the case of flows with plane and cylindrical waves. The solutions explain the known fact of particle front retardation by comparison with the leading edge of carrier liquid. This retardation is connected with the finiteness of porosity jump at the front and can be used for experimental determining the governing parameters of the model. The existence of solutions with several jumps is demonstrated.
Key words: porous medium, particulate transport, suspension, clogging front, deep bed filtration, porosity jump, retardation.
1. Рассматривается течение малоконцентрированной суспензии в пористой среде с учетом оседания взвешенных частиц на скелет. При обычных предположениях [1] в пренебрежении конвективной диффузией движение суспензии описывается системой, содержащей уравнения баланса массы взвешенных частиц и всей суспензии, кинетическое уравнение и закон Дарси:
д , . л , . дт дт . .. к(т) п , .
— (та) + шу(а:и) = —-, шуи = 0, —- = г (т, а, |и|), и =--graар. (1)
до до до
1 Леонтьев Николай Евгеньевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: leontiev [email protected].
