CC BY
28
УДК 517.9; 537.86
А.П. Гулай, С.В. Астахов, В.В. Астахов
РОЛЬ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
ВАН ДЕР ПОЛЯ
Рассматривается система двух взаимодействующих осцилляторов Ван дер Поля с запаздыванием в канале связи. Показано, что введение запаздывания в канале связи приводит к формированию области бистабильности внутри основного языка синхронизации. С использованием конечномерной модели исходной системы исследуется бифуркационная структура пространства параметров системы и, в частности, области бистабильности.
Синхронизация, бифуркации, мультистабильность
A.P. Gulai, S.V. Astakhov, V.V. Astakhov THE ROLE OF DELAY IN THE SYSTEM OF TWO VAN DER POL OSCILLATORS
The paper considers a system of two van der Pol oscillators with time delay in the coupling channel. It is shown that introduction of delay in the coupling channel results in emergence of a bistability region inside the main synchronization region. Using the finite-dimensional model approach we study the bifurcation structure of the parameter space.
Synchronization, bifurcations, multistability
Введение
Взаимодействие автоколебательных систем встречается повсеместно: от нейронов в мозге человека до крупных энергосистем, объединяющих электростанции и потребителей [1-4]. Взаимодействие может осуществляться различными способами, зачастую оно характеризуется запаздыванием сигнала в канале связи [5-9], обусловленным конечностью скорости его распространения. На сегодняшний день системы с запаздыванием достаточно популярны среди исследователей, изучается и влияние задержки на базовые нелинейные явления, и возможность использования запаздывающих связей для эффективного управления хаосом [10-12].
Установлено, что внесение временной задержки в математическую модель динамической системы, как правило, ведет к формированию мультистабильности - сосуществованию различных устойчивых режимов функционирования системы при одних и тех же значениях управляющих параметров (см., например, [7]).
Типичный сценарий формирования мультистабильности, в том числе в системах с запаздыванием, основан на седло-узловых бифуркациях состояний равновесия и предельных циклов (см., например, [13]). В рамках данной работы мы, рассматривая одну из наиболее простых и известных моделей автоколебательных систем, показываем, что в ней реализуется иной сценарий формирования мультистабильности, связанный с другими типами бифуркаций - бифуркацией Андронова-Хопфа и бифуркацией Неймарка - Сакера.
Исследуемая система
Рассмотрим систему двух диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля [15] с запаздыванием в канале связи в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка.
= У\,
у± = (£- Х2)у1 -Х1+ /(у2(С - Т) - У1(0), ' *2 = У2. (
,У2 = О - *2)У2 + Р2*2 + к(У1(£ - Т) - У2(0)-
Здесь х1,2, у 1,2 - фазовые переменные, е - параметр возбуждения автоколебательной системы, р - параметр расстройки по собственным частотам парциальных генераторов, у - коэффициент связи, т - время запаздывания.
Рис. 1. Области характерных режимов системы (1) при e = 0,1, t = 1,5. I - область синхронизации, II - области квазипериодических колебаний, III - область бистабильности
В отсутствие запаздывания (t = 0) система (1) детально изучена [1-4]. Хорошо известно, что при достаточно небольших значениях коэффициента связи g в системе наблюдается эффект синхронизации через захват частоты, в основе которого лежит седло-узловая бифуркация предельных циклов на двумерном торе. На плоскости параметров (р, g) соответствующие бифуркационные линии ограничивают область синхронизации, известную как «язык Арнольда». Внутри данной области система характеризуется единственным аттрактором - устойчивым предельным циклом.
Рассмотрим влияние запаздывания в канале связи на структуру области синхронизации в пространстве параметров при малых g. С увеличением времени запаздывания границы языка Арнольда не претерпевают качественных изменений, однако внутри области синхронизации формируется область, которая отсутствует при малых величинах t. На рис. 1 представлена плоскость параметров (р, g) с экспериментально построенными на ней областями характерных режимов при фиксированных значениях параметров e = 0,1, t = 1,5. При интегрировании системы (1) дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в качестве начальных условий использовались однородные распределения на интервале запаздывания: = х1 2
= const, yl2(t) = х 2 = const и t е [to-t, to].
На плоскости можно выделить несколько областей с различной динамикой системы. Область I - область существования устойчивого предельного цикла, соответствующего режиму синхронизации. В этой области система демонстрирует квазигармонические колебания. Выход в область II сопровождается возникновением устойчивого двумерного тора. Он соответствует режиму двухчастот-ных квазипериодических колебаний. В области III наблюдается явление бистабильности.
На рис. 2 представлены проекции сосуществующих аттракторов. Здесь имеются два варианта бистабильности. Например, при р = 0,01, g = 0,06 сосуществуют два предельных цикла C и С, первый из которых соответствует режиму синфазной синхронизации, а второй - противофазной. При р = 1,035, g = 0,06 сосуществуют предельный цикл C и двумерный тор T.
Подчеркнем, что в системе (1) диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля без запаздывания в канале связи (t = 0), а также при относительно небольших значениях t область бистабильности отсутствует. Чтобы выяснить, в результате каких бифуркаций происходит формирование муль-тистабильности, воспользуемся конечномерной моделью, которую можно получить в приближении малого времени запаздывания [15-16].
б
Рис. 1. Проекции фазовых портретов системы (1) для в = 0,1, т = 1,5: а - р = 1,01, у = 0,06; б - р = 1,035, у = 0,06
Динамика конечномерной системы
Разложим в системе (1) члены с отклоняющимся аргументом в ряд Тейлора:
*1,2(* - Т) = ¿1,2(0 + 22=1^ М*
(2)
Считая, что параметр т, определяющий величину запаздывания, имеет малую величину, ограничимся линейными слагаемыми. Тогда исходная система уравнений (1) примет следующий вид:
Г*1 = У1
= ((г - Х1 )У1 - ¿1 - УУ1 + УУ2& - ((г - ¿2)У2 - Р2*2 - УУ2 + 7У1& ,
У1
¿2 = У2,
(3)
72 = ((£ - ¿2)У2 - Р^2 - УУ2 + 7У1& - ((£ - ¿12)У1 - ¿1 - 7У1 + УУ2) ■
Размерность фазового пространства системы (3) равна четырём, и время запаздывания т входит в обыкновенные дифференциальные уравнения (3) как постоянный коэффициент.
Отметим, что при т = 0 система уравнений (3) и система (1) являются идентичными. Таким образом, при малых временах запаздывания в канале связи (т ® 0) можно ожидать соответствие динамики и бифуркаций, происходящих в конечномерной модели (3), таковым в исходной системе (1). Однако интересующие нас эффекты наблюдаются при достаточно больших величинах параметра т. Посмотрим, позволит ли конечномерная модель (3) пронаблюдать интересующее нас явление биста-бильности, а также дать качественное описание бифуркационных механизмов, приводящих к формированию данного эффекта.
Выберем в системе (3) такие же значения параметров, как в случае системы с отклоняющимся аргументом (2), и построим бифуркационную диаграмму на плоскости параметров «отношение частот - коэффициент связи».
Границами областей с различным устройством фазового пространства являются следующие бифуркационные линии. '()1 - линия бифуркации Андронова - Хопфа состояния равновесия в начале координат. При значениях параметров из области I в фазовом пространстве системы существует сед-ловое состояние равновесия (потерявшее устойчивость по двум направлениям, но сохранившее по двум другим) в начале координат и устойчивый предельный цикл. Переход в область II происходит при пересечении линии '()1. При этом состояние равновесия теряет устойчивость еще по двум направлениям, а в его окрестности мягко рождается седловой предельный цикл.
а
Переход П->Ш сопровождается касательной бифуркацией, которой соответствует линия и в результате которой в фазовом пространстве системы рождаются два седловых предельных цикла. Один из этих циклов затем претерпевает касательную бифуркацию с устойчивым предельным циклом при пересечении линии '+,2. В области IV в фазовом пространстве системы существует устойчивый двумерный тор, два седловых предельных цикла и неустойчивое состояние равновесия в начале координат. Тор рождается в результате бифуркации Неймарка - Сакера, которую претерпевает устойчивый предельный цикл при пересечении линии ',+.
0.027
0.024
0.021
0.018
0.015
0.996
II
Ins'
V
III
0.999
1.002
1.005
V
б
a
Рис. 2. а - бифуркационная диаграмма системы (3) при e = 0,1, t = 1,5. I, II, III - области синхронизации, IV - область квазипериодических колебаний, V - область бистабильности. lAHl - линия бифуркации Андронова - Хопфа, lSNiz - линии касательной бифуркации предельных циклов, Ins, Ins' - линии бифуркации Неймарка - Сакера. б - увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы
~sn2 / Ci
•>SN!
Ci
/ NS' \ \ AHi E
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
7
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма системы (3) в зависимости от у для в = 0,1, р = 1,001. С3, С2, С3'2 - предельные циклы, Е - состояние равновесия, ЛН3 - бифуркация Андронова - Хопфа, £N^2 - касательные бифуркации предельных циклов, N5' - бифуркации Неймарка - Сакера
Особого внимания заслуживает область V, образованная линиями бифуркации Неймарка - Сакера ',+2 седлового предельного цикла. При значениях параметров из этой области в фазовом пространстве системы наблюдается сосуществование двух устойчивых предельных циклов. Рассмотрим подробнее эту область. Установим р = 1,001 и проследим эволюцию фазового пространства системы при
вариации значения у (рис. 4). При у = 0,03 в фазовом пространстве системы существуют устойчивый предельный цикл Сь седловой предельный цикл С2 и неустойчивая неподвижная точка Е. Уменьшение значения коэффициента связи ведёт к росту радиуса седлового предельного цикла и бифуркации Ней-марка - Сакера. В результате этой бифуркации предельный цикл становится устойчивым, и в фазовом пространстве системы сосуществуют два устойчивых цикла, один из которых соответствует режиму синфазной синхронизации, а второй - противофазной (см. рис. 5 а). Дальнейшее уменьшение значения у приводит к ещё одной бифуркации Неймарка - Сакера, в результате которой в окрестности цикла С2 мягко рождается устойчивый двумерный тор. Таким образом, вторая бифуркация Неймарка - Сакера носит суперкритический характер, а на плоскости параметров, помимо области бистабильности «цикл-цикл», существует область бистабильности «цикл-тор». На рис. 5 б представлена проекция фазового портрета системы (3) в области сосуществования предельного цикла и двумерного тора.
Сравнивая фазовые портреты, представленные на рис. 2 и 5, можно сделать вывод, что интересующее нас явление бистабильности, наблюдаемое в исходной системе (1) при существенных величинах времени запаздывания, полностью реализуется в конечномерной модели (3) исходной системы, несмотря на то, что данная модель получена в предположении малых времен запаздывания. Таким образом, конечномерная модель (3) позволяет на качественном уровне дать описание бифуркационных механизмов, лежащих в основе эффектов, имеющих место в исходной системе при достаточно большом времени запаздывания в канале связи исходной модели (1).
Рис. 4. Проекция фазового портрета системы (3) е = 0,1, т = 1,5, р = 1,001. а - у = 0,021. Е - состояние равновесия, С12 - устойчивые предельные циклы. б - у = 0,0193. Е - состояние равновесия, С1 - устойчивый предельный цикл, С2 - седловой предельный цикл, Т - устойчивый двумерный тор
Заключение
Проведенные исследования показали, что введение запаздывания в канале связи между автогенераторами приводит к формированию областей бистабильности внутри основной области синхронизации. При этом сосуществуют либо два предельных цикла, либо предельный цикл и двумерный тор. Теперь взаимодействующие генераторы могут демонстрировать режим не только синфазной синхронизации, но и противофазной. Кроме того, переход от синхронного поведения к несинхронному теперь может управляться не только вариацией параметров системы, но и с помощью начальных условий. В эксперименте сбой синхронизации в подобных системах можно осуществить кратковременным импульсом, приложенным к одному из генераторов. Бифуркационный анализ конечномерной модели двух генераторов с запаздыванием в канале связи показал, что в основе формирования областей бистабильности лежит бифуркация Неймарка - Сакера, которую претерпевает седловой предельный цикл.
Работа выполнена в рамках проекта №1694 базовой части госзадания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 896 с.
2. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 432 p.
3. Synchronization: From Simple to Complex / A. Balanov, N. Janson, D. Postnov, O. Sosnovtseva. Berlin: Springer, 2008. 426 p.
4. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development / V.S. Anishchenko, V.V. Astakhov, A.B. Neiman, T.E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier. Berlin: Springer, 2007.
5. Raddy D.V.R., Sen A., Johnston G.L. Time Delay Induced Death in Coupled Limit Cycle Oscillators // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80. № 23. P. 5109.
6. Raddy D.V.R., Sen A., Johnston G.L. Experimental Evidence of Time-Delay-Induced Death in Coupled Limit-Cycle Oscillators // Physical Review Letters. 2000. Vol. 85. № 16. P. 3381.
7. Yeung M.K.S., Strogatz S.H. Time Delay in the Kuramoto Model of Coupled Oscillators // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 648.
8. Влияние задержки в канале связи на режимы полной синхронизации хаотических систем с дискретным временем / В.В. Астахов, Е.И. Неходцева, С.В. Астахов, А.В. Шабунин // Известия вузов ПНД. 2007. Т. 15. № 5. С. 61-67.
9. Влияние задержки в канале связи на полную синхронизацию / В.В. Астахов, Е.И. Неходцева, С.В. Астахов, А.В. Шабунин // Известия Саратовского университета. 2008. Т. 8. № 2. С. 30-34.
10. Pyragas V., Pyragas K. Relation between the extended time-delayed feedback control algorithm and the method of harmonic oscillators // Physical Review E. 2015. Vol. 92. № 2. P. 022925.
11. Hooton E.W., Amann A. Analytical Limitation for Time-Delayed Feedback Control in Autonomous Systems // Physical Review Letters. 2012. Vol. 109. № 15. P. 154101.
12. Ichinose N., Komuro M. Delayed feedback control and phase reduction of unstable quasi-periodic orbits // Chaos. 2014. Vol. 24. № 3. P. 033137.
13. Aronson D.G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude response of coupled oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1990. Vol. 41. № 3. P. 403-449.
14. Van der Pol B. On relaxation-oscillations // The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1927. Vol. 7. № 2. P. 978-992.
15. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 c.
16. Wirkus S., Rand R.The Dynamics of Two Coupled van der Pol Oscillators with Delay Coupling // Nonlinear Dynamics. 2002. Vol. 30. № 3. P. 205-221.
Гулай Артем Петрович - Artem P. Gulai -
магистрант кафедры Master Student, Department of Radioelectronics
«Радиоэлектроника и телекоммуникации» and Telecommunications
Саратовского государственного технического Yuri Gagarin State Technical University of Saratov университета имени Гагарина Ю.А.
Астахов Сергей Владимирович - Sergey V. Astakhov -
кандидат физико-математических наук, Ph. D., Associate Professor,
доцент кафедры «Информационная безопасность Department of Information Security of Automated
автоматизированных систем» Systems
Саратовского государственного технического Yuri Gagarin State Technical University of Saratov университета имени Гагарина Ю.А.
Астахов Владимир Владимирович - Vladimir V. Astakhov -
доктор физико-математических наук, Dr. Sc., Professor,
профессор, заведующий кафедрой Head: Department of Radioelectronics
«Радиоэлектроника и телекоммуникации» and Telecommunications
Саратовского государственного технического Yuri Gagarin State Technical University of Saratov университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 17.09.15, принята к опубликованию 10.11.15
