CC BY
68
УДК 004.9 : 514
Бойков Алексей Александрович Сидоров Андрей Александрович
кандидат педагогических наук, доцент
Федотов Александр Михайлович
кандидат технических наук, доцент Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина (ИГЭУ)
albophx@mail.ru, andipaint@yandex.ru, fam1950@bk.ru
РОЛЬ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ВЫСШЕМ ТЕХНИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ В УСЛОВИЯХ КОМПЬЮТЕРИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ
Статья посвящена проблематике преподавания начертательной геометрии в контексте вопросов о ее необходимости и ее роли в современных реалиях учебного процесса в связи с компьютеризацией и внедрением систем автоматизации (CAD-систем) в инженерное образование.
Авторы статьи рассматривают методы построения чертежа, подчеркивая значимость освоения конструктивного геометрического моделирования для специалистов инженерных направлений на основе подробно представленных примеров. Показываются фундаментальные достоинства начертательной геометрии. Подчеркивается, что двумерный чертеж является наиболее наглядной знаковой моделью объекта.
Также достаточно подробно раскрывается взаимосвязь начертательной геометрии и электронной модели изделия. Приводится пример, иллюстрирующий функции конструктивного геометрического моделирования в общей концепции электронной модели изделия. Указывается, что развитие электронной модели изделия следует рассматривать в направлении слияния двумерных и трехмерных представлений объекта (решения задачи) в процессе проектирования.
Ключевые слова: начертательная геометрия, чертеж, конструктивная геометрия, конструктивное геометрическое моделирование, CAD-системы, электронная модель изделия
Введение
Переход высшего образования к двухуровневой системе (бакалавриат и магистратура) вызвал сокращение часов или исключение из учебных планов некоторых дисциплин. В их число входит начертательная геометрия (НГ), вместо которой осталась комплексная дисциплина «Инженерная и компьютерная графика».
Отношение к НГ среди преподавателей геометро-графических дисциплин тоже неоднозначно. Так, автор [1], называет НГ «умирающей наукой». В [2-4] предпочтение отдается методам компьютерного 3D-моделирования, и высказывается критика традиционных для НГ способов решения задач. Отмечается, что функцию развития пространственного воображения трехмерные модели выполняют лучше, благодаря большей «наглядности» [3]. Среди других недостатков НГ отмечают работу с проекциями вместо трехмерных оригиналов, трудоемкость (нерациональность) решений, низкую точность решения на бумаге, ограниченность круга традиционно решаемых в курсе НГ задач и др.
Все это свидетельствует о наличии противоречий, назревших в цикле геометро-графических дисциплин в период расцвета систем автоматизации проектирования (CAD-систем) и, по большей части, не решенных в полной мере до сих пор. Коренным из них следует считать долго существовавшее отношение к НГ как к «грамматике чертежа». Развитие возможностей CAD-систем показало, что чертеж является не единственной
формой представления конструкторского замысла, предпочтение было отдано электронной модели изделия (ЭМИ), и, кроме того, знание «грамматики» перестало быть необходимым условием умения получать чертежи.
В [5] дается обзор публикаций и вскрываются многочисленные междисциплинарные связи НГ, но не формулируется роль НГ и ее функции в новых условиях. Все это свидетельствует о необходимости подробного рассмотрения роли НГ в инженерном образовании в условиях компьютеризации производства и учебного процесса.
Чертеж и метод его построения
НГ как наука и дисциплина тесно связана с основным своим инструментом - чертежом. Как отмечалось выше, центральная роль в задачах проектирования и производства принадлежит ЭМИ. Поэтому в первую очередь требуется пересмотреть роль чертежа, сформулировать его функции и задачи.
Чертежом называется изображение пространственной формы на плоскости, «построенное при помощи чертежных инструментов и в определенном масштабе» (Рынин Н.А., 1939). Чертежами называют изображения пространственных форм, «геометрически равноценные этим формам» (Ви-ницкий И.Г., 1975). В большинстве учебников по НГ понятие чертежа не вводится, но перечисляются его свойства - обратимость, точность, простота, наглядность. Вместо термина чертеж употребляется также более общее понятие - графическая модель (Вальков К.И., 1975). Таким образом, чертеж
© Бойков А.А., Сидоров А.А., Федотов А.М., 2017
Педагогика. Психология. Социокинетика № 3
139
следует рассматривать как геометрическую модель какого-либо объекта или процесса, выраженную графически (при помощи точек и линий) на какой-либо поверхности (например, плоскости).
В этом смысле ближайшими конкурентами чертежа могут выступать совокупность уравнений, таблица числовых значений или совокупность данных в ячейках памяти компьютера и специальных алгоритмов, позволяющих получать изображения геометрической модели на экране. Последний -компьютерный вариант - как будет показано далее, имеет много общего с НГ и, во всяком случае, не противоречит ее основному методу.
Первые два варианта относятся к так называемому аналитическому методу геометрического моделирования [6; 7]. Его отличительной особенностью является представление пространства как множества кортежей вида <х, х2, ..., х>, называемых точками (где числа х, х2, ..., х п - координаты). В таком пространстве становится возможным выделять закономерные множества точек - фигуры -при помощи уравнений вида F(x1, х2, ..., х= 0 и систем уравнений. Моделируемое пространство отображается на это абстрактное, при этом моделируемые объекты (оригиналы) представляются наборами чисел, уравнениями или их системами. Свойства моделируемых объектов выражаются в численных соотношениях значений координат и коэффициентов уравнений.
В основе моделирования при помощи чертежа лежит другой подход - конструктивный [6; 7]. Здесь моделируемое пространство отображается на множество геометрических объектов, называемое пространством, при помощи проецирующих линий и поверхностей; устанавливается проекционная связь, которая позволяет для объекта-оригинала указывать объект-образ, а для образа - находить оригинал. Свойства моделируемых объектов выражаются через свойства их образов.
Аналитический метод геометрического моделирования изучается в рамках раздела аналитической геометрии и линейной алгебры. Конструктивный метод изучается только в курсе НГ. Поэтому исключение ее как дисциплины и замена на любой другой курс, например, трехмерного моделирования неминуемо ведет к исключению из инженерного образования основ конструктивного геометрического моделирования вообще.
Кроме того, для специалистов инженерных специальностей на современном этапе развития промышленности умение читать чертежи остается одним из основополагающих.
Конструктивное геометрическое моделирование в начертательной геометрии
Решение прикладной геометрической задачи начинается с того, что реальное пространство заменяется на некоторое абстрактное [7], чаще всего
евклидово. При этом реальные объекты заменяются объектами абстрактного пространства. Такая замена может быть выполнена лишь приближенно. Многие научные задачи формулируются сразу в терминах абстрактного пространства. Далее выбирается способ представления элементов абстрактного пространства, чтобы в ходе решения задачи к ним можно было применять подходящий геометрический аппарат. В частности, представлению подлежат исходные данные задачи. Так, в аналитической геометрии точки представляются и-ками чисел, для чего предварительно должны быть определены их координаты. Таким образом, можно выделить два уровня геометрической модели (рис. 1, а) - моделирование реального пространства абстрактным и моделирование абстрактного пространства при помощи тех или иных выразительных средств. Средства представления являются конечным инструментом решения задачи. Многие учебные задачи формулируются сразу в терминах представления.
При конструктивном подходе средствами представления объектов моделируемого пространства являются множества геометрических объектов выбранного абстрактного пространства. Рассмотрим пример учебной задачи. Дано (рис. 1, б): населенные пункты А и В и линия электропередач s. Найти на s точку Ррасположения подстанции, чтобы сумма расстояний от Р до А и В была наименьшей. Здесь земная поверхность предварительно заменена евклидовой плоскостью, реальная линия электропередач - прямой, а населенные пункты - точками. В этом случае для представления исходных объектов и решения удобно использовать какую-то плоскость, например, листа бумаги, на которую наносят образы моделируемых объектов. Чертеж на рисунке 1, б выступает в роли представления модели и определяет способ ее решения (рис. 1, в). Пример показывает, что в некоторых случаях выбранное абстрактное пространство естественным образом определяет и способ представления объектов задачи. На практике для этого часто требуются дополнительные приемы. Например, на евклидовой плоскости можно моделировать так называемые несобственные точки проективной геометрии (рис. 1, г) и проводить через них прямые или кривые [8], но делается это иначе, чем для обыкновенных точек.
В случае, когда абстрактное пространство является трехмерным, для представления его объектов можно использовать трехмерные образы или двухмерные. Первое возможно с применением макетов или трехмерных редакторов в составе СА^-системы. В этом случае, как в примере выше, основной способ решения задачи определяется естественным образом. Именно этот вариант предлагают авторы [1-4] в качестве основного и единственного. При этом не учитывается, что,
140
Вестник КГУ ^ 2017
Реальное моделируемое пространство и реальные ^ объекты
Абстрактное пространство и его фигуры
а)
Представление объектов геометрически им равноценное (язык модели)
б)
в)
г)
—>
Рис. 1
как в примере с несобственными точками, при использовании трехмерного редактора может возникнуть необходимость в использовании дополнительных приемов для представления некоторых объектов задачи.
Альтернативный подход - представление трехмерных объектов при помощи двухмерных (плоских) - основывается на том, что на плоскости имеются множества фигур, подходящие для обратимого отображения на них пространственных. Для пространственной точки, имеющей три степени свободы, такими образами могут быть пара точек плоскости или отрезок прямой (четыре степени свободы), окружность (три степени свободы) и др. В изучении способов представления пространственных форм на плоскости и способов решения задач с ними состоит предмет НГ.
Покажем некоторые фундаментальные достоинства НГ.
1. НГ готовит будущего инженера к тому, чтобы использовать особые приемы представления объектов для решения прикладных задач. Например, такие понятия как «пучок плоскостей», «связка прямых», «мнимая точка пересечения прямой и сферы» требуют специального представления и в НГ, и в компьютерной системе трехмерного моделирования, но для последней они более чужды и, как правило, вызывают трудности, поскольку в явном виде отсутствуют среди «кнопок» редактора. Альтернатива, предлагаемая в [2], состоит в использовании языка программирования и фактической «доработке» компьютерного трехмерного редактора для решения той или иной задачи на основе вычислительных процедур.
2. Существуют инженерные задачи, которые требуют рассмотрения моделей пространств с четырьмя и более измерениями, - это модели неко-
торых процессов в химическом анализе, ключевые способы моделирования технических поверхностей и др. Объекты таких пространств требуют специального представления. В НГ работа с ними не вызывает трудностей добавлением одной или нескольких проекций. Использование таких объектов в трехмерных графических редакторах практически исключено.
3. Одним из мощных инструментов конструктивного геометрического моделирования являются геометрические преобразования. Например, в [9] показано применение преобразования инверсии для получения так называемого профиля крыла самолета (профиля Жуковского). Геометрические преобразования в высшем техническом образовании рассматриваются, главным образом, в курсе НГ, как способы преобразования чертежа. В системах компьютерного моделирования геометрические преобразования явным образом не рассматриваются, хотя некоторые входят в состав инструментов формообразования (вращение, выдавливание, кинематическая операция) и инструментов редактирования (сдвиг, поворот, масштаб и др.).
4. Моделирование в трехмерных редакторах C4D-систем считается более наглядным, чем моделирование при помощи проекций [2, 3]. Существуют два подхода к определению понятия наглядности моделей в зависимости от того, образные эти модели или знаковые [10]. Для образных моделей наглядность связывают со способностью выглядеть подобно моделируемому объекту. Для знаковых - с простотой и однозначностью представления свойств моделируемых объектов. На рисунке 2, а-б показаны «наглядное» изображение двух перпендикулярных скрещивающихся прямых и окружности в окне трехмерного редак-
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ № 3
141
а)
в)
Рис. 2
тора и чертеж тех же прямых и окружности. Этот пример демонстрирует, что наглядность трехмерной модели весьма относительна и обеспечивается возможностью рассмотреть ее с разных сторон. При этом компьютерная система фактически вынуждает человека, желающего контролировать процесс моделирования, постоянно рассматривать модель с разных сторон. Последнее усугубляется естественной способностью объектов перекрывать друг друга. Чертеж, содержащий достаточное число основных и дополнительных проекций, дополненный разрезами, сечениями, развертками и пр., теряя в образной наглядности, остается наиболее наглядной знаковой моделью.
5. Сложность и громоздкость решений, а также низкую точность решений задач, выполненных ручным способом, следует считать недостатками не НГ как таковой, но отсутствием до недавнего времени автоматизированных компьютерных си-
стем на основе конструктивного подхода. На сегодняшний день такие системы имеются [9; 11; 12], поэтому решение задач методом НГ ни в точности, ни в возможности автоматизации принципиально не уступает полностью трехмерному.
6. Тот факт, что в НГ (в конструктивном геометрическом моделировании, в целом) отдается предпочтение решению задач при помощи ограниченного набора инструментов в настоящее время имеет важное значение в области разработки алгоритмов вычислений повышенной точности. Как показано в [13], все вычисления, которые могут быть сведены к простым геометрическим построениям, могут выполняться с применением технологий символьной математики, без округления на промежуточных шагах.
7. НГ является теоретической базой получения изображений реальных или воображаемых предметов или объектов.
Вестник КГУ Л 2017
142
Начертательная геометрия и электронная модель изделия
Ключевым понятием современной промышленности является ЭМИ (ГОСТ 2.052), которая представляется «в виде набора данных, которые вместе определяют геометрию изделия и иные свойства, необходимые для изготовления, приемки, сборки, эксплуатации, ремонта и утилизации изделия». Авторы, сравнивающие чертежи и трехмерные модели CAD-систем, неявно сравнивают плоские векторные изображения с ЭМИ, что в корне неверно. Чертеж - способ выражения модели решаемой задачи, которая при этом полностью сохраняет свою размерность. Следует говорить о плоских или трехмерных интерфейсах управления моделью. Причем их сравнение не всегда может быть выполнено в пользу трехмерных [14].
В поле чертежа могут быть размещены не только проекции объектов, но произвольное число других изображений, позволяющих произвести графические расчеты или выполнить моделирование сложного типа движения [11], сложной криволинейной поверхности [11] и пр. - информационная емкость чертежа, в принципе, не ограничена. На рисунке 2, в показан пример решения задачи о построении равностороннего треугольника с вершиной в точке А и вершинами В и С на заданных скрещивающихся прямых Ь и с. Для решения построены диаграмма длин отрезка АВ и диаграмма длин отрезков АС=ВС для различных положений точки В на прямой Ь. Там, где полученные кривые пересекаются, длины всех трех сторон АВ=АС=ВС совпадают, и треугольник становится равносторонним.
Этот пример позволяет сформулировать концепцию ЭМИ на основе множества послойно расположенных изображений, выполняющих расчетные, контролирующие и проектные функции. Трехмерное представление в рамках такой ЭМИ не более чем один из множества инструментов - «интерактивная» наглядная (аксонометрическая или перспективная) проекция.
Как показано в [15], автоматизированное проектирование и производство имеет дело с большим объемом разнообразной информации, которая составляет ЭМИ, и по сути многомерна, так что трехмерные интерфейсы не обладают подавляющим преимуществом перед двухмерными. Наоборот, как показано [15], для многих прикладных задач трехмерное моделирование излишние. Тот факт, что чертеж может быть использован для автоматического синтеза трехмерного представления [15] или для параметризованного управления моделью (Т-Яех), подтверждает принципиальную равнозначность двух- и трехмерных интерфейсов. Разумно предположить, что развитие ЭМИ будет осуществляться в направлении интеграции аналитических и конструктивных методов решения за-
дач геометрического моделирования, объединения преимуществ двух- и трехмерных интерфейсов управления ЭМИ в процессе проектирования.
Заключение
Была проанализирована и показана роль НГ в условиях компьютеризации процесса производства и образования. Она заключается, помимо теоретических основ формирования изображений, в обучении будущих инженеров приемам конструктивного геометрического моделирования, показывает возможности геометрических преобразований, графического анализа сложных движений, различных процессов. Технологии трехмерного геометрического моделирования, имеющие несомненную важность в современных условиях, могут быть в значительной мере обогащены средствами автоматизации на основе конструктивного геометрического подхода, владение приемами которого невозможно без знания НГ.
Библиографический список
1. ТунаковА.П. Зачем преподавать студентам умирающие дисциплины // Поиск. - 2007. - № 11 (929).
2. Хейфец А.Л. Начертательная геометрия как «бег в мешках» // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. Мат. V Междунар. науч.-практ. интернет-конф. (г. Пермь, февраль-март 2015 г.). -Пермь, 2015. - С. 298-325.
3. Соколова Л.С. Геометрическая подготовка бакалавров в условиях ухода классического чертежа из современного высокотехнологичного производства. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://dgng.pstu.ru/ conf2016/ papers/33/ (дата обращения: 01.06.2017).
4. Вольхин К.А., Головнин А.А. Уточнение задач графического образования в условиях автоматизации проектных работ. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://dgng.pstu.ru/ conf2011/papers/15 (дата обращения: 01.06.2017).
5. Вышнепольский В.И., Сальков Н.А. О значении геометрии в технике и науке. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://dgng.pstu.ru/ conf2017/papers/7/ (дата обращения: 01.06.2017).
6. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. - М.: Машиностроение, 1998. - 158 с.
7. Панчук К.Л., Ляшков А.А. Геометрическое моделирование. Теоретический, инструментальный и образовательный аспекты // Всероссийское совещание зав. кафедрами инженерно-графических дисциплин технических вузов. - Ростов н/Д: ДГТУ 2015. - С. 92-120.
8. Короткий В.А. Проективное построение коники. - Челябинск: ЮУрГУ 2010. - 94 с.
9. Никифоров П.В. Получение кривой теоретического профиля Жуковского для создания
Педагогика. Психология. Социокинетика № 3
143
3D-модели поверхности крыла. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://dgng.pstu.ru/ conf2017/papers/62/ (дата обращения: 01.06.2017).
10. Кузнецов Н.А. К вопросу о наглядности изображений // Начертательная геометрия и инженерная графика: сборник науч.-метод. статей. - 1973. -Вып. 1. - С. 24-30.
11. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. - 355 с.
12. Бойков А.А. Элементы языка геометрических построений. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://dgng.pstu.ru/conf2017/ papers/138/ (дата обращения: 01.06.2017).
13. Селиверстов А.В. Начертательная геометрия для преподавания математики. [Электрон-
ный ресурс]. - Режим доступа: http://dgng.pstu.ru/ сопШ17/ рареге/22/ (дата обращения: 01.06.2017).
14. Бойков А.А. О трехмерном моделировании и начертательной геометрии в свете возможностей современных компьютерных систем // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. Мат. V Междунар. науч.-практ. интернет-конф. (г. Пермь, февраль - март 2015 г.). - Пермь, 2015. -С. 361-376.
15. Ротков С.И. Разработка методов и средств геометрического моделирования и компьютерной графики пространственных объектов для CALS-технологий: дис. ... д-ра техн. наук. - Нижний Новгород, 1999. - 280 с.
144
Вестник КГУ _J 2017
