CC BY
121
УДК 519.242
Роль математики в научных исследованиях
И.М. АГАЯНЦ,
д-р техн. наук, проф. Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова (Россия, 119571, Москва, проспект Вернадского, 86)
E-mail: agayantsivan@yandex.ru
Рассматривается роль теории эксперимента в научном исследовании. Работа исследователя в области технических наук — это диалог с природой. И если физика, химия, биология и другие науки говорят о том, какие вопросы надо задавать природе, то планирование эксперимента ставит себе задачу показать, как надо эти вопросы задавать.
В статье раскрываются понятия эксперимента, планирования эксперимента, модели. Что же получает экспериментатор в результате развития идей планирования эксперимента? Рассмотрены концепции принципиально иного отношения к ошибке, природы статистических выводов, рандомизации, последовательного эксперимента, оптимального использования пространства независимых переменных, редукции информации, этической функции планирования эксперимента, планирования эксперимента и логики вопросов.
Математика — не только язык науки, но и цензор ее, потому что только математическими методами можно оценить достоверность получающихся в результате эксперимента данных.
Ключевые слова: научное исследование, планирование эксперимента.
В своей работе «Очерки по истории современного научного мировоззрения» (1902-1903 гг.) Владимир Иванович Вернадский писал [1, с. 46]: «Весьма часто приходится слышать убеждение, не соответствующее ходу научного развития, будто точное знание достигается лишь при получении математической формулы, лишь тогда, когда к объяснению явления и к её точному описанию могут быть приложены символы и построения математики. Это стремление сослужило и служит огромную службу в развитии научного мировоззрения, но привнесено ему оно извне, не вытекает из хода научной мысли. Оно привело к созданию новых отделов знания, которые едва ли бы иначе возникли, например, математической логики или социальной физики. Но нет никаких оснований думать, что при дальнейшем развитии науки все явления, доступные научному объяснению, подведутся под математические формулы или под так или иначе выраженные числовые правильные соотношения; нельзя думать, что в этом заключается конечная цель научной работы».
Научная работа, научное исследование — понятия достаточно многоплановые, поэтому ограничимся только такими исследованиями, которые сопряжены с экспериментом.
Что такое эксперимент? Из Энциклопедического словаря: «Научно поставленный опыт, вообще опыт, проба, испытание». Из Философской энциклопедии: «От лат. experimentum — проба, опыт. Чувственно-предметная деятельность в науке, осуществляемая теоретически познанными средствами». Из словаря Macmillan English Dictionary: «1. Научное испытание для выяснения того, что случится с тем-то или кем-то при определенных условиях. 2. Ситуация, когда проверяется новая идея, метод или прием чтобы выяснить, какой будет результат». Из словаря Webster's Dictionary: «Испытание, проведенное при определенных условиях, для того, чтобы открыть неизвестный эффект или закон, проиллюстрировать известный закон или выдвинуть и испытать новую гипотезу». Из «Википедии»: «Эксперимент в научном методе - метод исследования некоторого явления в управляемых условиях. Отличается от наблюдения активным взаимодействием с изучаемым объектом».
Попробуем сделать какие-то заключения из того, что записано выше. Прежде всего, эксперимент — это не просто так, а некое научное действо. Далее: он активный. В цитированном американском источнике несколько раз упоминается слово «закон», а ведь, кроме законов, есть ещё и такое понятие как модель. Или поиск модели — уже не эксперимент?
В 50-х годах ХХ века сформировался принципиально новый подход к экспериментированию, при котором в каждом опыте варьируют одновременно все независимые переменные (факторы) по специальному плану. Возникло планирование эксперимента. Комплекс проблем, связанных с методологическими аспектами теории эксперимента, получил развитие в работах выдающегося отечественного учёного В.В. Налимова [2-8].
Планирование эксперимента — это область математической статистики, ставящая своей целью выбор количества и условий постановки экспериментов, необходимых и достаточных для решения задачи с требуемой точностью, разработку методов и приемов математической обработки результатов эксперимента и
принятия на основе этого определённых решений. Методы планирования эксперимента предполагают построение моделей, т.е. таких логических структур, у которых описан ряд соотношений между их элементами.
Понятие модели не следует путать с широко известным в науке понятием закона. В качестве такового рассмотрим, например, закон Ома для участка цепи. Этот закон ставит во взаимно однозначное соответствие между собой величину приложенного напряжения и возникающей при этом в проводнике силы тока. При данном сопротивлении R единственному значению напряжения U соответствует единственное значение силы тока I. Мир законов — это «абсолютная монархия». Если появляется какая-либо гипотеза, ставящая под сомнение данный закон, то эта гипотеза проверяется. Если она подтверждается, то «венчается на царство» вместо существующего закона, а последний «низвергается в бездну забвения». Не может существовать такого понятия, как плохой или хороший закон. Такая постановка вопроса есть абсурд. Сопоставим между собой, например, аналитическое выражение второго закона Ньютона в самой упрощенной форме и аналитическое выражение закона всемирного тяготения:
F = та F = (ат^тц)/^
В качестве основы для определения понятия силы взято первое выражение, поэтому второе имеет размерный множитель G. Если бы исторически ситуация сложилась иначе, мы измеряли бы силу в кг2/м2, а не в кг-м/с2, и первое выражение содержало бы размерный множитель.
Если мыслить в терминах языкознания, то закон следует рассматривать как непротиворечивый силлогизм. Язык законов — это жёсткий язык, в котором одному слову соответствует единственное смысловое значение.
Понятие модели принципиально отличается от понятия закона. Если у Вас есть некоторое множество значений фактора х (температура, давление, концентрация) и поставленное ему в соответствие некоторое множество значений отклика у (плотность, вязкость, теплопроводность, прочность), то зависимость у = f(x) можно описывать (аппроксимировать) параболой, гиперболой, отрезком синусоиды, даже прямой линией... Все зависит от точности измерений. При построении модели единственному значению фактора х соответствует некоторое множество значений отклика у. Мир моделей — это «демократическая республика». Одна модель не может ставить под сомнение другую. Она может быть в каких-то отношениях лучше другой, а в каких-то отношениях хуже, но не отвергает её. При оценке моделей могут использоваться даже эстетические критерии [9].
Язык моделей — это мягкий язык, в котором одному слову соответствует множество смысловых значений, и встает проблема выбора, которая не всег-
да просто решается. Достаточно вспомнить притчу про «буриданова осла», перед которым лежали две вязанки соломы, он не знал, какую съесть, и умер с голоду. Осла так назвали в честь Жана Буридана (1300-1358), французского философа, логика и теоретика науки. А у самого Буридана в его произведениях ни слова про этого осла нет.
Построение моделей особенно эффективно при анализе диффузных систем [6, с. 7-12]. Эти системы (они еще называются плохо организованными системами или системами с плохой структурой) характеризуются следующими свойствами: 1) нет непроницаемых перегородок между различными физико-химическими процессами, которыми сопровождается функционирование таких систем; происходящие процессы нельзя рассматривать изолированно, даже в упрощенном варианте; 2) система характеризуется большим количеством факторов, определяющих ее поведение (высокая размерность задачи); 3) связи между переменными не носят функционального характера (их надо характеризовать не законами, а моделями); 4) для описания диффузных систем используются методы многофакторного эксперимента.
В хорошо организованных системах (которые изучаются в школе и в значительной степени в ВУЗе) ситуация выглядит с точностью до наоборот. В системе можно выделить какой-либо процесс (например, диффузию) и исследовать его классическими методами. Все факторы, за исключением одного, можно стабилизировать и изучать зависимость интересующего Вас свойства только от одного фактора. Связи между переменными характеризуются законами и могут рассматриваться как функциональные.
Задачи планирования эксперимента в своей широкой постановке с точки зрения чистой математики не представляются корректными, но они существуют, решаются и оказывают большую помощь экспериментаторам.
Планирование эксперимента коренным образом изменило мировоззрение исследователя, изменило и его отношение к стратегии исследования.
Что же получил экспериментатор в результате развития идей планирования эксперимента [4, с. 9-20, 6, с. 29-69]?
Принципиально иное отношение к ошибке. В
настоящее время особое значение приобрели информационные службы. Тем не менее, иногда выгоднее провести исследование, чем найти о нем ссылку в литературе или каких-либо иных источниках, включая электронные. Усложняются методы исследования. Поэтому необходимо, чтобы все исследователи говорили на одном и том же языке. В этом деле важная роль принадлежит именно планированию эксперимента.
Ошибка является одним из основных понятий статистики, вообще, и планирования эксперимента, в частности. Как это ни смешно, но, прежде всего, нужно усвоить простую истину, что ошибка неиз-
бежна. Ошибка в эксперименте не должна быть минимально возможной, а должна быть разумной. Анализ ошибок таит в себе неисчерпаемые возможности познания. Словом, надо избавиться от представления об ошибке, как о чем-то нежелательном, и понять, что ошибка несет в себе такую же информацию, как и сам эксперимент.
Природа статистических выводов. До сих пор распространено неправильное представление о природе статистических выводов. Нельзя предложить совокупность алгоритмов, которые позволили бы вывести новые закономерности на основе новых наблюдений. Исследователь должен выдвинуть несколько поддающихся проверке утверждений (гипотез), а затем выбрать одну из них на основе статистических методов. Многое здесь зависит от плодотворности выдвинутой гипотезы, но даже если статистический анализ покажет, что выдвинутая гипотеза не противоречит результатам наблюдений, из этого не следует, что она, безусловно, верна. На практике всегда можно предложить много других гипотез, столь же хорошо согласующихся с результатами наблюдений. И никогда нельзя быть уверенным, что предложены все возможные гипотезы.
Природа статистических выводов не противоречит общей для всех экспериментальных наук системе построения гипотезы: в экспериментальных науках всегда сначала выдвигается гипотеза, а затем она проверяется экспериментально. Гипотеза не может быть принята, безусловно, она всегда остается открытой для дальнейшей проверки — этим определяется прогресс в экспериментальных науках. Наряду с этим хотя бы один экспериментальный результат, противоречащий гипотезе, служит достаточным основанием для отбрасывания гипотезы. Этот отрицательный результат должен быть установлен вполне надёжно. Следует разработать правила, позволяющие отбрасывать или принимать те или иные результаты.
Так, условились, что различие между проверяемой гипотезой и результатом наблюдений статистически значимо, если вероятность его случайного появления меньше некоторого критического значения. Критический уровень значимости (5 или 1%-й) определяет только систему договоренности, и здесь нет какого-либо другого глубокого смысла.
При выдвижении гипотез вводят статистические понятия ошибок первого и второго рода. Ошибка первого рода заключается в непринятии проверяемой гипотезы, когда она верна; вероятность совершения такой ошибки обозначают a и называют уровнем значимости. Ошибка второго рода — принятие проверяемой гипотезы, когда она неверна; вероятность совершения ошибки второго рода обозначают Ь.
Рандомизация. В любой экспериментальной работе мы имеем дело не только с основными интересующими нас факторами, но и с множеством других. Раньше большие усилия тратили на стабили-
зацию этих мешающих факторов, а если это было трудно сделать, на них просто не обращали внимания. Теперь эти факторы предлагают превратить в случайные величины путем рандомизации условий проведения эксперимента.
Одна из основных идей математической статистики, таким образом, состоит в том, что надо не преодолевать, а создавать случайную ситуацию, чтобы избавиться от необходимости стабилизировать мешающие факторы. Это принципиально новая идея, радикально меняющая стратегию эксперимента. Те, кто её поняли, стали более осторожными в своих выводах.
Последовательный эксперимент. Смысл этой процедуры состоит в использовании шаговой стратегии. После каждого шага проводят анализ результатов, и на основании этого анализа принимают решение о дальнейшей деятельности. Исследователь отказывается от попытки заранее задать строго фиксированную схему проведения эксперимента — принимаемая им стратегия предусматривает возможность принятия решения в зависимости от результатов, полученных на отдельных этапах исследования.
Концепция последовательного анализа во многом повлияла на развитие статистических методов исследования. Так, при постановке экстремальных экспериментов, варьируя большое количество переменных, исследователь пытается найти оптимальные условия протекания некоторого технологического процесса шаг за шагом. Строит линейную модель, затем осуществляет движение по градиенту, описание почти стационарной области полиномами разного порядка и т.д. При этом каждый последующий шаг определяется ранее полученными результатами.
Концепция последовательного анализа Вальда оказалась совсем не частной задачей — она создала философию стратегии шагового эксперимента. Здесь дело не только в том, что исследователь в среднем тратит в два раза меньше усилий для решения поставленной задачи. Гораздо большее значение имеет то обстоятельство, что исследователь получил в свои руки четкую модель, позволяющую ему осмысленно принимать решение о том, когда эксперимент должен быть закончен.
Оптимальное использование пространства независимых переменных. При исследовании зависимости какого-либо показателя от ряда факторов (независимых переменных) успешность решения задачи во многом определяется тем, как экспериментальные точки расположены в пространстве независимых переменных (факторном пространстве). Параметры, интересующие исследователя, могут быть найдены с меньшей ошибкой, чем при традиционных методах исследования. В задачах со многими факторами исследователь имеет возможность варьировать все факторы сразу, тогда как при традиционном подходе изучает действие каждого фактора в отдельности. При планировании многофакторных
экспериментов ошибка при определении коэффициентов модели существенно уменьшается.
Концепция оптимального использования факторного пространства (пространства независимых переменных) показала громадные преимущества многофакторного эксперимента по сравнению с традиционным — однофакторным экспериментом. Теперь специалист по планированию эксперимента, вмешивается в работу экспериментатора до того, как эксперимент поставлен. Он составляет, совместно с экспериментатором, план эксперимента, т.е. выбирает оптимальное расположение экспериментальных точек в пространстве независимых переменных. Далее он составляет схему оптимальной процедуры исследования, которая может состоять из нахождения линейного приближения, движения по градиенту линейного приближения, описания поверхности отклика полиномом второго порядка, анализа этого полиномиального описания, выползания из минимакса и т.д. Все эти промежуточные процедуры могут быть организованы так, чтобы они не зависели ни от возможного неконтролируемого временного дрейфа, ни от неоднородности исходных материалов. Выигрыш в эффективности эксперимента здесь получается в два, пять и большее число раз — чем сложнее задача, чем больше независимых переменных включено в исследование, тем эффективнее становятся методы планирования эксперимента. Но главное, может быть, заключается не в этом, поддающемся количественному учету выигрыше в эффективности, а в том, что исследователь здесь опять-таки получает логически чёткую модель для проведения всей последовательности операций.
Редукция информации. Планирование эксперимента обеспечивает чёткую логическую схему всех операций. Исследователь хорошо знает, что, когда и как надо делать. Знает, как надо интерпретировать результаты наблюдений. В математической статистике разработаны методы, позволяющие обрабатывать результаты наблюдений наилучшими приемами, которые дают так называемые эффективные оценки. Исследователи получают сопоставимые результаты, и возможна их коллективная работа.
Раньше исследователь пытался дать известное представление о достоверности своих результатов пространным описанием условий проведения эксперимента. Теперь публикации могут даваться в краткой форме — в виде таблиц, графиком, моделей. С развитием вычислительной техники стало возможным представлять результаты работы несколькими моделями, обсуждая их в дальнейшем с различных позиций.
Концепция редукции (свертки) информации позволила создать теоретические предпосылки для построения стандартных методов обработки результатов наблюдений. Эта концепция стала вполне реалистической после того, как было введено понятие ро-бастности — устойчивости к нарушению исходных, всегда сильно идеализированных, предпосылок.
Этическая функция планирования эксперимента. Математическая статистика предлагает исследователю не набор рецептов, а набор идей, которые можно рассматривать как основу для создания математической теории эксперимента. Эти идеи направлены на получение существенно новых результатов из экспериментальных данных. Применение их позволяет резко сократить объем исследований, увеличить чёткость суждений исследователя об эксперименте; при этом обостряется интуиция экспериментатора.
Однако математическая статистика не может помочь сформулировать цель исследования, не дает рецепта, как из множества различных статистических методов выбрать наиболее подходящий. Для фантазии, воображения и интуиции всегда остается место.
Исследователь, обладающий воображением и говорящий в науке на языке моделей, может многое. Если он исследует зависимость у от х, и по его представлениям эта зависимость должна быть линейной, если ему очень хочется, чтобы она была линейной, то он сделает все возможное, чтобы она стала линейной. Он исключит из рассмотрения все, что противоречит его гипотезе, найдет аргументы в пользу такого исключения, убедит себя в правоте своего поступка. И он не лгун, он просто увлеченный человек, работающий с ошибкой; и эта ошибка — некоторый коридор значений — позволяет осуществлять такие «фокусы». Последовательное применение принципов планирования эксперимента всё ставит на свои места и освобождает экспериментатора от мук совести, взваливая весь этот груз на плечи статистики.
Таким образом, планирование эксперимента несёт ещё и нравственную миссию, при этом вырабатывается критическое отношение к своей работе, научная дисциплина, элегантность в работе, отсутствие категоричности в выводах, более общий взгляд на вещи и ещё ряд других полезных качеств.
В этой связи важно представлять, какова роль вычислительной техники в решении затронутых вопросов. Чем больше мы знаем, как решаем задачи, тем большую часть работы можно переложить на машины. Цель расчётов состоит не в получении чисел, а в понимании; но для этого надо знать, как производится вычисление. Если исследователь этого не знает, то маловероятно, что он извлечет что-нибудь ценное из вычислений.
Планирование эксперимента и логика вопросов. Если считать, что основная цель планирования эксперимента — построение моделей некоторым наилучшим образом, то, поскольку модель можно рассматривать как вопросно-ответную структуру, задачи планирования эксперимента можно перевести в область логики вопросов. В таком случае вскрывается гносеологическая сущность планирования эксперимента.
Работа исследователя в области технических наук — это диалог с природой. И если физика, хи-
мия, биология и другие науки говорят о том, какие вопросы надо задавать природе, то планирование эксперимента ставит себе задачу показать, как надо эти вопросы задавать.
Обращаясь к концепции «черного ящика» как познавательной модели, следует отметить, что вход х — независимая переменная в новом ракурсе будет представлять собой вопросы, выход — зависимая переменная, отклик — ответ. Вопрос — исходное звено познавательного процесса, умение правильно и эффективно ставить вопросы, т.е. формулировать задачу не менее важно, чем изобретение способов самих ответов. Вопрос имеет смысл лишь как элемент системы вопрос — ответ. Вопрос — это высказывание, требующее ответа, предполагающее ответ. В вопросе всегда отражено не просто неизвестное, а подлежащее выяснению. Вопрос правомочен тогда, когда существует необходимость и возможность получения ответа.
Пусть выдвинута гипотеза о том, что вопросу А соответствует ответ В (А^В). Эта гипотеза проверяется экспериментально, и обнаруживается, что мы не можем утверждать, что А^В; но, с другой стороны, не можем утверждать, что вопросу А не соответствует ответ В, потому что такая гипотеза не проверялась.
Если природе задается некоторая совокупность вопросов, то ответ во многом зависит от того, в каком порядке были заданы вопросы. Иногда вопросы ставятся так, что правильный ответ просто невозможен. Концепция рандомизации делает систему вопрос — ответ перекрестным допросом, своего рода мозговым штурмом. Природа не предполагает, каков будет следующий вопрос, ей становится трудно скрыть правильный ответ. У природы как бы расшатываются связи между сознанием и подсознанием, спектр ответов расширяется, так как природа не имеет возможности тщательно обдумать свои ответы, и диапазон ответов с большей вероятностью будет включать истинный ответ. Природа даже не может «догадаться», что на самом деле в системе постановки вопросов обнаруживается четкая последовательность, обеспечивающая максимально быстрое достижение близкого к истине ответа.
Объективная постановка вопросно-ответной процедуры требует определенного мужества от экспериментатора: а вдруг будет получен ответ, которого экспериментатор не хочет получить. Что делать с этим ответом? Принять и низвергнуть в пропасть
все взлелеянные годами представления? Отвергнуть и испытать угрызения совести от ощущения собственной нечестности? А может быть в этой дилемме и состоит истинный источник вдохновения для исследователя?
Ясно, что экспериментатор, в какой бы области он не работал, должен быть знаком со всеми этими концепциями; он должен быть подготовлен хотя бы настолько, чтобы иметь возможность разговаривать со специалистами — консультантами в области теории эксперимента.
Но вернемся в начало ХХ века. Можно понять беспокойство В.И. Вернадского и так: за лесом формул ускользает физический смысл того, что происходит. Что ж, бывает и так. Можно ли с этим бороться? До, и один из способов такой борьбы — получать выражения, параметры которых можно было бы осмыслить с точки зрения механизма протекающих процессов. Современные программные продукты позволяют решить эту задачу.
Изложенные выше соображения о роли теории эксперимента говорят о том, что математика сейчас — не только язык науки, но и цензор ее, потому что только математическими методами можно оценить достоверность получающихся в результате эксперимента данных. Но с чем математика не в состоянии бороться — это с фантазией, воображением и интуицией исследователя, и это прекрасно!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вернадский В.И. Избранные труды по истории науки. — М.: Наука, 1981. — 360 с.
2. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества. — М.: Физматгиз, 1960. — 430 с.
3. Налимов В.В., Чернова НА. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. — М.: Физматгиз, 1965. — 340 с.
4. Новые идеи в планировании эксперимента. Сборник статей / Под ред. В.В. Налимова. — М.: Физматгиз, 1969. — 334 с.
5. Налимов В.В., Мульченко З.М. Наукометрия: Изучение развития науки как информационного процесса. — М.: Наука, 1969. — 192 с.
6. Налимов В.В. Теория эксперимента. — М.: Наука, 1971. — 207 с.
7. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. — М.: Металлургия, 1981. — 128 с.
8. Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей. Справочное издание / Под ред. В.В. Налимова. — М.: Металлургия, 1982. — 751 с.
9. Налимов В.В. Вероятностная модель языка. — М.: Наука, 1979. — 304 с.
ROLE OF MATHEMATICS IN RESEARCH
Agayants I.M., Dr. Tech. Sci., Prof., Moscow State University of Fine chemical technologies ( Russia, 119571,
Moscow, Vernadsky prosp., 86, E-mail: agayantsivan @ yandex.ru)
Discusses the role of theory in scientific research experiment. The work of researchers in the field of engineering science is a dialogue with nature. If physics, chemistry, biology and other sciences say about what issues need to specify the nature of, the planning of the experiment set himself the task of showing how to ask those questions.
The article describes the concept of the experiment, experiment planning, model. Author consider the concept of a fundamentally different relationship to the error, the nature of statistical inference, randomization sequence of experiments, the optimal use of the space of the independent variables, reduction of information, ethical function of experiment planning, experimental design, and logic problems.
Keywords: scientific research, experimental design.
