CC BY
36
УДК 37.016:514(045) ББК 22.151р
РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ ЭВРИСТИКАМ
И. В. Ульянова
Аннотация. Одной из основных задач современная школа видит перед собой развитие творческого потенциала учащихся, а также создание условий для их саморазвития и самореализации. Обучение учащихся эвристикам выступает одним из таких условий, так как владение эвристиками есть неотъемлемый признак развития у обучаемых творческого нестандартного мышления. Основным видом деятельности учащихся в обучении математике выступает решение задач. Значит, формирование у них эвристического мышления должно происходить в контексте осуществления этой деятельности. Поэтому исследование роли и места математических задач в обучении учащихся эвристикам является актуальным. В статье автор приводит современные трактовки понятия «эвристика». Раскрывает понимание эвристики в методике обучения математике. Перечисляет виды эвристик. Указывает уровни формирования эвристик у учащихся общеобразовательных учреждений. Приводит примеры математических задач и демонстрирует на примере их решения процесс обучения учащихся эвристикам. Описывает методику формирования эвристик.
Ключевые слова: эвристика, базовые эвристики, специальные эвристики, методика обучения эвристикам, задача, геометрическая задача.
THE ROLE OF MATH PROBLEMS IN TEACHING HEURISTICS I. V. Ulyanova
Abstract. The main task that a modern school faces is the development of students' creative potential as well as creating conditions for their self-development and self-realization. Teaching heuristics is one of these conditions, as mastering the heuristics is an integral characteristic of the development of students ' lateral thinking. The main activity of pupils in learning mathematics is the solving of problems. So the formation of their heuristic thinking should occur in the context of the implementation of this activity. Therefore, a study of the role of mathematical tasks in teaching students heuristics is relevant. In the article, the author gives a modern interpretation of the concept „heuristics" and reveals the understanding of heuristic in methods of teaching mathematics. The types of heuristics are listed. The article specifies the levels of forming heuristics in students of educational institutions. The article gives examples of mathematical problems
and demonstrates the process of teaching students heuristics. It also describes the method of forming heuristics.
Keywords: heuristics, basic heuristics, special heuristics, method of teaching heuristics, problem, geometric problem.
Одной из целевых установок современного образования выступает развитие креативности и творческой индивидуальности обучающегося, способности оперативно реагировать на изменяющиеся жизненные ситуации, оригинально и своевременно решать жизненные задачи, в том числе в новых незнакомых для него условиях. Основой развития такой способности у учащегося выступает формирование у него эвристической деятельности, которая характеризуется процессом построения нового действия, направленного на достижение новой цели в новой ситуации, в том числе и нестандартной. Новая ситуация, новая цель и новое действие - таковы отличительные черты эвристической деятельности и эвристического процесса.
Понятие эвристической деятельности основывается на понятии «эвристика» (от др.-греч. еорюкш 'нахожу', 'открываю') и своими корнями уходит во времена греко-римской древности, когда с эвристикой соотносили метод обучения, заключающийся в искусстве постановки вопросов. Этот метод активно применялся Сократом (469399 до н. э.), что в дальнейшем послужило посылкой возникновения понятия «сократическая беседа» - когда говорящий вместе с собеседником посредством особых вопросов и рассуждений приходит к открытию истины. Вслед за Сократом эвристические методы обучения до сих пор активно используются в явной или неявной форме. Интерес к эвристикам не угасает спустя много столетий.
В настоящее время термином «эвристика» оперируют философы, педагоги, психологи. Он встречается в предметных методиках, логике, теории искусственного интеллекта, причем в разных вариантах
своего понимания [1; 2]. Действительно, эвристика - это:
1) раздел кибернетики, содержанием которого является разработка методов машинного и математического моделирования человеческого способа решения проблемных задач, основанная на анализе и экспериментальном изучении этого способа;
2) теория и практика организации избирательного поиска при решении интеллектуальных задач;
3) область исследований, предметом которой являются методы и правила, как делать открытия и изобретения;
4) наука, изучающая продуктивную творческую деятельность (эвристическая деятельность);
5) специальный метод, используемый в процессе открытия нового (эвристический метод);
6) специальный метод обучения («сократическая беседа») или коллективного решения проблем («мозговой штурм»);
7) основная идея, общий метод поиска решения задачи;
8) совет, подсказка, как искать решение задачи.
В методике обучения математике под эвристикой, как правило, понимается всякий способ, применение которого может привести к отысканию действенного метода решения задачи или доказательства теоремы. Эвристические методы, не являющиеся гарантированно точными или оптимальными, поскольку они, как правило, нередко не полностью математически обоснованы, зачастую противопоставляются логическим методам решения и алгоритмам, опирающимся на точные математические модели.
Во множестве эвристик выделяют 4 группы, отличающиеся разной степенью определенности, сложностью и количе-
ством действий, входящих в эвристику. К этим группам относятся [1; 2]:
1) базовые эвристики;
2) специальные эвристики;
3) эвристические приемы;
4) общие эвристики.
Формирование эвристик - длительный
процесс, осуществляемый на протяжении всего школьного обучения и состоящий из нескольких уровней. Каждый уровень условно можно соотнести с обучением учащихся разных классов разным видам эвристик по принципу от простого к сложному. А именно:
• 1 уровень - обучение базовым эвристикам (1-6-й классы);
• 2 уровень - обучение специальным эвристикам и формирование эвристических приемов (7-9-й классы);
• 3 уровень - формирование общих эвристик (9-11-й классы).
Хотя это соотнесение действительно будет условным, так как на каждом последующем уровне будет происходить систематизация и углубление предыдущего уровня усвоения школьниками более простых эвристик, а также - изучение и формирование у них навыков применения новых более сложных эвристик.
В контексте темы нашей статьи в рамках указанных уровней остановимся немного подробнее на отдельных видах эвристик и роли математических задач при обучении им учащихся.
I. Базовые эвристики
Базовые эвристики составляют первоначальную базу для системного изучения всех других видов эвристик. Отсюда, возможно, и происходит их название. Они являются основными и входят в совокупность действий, из которых образуются более сложные приемы. Однако при этом базовые эвристики являются самостоятельными приемами, цель которых состоит в создании благоприятных дидактических условий для самоорганизации учащихся при «открытии» и усвоении ими новых знаний и умений, а
также овладении приемами решений разных типов задач. К базовым эвристикам, в частности, относятся такие приемы, как:
• выведение следствий из конкретных условий;
• преобразование требований задачи в равносильные требования (переформулировка требования);
• составления промежуточных (вспомогательных) задач;
• подведения объекта под понятие;
• перечисление существенных свойств понятия;
• и др.
Большим потенциалом для обучения учащихся базовым эвристикам обладают почти все этапы работы с математической задачей [3]:
1) понимание постановки задачи;
2) составление плана решения;
3) осуществление плана решения;
4) «взгляд назад».
Однако все-таки особенно важным при этом оказывается первый этап, так как базовые эвристики, в первую очередь, способствуют осмыслению входной информации и получению первоначальных выводов для дальнейшего исследования. Для этого на данном этапе обучать учащихся основным базовым эвристикам можно в контексте специального диалога, когда учитель «ведет» учащегося в нужном направлении - направлении выведения, осознания и применения базовой эвристики. Причем в таком диалоге вопросы и задания учителя должны носить четкий рекомендательный характер по использованию конкретной базовой эвристики. Приведем примеры таких вопросов и заданий в контексте первого этапа работы с задачей 1 (№ 152 [4]).
Задача 1. Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?
Возможные вопросы и задания учителя.
1. Как соотносятся между собой общее количество новогодних подарков и коли-
чество ребят на елке? Переформулируйте первый вопрос задачи.
2. Если ребята получили одинаковые подарки, то сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом отдельном подарке? Одинаковое количество или разное? Сделайте вывод из этого условия задачи.
3. Если мы знаем общее количество апельсинов во всех подарках и если бы мы знали, сколько всего было подарков, то мы смогли бы ответить на второй вопрос задачи о том, сколько апельсинов было в каждом подарке? Нам достаточно было бы наших знаний? Ответ поясните. (Аналогичный вопрос задается про яблоки.)
4. Что нам дополнительно надо знать, чтобы ответить на вопросы задачи? Сформулируйте новое промежуточное требование задачи.
5. Если общее количество яблок и общее количество апельсинов должно без остатка делиться на общее количество подарков, то чему будет равно общее количество подарков? Сформулируйте по-другому новое требование о нахождении общего количества подарков, используя математические понятия.
6. Что называется наибольшим общим делителем двух чисел? Сформулируйте определение наибольшего общего делителя чисел.
7. Как можно найти наибольший общий делитель двух чисел? Перечислите свойства этого понятия.
Каждое из приведенных заданий целенаправленно ориентировано на формирование у учащихся определенной базовой эвристики. А именно:
1 задание - переформулировка требования;
2 задание - выведение следствий;
3 задание - выведение следствий;
4 задание - выделение промежуточных задач;
5 задание - подведение объекта под понятие, переформулировка требования;
6 задание - замена термина его определением;
7 задание - перечисление существенных свойств понятия.
Подобные вопросы учитель может задавать учащимся при решении любой задачи. Но важно научить школьников самим рассуждать подобным образом, так как это позволяет им использовать соответствующие эвристики, не дожидаясь вопросов учителя. Для этого учитель также может включать в обучение специальные задачи открытого типа, как, например, задачи 2-5, которые не требуют много времени на решение, но способствуют осознанию учащимися используемых эвристик.
Задача 2. Точка М принадлежит отрезку АВ. Точка М не совпадает ни с точкой А, ни с точкой В. Что из этого следует?
Задача 3. Треугольник АВС - равносторонний. Какие выводы из этого можно сделать?
Задача 4. Решите уравнение х + 7 = 25. Как по-другому можно сформулировать требование данной задачи?
Задача 5. Опишите, что вы видите на рис. 1. Составьте несколько задач по данному рисунку. Составьте блок из 2-3 взаимосвязанных задач по рис. 1.
B
C
A
Рис. 1. К задаче 5
Такие задачи можно составить как самому, так и найти на страницах учебника, как, например, задача 6 (№ 32 [5]).
Задача 6. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 12, ВС = 13,5. Какой может быть длина отрезка АС?
II. Специальные эвристики
Специальные эвристики, в отличие от базовых, связаны с изучением конкретных учебных тем и отражают специфику предмета посредством использования специальной терминологии. Большую роль специальные эвристики играют в обучении геометрии, так как большинство геометрических задач являются эвристическими или
F
полуэвристическими. Формирование специальных эвристик должно осуществляться на основе базовых эвристик посредством выделения объектов, фигурирующих в теореме или определении некоторого понятия, а также - анализа и систематизации опыта решения задач. При этом можно использовать разные упражнения и приемы работы с задачей, например, прием ключевой задачи.
Ключевой задачей называется задача, в которой отражается дополнительная теорема или свойство понятия или при решении которой показывается прием, актуальный при решении других задач. Такой ключевой задачей являются, в частности, задача 7 (№ 476 [5]) или задача 8 (№ 524 [5]).
Задача 7. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
Задача 8. Докажите, что площадь 5 треугольника со сторонами а, Ь, с выражается формулой S = ^р (р - а)(р - Ь)(р - с) (формула Герона), где р = 4т (а + Ь + с) -полупериметр треугольника.
«Если в задаче имеют место длины диагоналей ромба, то его площадь можно найти как половину их произведения», «Если в задаче имеет место площадь ромба, значит известно произведение его диагоналей», «Если в треугольнике известны все его стороны, то его площадь можно найти по формуле Герона», «Если в треугольнике известны две стороны и его площадь, то можно найти его третью сторону, используя формулу Герона» и т. д. [6].
К особому виду специальных эвристик в геометрии можно отнести «семьи» - группы объектов, образованных по принципу «что с чем работает», «что из чего следует», «что без чего не существует». Основу существования таких «семей» составляет необходимость использования в решении одного члена семьи при наличии других «родственников», существование которых опре-
деляет геометрическое понятие или теорема. Например, теорема о трех перпендикулярах или определение проекции отрезка объединяет в одну «семью» наклонную, ее проекцию и соответствующие перпендикуляры (к самой наклонной или ее проекции). Свойство радиуса окружности, проведенного к касательной в точку касания, образовывать прямой угол определяет еще одну соответствующую «семью». Таким образом, возникают специальные эвристики, суть которых в общем заключается в том, что: «Если в задаче имеют место некоторые члены „семьи", то имеет смысл ввести в использование и другие члены, о которых первоначально умалчивается». Подобная идея нередко позволяет значительно продвинуться в решении задачи, хотя и не гарантирует стопроцентный результат.
III. Эвристические приемы
Использование эвристических приемов дает больше шансов для нахождения решения. Но их применение на практике более затруднительно, так как они нередко базируются лишь на основе интуиции и догадки решающего. Действительно, в эвристическом приеме зачастую только рекомендуется ввести в рассмотрение некоторый объект, но без разъяснений последствий или рекомендуется применить действие, но без указания к чему. Тогда как любая специальная эвристика не только прямо указывает на конкретные объекты особого пристального внимания, но и отражает отношение между ними, которое необходимо использовать в ходе решения задачи. В этом и заключается основное отличие между специальной эвристикой и эвристическим приемом, которое, по мнению специалистов, позволяет отнести эвристические приемы к эвристикам более высокого уровня.
К эвристическим приемам в обучении математике относят [1; 2; 7]:
• прием дополнительных построений (введения вспомогательных неизвестных, вспомогательной фигуры);
• прием представления задачи в пространстве состояний;
• прием элементарных задач;
• прием постановки и выполнения производного задания;
• прием рассмотрения предельного или частного случая;
• прием соображения непрерывности;
• и др.
Для примера рассмотрим задачу 9. Ее решение методом уравнений с использованием теоремы Пифагора и соотношений между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике не дает красивого решения, потому что искомые углы не являются «табличными». Тогда как использование приема дополнительных построений, который основан на следующей специальной эвристике: «Если в условии или требовании задачи имеется алгебраическая сумма двух или более отрезков, являющихся звеньями одной ломаной, то можно попытаться спрямить эту ломаную, повернув или переложив отрезки так, чтобы они оказались на одной прямой», позволяет выполнить требование задачи легко и эстетически привлекательно. Покажем его.
Задача 9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 2. Разность его катетов равна . Найдите углы треугольника.
Решение.
1. Катеты прямоугольного треугольника есть звенья одной ломаной. Переложим меньший катет АС на больший катет ВС, как показано на рисунке 2, - получим ДАСА1 и ААА1В.
2. ДАСА1 равнобедренный и прямоугольный сПСАА1 =ПСА1А = 45° сПиИА1В = = 135°.
A
3. В AAAjB АВ = 2, АВ = -Л,
V2 • sin135 _ 1 2 _ 2
ZAj _135°^sin ZA _-
с a
Рис. 2. К задаче 9
B
^ZAjAB _30°.
4. Из п. 2, 3 ZCAB _ 75° ^ ZB _ 15°.
4. Общие эвристики.
К общим эвристикам нередко причисляют [1; 8]:
• методы научного познания;
• включение в известную структуру (или, наоборот, исключение из структуры, устранение компонентов, изоляция);
• дополнительные преобразования, переструктурирование и перегруппировка;
• изменение уровня общности задачи;
• использование вспомогательного объекта,
• моделирование (создание изображений, схем) и др.
Для успешного использования общих эвристик необходимо в должной степени владеть всеми остальными видами эвристик. Как утверждает Т. С. Жукова, «применив базовые эвристики к некоторым известным утверждениям, можно получить ряд специальных эвристик, объединение которых составляет эвристический прием, который удовлетворяет закономерностям общих эвристик» [1, с. 60]. Для понимания и демонстрации этого можно использовать математические задачи и работу с ними. Это подтверждает, в частности, задача 10 (№ 3.8 [9]), которую также можно предложить учащимся базового уровня подготовки как задачу повышенного уровня сложности.
Задача 10. Решите уравнение 10х3 - Эх2 - 2х +1 _ 0.
Решение.
1. Решить уравнение - значит найти его корни или доказать, что их нет.
2. У этого уравнения нет целых корней, так как делители его свободного члена 1 и -1 при подстановке в уравнение не обращают его в верное числовое равенство.
3. Разделим обе части исходного уравнения на х3, так как х = 0 - не его корень
3 2 1
^ ю - 3 " 7"+Т" = 0'
1 3 2
4. Пусть- = t ^ t3 - 2t - 3t +10 = 0
х
5. Подбором находим корень t1 = -2 ^
^(г + 2)(г2 - 4t + 5) = 0 ^ г R.
6. Вернувшись к замене, находим
1
х1 = —.
1 2
При решении этой задачи были использованы базовые эвристики - переформулирование требования задачи (шаг 1) и выведение следствий (шаг 2), объединение которых привело к пониманию и применению специальных эвристик: «Если уравнение с целыми коэффициентами приведенное, то его рациональные корни только целые числа, которые находятся среди делителей его свободного члена», «Если свободный член уравнения равен -1 или 1, то уравнение преобразуется в приведенное с помощью замены» (шаг 3), способствовавшим, в свою очередь, применению эвристического приема - введения вспомогательной неизвестной (шаг 4). Вкупе же все указанные эвристики фактически обеспечили в решении применение таких общих эвристик, как переструктурирование и перегруппировка исходного объекта (неприведенного рационального уравнения 3-й степени, которое может иметь целые, дробные и иррациональные корни) и включение его в известную структуру (приведение его к виду приведенного рационального уравнения той же степени, которое имеет только целые или иррациональные корни).
Между тем общие эвристики, как отмечают многие авторы, это «метаспособы», с помощью которых устанавливаются общие методы, имеющие место при нахождении решения всякого рода проблем, независимо от их содержания [1]. Поэтому примене-
ние таких эвристик является метапредмет-ным результатом обучения, для достижения которого математические задачи действительно выступают эффективным средством, способствующим созданию хорошей базы, основы, что и было продемонстрировано нами на примере задачи 10.
Итак, подводя итог вышесказанному, можносделать следующие выводы.
1. Одним из основных методов, который позволяет учащимся проявить творческую активность в процессе обучения, является эвристический метод. Поэтому в обучении учащихся математике важное место должно занимать развитие у них творческого эвристического мышления. Учитель должен знакомить обучаемых с общими приемами поиска решения задач, прививать им навыки самостоятельного открытия новых закономерностей, развивать у них математическую интуицию и т. д.
2. Основным видом деятельности учащихся в обучении математике выступает решение задач. Значит, формирование и развитие у них эвристического мышления должно происходить в контексте осуществления этой деятельности. Поэтому анализ роли и места математических задач в обучении учащихся эвристикам является актуальным, что и выступает лейтмотивом нашего исследования.
3. Как показано выше, обучение учащихся разным видам эвристик фактически способствует работа на каждом этапе решения математической задачи.
Для формирования базовых эвристик при работе с задачей можно задавать учащимся соответствующие целенаправленные вопросы, предлагать им специальные задания, носящие четкий рекомендательный характер. А кроме того, можно параллельно предлагать обучаемым специальные задачи открытого типа, при решении которых учить школьников рассуждать, выводить следствия, выдвигать гипотезы и т. д.
При использовании специальных эвристик и эвристических приемов учащиеся
могут вести особую тетрадь, в которой прописываются эти эвристики и приемы, а также задачи, в ходе решения которых они были выделены или применены.
Ценность математических задач в обучении эвристикам заключается в том, что учащиеся через их решение самостоятельно добывают новые знания, учатся применять их в новых ситуациях, исходя из уже имеющегося опыта, формируют свою точку зрения, свою позицию, свое математическое видение окружающей действительности и миропонимания. Учитель лишь подводит их к правильному решению, ибо лучшее, что он может сделать для учащегося, - это путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею [3].
4. Вместе с тем для обучения учащихся эвристикам в целом нужна специальная методика, включающая в себя следующие взаимосвязанные виды деятельности [7]:
1) систематическое ознакомление учащихся с эвристиками через акцентирование на них внимания обучаемых посредством постановки специальных вопросов или заданий;
2) целенаправленное подведение учащихся к эвристикам в процессе решения задач;
3) самостоятельное «открытие» эвристик учащимися и их дальнейшее использование.
При этом математические задачи играют в реализации данной методики особо значимую роль, ибо все указанные виды деятельности достаточно легко можно осуществлять в контексте их решения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жукова Т. С. Теория и практика обучения эвристикам учащихся основной школы на уроках геометрии: дис. ... канд. пед. наук. Пенза, 2009. 17Р с.
2. Саранцев Г. И. Методика обучения математике: методология и теория. Казань: Центр инновационных технологий, 2012.
3. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1959. 208 с.
4. Математика. 6 класс / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков [и др.]. М.: Мнемозина, 2014. 288 с.
5. Геометрия 7-9: учебник для общеобразовательных организаций / Л. С. Ата-насян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. М.: Просвещение, 2018. 383 с.
6. Сарванова Ж. А. Совокупность задач для обучения учащихся основной школы применению метода площадей при решении геометрических задач // Учебный эксперимент в образовании. 2015. № 4 (76). С. 34-39.
7. Ульянова И. В. Технология использования задач в обучении математике. Саранск: Мордовский гос. пед. ун-т, 2019. 94 с.
8. Ильясов И. И. Система эвристических приемов решения задач. М.: Изд-во Российского открытого ун-та, 1992. 140 с.
9. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: в 2 ч. Ч. 2: Задачник для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович [и др.]. М.: Мнемози-на, 2009. 264 с.
REFERENCES
1. Zhukova T. S. Teoriya i praktika obu-cheniya evristikam uchashchikhsya os-novnoy shkoly na urokakh geometrii.
PhD dissertation (Pedagogy). Penza, 2009.
2. Sarantsev G. I. Metodika obucheniya matematike: metodologiya i teoriya. Kazan: Tsentr innovatsionnykh tekhnologiy, 2012.
3. Poya D. Kak reshat zadachu. Moscow: Uchpedgiz, 1959.
4. Vilenkin N. Ya. Zhokhov V I., Chesno-kov A. S. et al. Matematika. 6 klass. Moscow: Mnemozina, 2014.
5. Atanasyan L. S., Butuzov V. Ph., Kadomtsev S. B. et al. Geometriya 7-9 Moscow: Prosveshchenie, 2018.
6. Sarvanova Zh. A. Sovokupnost zadach dlya obucheniya uchashchikhsya os-novnoy shkoly prmeneniyu metoda plosh-
chadey pri reshenii geometricheskikh za-dach. Uchebnyy eksperiment v obrazova-nii. 2015, No. 4(76), pp. 34-39.
7. Ulyanova I. V Tekhnologiya ispolzovani-ya zadach v obuchenii matematike. Saransk: Mordovskiy gos. ped. in-t, 2019.
8. Ilyasov I. I. Sistema evristicheskikh priy-emov resheniya zadach. Moscow: Izd-vo Rossiyskogo otkrytogo un-ta, 1992.
9. Mordkovich A. G. [i dr.]. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 11 klass: in 2 part. Part 2: Zadachnik dlya uchashchikhsya obshcheobrazovat. uch-rezhdeniy (profilnyy uroven). Moscow: Mnemozina, 2009.
Ульянова Ирина Валентиновна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике ФГБОУ ВО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева»
e-mail: klyaksa13r@gmail.com
Ulyanova Irina V., PhD in Education, Associate Professor, Mathematics and Methods of teaching mathematics Department, Federal State Educational Institution of Higher Professional Education, M. E. Evsevyev Mordovian State Pedagogical Institute
e-mail: klyaksa13r@gmail.com
Статья поступила в редакцию 11.04.2019 The article was received on 11.04.2019
