CC BY
21НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ПОДГОТОВКИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
УДК 378.147:512
РОЛЬ И МЕСТО АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР
ПРИ ПОДГОТОВКЕ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Селякова Людмила Ивановна старший преподаватель Донецкий национальный университет, г. Донецк e-mail:ludmila. seljakova@gmail. com Selyakova Lyudmila senior lecturer Donetsk National University, Donetsk
В статье уточнены роль, место и содержание теории алгебраических структур в алгебраической подготовке будущих учителей математики в классическом университете. Статья дает детальный анализ учебных планов подготовки бакалавров математики и бакалавров педагогического образования различных высших учебных заведений Российской Федерации. Особенно отмечается наличие в учебных планах дисциплин, в которых изучается теория алгебраических структур. Предложено содержание нового специального курса для студентов классических университетов - будущих учителей математики.
Ключевые слова: алгебраическая структура, подготовка учителя математики, группа, кольцо, поле.
Постановка проблемы. Согласно определению, предложенному авторами трактата Н. Бурбаки [1], задание на множестве одного или нескольких законов композиции (внутренних или внешних) определяет в этом множестве алгебраическую структуру. Причем эти законы могут быть подчинены некоторым условиям или быть связаны друг с другом некоторыми отношениями. Под внутренним законом композиции при этом понимается сопоставление каждой упорядоченной паре элементов данного множества вполне определенного элемента этого же множества (т. е. на множестве задана бинарная алгебраическая операция). Если же один из элементов взят из данного, «основного», множества, а другой - из другого, «вспомогательного», множества, то внешний закон композиции сопоставляет каж-
дой такой паре элементов элемент из «основного» множества. В более широком понимании алгебраической структурой называют множество с заданным на нём набором операций и отношений, удовлетворяющим некоторой системе аксиом.
Очевидно, современный человек сталкивается с алгебраическими структурами, практически, с самого начала осознанной жизни, когда учится складывать натуральные числа. Знакомство с алгебраическими структурами в школе начинается с изучения чисел и операций на них. Сначала возникает множество натуральных чисел с заданной на нем операцией сложения и свойствами коммутативности (перемести-тельный закон) и ассоциативности (сочетательный закон). Ученик младшей школы знакомится с аддитивной коммутативной полугруппой натуральных чисел. По-
<5D
сле запоминания таблицы умножения и освоения умножения чисел «в столбик», учащийся фактически уже имеет дело с мультипликативным коммутативным моноидом натуральных чисел. Далее, необходимость обращения операций сложения и умножения влечет расширение множества натуральных чисел до множества целых чисел (возникает аддитивная группа и коммутативное кольцо с единицей), расширение множества целых чисел до множества рациональных чисел (возникает мультипликативная группа обратимых чисел и поле). На этом изучение чисел в школе не заканчивается, а продолжается изучением поля чисел действительных. Конечно, в основном, ученики средних школ изучают именно числовые алгебраические структуры. И чаще всего алгебраические операции и отношения встречаются именно на числовых множествах. Речь, конечно же, об операциях сложения и умножения чисел, об отношении линейного порядка. Однако при изучении геометрических векторов снова возникает алгебраическая операция - сложение. Изучаются свойства операции. Трудно не заметить, что для этой операции выполняется и ассоциативность; и коммутативность; и нулевой вектор не только называется похожим на «ноль» словом, но и выполняет те же функции нейтрального элемента; и противоположный вектор к каждому из векторов - существует. Возникает аддитивная коммутативная группа векторов. Введение операции умножения вектора на действительное число превращает аддитивную группу векторов в линейное пространство. При этом декартова прямоугольная система координат позволяет вместе с линейным пространством геометрических векторов на плоскости (или в пространстве) изучать изоморфное двумерное (или трехмерное) арифметическое линейное пространство.
Школьник постоянно имеет дело с коммутативными, ассоциативными операциями с нейтральным элементом. Но эта «похожесть» остается незамеченной. Коммутативность и ассоциативность воспринимается как данность и не замечается вовсе. Между нулем и единицей не заме-
чается ничего общего, вопросы обратимости чаще всего сводятся к примитивной фразе «на ноль делить нельзя», без всяких объяснений и аргументации. А сравнивать операции на разных множествах вообще не приходит в голову, ведь носители операций такие разные (числовое множество и множество векторов, например). Тот самый уровень абстракции, который уже давно достигнут человечеством и реализован в математике вообще, и в вопросах алгебры в частности, не достижим пока для большинства учащихся школ и многих студентов высших учебных заведений. Почему? Почему в сознании школьника математика предстает не цельной, стройной, поражающей красотой и изяществом, наукой, а остается каким-то разрозненным набором фактов и, не понятно зачем, приобретенных навыков? Ответственность за формирование знаний учащихся в большей мере лежит на учителях. От того, как подготовлен учитель математики, насколько единым целым видится ему огромное здание математики, зависит и математическое образование школьника. И тут уже трудно переоценить важность изучения алгебраических структур студентами математических направлений подготовки вообще, и будущими учителями математики, в частности. Без полноценного алгебраического образования невозможно подготовить высококвалифицированного математика и грамотного учителя математики.
Анализ учебных планов подготовки бакалавров. Чтобы понять, как решается задача алгебраической подготовки, нами рассмотрены учебные планы различных российских высших учебных заведений по разным направлениям подготовки («Математика» или «Педагогическое образование» с профилем подготовки «Математика») с разными сроками обучения (4 или 5 лет) [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. Мы проанализировали наличие в учебном плане дисциплин, связанных с алгебраической подготовкой студентов. Рассматривались дисциплины всех блоков, базовой и вариативной частей.
В найденных нами учебных планах по направлению «Математика» одна дисци-
плина «Алгебра» или две дисциплины «Алгебра» и «Линейная алгебра» относятся к базовой части профессионального блока и изучаются в общем объеме от 400 до 500 академических часов в 1, 2, 3 семестрах. Как правило, изучение теории алгебраических структур продолжается и при изучении курсов «Теория чисел» и/или «Дополнительные главы алгебры». Таким образом, можно говорить о том, что будущий математик получает полноценную алгебраическую подготовку. Так, например, в рабочей программе дисциплины «Алгебра» за 2015 год (для бакалавров по направлению 01.03.01 Математика ФГАОУВПО Балтийский федеральный университет им. Иммануила Канта) среди целей изучения дисциплины читаем: «Истинным объектом алгебраического исследования следует считать алгебраические операции над элементами множеств произвольной природы. Этому направлению посвящается важный раздел алгебры, именуемый теорией алгебраических структур. Изучение основных алгебраических структур позволяет абстрагироваться от свойств конкретных объектов и выявить общие закономерности, характерные для различных разделов алгебры. Курс алгебры предполагает изучение структур группы, кольца, тела, поля, а также их гомоморфизмов и изоморфизмов» [3].
Если обратимся к учебным планам с направлением подготовки «Педагогическое образование», профиль подготовки «Математика», то здесь проблема алгебраического образования будущих учителей математики решена иначе. Алгебраические курсы видим среди обязательных дисциплин вариативной части учебного плана («Алгебра» или «Алгебра и теория чисел» или «Алгебра и компьютерная алгебра»). При этом указанные курсы усиливаются такими дисциплинами, как «Числовые системы» и «Теория чисел». Они встречаются в учебном плане либо среди обязательных дисциплин вариативной части, либо среди дисциплин по выбору (реже). Кроме того, среди дисциплин по выбору всегда можно найти такие курсы, как «Избранные вопросы алгебры»,
«Дополнительные вопросы алгебры», «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» или «Избранные вопросы высшей алгебры». Эти дисциплины преподают, как правило, на 4 курсе (7 или 8 семестр) в общем объеме от 72 до 144 часов (соответственно, от 36 до 72 аудиторных часов). Специальный курс с названием «Алгебраические структуры» нам удалось найти только в учебном плане Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета за 2014 год (направление 050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика», квалификация «бакалавр», 5 лет обучения) [10]. Этот курс - среди дисциплин по выбору вариативной части профессионального цикла. Он предлагается студентам в 7 семестре в общем объеме 108 часов (44 - аудиторных). Следует отметить, что в каждом конкретном случае, в каждом конкретном ВУЗе, проблема преподавания алгебраических структур решается по-своему. Так, например, в Соликамском государственном педагогическом институте будущим учителям математики сначала читают дисциплину «Алгебра и компьютерная алгебра» в общем объеме 432 часов. Согласно рабочей программе этой дисциплины, ее изучение начинается с изучения алгебраических операций, групп, колец и полей, то есть с изучения важнейших алгебраических структур. Кроме этого, студенты изучают курс «Дополнительные главы алгебры» в общем объеме 72 часов. А уже в 10 семестре студентам предлагают «Обобщающий курс алгебры» среди дисциплин по выбору, который снова содержит теорию групп, колец и полей, в общем объеме 108 часов. Кроме этого, студенты, конечно же, изучают и «Числовые системы» в 6 семестре в объеме 144 часов [9].
Целью статьи является уточнение роли, места и содержания теории алгебраических структур в алгебраической подготовке будущих учителей математики в классическом университете.
Изложение основного материала. Современный этап развития образования предъявляет повышенные требования к профессиональной (особенно, предмет-
ной) подготовке учителя, вооруженного новейшими методиками и технологиями обучения, творчески мыслящего творца учебного процесса. Что касается воспитательного влияния математических дисциплин, то, как правило, речь идет о двух аспектах: во-первых, специфическая для математики логическая строгость и стройность выводов призваны воспитывать у учеников общую логическую культуру мышления, способность рационально мыслить и решать не только математические, но и жизненные задачи вообще; во-вторых, предметно-содержательное оснащение математических задач при надлежащем его выборе дает широкое пространство для сообщения данных, способных значительно расширить кругозор тех, кого учат, поднять их общий культурный уровень. Но, кроме этого, необходимо отметить еще ряд немаловажных моментов воспитательного влияния при обучении математическим дисциплинам вообще и при изучении алгебраических структур в частности; при формировании мыслителя, гражданина и будущего учителя.
1. На первых шагах школьного обучения существенные трудности для ученика вызывают процессы абстрагирования и обобщения. При последующем обучении, в высшей школе, все понятия определяются и рассматриваются сразу в настолько общем виде, что серьезные трудности вызывает процесс конкретизации. Понятно, что учитель математики должен владеть и умением обобщать, и умением конкретизировать. В связи с этим, несомненно, полезным было бы такое представление материала, когда каждое абстрактное понятие обязательно иллюстрируется конкретными и знакомыми объектами, и наоборот, свойства знакомых объектов обобщаются в новое определение. Все это и развивает у студентов умения абстрагироваться, обобщать. Эти умения как нельзя лучше прививаются при изучении алгебраических структур, само возникновение которых являет собой пример обобщения и демонстрирует необходимость к абстрагированию. А с другой стороны, примеры алгебраических структур находим в каждой математической дисциплине, что поз-
воляет постоянно иллюстрировать и конкретизировать эти понятия.
2. Все основные вопросы элементарной математики излагаются в школьном курсе неполно и находят свое завершение в разделах высшей математики, которая является естественным продолжением и обобщением элементарной. Поэтому каждая из математических дисциплин не должна излагаться изолировано от других. В сознании будущего учителя должно сформироваться стройное представление о единой науке математике, а не об отдельных ее разделах. И в этом смысле теория алгебраических структур как раз и является таким связующим звеном, той красной нитью, проходящей решительно через все математические дисциплины. Какую бы математическую дисциплину мы не изучали, все действия разворачиваются в какой-либо алгебраической структуре (линейное пространство, евклидово пространство, банахово пространство, гильбертово пространство, решетка, булева алгебра, группа, кольцо, поле).
3. При подготовке учителя на первый план выдвигается не только понимание логических истоков науки, ее истории, но и ее связи с практикой и применением. Одна из первых мотиваций изучения предмета - знание области его использования. Зарождение, возникновение и применение алгебраических структур можно найти в каждой математической дисциплине, то есть в предметной области будущего учителя математики.
4. Если речь идет о подготовке будущих учителей, то высшая математика должна давать не только общее математическое образование, но и отвечать на целиком определенные и конкретные вопросы школьного курса. Поэтому в числе основных идей любого курса высшей математики должна найти себе место идея его связи с элементарной математикой. И здесь уже трудно переоценить роль таких алгебраических структур, как группы, кольца и поля, которые фактически, обязаны своим появлением развитию понятия числа и арифметических операций и которые крайне необходимы при изучении теории чисел и числовых систем, имею-
щих прямое отношение к школьной математике.
В Донецком национальном университете согласно учебному плану до 20142015 учебного года включительно для изучения студентами-математиками алгебраических структур (групп, колец, полей) отводился целый семестр. В рамках годового курса «Алгебра и теория чисел» студенты второго года обучения в течение 3 семестра изучали теорию чисел, а в 4 семестре - теорию групп, колец и полей. К этому времени студенты уже познакомились во 2 семестре с такой важной алгебраической структурой, как линейные пространства, в курсе «Линейная алгебра». Таким образом, вопросы алгебры изучались в течение трех семестров: 1-го, 2-го и 4-го. Суммарное количество аудиторных часов, отведенное для изучения вопросов алгебры, - 206. А ведь многие преподаватели составляли рабочую программу так, чтобы группы, кольца и поля начинать читать не в четвертом, а еще в конце третьего семестра в рамках одной дисциплины «Алгебра и теория чисел». При переходе к новым учебным планам в 20152016 учебном году для обучения будущих учителей математики остался один годовой общий учебный курс «Алгебра», призванный заменить курс «Линейная алгебра» и алгебраическую часть курса «Алгебра и теория чисел». Количество аудиторных часов в новом курсе «Алгебра» - 188, что на 18 часов меньше, чем было раньше. В такой ситуации изучать алгебраические структуры в прежнем объеме уже не возможно. Остаются не изученными такие важные понятия алгебры, как циклические подгруппы (конечные и бесконечные), изоморфизм и гомоморфизм групп и колец, характеристика поля, прямые суммы и прямые произведения групп, расширения полей, строение простых расширений полей. А вместе с ними остаются открытыми такие важные вопросы алгебры, как описание групп с точностью до изоморфизма (раскрывает особое значение аддитивной группы целых чисел, мультипликативной группы корней из единицы и подгрупп симметрической группы); факторизация группы и возникающее разбие-
ние на классы эквивалентности; проблемы алгебраических и трансцендентных расширений полей и др. А ведь эти вопросы алгебры необходимы и для изучения многих дисциплин высшей математики, и для понимания многих фактов математики элементарной. Но проблема не только в сокращении часов, но и месте курса. Важнейшими примерами в теории алгебраических структур являются симметрическая группа подстановок и ее подгруппы, мультипликативная группа невырожденных матриц, циклическая группа корней из единицы, кольца многочленов и матриц над разными числовыми полями, кольцо целых чисел, кольцо классов вычетов по данному модулю, поле классов вычетов по простому модулю. Поэтому для полноценного изучения теории групп, колец и полей необходимо, чтобы студенты уже успели изучить алгебру подстановок, матриц, комплексных чисел, многочленов, теорию чисел. Это значит, что изучать полноценно теорию групп колец и полей студенты могут не ранее, чем в 4 семестре.
Мы считаем, что в рамках перехода к новым учебным планам задачу изучения важнейших алгебраических структур в классических университетах можно решить следующим образом.
1. По мере изучения основ алгебры в первом семестре при возникновении новых понятий стоит обсудить со студентами только определения и наиболее важные свойства групп, колец и полей. Для изучения темы «Определители» студенты предварительно изучают подстановки, операцию умножения на множестве подстановок п-ной степени. Здесь же уместно дать определение группы и доказать некоторые следствия из аксиом группы (например, единственность нейтрального элемента и единственность обратного к каждому элемента). Далее, во время изучения алгебры матриц разумно определить понятия кольца, коммутативного кольца, кольца с единицей, делителей нуля, доказать простейшие следствия из аксиом кольца. После, при изучении алгебры комплексных чисел необходимо определить понятие поля, рассмотреть примеры числовых полей, доказать отсутствие в
поле делителей нуля.
2. Во втором семестре в рамках дисциплины «Алгебра» читать студентам теорию таких важных алгебраических структур, как линейные и евклидовы пространства. С одной стороны, к этому времени у студентов уже будут необходимые для этого знания по алгебре матриц, алгебре многочленов, алгебре комплексных чисел, векторной алгебре, по числовым функциям одной переменной. С другой стороны, после изучения алгебры линейных пространств студенты будут готовы к изучению понятий (таких, как, например, банахово, гильбертово пространства) других математических дисциплин.
3. Мы согласны с авторами, которые считают, что полноценная научно-методическая подготовка будущего учителя математики может продолжаться и завершаться только в системе спецкурсов [2]. Поэтому предлагаем теорию групп, колец и полей читать студентам в рамках дисциплины вариативной части профессионального блока на 3 или 4 курсе. На наш взгляд, изучение алгебраических структур уместно объединить в одном курсе с изучением числовых систем. Мы считаем целесообразным следующее содержание такого специального курса.
1) Алгебраические операции и алгебры. Бинарные операции и их свойства.
2) Основные понятия теории групп.
3) Гомоморфизмы групп, факторгруппы.
4) Основная теорема теории конечных абелевых групп.
5) Определение, примеры и простейшие свойства колец и полей. Подкольца и идеалы.
6) Морфизмы колец, полей. Основные теоремы об изоморфизмах колец, полей.
7) Расширения полей. Числовые кольца и поля. Наименьшее числовое поле.
8) Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Принцип полной математической индукции. Сложение и умножение на множестве натуральных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве натуральных чисел и его свойства.
9) Алгебраическая мотивировка расширения множества натуральных чисел. Принцип минимального расширения. Определение, существование и единственность кольца целых чисел. Действия на множестве целых чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве целых чисел и его свойства.
10)Алгебраическая мотивировка расширения кольца целых чисел. Определение, существование и единственность поля рациональных чисел. Свойства поля рациональных чисел. Действия на множестве рациональных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве рациональных чисел и его свойства.
11)Алгебраическая мотивировка расширения поля рациональных чисел. Фундаментальные последовательности и их свойства. Метод Кантора построения поля действительных чисел. Сечения Дедекин-да. Свойства сечений. Метод Дедекинда построения поля действительных чисел. Свойства поля действительных чисел. Действия на множестве действительных чисел их свойства. Отношение порядка на множестве действительных чисел и его свойства.
12)Алгебраическая мотивировка расширения поля действительных чисел. Определение, существование и единственность поля комплексных чисел.
Выводы. Образование определяет не только интеллектуальные и профессиональные возможности человека, образование участвует в формировании личности и в определенном смысле влияет на судьбу человека. Именно поэтому любые изменения в сфере образования должны быть тщательно продуманными и взвешенными. Сейчас, при переходе на новые учебные планы, мы должны, руководствуясь многолетним опытом и традициями математического образования, ответственно и не формально отнестись к работе по составлению новых рабочих программ, очень бережно отнестись к формированию содержания дисциплин. Особенно груз ответственности в такой работе чувствуется еще и потому, что речь идет о подготовке в классическом университете будущих учителей математики, ошибки кото-
рых могут дорого обходиться новым поколениям. Роль, место и содержание алгебраических курсов в подготовке будущих учителей математики требуют уточнения и переоценивания на фоне происходящих изменений в учебных планах. Это важно и для формирования грамотного математика, и для подготовки квалифицированного учителя математики.
1. Бурбаки Н. Элементы математики. Кн. 1: Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра / Н. Бурбаки; пер. с фр. Д.А. Райкова. -М.: ГИФМЛ, 1962. - 516 с
2. Тутова О.В. Научно-методическая подготовка будущего учителя математики к использованию ИКТ / О.В. Тутова // Дидактика математики: проблеми i дослгдження. - 2005. - Вип. 24. - С. 87-92.
3. kantiana.ru [Электронный ресурс]: Основная образовательная программа высшего образования 01.03.01. МАТЕМАТИКА. - Электрон. дан. -Калининград, 2015. - Реж. доступа: https://www.kantiana.ru/entrant/programms/b/01.03.01. doc (дата обращения: 09.11.2015)
4. mmft.psu.ru [Электронный ресурс]: Учебный план подготовки бакалавров. - Электрон. дан. -Пермь, 2013. - Реж. доступа: http://mmft.psu.ru/plans/010800_62_mmm.pdf (дата обращения: 10.11.2015)
5. altspu.ru [Электронный ресурс]: Основная образовательная программа высшего образования 050201.65 Математика. - Электрон. дан. - Воронеж, 2013. - Реж. доступа: http://www. altspu. ru/uploads/gos/050201.65-MI. pdf (Дата обращения: 09.11.2015)
6. mmcs.sfedu.ru [Электронный ресурс]: Рабочий учебный план 01.01.01. МАТЕМАТИКА. - Электрон. дан. - Ростов-на-Дону, 2009 - Реж. доступа: http://www. mmcs. sfedu. ru/_old/docmanupload/doc_dow
nload/138---010101—q-q (дата обращения:
08.11.2015)
7. vggu.ru [Электронный ресурс]: Рабочий учебный план подготовки бакалавров 01.01.01. МАТЕМАТИКА. - Электрон. дан. - Вятка, 2012. - Реж. доступа:
http://vggu.ru/sites/default/files/public/05010004 62_ped .obr_._mi.xls (дата обращения 14.11.2015)
8. hse.ru [Электронныйресурс]: Учебный план подготовки бакалавров. - Электрон. дан. - Москва, 2015. - Реж. доступа: https://www.hse.ru/ba/math/learn_р1ат/ (дата обращения 14.11.2015)
9. fgosvo.ru [Электронный ресурс]: Основная образовательная программа. - Электрон. дан. -Соликамск, 2011. - Реж. доступа: http://fgosvo.ru/uploadflles/pv/1/5/20120723161324.pdf (дата обращения 11.11.2015)
10. pspu.ru [Электронный ресурс]: Рабочий учебный план подготовки бакалавров 05.01.00. Педагогическое образование. - Электрон. дан. - Пермь, 2014. - Реж. доступа: http://pspu. ru/upload/pages/24397/nagruzka 01 050100 _62-121.plm.xml.xls (дата обращения 14.11.2015)
11. ospu.ru [Электронный ресурс]: Рабочий учебный план подготовки бакалавров 05.01.00. Педагогическое образование. - Электрон. дан. - Оренбург, 2012. - Реж. доступа: http://www. ospu. ru/userflles/uflles/OOP/uchebnyy_plan_ m.xls (дата обращения 11.11.2015)
Abstract. Selyakova L. Algebraic structure role and place into future mathematics teacher training. As the title implies the article describes the role, place and content of the theory of algebraic structures in algebraic training of future mathematic teachers in the classical university. The article is devoted to the need to study algebraic structures for students mathematical training areas in general, and the future teachers of mathematics in particular. The importance of the full algebraic education in the preparation of a highly competent mathematician and mathematics teacher is stressed. Much attention is given to a detailed analysis of the curricula of the some higher education institutions of the Russian Federation for the bachelor of mathematics undergraduate teacher education. It is spoken in detail about the curricula of various Russian institutions of higher education in different areas of training («Mathematics» or «Teacher education» with a profile of preparation «Mathematics») with different terms of training (4 or 5 years). The article gives analysis of the presence of the curriculum disciplines related to algebraic preparation of students. Much attention is given to the disciplines of all blocks, base and variable parts. It should be emphasized that noted the presence in the curricula of disciplines in which students study the theory of algebraic structures. The solution of the major task of studying algebraic structures in classical universities is proposed as part of the transition to the new curriculum. Recommendations are given for content of the new special course for students of classical university - the future teachers of mathematics.
Key words: algebraic structure, mathematics teacher training, group, ring, field.
©
