CC BY
110
УДК 372.851
Болотюк Владимир Анатольевич
ФГБОУ ВПО «Омский государственный университет путей сообщения»
Россия, Омск Кандидат педагогических наук, доцент E-Mail: rombva@mail.ru
Болотюк Людмила Анатольевна
ФГБОУ ВПО «Омский государственный университет путей сообщения»
Россия, Омск Кандидат педагогических наук, доцент E-Mail: 4liudmila@gmail.com
Роль генераторов и решателей задач в преподавании высшей математики
Аннотация: Высшая математика является базовой дисциплиной в техническом университете и играет большую роль в учебном процессе. Основным средством обучения высшей математике являются упражнения и задачи. Контроль знаний и умений студентов является одним из важных элементов учебного процесса. Классической формой контроля для технических университетов являются типовые расчеты, составление и периодическое обновление которых является трудоёмким процессом. Поэтому актуальной является разработка специальных инструментов, предназначенных для оптимизации процесса составления типовых расчётов. В этой статье проводится обзор программ, которые позволяют: 1) получить ответ или развёрнутое решение для задач определённого типа; 2) составить набор неповторяющихся задач определённого типа с готовыми ответами или решениями в необходимом количестве вариантов. Основными инструментами для разработки таких программ являются: 1) системы компьютерной математики (Mathcad, Mathematica, Xcas), поддерживающие программирование; 2) Excel с Visual Basic for applications пакета Microsoft Office; 3) современные программируемые калькуляторы со встроенной системой компьютерной математики. В качестве примеров таких программ описываются программы, разработанные авторами статьи в Excel. Основываясь на личном успешном опыте применения генераторов и решателей задач в учебном процессе, при написании учебных пособий и типовых расчётов авторы приходят к выводу, что применение генераторов и решателей задач позволяет существенно оптимизировать процесс разработки типовых расчётов, а также решать другие важные задачи, встающие перед преподавателем высшей математики.
Ключевые слова: Высшая математика; генератор задач; решатель задач; типовой расчет; задача; системы компьютерной математики; система задач; практикум; программа; линейная алгебра; дифференциальные уравнения; оптимизация; технический университет.
Идентификационный номер статьи в журнале 144PVN613
Vladimir Bolotyuk
Omsk State Transport University Omsk, Russia E-Mail: rombva@mail.ru
Liudmila Bolotyuk
Omsk State Transport University Omsk, Russia E-Mail: 4liudmila@gmail.com
The role of generators and solvers of problems in higher mathematics teaching
Abstract: Higher mathematics in the foundation discipline in a technical university and plays a significant role in the teaching process. The basic means of higher mathematics teaching are exercises and problems. Controlling of students’ knowledge and skills is one of the important elements of academic process. The classical form of controlling in technical universities is standard calculations workbooks. Their compiling and periodic renewal is a labour-intensive process. Hence, it is an acute task to work out special tools aiming at optimizing the process of standard calculations workbooks elaboration. This article is about the review of programs that permit: 1) to obtain the answer of detailed solution for problems of a certain type; 2) to elaborate a set of non-repeated problems of a certain type with ready answers or solutions in a required quantity of variants. The basic tools for working out such programs are: 1) computer algebra systems (Mathcad, Mathematica, Xcas), permitting programming; 2) Excel with Visual Basic for Applications of the package Microsoft Office; 3) modern programming calculators with a built-in computer algebra system. As an example of such programs the authors of this article describe the program worked out in Excel. Having their successful personal experience in applying generators and solvers of problems in academic process, in writing academic practical guides and standard calculations workbooks the authors come to the conclusion that application of generators and solvers of problems permit to considerably optimize the process of working out standard calculations workbooks and to solve other important tasks facing the teachers of higher mathematics.
Keywords: Higher mathematics; generator of a problem; solver of a problem; standard calculation workbook; a problem; computer algebra systems; the system of problems; practical workbook; a program; linear algebra; differential equation; optimization; technical university
Identification number of article 144PVN613
Основным средством обучения высшей математике являются задачи [9]. В технических университетах, в частности в Омском государственном университете путей сообщения (ОмГУПСе), классической формой обучения и контроля являются типовые расчёты - десятки вариантов наборов однотипных задач, дифференцированные в группы по содержанию разделов или подразделов изучаемого курса высшей математики, по методам решения основных типов задач, по подтипам основных видов задач, по сложности решения задач соответствующих подразделов, по уровню владения материалом (базовый, стандартный, продвинутый, творческий) и т.п. [6, 7, 9]
Система задач, представленная типовым расчётом по некоторому разделу курса высшей математики, весьма полно охватывает не только соответствующее содержание курса, но и такую важную сторону обучения математике как формирование представлений о методах решения задач и умений решать задачи основных типов. Периодическое обновление задач типовых расчётов и применение в них задач разной сложности позволяет избежать такого формального или шаблонного подхода к обучению математике как «натаскивание» на решение задач без понимания сути процесса.
Необходимость составления задач типовых расчётов и их регулярного обновления и дополнения требует от преподавателей высшей математики весьма интенсивных и затратных по времени усилий, т.к. нужно не только придумать несколько десятков вариантов задач, но и прорешать их, проверить, получается ли в результате решения «хороший» ответ, нет ли повторов с ранее составленными задачами и т.п. Обычно выполнение такого типа и объёма работ за ограниченное время просто физически не возможно, даже если 24 часа в сутки выполнять только эту работу. Поэтому весьма актуальным является применение специальных средств по оптимизации подобной работы преподавателей, т.е. оптимизация процесса составления и прорешивания вариантов задач типового расчёта.
Оптимизацию составления и прорешивания задач можно реализовать с помощью компьютера и специальных программ, приобретённых в магазинах программного обеспечения или разработанных самостоятельно. Процесс оптимизации целесообразнее начинать с разработки решателей задач, т.к. некоторые генераторы задач для подбора задач по ряду критериев должны будут использовать решатели задач.
Применение систем компьютерной математики (СКМ) позволяет заметно упростить процесс прорешивания задач - ответ получается почти мгновенно. Однако в использовании этого эффективного и мощного средства кроется один существенный недостаток, а именно: большинство СКМ выдаёт только окончательный ответ без решения. Оптимальным вариантом преодоления этого недостатка является разработка программ, использующих функции СКМ, которые позволяют получать развёрнутое решение определённых типов задач. Имеется в виду разработка решателей задач именно конкретных типов, а не любых, т.к. разработка подобной универсальной программы аналогична созданию искусственного интеллекта. Из платных СКМ подобными возможностями обладают Mathcad и Mathematica, а из бесплатных можно, в частности, попробовать применять Xcas [2, 4].
Если применение СКМ по некоторым причинам затруднительно, то можно использовать какие-либо средства для разработки программ-решателей без СКМ. В частности, можно разрабатывать такие программы в Excel на Visual Basic for applications (VBA) [5, 10]. Авторами данной статьи предпринимаются небезуспешные попытки
разработки таких программ на VBA, а также на некоторых современных программируемых калькуляторах с встроенной СКМ [1, 3]. Разработаны программы для решения основных типов задач по линейной алгебре и аналитической геометрии, рядам, комплексным числам, обыкновенным дифференциальным уравнениям, теории вероятностей и математической статистике. Некоторые версии программ-решателей пока могут лишь выдавать
окончательный и промежуточные результаты вычислений, другие в результате своей работы выдают развёрнутое решение.
Разумеется, в Excel в ряде случаев можно обойтись и без VBA. Например, авторами данной статьи разработана программа-решатель, которая для матрицы не более чем 10 порядка, введённой в соответствующее место программы, позволяет: 1) вычислить
определитель; 2) вычислить алгебраические дополнения; 3) вычислить обратную матрицу; 4) выполнить преобразование строк по Гауссу; 5) выполнить преобразование строк по Жордану-Гауссу. Для последних двух опций предусмотрены возможности: перестановки строк и столбцов местами; отображения элементов результата преобразования в виде десятичной или обыкновенной (неправильной или смешанной) дроби; отображения промежуточных или конечного результата преобразований.
Генераторы задач - программы, которые позволяют составить набор неповторяющихся задач определённого типа с готовыми ответами или решениями. Для ряда разделов курса высшей математики разработка таких генераторов не представляет особых сложностей, т.к. решение основных типов задач является почти линейным, т.е. почти не содержит ветвлений разбора подслучаев (если же такое ветвление имеется, то его можно устранить разработкой специального генератора задач на каждый отдельный подслучай). Примером такого генератора может служить генератор систем линейных алгебраических уравнений, который выдаёт неопределённые системы с решением, содержащим только одну свободную неизвестную. Для более сложных задач других разделов курса высшей математики можно поступать аналогичным образом, расчленять сложные задачи на подзадачи и разрабатывать решатели для таких элементарных подзадач. В случае необходимости получения более универсального решателя в рамках одного подраздела или темы курса можно объединить простейшие решатели в один, который идентифицирует по введённым данным имеющийся частный случай и вызывает соответствующий ему решатель.
Например, генератор линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида использует для своей работы генераторы характеристических уравнений трёх видов: первый генерирует квадратные уравнения с целыми и различными корнями; второй квадратное уравнение с кратным корнем; третий с комплексными корнями. Этот генератор был использован авторами статьи при разработке учебного пособия «Практикум и индивидуальные задания по дифференциальным уравнениям (типовые расчеты)». Кстати, этот генератор один из тех, которые не используют в своей работе решателей задач в явном виде, т.е. для генерации окончательного и промежуточных ответов используются результаты предварительно выполненного в СКМ решения обыкновенного дифференциального уравнения в общем виде с буквенными коэффициентами. Не имея СКМ можно один раз решить определённый тип задач в общем виде карандашом на бумаге, чтобы затем использовать этот символьный (аналитический) результат в генераторе или решателе этого типа задач.
Очевидно, что генераторы задач могут использовать в своей работе решатели задач. Например, для ряда задач полный перебор вариантов даже на компьютере требует много времени, поэтому, в таких задачах вместо перебора удобнее использовать генератор случайных чисел. В этом случае генератор задач в среднем работает быстрее генератора с полным перебором вариантов. Одна итерация в работе генератора задач может выглядеть так: 1) условие задачи (коэффициенты) генерируется с помощью случайных чисел; 2) решатель, встроенный в генератор задач, проверяет корректность введённых данных и решает задачу; 3) затем результат решения проверяется на соответствие одному или нескольким критериям (например, он должен быть целым); 4) если таких удачно сгенерированных коэффициентов
ранее не было получено, то они запоминаются; 5) процесс повторяется, пока не будет получено необходимое количество вариантов задачи.
Примером генератора задач, использующего случайные числа, может служить генератор систем трёх линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, разработанный авторами данной статьи в Excel на VBA. Генератор позволяет составлять системы трёх видов: 1) в процессе решения получается
характеристическое уравнение с целыми и различными корнями; 2) в процессе решения получается характеристическое уравнение с целыми корнями и корнем кратности 2; З) в процессе решения получается характеристическое уравнение с целым и комплексными корнями с целой действительной и мнимой частью. Перед запуском генератора можно не только изменить диапазон величин генерируемых коэффициентов, но и задать значения некоторых коэффициентов.
Следующим примером простейшего генератора задач на случайных числах является генератор определителей, который подбирает целые элементы матрицы 2, З или 4 порядка из указанного диапазона так, чтобы получился определитель с указанным значением.
Другим примером генератора задач на случайных числах является генератор систем линейных алгебраических уравнений, который по введённой матрице с корнями системы позволяет восстановить саму систему. После каждого повторного запуска получается новая система, имеющая указанное решение. Подобным образом можно составлять определённые, неопределённые и несовместные системы линейных алгебраических уравнений с любым (в разумных пределах) количеством неизвестных.
В качестве примера решателя задач можно привести Excel-программу на VBA, которая решает систему линейных алгебраических уравнений любой размерности (в разумных пределах) методом Гаусса или Жордана-Гаусса. Это решатель позволяет получить окончательный результат или же всю цепочку с элементарными преобразованиями с комментариями о выполняемых над строками действиях.
Довольно объёмные вычисления возникают при решении задач по теории вероятностей и математической статистике. Для облегчения подготовки к занятиям и проверки задач по указанному разделу авторами данной статьи разработана программа с решателями и генераторами некоторых задач (без VBA). Книга Excel содержит следующие листы: 1) Комбинаторика; 2) Формула Байеса; З) Формула Муавра-Лапласа; 4) Дискретная случайная величина-1; 5) Дискретная случайная величина-2; 6) Генератор «Выборка 1ОО»; 7) Расчёт «Выборка 1ОО»; 8) Расчёт статистического ряда; 9) Расчёт «Выборка 1О ООО»; 1О) Перерасчёт «Выборка 1О ООО»; 11) Выборка 1О ООО; 12) Генератор корреляционных таблиц 5 на 5; 1З) Расчёт корреляционных таблиц 5 на 5; 14) Расчёт корреляционных таблиц 2О на 2О. Калькулятор или статистические таблицы для работы с программой не требуются. На первом листе можно вычислить количество перестановок, размещений и сочетаний с повторениями и без повторений. На втором листе можно вычислить полную вероятность в схеме Байеса и пересчитать вероятности гипотез, а также вычислить вероятность наступления нескольких независимых событий с различными вероятностями реализации. На третьем листе можно вычислить вероятности наступления событий k раз или от k1 до k2 раз по формуле Бернулли или локальной и интегральной формулам Муавра-Лапласа. На четвёртом листе можно рассчитать основные числовые характеристики дискретной случайной величины (ДСВ), имеющей не более 1ОО значений. На пятом листе можно сгенерировать биномиальный или геометрический закон распределения дискретной случайной величины. На шестом листе можно сгенерировать выборку из 1ОО элементов, количественный признак в которой распределён по равномерному, нормальному или показательному закону. Кроме самой выборки рассчитываются все основные характеристики, и проверяется гипотеза о
соответствующем законе распределения количественного признака с помощью критерия Пирсона. На седьмом листе то же, что и на шестом, но выборка вводится пользователем программы. На восьмом листе то же, что и на седьмом, но вводится для обработки статистический ряд. На девятом листе можно получить то же, что и на седьмом листе, но для выборки из не более чем десяти тысяч элементов. Сама выборка вводится на отдельном одиннадцатом листе. На двенадцатом листе можно сгенерировать корреляционную таблицу 5 на 5. На этом же листе приводятся промежуточные и основные результаты расчётов. Проверяется гипотеза о значимости отличия коэффициента корреляции от нуля. На тринадцатом листе расчёты и проверка гипотезы проводятся для корреляционной таблицы 5 на 5, введённой пользователем программы. На четырнадцатом листе можно обработать корреляционную таблицу с размерами не более чем 2О на 2О.
Даже эти немногочисленные примеры генераторов и решателей задач позволяют понять, с каким объёмом работы столкнулся бы преподаватель при их отсутствии. Авторами регулярно разрабатываются новые генераторы и решатели задач, которые наряду со старыми программами оказывают ему и его коллегам существенную помощь в подготовке материалов к занятиям по высшей математике, подготовке к публикации типовых расчётов, методических указаний и учебных пособий, в проверке самостоятельных и контрольных работ промежуточной аттестации, в проверке работ студентов заочного факультета [6, 7, 8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Rising, Gerald R. Inside your calculator: from simple programs to significant insights. Buffalo, New York. Wiley-Interscience. 2007. 288 p.
2. Gurskij, D.A., Turbina, E.S. Vychislenija v Mathcad 12. SPb.: Piter, 2006. 544 s.
3. Дьяконов В.П. Современные зарубежные микрокалькуляторы. М.: Солон-Р, 2ОО2. 4ОО с.
4. Дьяконов, В.П. Математика 4: учебный курс. СПб.: Питер, 2ОО1. 656 с.
5. Леоненков, А.В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel. СПб.: БХВ-Петербург, 2ОО5. 7О4 с.
6. Практикум и индивидуальные задания по векторной алгебре и аналитической геометрии (типовые расчёты). Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2О1З. 288 с.
7. Практикум и индивидуальные задания по интегральному исчислению функции одной переменной (типовые расчёты): Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2О12. ЗЗ6 с.
8. Практикум и индивидуальные задания по курсу теории вероятностей (типовые расчёты): Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2О1О. 288 с.
9. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 24О с.
10. Эйткен, Питер. Интенсивный курс программирования в Excel за выходные.: пер. с англ. М.:Издательский дом «Вильямс», 2ОО4. 4З2 с.
Рецензент: Фисенко Татьяна Петровна, доцент, кандидат педагогических наук, кафедра математического анализа, алгебры и геометрии Омского государственного педагогического университета, электронная почта ktp2005@yandex.ru
REFERENCES
1. Rising, Gerald R. Inside your calculator: from simple programs to significant insights. Buffalo, New York. Wiley-Interscience. 2007. 288 p.
2. Gurskij, D.A., Turbina, E.S. Vychislenija v Mathcad 12. SPb.: Piter, 2006. 544 s.
3. D'jakonov V.P. Sovremennye zarubezhnye mikrokal'kuljatory. M.: Solon-R, 2002. 400 s.
4. D'jakonov, V.P. Mathematica 4: uchebnyj kurs. SPb.: Piter, 2001. 656 s.
5. Leonenkov, A.V. Reshenie zadach optimizacii v srede MS Excel. SPb.: BHV-
Peterburg, 2005. 704 s.
6. Praktikum i individual'nye zadanija po vektornoj algebre i analiticheskoj geometrii (tipovye raschjoty). Uchebnoe posobie. SPb.: Izdatel'stvo «Lan'», 2013. 288 s.
7. Praktikum i individual'nye zadanija po integral'nomu ischisleniju funkcii odnoj peremennoj (tipovye raschjoty): Uchebnoe posobie. SPb.: Izdatel'stvo «Lan'», 2012. 336 s.
8. Praktikum i individual'nye zadanija po kursu teorii verojatnostej (tipovye raschjoty): Uchebnoe posobie. SPb.: Izdatel'stvo «Lan'», 2010. 288 s.
9. Sarancev, G.I. Uprazhnenija v obuchenii matematike. M.: Prosveshhenie, 1995. 240 s.
10. Jejtken, Piter. Intensivnyj kurs programmirovanija v Excel za vyhodnye.: per. s angl.
M.:Izdatel'skij dom «Vil'jams», 2004. 432 s.
