Робастные следящие нестационарные системы с фильтром в контуре управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. С. Ломакина, В.И. Смагин

РОБАСТНЫЕ СЛЕДЯЩИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ С ФИЛЬТРОМ В КОНТУРЕ УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается алгоритм синтеза робастной следящей системы для нестационарного объекта со случайными скачкообразными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний. Предполагается, что доступны косвенные наблюдения за вектором состояния. Структура следящей системы управления содержит робастный фильтр.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Методы и алгоритмы синтеза систем управления объектами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами изучались в [1 - 5], в которых осуществлялся синтез регуляторов для решения задачи стабилизации либо задачи слежения. В настоящей работе методы и алгоритмы синтеза робастных следящих систем по вектору наблюдаемого выхода, предложенные в работе [5], для объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами развиваются на нестационарные системы, содержащие в контуре управления робастный фильтр.

МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ

Поведение непрерывного объекта со случайными скачкообразными параметрами описывается следующими уравнениями:

Х^) = A(у)х(0 + B(уМО + q(у, t), *(0) = *о , (1)

где х(^ е Я" - вектор состояния; и^) е Я1 - вектор управления; q(у, t) е Я" - вектор белых гауссовских шумов с характеристиками

М^)} = 0 , М^^Т (т)} = Q5(t - т), (2)

у(0 - цепь Маркова с дискретным множеством состояний у1, у 2,..., у(вероятность перехода из /'-го состояния в у-е (/ Ф у) за время At равна Х-Дt + о^); А(у), В(у) - матрицы порядка п х п, п х I соответственно ( М - оператор математического ожидания, индекс <Т> - обозначает транспонирование, 5^ -т) -

дельта функция Дирака, Q = 0Т > 0 - неотрицательно определенная матрица). Процесс у^) задается уравнением

ёY(t) = |уО.(Ж, ёу), у(0) = у0 , (3)

где у0 - начальное состояние переменной у^), пуас-соновская случайная мера 0.(&, А) характеризуется функцией

"

пt,Y(ёу) = ХХу5(у + У/ -уу)ёу , при у = У/. (4)

У=1

]Ф/

Предполагается, что наблюдаемый вектор выхода измерителя у е Я1 определяется соотношением

у^) = £ (у, t) х^) + v( у, t), (5)

где £(у, t) - матрица канала наблюдений полного

ранга, v( у, t) - белый гауссовский шум с характери-

стиками

ЫМ у, t)} = 0, ММ у, ^Т (у, т)} = 0,

ММу,t)vТ (у,т)} = V(у,^5^-т). (6)

Структуру робастного управления зададим в виде и(0 = КяХ(1:) + ю( у), (7)

где Х^) определяется с помощью робастного фильтра.

Х^) = А (у) Х^) + В(у)и^) + Кр (у^) - £ (у) Х^)),

Х(0) = Х0. (8)

Здесь у^) е Я1 - марковская цепь с числом состояний г2 (вероятность перехода из /-го состояния в у-е (/ ф у ) за время Дt равна Х- Дt + о(Д!). Процесс у^)

можно интерпретировать как оценку скачкообразной составляющей у^), в силу ошибок диагностики в некоторые моменты времени у^) и у^) не совпадают. Отметим, что значение у^) может быть вычислено с помощью алгоритмов, приведенных в [6]. В (8) коэффициенты передачи фильтра КР определяются по методу, приведенному в [7], и не зависят от скачкообразной составляющей.

Необходимо найти матрицу коэффициентов передачи КЯ и векторы ю(у) для управления (7) такие, чтобы критерий

т/

J [0, тг ] = 1м{ } (5(т) - г (т))Т С (у )(5(т) - г(т)) +

0

+и Т (т) Б(у)и (т))ё т} (9)

был минимальным. Для этого преобразуем систему (1), (7) - (8), в которую подставим (5) и (7). В результате получим

ХЦ) = А(у)Х^) + В(у)(КяШ(t) + ю(у)) + q(Y,t); (10)

т (t) = А(у)т^) + В(у)(КЯт^) + ю( у)) +

+ Кр£(у)х(t) + Кру(у,t), А(Х) = (А(Х) -Кр£(у)), (11) где т^) = Х^). Вычтем из уравнения (11) уравнение (10) и, учитывая, что уравнение ошибки имеет вид е^) = т({) - x(t), получим

ё($) = А(Х)m(t) + (В(Х) - В(у))(КЯт(Г) +

+ю(у)) + Кр£ (у) Х^) + Кру(у, t) - А(у) Х^) - q(y, t). (12)

Добавляя и вычитая из уравнения (12) выражение А(у)x(t), получим уравнение для ошибки вида

ё(Г) = А(у)е« + (В(Х) - В( у))( КЯт(Г) +

+ю( у)) + (А(у) - А(у)) Х^) + Кру(у, t) - q(Y, t). (13)

Рассмотрим систему (13), (10), (11):

(е > "а (у) А(у) - А (у) (В(у) - В (у)) Кй >

= 0 А (у) В(У) Кй х

1т У 1 0 КрБ (у) А(у) + В(у)Кй у

е "КрУ (у, ї)- ц( у, ї) + (В( у) - В (у ))ю (-у +

Ч( У, ї)

КРУ ^ї)

Г е ^

X +

1т ^

(14)

Алгоритм определения такой матрицы Кр приведен в работе [7]. Для того чтобы выбрать матрицу КЯ, введем в рассмотрение следующую систему:

(х\ ( А(у) 0 V

т

КРБ (у) А (у) Д т

+(В(у))г7 + Г 4(1,ї) , І В(У^ I кру (Y, ї +

(15)

Введя обозначения вида

I X

имеем:

X = (), Г = БХ, Б = (0: Е+

й = КЯГ + ю(у) = КкБХ + ю(у) =

= (0 К* ) + ю(у) = К*т + Ю(^)-

(16)

Уравнение (15) перепишется в следующем виде:

X = (Д (у) + Д2(у))X + (Д (у) + Б2(у))и + *(у), (17)

где

А(7, У) [ КрБ'(у) 0 ) + ( 0 А(у)

А(у)

(

= Д( У) + -42(у)

'?(У) =

<?(У, ї)

у к^( у, /); ■

Переформулируем синтез робастной следящей системы следующим образом.

Обозначим вектор управляемого выхода объекта: §(/) = ЛХ(?), где Я = (Я : 0) (§(/) е Я"1). Для объекта

(17) необходимо найти управление й(/) ( е [0, Ту ]), при котором выход объекта §(/) был бы близок к отслеживаемому сигналу ) е Я"1 . Зададим меру близости в виде модифицированного квадратичного интегрального критерия

1 Т{ '* Гі

^ [ї, Т/ ] = 2 М{ | £ р (т)£ ру (т)[(§(т) - ¿(т))1 С (у)

0 і=1

г2

£

у=1

х(§(т) - г(т)) + г?т (т)£(у)й (т)] ё т + £ р (Ту-) х

г=1

Ру (Ту )(^(Т/) - г(Тг ))т Е(у)(|(Т/) - г(Т/))/

у=1

/ У (ї) = У і, у(ї) = У у}.

Модификация заключается в том, что критерий (9) усредняется по вероятностям состояний скачкообразных переменных у и у. Вектор вероятностей

р(?) = (р1 (?), р2 (?),..., р (?))т удовлетворяет прямому

уравнению Колмогорова

= Лт р(Г), р(0) = р, / е [0, Ту. ]. (19)

В (19) Л - матрица интенсивностей переходов с элементами Хн

и

(Ч- = -! Ч-^

1=1

- ^г

р - вектор начальных вероятностей. Вектор вероятностей р(?) = (р^), р2(?),...,рГ2(/))т для цепи у(/) удовлетворяет уравнению Колмогорова вида (19) с матрицей интенсивностей переходов Л , в общем случае отличающейся от матрицы Л .

Задача состоит в выборе такого управления й(/), при котором достигается минимум критерия (18). Процессы у(/) и у(/) принимают конечное число

значений, поэтому удобно ввести следующие обозначения:

Д (уг) = .д. , Д (у 1) = А1 , Б (уг) = Д, ^2 (У 1) = Б,

С(уг ) = С,■ , ^Уг ) = Д , £(уг ) = К, , 0(Уг ) = 0 ,

£ (Уг) = £ (г = ____); С (у 1) = С;, Д(у -) = Д,

К (у 1) = Е}, £ (у 1) = £■ (] = !___).

СИНТЕЗ РОБАСТНОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

Алгоритм синтеза робастной следящей системы для нестационарного объекта может быть представлен в виде следующей теоремы:

Теорема. Матрица оптимальных коэффициентов передачи КЯ и вектор ю у =ю(уу) имеют вид

С/Кя (/) = -[£ рг % р 1 (Дг ® Г,1 - Д ® Гг;. )]-1 X

2=1 У=1

л

хсї[£Рі£р);^утІу (Му. -X(у)х(у)т),БгТ]; (20)

2=1 у =1

юу (?) = -(КЯ£X(у) + Д“1 Бут (О(у) + ЬуХ(у))), (21)

( Гг;. = Жу.,£Т , Гг;. = £г'X(г1)X®)т,£/), если существуют матрицы N ^ (?) > 0, (?) > 0 и век-

торы X(г), О(г/), удовлетворяющие следующей двухточечной краевой задаче:

N. = ДуNy. + ^Дт +]|г Хг, (N1 - ^г )+(0у +^^/ (N - N ),

¿=1

/=1

(18)

N у (0) = М{Х0 Х0Т / у (0) = уг, у(0) = у у}; (22)

X(j) = j(ij) + B.ra. + £ Xlk (X(kj) - X(ki}) +

k=1

+jr x, I (x(Ij) - x(li)),

I=1

X(j) (0) = М{X0 / Y(0) = Y, Y(0) = Yj}; (23)

Lj = ¿Д. + Щіг] + І/СД + ST kRd1KrS1 +

+/C ^ik (Lkj - Lki) + ^iI (LIj - Lli),

k=1

I=1

Lj (Tf) = R1 ER; (24)

G(ij) = AG(ij) -TiiTc.z + ra. + SjKlDjra■ +

У J

r2

+&k (G( k) -G(ki)) + £Xя(G(Ij) -G(Ii)),

k=1

I=1

G (iJ)(Tf) = - R T Ez (Tf);

Д = Дт + BKrS , Д=A + A , в. = вг + ^j

a = Q + Bjra .X(J)T+ X(J)ra ,TByT ,

(25)

(г = 1,»1), (1 = 1,Г2). (26)

В (20) символ ® обозначает кронекеровское произведение; с/(') - вектор-столбец, составленный из элементов строк матрицы.

Доказательство. Вычислим значение критерия (18):

Т{

Зц [/, Ту ] = 1 М{ | р, (т)р} (х)Шх) - г(т))т С X

х(|(т) - г(т)) + ит (т)Ди(т)]Рт + р, (Ту)р. (Ту) х

х£(Ту ) - г (Ту ))т К £(Ту) - г (Ту))/у(/)=Уг, У(/)=у 1 }=

Т/

= 2М{ } р, (т)р} (т)^(т) - г(т))т Сг (Яx(т) - г(т)) +

+(Кя£X(т) +ю 1 )т Д (Кя-£.X(т)+ю 1 )]Рт+рг (Ту)р 1 (Ту )х

xЯX(Ту )-2(Ту ))т К (¡Ж(Ту ) -2(Ту ))/У(/)=Уг ,У(/) =У. }=

Ту

= 1 М{ | р1р] [XтЯтCгЯX - 2zтClЯX + гтСг.г + Xт^ X

хКЯД-КЯ£г.X + 2ютДКЯ£гX + ютДгю . ]Рт + рг (Ту) х х р; (Ту)[ X т (Ту) Я т КiЯX (Ту) - 2 гт (Ту) ЕгЯа (Ту) +

+гт (Ту ) Е^(Ту )] / у (/) = у,, у(/) = у 1} =

Ту

=111гр,р 1 [ЯТСгЯЩ -2г1СЩ(гу) + гтСг+£тКЯД X

xKRSj N. + 2raT D-Kr,S- X(J) +ra^ D ra j ]dx+tr pt (Tf) p. (Tf )x x[2N. (Tf )i?T Et H - zT (Tf)EiiX(J) (Tf)+2zT (Tf )Etz(Tf)].

В результате получим (tr - след матрицы)

1 Tf

J.[t, Tf ] = 2 j trРіР. [N. (RтСгИ + SjKTRD1KRS1) - 2zT x t

xCRX(J) + zTC,z + 2raTJDiKRSiX(iJ) +ra^D, ra. ]t +

^ 1 J 1 R 1 J І J J

+ tr pt (Tf)p. (Tf )[1 N. (Tf )i?TE,.R -

- z T (Tf) E-iiX(j) (Tf) + 2 z T (Tf) Etz(Tf)], (27)

где

n. = M{X (t) X (t )T / Y (t) = Y i, Y(t) = Yj },

X(j) =M{X (t)/ Y(t) = Yi, Y(t) = Yj}.

Выберем в качестве функции Ляпунова в^іражение

V(t,X(j), Nj,i, j) = p.p. (Vj + G(j)TX(j) + 2trLjNi^.) +

1 Tf

+2tr j Рг (t)pj (T)LijQijdT, (28)

t

где Qj > 0 - некоторые матрицы, такие, что

Qij > Qij + Qi. (29)

Входящие в (28) Vi., G(iJ) и L^ удовлетворяют уравнениям

V ij = 2 z Tciz +1 raJDi ra j + G (ij)T Bij ra, + і trQLj +

hk „■ k,)+]l >'ii -t »),

k=1

I=1

Vi. (Tf) = 2 zT (Tf )e,z (Tf);

(30)

-О(У) = (Д + ^гуКя-^г. )т О(1) - ^ЯтСг.г + £1 кЯДю 1 +

+Ь,А ю 1 +]^ Хг, (О{1') - О(1)) + ]»Г Ч (О(Ю - О(1г)),

1=1 1=1

О®-1 (Ту) = -УЯ т Е(Ту); (31)

-Ьу. = ьч А + вц Кя£, ) + (Д. + Бц Кя*г )т Ь- +С +

+]^Хг, (Ь. -Ьь- )+:»СХг1 (Ь. -ьй ),ЬУ. (Ту)=ЯтК-Яг. (32)

к=\ 1=1

В (32) С. - некоторые неотрицательно определенные матрицы. Первые три слагаемых в представлении функции Ляпунова (28) являются значением критерия (27) при управлении и, в котором

Ту., О^1, Ь. определяются из (30) - (32), последнее слагаемое в (28) также неотрицательно при Ь 1 > 0 , 0. > 0, поэтому функция Ляпунова (28) неотрицательна. Найдем полную производную функции Ляпунова:

О; X (У), ^ ,l, . = (рг р1 + р,р)] )(Уг;. + О(у)т X ( ) +

+2» Ьу^г])+р1р] (у. + О(у)т X(у) + О(у)т ^(у) +

21г ^уNу + ^ . - 21г ьл ). (зз)

Проинтегрируем по времени полную производную функции Ляпунова (33), учитывая уравнения для N

(22) и X(jj) (23):

Tf Tf

j dTV X ('J ^ Ny ,h J )d T= j [(pj Pj + PiPj )(Vy +

t t

+G(jj)TX(jj) + 1trZy.Ny.) + pJpJ (\j/y + G(jj)TX(jj) + G(jj)T X

Tf

xX(j) + 2trLjNjj + 2trLjjNj - 1trLQ)]Jx= j [(PjP. +

t

+PjjPj )(Vj. + G(jj)T X(jj) + 2tr LyNjj) + PjPj {G(jj)T (Aj + +BtJKRSt)X(jj) + G(jj)Tijy.Ю. + G(jj)T£Xjk(XW) -X(kj)) +

Критерий (9) можно представить в виде суммы критериев (36)

J [0, Tf ] = £ £ Jij [t, Tf ]. (37)

i=1 j=1

В результате получим критерий следующего вида:

Tf Г1 Г2 1

J[0,Tf ] = j ££PiPj tr{[-N,j (Ci + $kRdKrS, ) + t i=1 j=1 2

+G(ij)TA.X(ij) + G(ij)TX(ij) + 1trL.N. - zTCRX(ij) + ij 2 iJ iJ i

+2 zTC.z+ira^D ra. + J + GJ B. )KRStX(ij) +yy. + +G(ij)T В.ra. + G(ij)T£Xik(X(k) -X(ki)) + Gx

k=1

/=1

k=1

+g (lj)T£ 4 (X(/J) - X(Ii))+vy + G(ij )T X(ij) + 2tr ¿n +

I=1 2

x(X(Ij)-X(Ii) )+-trLy [(Aj + В,.K-RS,)N. + N.J (Aj + B^rS )T +

+1* Ь [(Д + БiуKя£j) ^ + N.. (Д + БiуKя£f )т + 0

+£ Хг, (N1 - N1) + £ Х,1 (N. - N1,)] }]Рт. (34)

1=1 1=1

Также интеграл полной производной функции Ляпунова (28) имеет следующий вид:

Ту

1 РГ7^,X (У), ^ ,',1 )рт= р, (Ту ) р1 (Ту ^ (Ту ) +

+ О(у )т (Ту)X1 (Ту) + 21г Ь. (Ту)N. (Ту)] -

- рг (?) р. (/)№.. (?)+о® )т (?) X1 (?) +

Ту

+2* ь (?) N. (/)] - 2гг} р1р]ЬД]Рт. (35)

Учитывая равенство (34) и (35), квадратичный критерий (27) представим в эквивалентной форме:

Ту

Зц [?,Ту ] = | {1г р1р] [^у. (С + £т КяТАКя£г) + О®)т Д X

xX(ij) + уу + G(iJ')TX(ij) +1 trLyNy -zтСг RX(lJ) +1 zT : xQz +1ra^D,ra. + (ra^D, + G(ij)TB.)KrS,X(ij) + G(ij)T >

k=1

B.ra. + G(ij)T£Xik(X(k^') -X(ki')) + G(iJ')T]r;[iI(X(Ij) -

I =1

-X(Ii)) + 1tr ¿.J [(Aj + B.jKrS1 )N,^. + N.j(Aj + ^^Kr^^. )t +

+Qi +B ra jX(y)T +X(ij)ra^^^ +£Xik (Nk^- - Nfa.) +£1

k=1 I=1

x(nij - NIi)]]+(Pipj + Pipj )(v,j + G(iJ )T X (iJ) + 1tr L

2 ij

xN,j )}dt + p. (t)p. (t)[v,j (t) + G(IJ)T (t)X(ij) (t) +

+1tr L,j (t)N. (t)] - 2 p. (Tf )pj (Tf )v,j (Tf). (36)

+Qi + Bijra JX(iJ)T + X(iJ)ra^ +i^ik (Nkj - Nki ) +

k=1

+jt 4 (N/j - N/i)]] + (PiPj + p. pj )(V,j + GJX(ii) +

1trLyNj)}dt + p. (t)p. (t)[v,j (t) + G(ij)T (t)X(y)(t) -

+^L,j (t)N. (t)] - 1 p. (Tf)p. (Tf )Vy (Tf). (38)

2 ij ij 2 Из условия

dJ [0, Tf ] dKR

=0

(39)

получим следующее уравнение:

£ Pi £ Pj [D, KrГ. + Bfj LijNijSJ + D, ra.X(ij)TST + i=1 j=1

+ijiTG(^J') X(ij )T SJ ] = 0.

Из условия

dJ [0, Tf ]

dra j

=0

получим уравнение для вычисления ra j :

(40)

(41)

Дю. + DiKя£>iX1 О(гу) + Б?цр(У) = 0 . (42)

Из уравнения (42) оптимальные ю. определяются по формуле (21). Подставляя оптимальные ю. в уравнение (40), получим уравнение для вычисления оптимальной матрицы КЯ :

П Г2

£ рг £ p. [D, Kr г. - d,Kr г.

г=\ 1=1

+И.Ь. (N. - X(у)X(^.')т ),£1т ] = 0 . (43)

Тогда, применяя метод решения матричных уравнений [8] к (43), КЯ определится по формуле (20). Найдем в уравнении для Ь. (32) выражение для

матрицы С. такое, чтобы критерий (36) был минимальным. Для этого правую часть (32) подставим вместо Ь. в (36):

+

Т/ 1 1 — - 1 1

Зу [ї, Ту ] = | {р1р] {1Г-Му (Я* СД + БТ КТ БКя^і ) + х СгЯ) Му - 21Г іу (вгу - йіу + й ) - 21г[£Хгк (Ік - Цкг) +

2 ¿=1

ї

+6(у)ТД,Х(у) + 6(у)ТХ(у) + уу -гтСгЁХ(у) +1 гТСг.г + +£Хгі(Іу -І1г)]Му + 2^Цу [£хгк(Му -Мкг) + £2 х

у 2 1=1 ^ ¿=1 /=1

+1 ! Ю у + (ю]Дг + 6(У )Т Ву )КК§гХ (У) + 6 (У)Т Віу Ю у + х(Му - Міг )]-£ Ч (у* - уй ) + £ ^ (уу -уй ) -

Г1 г2

к=1 і=1

+б(гу )Т £ Хгк (Х (к) - Х к)) + б(гу )Т£ Ч (Х (у - Х (іг)) - -£ ^ (б(у - 6 (к,)) + £ ^ (6 (у) - 6 (іі))] Х (у) +

1 - £1 "2~ 1 - к=\ і=1 „

-2ІГ(Су +к='Хгк 1 -1) +ЦХгі (Цу -1))Му + 21ГІу [йу + +6(у)Т [£Хгк (Х(ку) - Х(кі)) + ]ТХгі (Х(у) -Х(Іі))]] . (47)

к=1 і=1

+£Я*М-Мкі)+£х,(Му-Ми)]}+(РіРу + Ріру )(уу + ПриТведя подобные и В)силу рав™ (г _(г

к=1 і=1 гг ягсД N у = м{(Х(іу) - Х (іу))Т Щся (Х(іу) - Х(іу))}+

+6(іу)Т Х(у) + іігІуМу )}—т+рг (ї) ру (ї )[уу (ї)+6(у)Т (ї )х + Х(у)Т Дт С-.^. Х(у), (48)

_ 1 1 формула (47) преобразуется к виду

хХ (у)(ї) +2гг Іу (ї)Му (ї)] - - Рі (Т/ )Ру (Т/ )уу- (Т/). (44) ё„.-{Юм . .. Р 1 Я Х(іу))Т С ( Я 2 2 —V (ї, Х(у), Му ,і, у) = - РіР у [^(г - Я Х(і)) Сі (г - Я-:

Выполнив преобразования, в результате получим

Ту

з у [ї ,Т/ ]= } {РіРу Ц Му (^ТТСі/Т. + БТ к^ дкД -С)+

хХ(іу))+1 юТд й у + (§Т кЯ Дю у + ІВ ю у) Х(іу) +

у Я Я 1

2 + 2 м{(Х(іу) - Х(іу ))Т Я ся (Х(іу) - Х(іу))}+

+6(у)Т АіуХ(у) +ц>у + 6(у)Т Х(у) - 2тсгКХ(у) +1 г Тсіг + 1

+2іг>БТкЯд.Кй>БгМіу]-Ру, (49)

+1 ю^Д ю у + (ю^Д + 6(у )Т Вуу ) КдБ^г Х(у) + 6(у)Т Йіу ю у + где

+6(у )Т ££ хік (Х(ку) - Х(кі))+6(у)Т ££ ;їі7 (Х(іу) - Х(іі)) -1 к =1 /=1 2

Ріу = -(^іРу + РгРз )(Уу + 6(У)ТХ(У) +1 їГІіу Му ) + РіРу

Г1 г2

^ , , . гг^^ _

Г1 т2 1 ^ гі гі гі 2

к=1 / =1

_ {-^ггІу (йу - ^у + й )+11г[]Г Хік (і*^. - Ікг )+^ ч (Іу -

_ . _ . . 2'г Іу [&у + г Г2

Г1 к=1 г21==1 _ -Іг )]Му -1 їГІу [££ Хгк (Мк^. - Мкг ) +^ Ч (Му - Мі )] +

' гг(Х ^ік (Ік,■ - Ікі ) + £ ^іі (Іу - Ііі ))Міу + 2гг Цу [йу +

+£Хгк (Мк^. - Мк ) +£Ч (Му - Міг )]} + (Рі Ру + Рі Р у )

к=1 і =1

к=1 і=1

1 +£ Хгк (у ку - у кг ) - £ Хгі (у у - у й ) +

<(Угу. + 6(гу)ТХ(гу) + 21гІуМу )}ёт + Рг (ї)Ру (ї)[уіу (ї) + к=1 і =1

+6(іу)Т (ї)Х(у)(ї) + -ігЦу (ї)Му (ї)] - к=! і=!

+[£ Хгк (6(ку) -6(кі)) + ££^^(6(іу) -6(іі))]Х(у) -

-1 Рг (Т/) Р; (Т/ )у іу (Т/). (45) -6(у)Т []Г Хік (Х(ку) - Х(кі)) + £ Хіі (Х(у) - Х(іі))]} . (50)

2 к=1 і=1

Так как значение критерия (45) должно быть все- Очевидно, что полная производная функции Ля-

гда неотрицательным, то его минимум достигается пунова (49) будет отрицательной, так как значения ргу

при

С = НІ С г Я + §1КЯ ДКяБі. (46)

(50) всегда можно сделать положительными в силу условия (29), задавая соответствующим образом мат-Покажем, что полная производная функции Ляпу- рицы 0. > 0 . Теорема доказана.

нова (28) при матрице КЯ , равной (20), отрицательна.

Это необходимо для обеспечения устойчивости в ЗАКЛЮЧЕНИЕ

среднеквадратическом [9]. Учитывая (30) - (32) и (46), получим

В работе предложен алгоритм синтеза робастных следящих систем для линейных непрерывных стохас-

—V(ї Х(,у) М і у) = (р.р. + рР )(у. + 6(гу)ТХ(іу) + тических объектов со случайными скачкообразными

Ж ч’ 1 1 1 1 г параметрами. Робастная система синтезируется в два

1 „1 Т 1 Т ~ ТТТ этапа. На первом этапе осуществляется синтез роба-

+21гІуМіу) + ріру[-2г Сгг - 2юуДюу - (‘§ КяД юу + стного фильтра, на втором этапе синтезируется дина-

мическое управление вида (16). Получены уравнения +ІуВую, )Х(у) + гТСг ТХ(у) -!іг(§ТкТДгКя^г + ТТТ х для определения коэффициентов передачи робастной

следящей системы.

1. Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами I // Автоматика и телемеханика. 1961. № 9. С. 732 - 745; II. 1961. № 11. С. 1273 - 1278.

2. MantonM. Jump linear system in automatic control. Marcel Dekker Inc. N.Y., 1990.

3. Wonham W.M. Random differential equation in control theory // Probabilistic methods in applied mathematics / Ed. A.T. Bharucha-Reid. N.Y.: Academ. Press, 1971. P. 131 - 213.

4. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. М.: Физматлит: Наука, 1993.

5. Смагин В.И., Ломакина С.С. Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Автоматика и вычислительная техника. 2004. № 4. С. 31 - 43.

6. Ephram Y.,MerhavN. Hidden markov processes // IEEE Trans. on Inf. Theory. 2002. V. 48. No. 6. P. 1518 - 1569.

7. Ломакина С.С., Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со скачкообразными изменениями в случайные моменты времени // Автометрия. 2005. № 2. С. 81 - 88.

8. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

9. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 25 мая 2005 г.