Следящие системы управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями, зависящими от состояния и управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. С. Ломакина, В.И. Смагин

СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКООБРАЗНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СОСТОЯНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается алгоритм синтеза следящих регуляторов по интегральному квадратичному критерию для непрерывных линейных систем со случайными скачкообразными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний. Управление формируется в виде регулятора с обратной связью по выходу. Получены условия устойчивости для замкнутой стационарной системы.

Методы и алгоритмы синтеза систем управления объектами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами рассмотрены в [1-8]. В них изучался синтез регуляторов для решения задачи стабилизации, либо задачи слежения при использовании обратной связи по состоянию или выходу. В настоящей работе развит подход, предложенный в [5, 7, 8] к задачам синтеза следящих регуляторов по интегральным квадратичным критериям для объектов со случайными скачкообразными параметрами в системах с неполной информацией о векторе состояния и при наличии мультипликативных шумов, зависящих от состояния системы и управления. Оптимизация критерия осуществлена по матрице коэффициентов передачи и по входному вектору.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Поведение непрерывного объекта со случайными скачкообразными параметрами описывается следующими уравнениями:

т1

х(,) = А(у) х(,) + Б(у)и (,) + £ Лх (у) х(, )0, (,) +

+ £В,(У)и(ґЖ(ґ) + д(ґ), х(0) = Хо

(1)

М{у(ґ)фт(х)}=0, М{у(і)ут(т)}=У8(—%)). Обозначим вектор управляемого выхода объекта: |(ґ)=Кх(ґ) (|(0є К"1). Необходимо найти управление и(ґ) (ґє [0, 7}]), при котором выход объекта |(ґ) был бы близок

к отслеживаемому сигналу ^(ґ)є К"1 . Зададим меру близости в виде квадратичного интегрального критерия

3[0, Т/ | = 1 м| | [(5(Т) - 2(Х))ТС(у)(|(т) - 2(Х)) +

+ и

(х)Д(у)и(х)| й% + (Т} )- ))т £(у) >

)-г(г} ))

х(0) = Х0

, У(0) = У 0

(5)

где х(/)еЯп - вектор состояния; и(/)еЯ1 - управление; х0 -начальные условия (М{х0}=т0, М{х0х0Т}=Жхо); д(/)еЯп; 0(,)е Ят1; ф(,)е Ят2 - белые гауссовские шумы с характеристиками :

М{?(/)}=0, М{9(,)9Т(х)}=08(,-х), М{0(,)}=0, М{0(/)0Т(х)}=15(/-х), М{д(/)0Т(/)}=0, М{ф(,)}=0, М{ф(/)фТ(г)}=15(/-х), М{9(,)фТ(,)}=0, М{0(,)фТ(т)}=0;

]^[)еЯ1 - марковская цепь с дискретным множеством состояний уь у2,..., уг (вероятность перехода из /-го состояния в у-е ('У за время А, равна руА/+о(А/)); А (у); Б(у); Ар(у); Бч(у) (р=1, 2,..., т1, д=1, 2,..., т2) - заданные матрицы (М - оператор математического ожидания, индекс Т обозначает транспонирование, 8(,-х) - дельтафункция Дирака, Q=Q1:>0 - неотрицательно определенная матрица, I - единичная матрица). Процесс у(/) предполагается наблюдаемым и задается уравнением

ёу(/) = | уЗДё/, ёу) , т(0) = у0, (2)

где у0 - начальное состояние, пуассоновская случайная мера ЗДё/, А) характеризуется функцией

п

П,г (ёу) = £ р у8(у + у, - Гу )ёу при у =у,. (3)

у=1 у

Будем считать, что наблюдению доступен вектор

у(,) = 8 (у) х(,) + у(,), (4)

где у(,)е Я”2 (п2<п), Б (у) - матрица полного ранга; у(,)е

е Я”2 - белый гауссовский шум

(М{у(,)}=0; М{у(/)дТ(х)}=0, М{у(,)0Т(г)}=0,

где С(у)=С(у)т>0, Д(у)=Д(у)т>0, £(у)=£(у)т>0 - весовые матрицы. Задача состоит в выборе такого управления и(ґ), при котором достигается минимум критерия (5).

СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ РЕГУЛЯТОРОВ

С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ

ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Зададим структуру следящей системы управления в виде и(ґ) = К (у, ґ) у(ґ) + ю(у, ґ) , (6)

где К(у,ґ) и ю(у,ґ) подлежат определению из условия минимума критерия (5). Так как у(ґ) принимает конечное число значений, введем следующие обозначения:

Л(у ,)=ЛК В(у ,)=ВК Л/у^Л®, ад= в ®, С(у,)=С„

Ду^Д, Е(у1)=Е, ЗД=$ 0=1, 2,..., г).

Теорема 1. Матрица оптимальных коэффициентов передачи К(уі,ґ)=К,(ґ) и вектор ю(у,,ґ)=ю ,(ґ) имеют вид

0ґКі(ґ) = - [ (д. ®г-д ®Г)Г х

X сґ [вТЦ(р - Х«Х«Т)$т| ;

ю,. (ґ) = - (кДХ« + Б-1ВТ(г ( + Цх® ));

_ т.2

(Д. = £ В(,)Т Ц .В® + д, Г, = ^,.N,.^7 + V,

' I Э , Э I * І III

(7)

(8)

г,.= (/) х (')т £,т),

если существуют матриц^1 Ж()>0, ^ ¿(,)>0 и векторы г), g(I), удовлетворяющие следующей двухточечной краевой задаче:

N=Л N+атА+1Ьру (- N)+а +

у=1

т. т2

+ £ Л(° А,Л()т + £ 8т ^,т Б()т АБ^'0 К^1,

5=1 5=1

N (0) = М (х0 х0т / у(0) = У'} ,

(9)

(І) = лх0)

+А®, +£ р у(х (() - х (І))

у=1

у^l

Э=1

Э=1

Х ^ )(0) = М {Х0/ у(0) = у,}, (10)

~ ~ г ті

- І, = Ь,Л + С, + £ Ру(Ц - Ц) + £ Л? ЦЛ()Т +

Vу 3

j=l 3=1

№

+ X/ КТ ВКХ, + Л,т Ц +£ 5/КТ В3(,)Т ЦВ<° КІХІ,

5=1

Ц (Т}) = К Т ЕК; (11)

- я(,) = (° - К Тс,а+цв,®, + х/ КТ ВТ®, +

+ £Ру Ту - я,), яТ})=-К^0}). (12)

у=1 у*.

Здесь приняты следующие обозначения:

Л. = Л. + Б К 8., ¿5 . = О. + Бю х(/)т + х(/)ю тБ . +

I I III * а-'/ а-'/ / / II

+ БКУК1Бт, с5. = ЯтСЯ , 0 = 1, 2,...,г), (13)

в (7) ® - кронекеровское произведение; С(•) - вектор-столбец, составленный из элементов строк матрицы.

Доказательство. Вычислим значение критерия при управлении (6):

3 , [,, Т/ ] = 1М|{ [(|(х) - г(т))т С. (|(х) - 2(т)) +

+ и т (т) Ди(т)] ёт + ( )- г(т/ ))Т ) (( ))-

гТ>)) I

V ^ I (!4)

1 Т}.^

2

(16)

где ¿1 >0 - некоторые матрицы, такие, что

й> О + О . (17)

Входящие в (16) у., я® и Ь. удовлетворяют уравнениям

-у; = 2 тС> +1 “т Д-Ю + я (.)т Д-Ю +

1 г / \

+7 ,ГОЬ> +£ рУ (у у

2 У=1

у (Т/ )= 2 2 т(Т/ )Д2 (Т/ ), (18)

- я= ( + вікіхі )Т ) (° - Кс^ +

+5Т кТ дТ®, + цв, ®, +£ру ( - я (°),

я « (Т/ )= - Я т Е .2 ( ), (19)

- Д = Ь (л + БКД-) + (л + Б'■K'■S'■)Т Ьi + с +

+ £ р у (Ьу - Ь), Ь (Т/ )=ЯтЕЯ. (20)

у=1

В (20) С.. - некоторые неотрицательно определенные матрицы. Первые три слагаемые в представлении функции Ляпунова (16) являются значением критерия (15) при управлении (6), в котором у., ¿') и Ь определяются из (18)-(20), последнее слагаемое в (16) также неотрицательно при Ь>0, О. >0, поэтому функция Ляпунова (16) неотрицательна. Найдем полную производную функции Ляпунова:

4-У ( ґ, Х(,), N., , )=\& йґ у ' ’ *

= &і + % ^)ТХ« + я(,)т Х(,) +

+^г(цN + - Цібі) . (21)

У(ґ) =1і\

В результате получим

Т}

З [ґ, г} | = 2 І [ ( + х/ кТ вікіхі)-

ґ

- 2а TС¡RХ<І) + г ТС,г + 2®/ ВДД.Х(,) +

+ ® / В, ®, | ^х + ґг 2 N (Т} )к Т е,к - 7 Т (Г} )х

х Е^«(Т})+ігт(г} )Е Ат,), (15)

где Nl=M{x(ґ)x(ґ)T/y(ґ)=yl}, Х0) =М{Х(ґ)/у(ґ)=у,}, ^ - обозначает след матрицы. Выберем в качестве функции Ляпунова выражение

V (, Х0), N.,,)) + я(,)т Х(,) + ^гtrІiNi +

У=1

№

Проинтегрируем по времени полную производную

функции (21), учит^1вая уравнения для N. (9) и х(> (10):

Т/ ё Т/\

| —г V (т, х(0, N.,. )ёт = J[vу'. + я ^х(0 +

+я (i)тx(i) + -2 ґг (N + ЦТ/, - Ьб)

= І {я ^ (Л,. + вк.б, )00 +я (i)TBl.®i +^^, + ґ

+я(,)т£Ру(х0) - Х(,))+ я(i)тx(i) + -2tr(^,N - Цб)+

у=1

+

[(л,. + ) + N (л,. + в К 5 і )т +

т1 т2

+ бі +£ Л^ NiЛs(i)Т+1:5/ К/х

;в(-)Ты,в((>К5, +£ру(Жу - ж,)

у=1

№

ёт . (22)

Также интеграл полной производной функции Ляпунова (21) имеет следующий вид:

Т/ ё

1 (т, Т(0, А ,')dт = уДТ/)+Я(0Т (т/ )х

Х(,) (Г})+2ґгЬ,(Т})Ni (Т})- V,(ґ) - я(,)т (ґ) >

X Х(,)(ґ) - 2*

1

ц (ґ) N (ґ) -І Ьбёт)

(23)

Учит^івая (22) и (23), критерий (15) представим в форме:

Л<,7 ]= I {tri -V,Т+х/К т ДК5)+.'»ТХ-'" +

++'^,- 7 Тс, х КХ°) + я(i)Tx(i) + -2trЬ&i N + +у,- 7 Тс, х КХ(,) + (7 ТСа+®т Д®,)+

+ (®Т В, + я (i)TBi )KiXiХ(,) + я ®, +

+я(,)тІРу х (Х00 -Х)+[(Л,. + В.кх,) +

У=1 2

j ^

5=1

Э=1

х

Т

+ Ы1 (а. + БК81 )Т + О + Б1 юх(°т + х(° х ютБ.т +

I \ I I II/ -5-' II II

г / \ т\

+£ р у Ту - N )+£ л(> N А .)т +

у=1

у *'

+ £ 8.т К т Б5(')т А-Б;0 К. 8.

5=1

ёт +

(<)

1

- 2*

N + 21гЬх

у=1

у*'

т2

+ £ 8т К.т Б()т аб^0 КД.

5=1

+ я (0Т(,) Т(i)(í) + 2^ (,) N (,) - 2 у. (Т/). (28)

1

ёт + у. (,) +

1

2

2

Выполнив преобразования, получим

Т/ Г 1 ^ ~ т!

УД,, Т/ ] = {{^гу N [ С + ат к т ДКА +£ Л,® х ьА)т +

+ £БтКтв«тьв«ка - С1+я«Ч х х« +

,=1 )

+у'. + я&(')TТ() -2тсщ{{) +1 (2тса+ю,тДю.)+

(ютТ + я(')ТБ'.« + я«Ч- хю

хю. +

+я(0Т £ р уТ ((} - х (°)- \,г £ р уТ - ь , К +

у=1 2 у=1

у*. у*.

+тг

2

а +£ру (а - а)

у=1

V у *'

ёт + у. (,) +

+ я(0Т (,)х(° (,) + 2(1гЬ(,)N(,) - у. (Т/)). (29)

Так как значение критерия (29) должно быть всегда неотрицательным, то его минимум достигается при ___________

С, = ^. + 8т К т Б .К .Б. +£ Л« Ь/Л«т +

1

+ у. (,) + я(0Т (,) х (° (,) + 2 1гЬ. (,) N (,) - 2 у. (Т/ ). (24)

Применяя правила дифференцирования скалярной функции по матричному аргументу [9] к формуле (24) из условия [,, Т/ ] / ёК. = 0 получим следующее уравнение:

ДКГ + Бт ЬДБ/ + Д.юа (.)т Б т + Б.т я(;) х (.)т Б т = 0.(25) Из [,, Т^ ] / ёю. = 0 получим уравнение для ю ¿:

Дю. + Б К Б х0) + Бт я(0 + вт Ьх0) = 0 . (26)

Из уравнения (26) по формуле (8) определяются оптимальные ю , подставляя которые в уравнение (25), получим уравнение для вычисления оптимальной матрицы К :

Д КГ - ДК.-Г + в.тЬ, (А. - х®х(.)т )Ат = 0 . (27) Тогда, применяя метод решения матричных уравнений [10], в силу (27) К определится по формуле (7).

Найдем в уравнении для Ь . (20) выражение для матрицы С такое, чтобы критерий (24) был минимальным. Для этого

правую часть (20) подставим вместо Ь . в (24):

у. [,, Т/ ] = { {г 2 N. (Т + а Т к т б .к .б. )+я «Чх« +

+ у/ + я&^(;) - 2<Л + -2(2т^2 +ютГДю;) +

+ ^ (2 тС2 + ют Б. ю.) + (ют Т + я (i■)TБi )х )

+ я (i)TБiюi + я0)Т £^ру (х (у) - х (;))

у=1

у'*'

С +^ру(Ьу -Ь)

у=1

у*' )

~ г / \ т1

^5. +£ р у Ту - N )£Л,« ал,(')т +

5=1

+£ а т к т б5(/)т Ь'.б5') К'.А'. .

. 5 .5 . .

(30)

Покажем, что полная производная функции Ляпунова (16) при матрице К., равной (7), отрицательна. Это необходимо для обеспечения устойчивости в среднеквадратическом [11]. Учитывая (18)-(20) и (30), получим

4-У (,, х0), N,.) = - 4 (2 тС,.2 + ют Б'.ю;)+

х <л

+ 2тС'.Ях(') -(а,тК,тБХ + Ь'-Б'-ю, )Т х00 -

- ±1г(а,тК,тДК'.А'. + ЯтСЯ)а - ,21гЬ/ х (а - о5'. + О)-

-■21г£^ру (ьу - ь)а + 2^£ру(- N)-

у=1

у*

у=1

у*

-£ (я(у) -я ('))т рух ('°-

у=1

у*

-£р.у(уу -у.)+я.т£р.у(х -х Ъ. (31)

у=1 у *'

у=1 у *'

Приведя подобные и в силу равенства

1гЯтС'.ЯА'. =м{ (х(/) - х(0)ТЯтС'Я (х0) - х('°)}+

+ х (')т Я тС'.Ях(/), (32)

преобразуем формулу (31)

^ V (,, х('°, N.,' ) = - (2 - ях('° )Т с (2 - иг('°) -

-1 ютБ'.ю.. - (атК,тА(Ю'. + Ь'.Б'.ю'.)Тх

^111 \ I I II III/

(').

- -2м|()^0) - х{ )ТЯтСЯ х (х(,) - х0))

—ггАтк!бкаа. -р.,

л 1 1 1111 ¡1'

(33)

где

р.=^21гь'-(а - а+о )+-2 ^ р«х Мт- А^у)+

у'*''

+ Тя (у)тх(/) - я (')т х х(у))+(у у -у.) ] , ' = 1, 2,..., г. (34)

-(§ о - ;

Полная производная (33) будет отрицательной, так как значения р . (34) всегда можно сделать положительными в силу (17), задавая матрицы О.. >0. Теорема доказана.

СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ РЕГУЛЯТОРОВ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ

В стационарном случае при постоянном отслеживаемом сигнале вместо критерия (5) необходимо минимизировать критерий

5=1

5=1

5=1

lim sup T- J [0, Tf ] .

Tf

(35)

Предполагается, что пары матриц А., Б. ('=1, 2,..., г) стабилизируемы и в критерии (5) Е,=0. Задача синтеза при этом упрощается, так как уравнения (9)-(12) становятся алгебраическими:

~ ~ г / \ ~ т1

АЛ + АЛ + £ р.у Xу - N.)+ (?'. +£Л« х А'Л5(')т +

j=i

j*'

где

+Z sT К1)т ^Bf кд. = о,

s=1

Ах(i) + B'ю' + pj (x(j) - x(i)) = 0 ;

j=i j *'

LiAi + АТ Lt + <~'. + ST KT DiKiSi + Mt = 0 ДТg(i) - RTC'Z + LiBiЮ' + STK'TD'1®' +

+ZPj- (g(j) - g(i) )=0 j=l j*'

m1 r / \

M' = Z 4°laS)T+Z Pij (lj - L)+

s=1 j=1

i*i

m2

+ Z ST KT B()T LiBi(') K'S'.

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

+ (1 - Р, )С, + х/ К/В.^Х, + М, = 0, (44)

по лемме 12.2 [12] при Ц>0 и условии детектируемости пары матриц (43) следует, что матрицы Л.+ВКХі (=1, 2,..., г) устойчивы. Теорема доказана.

ПРИМЕР

Рассмотрим линейную систему второго порядка вида (1) с тремя состояниями у ={1, 2, 3}. Матрицы, описывающие систему, имеют вид

А(1) =

- 0,04 0,1

- 0,75 0,4

А(2) =

0 0,3

- 0,2 0,9

А(3)=(--її 0;4J;B(1)=[0J, B(2)Чй

B(3) = (-)051) ; P1,2 = 0,05, P1,3 = 0,2,

P21 = 0;25; P2,3 = 0;2; P3, = 0;2; P3,2 = 0,05

R=( 0 0J; Q(1)=( 0003 0005

0(2) = (0,02 0 J 0(3) = I 0,04 0

Q(2) ^ 0 0,05J, Q(3) ( 0 0,05

S(i) = (0 1); C(i) = (J 0) ; D(') = 0,1;

A1 (i) =

0,006 0,07 0,003 0,01

Постоянные оптимальные коэффициенты передачи К. и векторы ю. определятся по формулам

с,К = - [(X Т Г, - Б, ТГ ) х

х с, [втВ, ( - &}х(/)т>?/г]; (41)

ю, = - (( X + Т-'вт (я (° + Ьх ) ). (42)

Теорема 2. Если существует решение уравнений (36)-(39) и существуют числа р. (0<р,<1), такие, что

матрицы, Ь'>0, Ы1 = СД- + М > 0 и пара матриц -§С~1 ,

А, детектируемы, то матрица А, =А,+Б,К,А, асимптотически устойчива ('=1, 2,., г).

Доказательство. Учитывая, что Ь,>0, М1 > 0 и применяя теорему 3.6 [12], получим, что из условия детектируемости пары матриц дС, Л, следует детектируе-мость пары матриц

л/(1-дС+А/тКтБ^К/а’Т^ , и Л' + Б ка. (43) В силу того, что (38) эквивалентно уравнению

(Л,. + Б,К,А,)Т ) + ЬТ (Л , + Б,К,А,) +

М' ) = | 00 и ( ■ ) = Г0,001^1 B ( . ) = |0,002^ ( .

B1(i ) [0,008J , Bl(l) (0,009j (i '

0,004 0,07 0035 0,05

:i=1,2,...,r).

В результате решения уравнений (35)-(38) были синтезированы следящие регуляторы со следующими параметрами: К(1)= -1,997; К(2)= -1,008; К(3)= -3,210; ю(1)=28,436; ю(2)=5,929; ю(3)=26,978.

Отметим, что для исходной системы все матрицы Л(') неустойчивы. В то же время для замкнутой системы выполнены условия теоремы 2 и матрицы динамики замкнутой системы Л(,)+Б(,)К(,)А(,) устойчивые, при этом собственные значения матриц равны Х1= -0,091, Х2= -1,516 при ,= 1;

Х1= -0,058, Х2= -0,657 при ,=2;

Х1= -0,270, Х2= -1,235 при ,=3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен алгоритм синтеза следящих регуляторов для линейных непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями. Оптимизация критерия осуществлена по матрице коэффициентов передачи и входному вектору, зависящих от наблюдаемого скачкообразного процесса.

i=1

s=1

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. Ч. I. 1961. № 9. С. 732-745; Там же. Ч. II. 1961. № 11. С. 1273-1278.

2. Wonham W.M. Random differential equation in control theory // Probabilistic methods in applied mathematics / Ed. A.T. Bharucha-Reid. N.Y.: Academ. Press, 1971. P. 131-213.

3. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976.

4. MaritonM. Jump linear system in automatic control. N.Y.: Marcel Dekker Inc., 1990.

5. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996.

6. De Farias P.D., Geromel J.C., Do Val J.B., Costa O.L. Output feedback control of markov jump linear systems in continuous-time // IEEE trans. automat. Contr., 2000. V. AC 45, № 5. P. 944-949.

7. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского гос. ун-та. 2000. № 271. С. 171-175.

8. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих регуляторов с обратной связью по выходу для систем со случайными скачкообразными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. 2001. № 6. С. 62-72.

9. Athans M. The matrix minimum principle // Information and control. 1968. V.11. Р. 592-606.

10. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

11. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

12. УонемМ. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика»12 апреля 2004 г.