Робастное качество линейного регулятора для линейного : дискретного объекта в l1-постановке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер. 1.Вып.2.1996

УДК 517.929.4; 517.977.5

РОБАСТНОЕ КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО • ' • . ДИСКРЕТНОГО ОБЪЕКТА В ^-ПОСТАНОВКЕ 1

Соколов В.Ф.

В настоящей статье рассматривается задача вычисления наихудшего значения верхнего предела модуля выхода линейного скалярного дикретного объекта, замкнутого линейным стабилизирующим регулятором, в условиях постоянно действующих возмущений. Внешнее возмущение предполагается ограниченным. Параметрические возмущения по выход}' и управлению описываются линейными причинными ограниченными нестационарными операторами. Обсуждаются также вопросы проверки соответствия выбранных номинальных параметров априорным предположениям о возмущениях.

1. Введение

В 80-е годы произошло становление нового раздела современной теории управления, получившего название робастное управление. Под робастностыо понимается способность системы сохранять приемлемое качество, прежде всего устойчивость, в условиях тех или иных возмущений. Возмущения могут иметь различную природу и описывать аддитивные, параметрические, структурные и прочие возмущения. Отличительной особенностью описания возмущений в рамках теории робастного управления является предположение об ограниченности той или иной нормы возмущений и отсутствие каких-либо предположений об их статистических свойствах. Так, предположения о принадлежности возмущений к пространству /2 привели к построению теории Я^-оптимизащга. Рассмотрение возмущений из пространства привело к развитию теории /1 -оптимизации. Такое название проистекает из того обстоятельства, что при наличии только ограниченного аддитивного воз-

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 96-01-00459.

© Соколов В.Ф., 1996.

мущения супремум /,^,-нормы выхода системы по множеству возмущений из единичного шара в 1¡20 равен /гнорме импульсной характеристики от входа (возмущения) к выходу. Задача построения регуляторов, обеспечивающих минимизацию этой нормы, определила название данного раздела теории управления [1,2].

В опубликованной за последние годы серии работ [3, 4, 5, 6] изложены результаты, позволяющие не только получать условия устойчивости, но также и оценивать качество линейных систем в условиях структурированных параметрических возмущений. В настоящей работе эти результаты применяются для вычисления качества линейного регулятора для линейного дискретного объекта со скалярными входом и выходом в условиях аддитивных и параметрических возмущений. Полученные результаты необходимы для синтеза адаптивного робастного управления улучшенного качества [7].

В разделе 2 приводятся в сжатом виде необходимые результаты из вышеназванных работ. В разделе 3 получены выражения для робастного качества линейного регулятора' .в различных классах возмущений. В разделе 4 обсуждаются некоторые вопросы, связанные с задачей выбора неизвестных номинальных параметров системы.

2. Робастное качество линейной системы в /j-постановке

В данном разделе приводятся результаты работ [5, 6], используемые впоследствии для оценки робастного качества линейного регулятора.

2.1. Обозначения. loo - пространство ограниченных вещественных последовательностей.

INloo := supfc |x(fc)| и j|*|U := limsup^¡x(k)\ для х € loo-l\ - пространство суммируемых последовательностей.

■'So - íxI х = -(хь- • • ,Хр), хг е loo} , Ik'lloo := sup; Ца^Цоо • Т\ — оператор усечения, определенный формулой

_ • I x(t), t<k. . .

Ptx==»> ^)==\0, t>k.

Отображение G : —♦ называется причинным, если P^G = P^GPk для всех к > 0. Отображение G называется строго причинным, если PkG = PkGPk~i для всех к > 0.

Ьдхр - пространство линейных стационарных причинных операторов из в Г^ . Оператор М £ 1//хр можно задавать дхр-матрицей с элементами М^ 6 /' (М^ - импульсная характеристика от ^-го входа к г'-му выходу). В этом случае значение оператора на векторе х € определяется формулой

Р Р к

(Мх){{к) = ^ Мг] * х, := ]Г - I) , 1 = .

3=1 ьо.

Норма оператора М 6 индуцированная нормой пространства

/оо, равна

1<г<о —' - ;=1

Для ц х р-матрицы М с элементами из 100 определим матрицу с неотрицательными элементами

(II М\ 1 (| п огт ■ ■ ■ || М] р 11 погт

Г ; ;

| 1 |?Ю)';?1 ' ' ' 11 Мцр 11 л огт

где

ооозначает Ь или

2.2. Задача робастного качества в /¡-постановке. Рассмотрим систему, изображенную на рисунке 1.

М

Рис. 1

Здесь М £ .£("+1)х(п+1) — линейный ограниченный причинный оператор, соответствующий линейному стационарному объекту управления, замкнутому стабилизирующим линейным стационарным регулятором. Операторы Д,- : /<» ¿со описывают параметрические возмущения и принадлежат множеству

В(п) :— {Д = (На£'(Д1,..., Д„)| Дг- — линейный, причинный,

'¡Дг'хЦоо

и ||Дг-|| := вир

хе1оо

ж

Предположение об ограниченности норм параметрических возмущений единицей не приводит к потере общности, поскольку любые другие ограничения на нормы А,- можно учесть посредством соот-вествующего изменения оператора М. Последовательность w £ описывает внешнее аддитивное возмущение, а последовательность у — интересующий нас выход системы. Таким образом система, изображенная на рис. 1, может быть записана в виде

■Шй

(i)

Систему (1) будем называть робастно устойчивой в классе возмущений D(n), если оператор (I - М-22&)~1 ограничен для всех Д £ D\n). Если система (1) робастно устойчива в классе возмущений -Р(тг), то определено отображение Тд, сопоставляющее внешнему возмущению w £ 10о выход у £ l00 системы (1): у = T¿w. Под задачей робастного качества в /i-постановке понимается задача нахождения следующего показателя качества

1(М):= sup sup |!//|!ч. (2)

В работе [5] получен, в частности, следующий результат.

Утверждение 1. Если система (1) робастно устойчива в классе возмущений D{n), то

I(M) = ||Mn||i + IIм12||,(/ - ||iV/22||i)_1!|M2i||i- (3)

Для робастной устойчивости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы /э( 11AÍ22111) < 1) где р(А) обозначает спектральный радиус матрицы А.

2.3. Асимптотическое робастное качество .в Ij-постановке. В ряде задач управления интерес представляет не /,ю-норма выхода, учитывающая поведение системы во время переходного процесса, а установившееся поведение системы. В этом случае показателем качества служит полунорма в пространстве/оо

. ■■ \\y\\ss = lim sup\y{k)\.

к—» оо

Очевидно, что правая часть равенства (3) является верхней оценкой и для этого асимптотического показателя качества. Однако более

естественным представляется оценивание апсмптотического поведения системы в зависимости от асимптотического поведения возмущений. Приведем результаты работ [5, б], относящиеся к этому случаю.

Линейный оператор из в называется оператором с конечной памятью, если он отображает конечные последовательности в конечные (под конечными подразумеваются последовательности вида (xi,x2,.. ■ ,£¿,0,0,...) ). Обозначим через Dp(n) подмножество множества возмущений D(n), для операторов которого все соответствующие операторы A¡ являются операторами с конечной памятью. Из результатов работ [5, 6] вытекает следующее утверждение.

Утверждение 2. Если система (1) робастно устойчива в классе возмущений Dp(n), то -

sup sup \\y\\ss = sup sup \\у\\м = ЦМ), (4)

DF(n) |MU<i £>f(»)IHI«<I

и робастная устойчивость в классе Dp(n) эквивалентна роб четной устойчивости в классе D(n).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство (4) следует, с учетом стационарности и устойчивости оператора М, из равенства

sup \\y\\ás = |[jf/nHU + ||M12||i(/ -•||M22||i)":1||M2iw||«,

DF(n)

полученного в [5], а эквивалентность условий робастной устойчивости суть утверждение теоремы 1 из [6].

3. Робастное качество линейного регулятора

В данном разделе изложенные выше результаты применяются для вычисления робастного качества линейного регулятора линейной дискретной системы с одним входом и одним выходом.

Рассмотрим линейный дискретный объект управления

a(q-l)y(t) = q-db(q-í)u(t)+v(t), te N, (5)

где y(t),u(t) и v(t) обозначают, соответственно, скалярные выход объекта, управление и возмущение , a(q~l) и b(q~l) - полиномы от оператора сдвига назад q~ï (q~lz(t) = z(t — 1)), d - запаздывание в управлении. ,

Возмущение v(t) представляет собой сумму возмущений различной природы,

v(t) = wa(t) + wy(t) + wu(ty, (6)

где

и>п

IV,

6и>и>,- ЦшЦоо < 1 6у&1У, и)и .= &211.

Оператор параметрических возмущений Д,— diag{ Д1, А2} принадлежит либо классу 1)(2), либо классу Ор(2).

Пусть управление объектом (5) осуществляется линейным регулятором

. (8)

Регулятор (8)

где а(д~ ) и /?(</) — полиномы от оператора д предполагается стабилизирующим для номинального объекта (т.е. при Д] = Д'2 = 0), так что характеристический полином ^(Л) = а(Х)а(Х) — \(1Ь(\)/3(\) замкнутой системы (5), (8) не имеет корней в замкнутом единичном круге' С С. Структурная схема системы (5)-(8) представлена на рис/ 2.

Рис,

Здесь А"1 = (а(д-[))~\ В = Ь(д~1), К =,{а{д~1))-10{д'1). Для приведения рассматриваемой системы к системе, изображенной на рис. 1, разложим передаточные функции а{г)/х{%) от возмущения V к выходу у и 0(г)1х{г) от возмущения и к управлению и в ряды

Х(*)

¿-=0

Х(*)

к=о

сходящиеся в В\, так что гу 6 1\ и ги £ Передаточные функции от возмущения хии к выходу у и управлению и отличаются множителем гл и их коэффициенты разложений в ряды образуют, соответственно, последовательности г£ и отличающиеся от гу и ги сдвигом: Гу(к) = гу(к - с1), г^(к) = ги(к - (I). Тогда система (5)-(8) сводится к системе, изображенной на рис.1, с вектором входов

(w, Aiy, A2u) , вектором выходов (у, у, и) и оператором М

&гиГу ^уТу у

М - | бШГу буГу биГу

Зги^и Зу^и ^и' и

Утверждение 3.

1) Для робастной устойчивости системы (5)-(8) в классах D{2) и Dp(2) необходимо и достаточно, чтобы

a%iii+<Mwi,<i. (9)

2) При выполнении условия робастной устойчивости (9)

jsup sup ЦуЦоо = sup sup |MU = :;-гй^ПГПГ«-

D(2) |Nloo<l Df(2) |H|oo<l 1 - 6J/Ilr2/Ill _ 6u||ru||l

ДОКЗАТЕЛЬСТВО. Первая часть утверждения 3 следует из леммы. 2 работы [5], вторая часть утверждения 3 является следствием применения утверждений 1 и 2 к рассматриваемой системе.

Замечание. Утверждение 3 остается справедливым при любом запаздываниии возмущений в управлении, в том числе и при нулевом. Это следует из того, что элементы последнего столбца матрицы ||М||], по которой вычисляется показатель качества (3), Не зависят от величины запаздывания, поскольку первые d элементов Последовательностей Гу и г^ равны нулю хг, следовательно, ||rjJ||i = ||ry||i и

~d i

и I

Под задачей синтеза оптимального робастного линейного регулятора в 1\-постановке будем подразумевать задачу построения линейного регулятора (8), обеспечивающего минимизацию нормы значения показателя качества (10). В работе [8] приведена общая постановка этой задачи как задачи минимизации'sup ||Тд||, где супремум вычисляется rio множеству структурированных возмущений А € D{n) и обсуждаются методы ее приближенного решения. В случае отсутствия параметрических возмущений (Д = 0) соотвест-вующий регулятор называется 1\-оптимальным. Имеется обширная литература, посвященная синтезу /¡-оптимальных регуляторов и составляющая новое направление современной теории управления, называемое /¡-оптимизацией ([1, 2]). Простым следствием формулы (10) является следующий результат.

Утверждение 4. Если отсутствуют параметрические возмущения по управлению, т.е. 8и — 0, то 1\-оптимальный регулятор для объекта (5) является и оптимальным робастным регулятором в 1\-постановке: При этом Максимальный промежуток [О, Ь'у ЛХ) допустимых значений параметра 8у, для которых система (5)-(7) может быть сделана робастно устойчивой за счет выбора линейного регулятора (8), достигается при выборе 1\-оптимального регулятора.

4. Проблема выбора номинальных параметров

Выбор того или иного линейного регулятора (8), обеспечивающего приемлемое робастное качество (10) замкнутой системы управления, предполагает наличие информации о параметрах номинального объекта (коэффициентах полиномов «(с/"1) и 6(б/_!) в случае объекта (5)) и амплитудах параметрических возмущений (параметрах ду и 8и в случае возмущений (С), (7)). Если такая информация отсутствует, то встает задача выбора указанных номинальных параметров. Выбор этих параметров может основываться на наблюдениях за поведением системы управления и составляет предмет теории идентификации систем. Заметим прежде всего, что в случае неизвестных номинальных параметров больший интерес представляют асимптотические показатели качества (4), а не равномерный по времени показатель качества (2). Это связано с тем, что на начальном отрезке времени, требуемом для оценивания неизвестных параметров, показатель качества (2) может приобретать достаточно большие значения при неудачном выборе управляющих воздействий. С другой стороны, оценка асимптотического робастного качества системы получена при.дополнительном предположении, что оператор параметрических возмущений Д состоит из операторов с конечной памятью. Однако определение операторов с конечной памятью не позволяет на основе конечного набора измерений входов и выходов объекта решать не только задачу оценивания неизвестных номинальных параметров, но и более простую задачу верификации модели с некоторыми заранее выбранными параметрами. Поэтому далее рассмотрим более узкие классы допустимых параметрических возмущений, позволяющие решать задачу оценивания параметров.

Рассмотрим следующий класс параметрических возмущений

Лт(п) = {А = сиаё{Дь ..., Д„}| Д £ £>(п), и Д,(М) = 0 при к - I > Т).

Нетрудно увидеть, что Dr{n) С Dp(n) и

Д € DT(n) Vi V/ > О |(Д,':с)(^)| < sup |.г(/ - к)|.

0<к<Т

Из включения Dy(n) С Dp(n) следует, что для выхода у системы (1) -

<

sup sup Iii

DT(n) ||w|.|oo<l

U = sup sup ЦУпм DT(n) |M|SS<1

Полученная оценка показателя 1т{М) не является слишком грубой, о чем свидетельствует следующее утверждение.

Утверждение 5. Если система (1) робастна устойчива в классе В(п), то 1у(М) —*.1(М) при Т Доказательство. Положим

оо.

( ||M1JU;|U ЦЛ/,211, \\M2]w\\ss il-W-i-illi

SS I 1-^71 + 1,21 |l

l|AWilb \

||M2,n+l||l

|Mn+i,n+i||i J

Для доказательства утверждения достаточно показать, что из неравенства р(М38) > 1 следует, что для любого е > 0 существует Т та-коегчто \\y\lss > 1—£ при некотором возмущении Д £ От{п). Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству теоремы 3 работы [б], согласно которой неравенство р(Ме8) > 1 влечет неравенство \\y\lss > 1 для некоторого возмущения Ар £ 0(п). Ограничимся кратким описанием отличий искомого доказательства. Во вспомогательной системе, изображенной на рис. 3, дополнительное возмущение / будет теперь не сходящимся к нулю, а с достаточно малой || Ц^-нормой.

М

Рис. 3

Построение требуемого, возмущения / основано на том, что для М б £,("+')неотрицательных х-2,..., хп+\ и некоторого возмущения ги :

N

. max [ ЦА/nHU - T \Мц(М - к)ш(к)\+

2 тш * ч'ПЯ

к= i

n+1 ' N

^^(iimjiii - Y1 \Амк)\) ] ° прп

7—2 *=0

Теперь искомые возмущения •/ и £ строятся аналогично конструкции теоремы 3 из [G] Со следующими изменениями. По заданному t > 0 выбирается .N такое,что Sn < s и прп построении возмущения £ в качестве последовательности £k из [б] берется постоянная последовательность с элементами >л'- Тогда при достаточно большом Т имеем А 6 £>г(п) . Остается заметить, что выходы систем, изображенных на рис. 1 и 3, отличаются слагаемым Л/12Д(/ - М22Л)-1/, К Ц^.-норма которого мала, если \\f\\ss мала.

Рассмотренное сужение класса параметрических возмущений позволяет накапливать информацию о неизвестных параметрах в форме линейных неравенств. Так, для объекта управления (5) с возмущениями (6), (7), где А = cîiag{Ai,A2} € .!>/'(2), информация о параметрах, получаемая после измерения выхода y{t), заключается в неравенстве

\a(q-l)y(;t) ^ q~%fl)u(t)\ < 6Ш+

8У sup jy(t — к)\ + 8U sup Iu(t — г/ — к)], - (11)

о<к<Т 0<к<Т

эквивалентном двум линейным неравенствам.

Другой способ моделирования параметрических возмущений, достаточно часто используемый в теории адаптивного управления, заключается в предположении, что. параметрические возмущения имеют "затухающую" память. Рассмотрим этот способ моделирования в несколько более общей - по сравнению со стандартной постановке.

Оператор А ; l00 называется оператором с затухающей

памятью, если он отображает сходящиеся к нулю последовательности в сходящиеся к нулю. Пусть Dpo(n) обозначает подмножество операторов из D(n) с затухающей памятью,

В работе [6] отмечено, что все результаты этой работы, относящиеся к классу Df(n), остаются справедливыми и в классе возмущений Dro(n). Поэтому и все результаты, изложенные выше, остаются

справедливыми после замены класса Dp (ri) на класс Dpo(n). Пусть теперь операторы параметрических возмущений Ai гг Д2 в объекте (5) удовлетворяют ограничениям

|Д.-(М)1 при к > I, 0 < А,- < 1, i = 1,2. (12)

Тогда операторы Ai и Д2 являются операторами с затухающей памятью и ||Д,-[| = узд-. Отсюда вытекает следующий результат.

Утверждение 6. Пусть оператор А = diag{Д], Д2} параметрических возмущений в объекте (5) удовлетворяет условиям (12). Тогда :

1) система управления (5)-(8) робастно устойчива, если

8у 'MIi + TA-IKIII^I. (13)

l-A,"'"" 1-Л2 2) при выполнении условия (13)

г

sup IMU< -, ■„ ",7И1 6 „ „ • (14)

Условия (12), в менее общем виде, получили распространение в теории адаптивного управления ([9] и др.). Они допускают рекуррентную переформулировку, удобную при проверке по ходу управления соответствия оценок номинальных параметров сделанным априорным предположениям о возмущениях. Именно в терминах возмущений u>y(t) и wu(t) эта переформулировка имеет вид

K(ij| < fyni(f)', mx(t) = Xxm^t - 1) + \y(t)\, < 2(<)i m2(0 = A2m2(i -1)4- Iu(t - d)|.

Таким образом, после измерения выхода y(t) соответствие выбранных номинальных параметров сделанным априорным предположениям может быть проверено с помощью неравенства

Нч~1)у{-1) - q~db(q~lМ*)| < sw + 6ymi(t) + 6um2(t). (15)

Неравенства (11) в отличие от неравенств (15) требуют для своей проверки запоминания Т предыдущих значений выходов и управлений. Требуемое увеличение размера памяти необременительно для современных компьютеров, а также необходимо при использовании /i-(cy6)оптимальных регуляторов [8]. С другой стороны, использование нервенств .(11) позволяет синтезировать адаптивное управление лучшего качества ([7]).

Литература

1. Барабанов А.Е. Граничил О.Н. Оптимальный регулятор линейного объекта с ограниченной помехой// Автоматика и телемеханика. 1984.№5. С. 39-4 6.

2. Dahleh М.А., Pearson J.В. /'-Optimal feedback controllers for MIMO discrete-time systems// IEEE Trans. Autom. Control. 1987. AC-32.P.314-322.

3. Khammash M., Pearson J.B. Performance Robustness of Discrete-Time Systems with Structured Uncertainty // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. AC-36.P.398-412.

4. Khammash M., Pearson J.B. Analysis and design for robust performance with structured uncertainty// Systems and Control Letters. 1993.№20.P.179-.187. -

5. Khammash M.H. Robust performance bounds for systems with time-varying uncertainty// Proc. of the 33rd Conference on Decision and Control. 1994. Lake Buena Vista, FL. December.P.2S-33.

6. Khammash M.H. Robust steady-state tracking// IEEE Trans. Autom. Con-¿ro/. 1995, AC-40.R1872-1880.

7. Соколов В.Ф. Адаптивное робастное управление с гарантированным результатом в условиях ограниченных возмущений// Автоматика и телемеханика. 1994.№2.0.121-131. '

8. Dahleh М.А. and Khammash M.H. Control design for plants with structured uncertainty / / Automatica. 1993 jY! 29. P. 37-56.

9. Weyer E., Marrels I.M.Y., and Polderman J.W. Limitations of robust adaptive pole placement control// IEEE Trans. Autom. Control. 1994. AC-39.P.1665 -1671.

Summary

Sokolov V.Ph. Robust performance of linear controller for linear discrete plant in ij-setting

The paper addresses the robust performance problem when the SISO plant under consideration is closed by a linear controller and subjected to bounded external noise and norm bounded perturbations. The worst case performance bounds for various classes of perturbations are computed. '

Сыктывкарский университет Поступила 31.01.96.