CC BY
34
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.977+ 62-50
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ РОБАСТНОГО СЛЕЖЕНИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВЕРХНИХ ГРАНИЦАХ ВОЗМУЩЕНИЙ И ПОМЕХИ ИЗМЕРЕНИЙ. 4.I. ОЦЕНИВАНИЕ ВЕРХНИХ ГРАНИЦ
В.Ф. СОКОЛОВ
Отдел математики Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар sokolov@dm.komisc.ru
В статье приводится описание и результаты численного моделирования задачи робастного слежения для объекта управления с дискретным временем при неизвестных верхних границах возмущений. Передаточная функция номинальной модели управляемого объекта предполагается известной, а верхние границы внешнего возмущения, помехи измерений и операторных возмущений по выходу и управлению считаются неизвестными. Алгоритм робастного слежения базируется на ослабленной верификации оценок верхних границ в замкнутом контуре и использовании соответствующего такой верификации показателя качества задачи слежения в качестве идентификационного критерия. В первой части статьи излагаются метод ослабленной верификации и алгоритм вычисления оптимальных оценок верхних границ.
Ключевые слова: робастное управление, задача слежения, ограниченное возмущение, неопределенность, помеха измерений
V.F. SOKOLOV. MODELLING OF ROBUST TRACKING SYSTEM UNDER UNKNOWN UPPER BOUNDS ON PERTURBATIONS AND MEASUREMENT NOISE. PART I: ESTIMATION OF UPPER BOUNDS.
This paper presents an algorithm for robust synthesis in the l\ setup in tracking problem under incomplete prior information. Nominal model in the form of linear discrete-time single-input single-output system is assumed to be known and the upper bounds on exogenous disturbance, measurement noise and coprime factor perturbations to be unknown to controller designer. Robust synthesis is based on relaxed model validation and treating the associated control criterion as the identification criterion. The first part of the paper presents the method of the relaxed model validation and an algorithm for computing the optimal estimates of upper bounds.
Key words: robust control, tracking problem, bounded disturbance, uncertainty, measurement noise
Введение
Термин робастное управление означает управление системами, в описании которых помимо внешних детерминированных возмущений имеются “внутренние” неопределенности. Эти неопределенности учитывают возможные отличия математического описания управляемого объекта от некоторой “средней” (возможно упрощенной) математической модели, называемой номинальной, и могут трактоваться как операторные возмущения в номинальной модели. Трудность применения результатов теории робастного управления ко многим реальным задачам вызвана неполнотой априорной информации, включающей знание номинальной модели и верхних границ всех допустимых возмущений [1]. Эта трудность стала причиной активных исследований в области идентификации для робастного управления,
начавшихся в 1990-х гг. и продолжающихся до настоящего времени (см. относительно недавние специальные выпуски ведущих международных журналов по теории управления [2, 3]). Однако хорошо известный разрыв между теориями робастного управления и идентификации систем, порожденный тем обстоятельством, что все теории робастного управления являются детерминированными, а классические теории идентификации относятся к системам со стохастическими внешними возмущениями без операторных возмущений, остается в основном не устраненным до настоящего времени (см. обзоры [4,5]).
В данной работе задача робастного синтеза рассматривается в рамках ^-теории робастного управления, основы которой были заложены в [6, 7]. В ^-теории роль основного сигнального пространства играет пространство ограниченных ве-
щественных последовательностей, внешние возмущения и помехи измерений описываются ограниченными последовательностями без стохастических свойств, а неопределенности модели предполагаются нестационарными и/или нелинейными и трактуются как операторные возмущения с ограниченной индуцированной нормой.
Рассматривается задача отслеживания известного конструктору задающего сигнала, именуемая задачей робастного слежения. Номинальная модель в виде линейной стационарной динамической системы с дискретным временем предполагается известной, а верхние границы внешнего возмущения, помехи измерений и операторных возмущений - неизвестными. Показателем качества замкнутой системы управления служит верхний предел модуля ошибки слежения. Основная трудность в решении задачи заключается в необходимости оценивания верхних границ возмущений по данным измерений. Предлагаемое решение базируется на идее использования множественного оценивания неизвестных параметров [10] и идее использования показателя качества задачи управления в качестве идентификационного критерия, предложенной в [8,9].
В первой части статьи приводится постановка задачи и классический анализ робастного качества системы слежения при известных верхних границах возмущений. Описывается метод верификации оценок неизвестных верхних границ, основанный на включении помехи измерений в состав внешнего возмущения, и базирующийся на этом методе верификации метод вычисления оптимальных оценок.
Основные обозначения А := В - А равно В по определению.
I - линейное пространство вещественных последовательностей х = (х(0),х(1),...).
1° - нормированное пространство ограниченных вещественных последовательностей с нормой
IIх! =вир \х(^\. г
||х||зз := Ншяир \х(Ь)\ для х € I.
г^°
Линейная стационарная причинная система О :
1° ^ I называется устойчивой, если
1Ох||
sup II II
x=0 llxll
Любая линейная стационарная причинная система О характеризуется своей передаточной функцией О(Л) = +=° дкЛк, Л € С, и для устойчивой систе-
мы справедливо представление ||О(Л)|| := ||О|| =
Е+=°0 \дк \.
1. Постановка задачи
Пусть поведение объекта управления моделируется разностным уравнением
а(я 1)у(Ь) = Я ^Ь(д 1)и(Ь) + у(Ь) , Ь € N = {0,1, 2,...},
(1)
где у(Ь) € К - неизмеряемый выход объекта в момент времени Ь, и(Ь) € К - управление, у(Ь) € К -суммарное возмущение в объекте. Взаимно простые
полиномы от оператора сдвига назад я 1 (я 1х(ь) := х(Ь - 1))
а(д 1) = 1 + а1Я 1 + ... + апя п ,
Ь(я-1) = Ьо + &19-1 + ... + Ътя-т , Ьо = 0 ,
и запаздывание в управлении й (й > 1) характеризуют номинальную модель управляемого объекта и предполагаются известными. Суммарное возмущение V в модели (1) имеет вид
v := w + 5y Д1У + SuД2U ,
(2)
где и € 1° - неизвестное внешнее возмущение, удовлетворяющее ограничению
(3)
и Дь Д2 - неизвестные нормализованные операторные возмущения, удовлетворяющие ограничениям
|(Д^)Й1 < sup |y(s)| , |(Д2«)(*)| < sup |u(s)|
t—n^s<t t—n^s<t
(4)
для всех t e N. Параметр ц в неравенствах (4) характеризует память операторных возмущений и предполагается известным. Неизвестные неотрицательные числа 5W,5y и 5u характеризуют соответственно верхние границы внешнего возмущения w и норм (коэффициентов усиления) операторных возмущений 5уД\ и 5пД2.
Измеряемый выход объекта управления имеет вид
z(t) = y(t)+ m(t), (5)
где m(t) e R - неизвестная помеха измерений в момент времени t, удовлетворяющая ограничению
||m|| < 5т (6)
с неизвестной верхней границей 5т > 0. Введем обозначение
5 := (5W,5у,5п,5т)
для набора неизвестных верхних границ всех возмущений.
Пусть
r e
- известный ограниченный задающий сигнал, те. желаемый выход объекта управления.
Управление объектом осуществляется регулятором K вида
K : at(q—1)u(t) = ^t(q—1)z(t) + Y(q—1)r(t + d) , (7)
где at(q-1) (at(0) = l) и f3t(q-1) - полиномы от оператора сдвига назад q-1 и y(q-1) = Y1 +=0 YkЛк -заданная (выбранная конструктором) устойчивая передаточная функция.
Содержательная постановка задачи заключается в построении по данным измерений полиномов at и j3t, гарантирующих по возможности меньшую верхнюю границу для асимптотического показателя качества
J^(K,S) := sup sup sup ||z - r||ss , (8)
Ai,A2
в котором операторные возмущения Д1 и Д2 удовлетворяют ограничениям (4).
Поставленная задача относится к задачам синтеза робастного управления в условиях неполной априорной информации, и смысл слов “по возможности меньшую верхнюю границу” в содержательной формулировке задачи будет поясняться по ходу изложения.
Для решения задачи необходимо преодолеть следующие основные теоретические и вычислительные трудности. Оптимальный стационарный робастный регулятор (те регулятор вида (7) с постоянными полиномами а и в) зависит не только от коэффициентов полиномов а и Ь номинальной модели, но и от верхней границы 5п. Поэтому для применения оптимального регулятора нужно в процессе управления оценивать верхнюю границу 5п по данным измерений
4 = (г(0,г(1),...,г(і))
t1
(u(0),u(l),... , u(t — l))
с целью подстройки регулятора. Для решения этой задачи будет использоваться ослабленная верификация модели, основанная на включении помехи измерений в состав внешнего возмущения и влекущая некоторое ослабление цели управления. Верификация модели дает совокупность согласованных с измерениями линейных неравенств на верхние границы возмущений, служащих ограничениями в задаче опимального оценивания верхних границ. При этом в качестве идентификационного критерия используется показатель качества задачи слежения. Для обеспечения разрешимости задачи оптимального оценивания в замкнутом контуре необходимо обеспечить как равномерную ограниченность по времени числа ограничений в задаче оптимального оценивания, так и численную разрешимость задачи минимизации показателя качества относительно полиномов а и в Наконец, требуется теоретически обосновать гарантируемое качество управления и убедиться в эффективности решения с вычислительной точки зрения.
2. Качество робастного слежения при известных
верхних границах возмущений
Поскольку предлагаемый метод синтеза робастного регулятора базируется на использовании показателя качества задачи слежения как идентификационного критерия, приведем сначала оценку качества слежения в классической постановке, при которой набор верхних границ 5 предполагается известным, а регулятор (7) - стационарным:
а(я-1)и(Ь) = 13(я-1)г(Ь) + ^(я-1)т(Ь + й). (9)
Так как получение явного представления для показателя качества Л^(К,5) замкнутой системы (1)-(6), (9) является открытой проблемой, мы будем использовать наилучшую известную верхнюю оценку этого показателя качества, полученную в рамках 11 -теории робастного управления. Для описания этой наилучшей оценки введем необходимые обозначения. Обозначим через х(Л) характеристический полином замкнутой системы управления без возмущений:
х(Л) = а(Л)а(Л) - ЛаЬ(Л)в(Л) .
Необходимым условием устойчивости (и, тем более, робастной устойчивости) замкнутой системы является устойчивость полинома х(\) (все корни х(\) должны лежать вне замкнутого единичного круга комплексной плоскости). Введем обозначения для устойчивых передаточных функций в замкнутой системе:
G (\) ___ а(\) g (\) ______ в(\)
Gyv (\) — ~Г7\Л , Guv (\)
Gym (Л)
xW
Лdb(Л)в(Л) x(Л)
Gum(^)
x(Л) ’
aWe^) ~ x(Л)
G (Л) = b(X)Y(X) G (Л) = Л <іа.(Л)і(Л)
Gyr (Л) — -------ттг , Gur (Л) —
xW
xM
В работах [11, 12] показано, что при достаточно естественном дополнительном предположении об асимптотическом поведении сигналов (Оут -1)г, Оут г и Опт г справедливо предельное представление
(10)
где
J(K, 5) :— | (Gyr — l^Uss + Sm (l + |Gym ||)+ (11)
+
| Gy
l — Sy ЦGyv II — Su||Guv II
x [Sw +
+5у (У Оут Г У ^ + 5т У Оут ||) + дп(\\Опт Г У ев + 5 т У Опт У)]
- значение показателя качества (8), вычисленное для более широкого класса операторных возмущений с конечной или затухающей памятью (см. подробности в [11, 12]). Знак ^ в (10) означает монотонную сходимость снизу при ц ^ +то. Другими словами, верхняя оценка 7(К,5) показателя качества .]^(К,5) является асимптотически точной при ц ^ +то. Таким образом, значение 7(К,5) представляет собой наилучшую доступную в ^-теории робастного управления оценку показателя качества .]^(К,5).
Представление (11) подразумевает ограничение на верхние границы операторных возмущений
Sy l|Gyv II + Su II Guv II < l.
(12)
В силу теоремы 8 [11] это неравенство является необходимым и достаточным условием робастной устойчивости системы (1)-(7) в классе операторных возмущений с конечной или затухающей памятью и неконсервативным достаточным условием робастной устойчивости в рассматриваемом классе возмущений с ограниченной памятью (4).
3. Верификация модели
Верификация модели заключается в проверке непротиворечивости описания объекта в виде системы (1)-(6) и данных измерений. В случае неизвестного набора верхних границ 5 верификации данными измерений подлежит этот набор верхних границ. В работе [12] показано, что неконсервативная верификация модели (1)-(6), подразумевающая необходимые и достаточные условия непротиворечивости, практически нереализуема ввиду ее неприемлемой вычислительной сложности. Поэтому для реше-
и
о
ния поставленной задачи далее будет использоваться вариант ослабленной верификации, основанный на включении помехи измерений в состав внешнего возмущения. Подставляя в уравнение (1) представление неизмеряемого выхода у(ь) = г(ь) -т(ь), вытекающее из (5), получаем уравнение модели объекта управления относительно измеряемого выхода ^
а(я-1)г(г) = я-ЛЬ(я-1 )и(Ь) + а(я-1 )т(Ь) + у(Ь) . (13) Учитывая неравенство
П
\а(я-1)тЩ < 5т(1 + ^ \ак|) = 5т\\а\\ ,
к=1
из уравнений и неравенств (13) и (2)-(6) получаем
11 (^^yr — 1)rl|ss +
IlGyv || (Se + Sy ||Gyr rllss + Su IlGur r ||ss) 1 — Sy || Gyv || — M Guv II
\a(q l)z(t) — q db(q 1)u(t)\ <
^ Sw + Sm||a|| + Sypy(t) + SuPu(t) V t £ N,
(14)
где
Py(t) := sup \y(s)\, pu(t) := sup \u(s)\. (15)
Величина py (t) недоступна для вычислений, поскольку y - неизмеряемый выход объекта. Воспользуемся неравенством
Py (t) < Pz (t) + Sm , pz(t) := max \z(s)\. (16)
t-^^s<t
Из неравенств(14) и(16)следует
\a(q-1)z(t) — q-db(q-1)u(t)\ < (17)
Sw + Sm||a|| + Sy Sm + Sy pz (t) + Supu(t), t £ N .
Введем обозначение
Se := Sw + Sm ||a|| + Sy Sm . (18)
Тогда неравенства (17) принимают вид
\a(q-1)z(t)—q-db(q-1 )u(t)\ < Se+Sypz(t)+Supu(t), t £ N.
(19)
Именно неравенства (19) относительно сокращенного набора переменных
д = (Se,Sy, Su)
будут использоваться для верификации оценок набора S при управлении объектом с неизвестным набором верхних границ S. Смысл введения переменной (18) и неравенств (19) заключается в исключении из рассмотрения помехи измерений путем ее включения во внешнее возмущение. Хотя неравенства (19) являются всего лишь следствием уравнений (1)-(6), они позволяют сделать полезный вывод в “обратном”направлении: рассматривая последовательность z как выход модели (1) с внешним возмущением, ограниченным постоянной Se, и с нулевой помехой измерений, можно оценить сверху асимптотическую ошибку слежения Hz — Г||ss.
Теорема 1. Пусть управление неизвестным объектом осуществляется регулятором (9). Пусть z и u -последовательности измеряемых выходов и управлений в замкнутой системе управления. Если некоторый набор неотрицательных чисел S = (Se,Sy ,Su) удовлетворяет неравенствам (19), то
Обратный переход от неравенств, верифицирующих некоторую модель управляемого объекта, к уравнениям модели лежит в основе метода рекуррентных целевых неравенств в теории адаптивного управления [13].
4. Вычисление семейства субоптимальных регуляторов
Поскольку неравенство (20) будет далее служить характеристикой качества слежения в замкнутой системе управления, нас будет интересовать задача минимизации показателя качества J(K, S) по K, те. по полиномам а и в стационарного регулятора (9). В настоящем разделе приводится алгоритм вычисления семейства субоптимальных робастных регуляторов, аппроксимирующих с наперед заданной точностью множество всех оптимальных относительно показателя качества J(K,S) регуляторов для всех возможных значений S. Перейдем к описанию этого алгоритма. Воспользуемся известной параметризацией семейства всех линейных стационарных регуляторов, стабилизирующих объект управления (1) без возмущений (см., например, [13,14]):
а(\) = Gyv (Q) := Gyv (\) = а0(\) — \db(\)Q(\) , (21) в(\) = Guv (Q) := Guv(\) = в0(\) — a(\)Q(\) , (22)
где Q(\) = ]Г] +=°0 qk\k - произвольная устойчивая передаточная функция и а0(\) и в0(\) - решение уравнения Безу
a(\)a0(\) — \db(\)e0(\) = 1
(решение существует для взаимно простых a(\) и b(\)).
Пусть K(Q) обозначает регулятор (9) с полиномами а(\) и в(\), соответствующими параметру Q(\) параметризации (21), (22), а Gyv(Q) и Guv(Q) обозначают соответствующие передаточные функции Gyv (\) и Guv (\). Положим для упрощения обозначений
(23)
J(Q,S) := J(K(Q),5),
чтобы отразить зависимость интересующего нас показателя качества от параметра Q. Поскольку передаточные функции Gyv(Q) и Guv(Q) являются аффинными функциями от Q(\), задача оптимального робастного синтеза
Jopt(S) := inf J(Q,S) Q
(24)
становится задачей бесконечномерного дробно-линейного программирования относительно последовательности импульсных откликов \ук} передаточной функции Q(Л) = +== qkЛk (см. подробности в
[15,16]).
Для наглядного представления вычисления семейства субоптимальных регуляторов приведем геометрическую интерпретацию решения задачи
(24). Рассмотрим множество
||z — r||ss < J(K,d) := J(K, (д, 0))
(20)
D := { (HGyv(Q)||, ||Guv(Q)||) \ Q £ li} (25)
пар норм передаточных функций Gyv(Q) и Guv(Q), соответствующих всем параметрам Q = (q0,q1,...) е
11, т.е. всем устойчивым передаточным функциям Q(A) параметризации (21), (22). Условное изображение части множества D, представляющей интерес в задачах синтеза регуляторов, приведено на рис. 1, где множеству D соответствуют точки сверху-справа от жирной кривой, называемой компромиссной кривой. Поскольку любые разумные постановки задач синтеза оптимальных регуляторов связаны с той или иной минимизацией норм передаточных функций, интерес представляют только регуляторы, соответствующие точкам на компромиссной кривой. Следует сказать, что в силу сложности задач оптимального робастного синтеза их точное решение, как правило, недоступно, и нас будет интересовать их приближенное решение с заданной точностью. Заметим, что в силу аффинности передаточных функций Gyv (Q) и Guv(Q) по Q и выпуклости по G функции ||G|| на пространстве 11 множество D является выпуклым.
Рис. 1. Жирная линия — компромиссная кривая. Кружком отмечена оптимальная пара
(l|Gyv (Q)||, ||Guv (Q)||), соответствующая минимуму J(Q, 5) по Q.
Оптимальная пара (||Gyv(Q)||, ||Guv(Q)||), соответствующая решению задачи (24), является точкой касания множества D касательной к этому множеству, проходящей через точку с координатами (0, l/5u) [15, 16]. Множество оптимальных пар (HGyv(Q)||, HGuv(Q)||), соответствующих всевозможным значениям верхней границы 5, лежит на компромиссной кривой и, как можно показать, заполняет компромиссную кривую. Нетрудно видеть, что аппроксимировать компромиссную кривую с наперед заданной точностью можно, находя точки касания множества D и конечного семейства касательных с достаточно богатым набором нормальных векторов (1 - v, v), 0 < v < 1. Оптимальная пара (HGyv(Q)||, HGuv(Q)||), соответствующая касательной с нормальным вектором (1 - v, v), 0 < v < 1, является решением так называемой задачи смешанной чувствительности
Q (1 — v )|Gyv (Q)| + vHGuv (Q)|| .
Соответствующий алгоритм аппроксимации компромиссной кривой сформулируем в следующем виде. Выберем натуральное (достаточно большое) число
аппроксимирующих точек N + 1 и положим
ei := N , vk : = kei для k = 0,1,...,N. (26)
Выберем также положительные числа е2 (достаточно малое) и Cq (достаточно большое) и для k = 0, 1, . . . , N обозначим через Qk решения следующих задач линейного программирования относительно полиномиальных функций Qk(A):
(1 — vk )|Gy (Qk )| + vk llGu(Qk )| ^ (27)
^ 11 (1 — Vk)HGУ (Q)|I + vk llGu(Q)|l + e2 .
IIqIKcq
Решение задач (27) может быть получено методом Q-масштабирования, предложенным в [17]. Семейство полиномиальных передаточных функций Qk, k = 0, 1, . . . , N аппроксимирует множество решений задач (24) для всех возможных значений 5. Желаемая точность аппроксимации достигается за счет выбора достаточно большой степени полиномов Qk, достаточно больших значений N и Cq и достаточно малого значения е2.
5. Наилучшая согласованная с измерениями оценка верхних границ возмущений
Синтез асимптотически субоптимального робастного регулятора будет базироваться на использовании показателя качества (23) как идентификационного критерия и соответствующего этому показателю понятия наилучшей согласованной с измерениями оценки неизвестного набора верхних границ 5.
Пусть (z0,ut—1) - данные измерений на промежутке времени [0,t]. Обозначим через D(t) множество верхних границ 5 = (5e,5y,5u), удовлетворяющих тесту верификации (19) на промежутке [0, t]:
D(t) := {<5 = (5e,5y,5u) > 0 | неравенства ^o) (19) выполнены на промежутке [0, t]}. (
Наилучшей согласованной с измерениями (z0,ut-1) оценкой неизвестного набора S будем называть точку минимума задачи
J0pt := min inf J(Q,5). (29)
SeD(t) Q
Задача (29) является сложной задачей невыпуклого дробно-квадратичного программирования относительно переменных Q и 5 при t + 4 линейных ограничениях вида (19) (включая три неравенства 5e,5y,5u > 0). Воспользуемся семейством субопти-мальных параметров Qk, аппроксимирующих решения задач (24) для всех возможных значений 5, благодаря которому операцию приближенной минимизации по Q можно заменить конечным перебором параметров Qk (заметим, что число субоптимальных параметров Qk может оказаться значительно меньшим числа N, в зависимости от полиномов а и b и требуемой точности). Приближенное решение задачи (29) вычисляется по формулам
5k(t) : = argmin J(Qk,5), k = 0,...,N, (30)
SeD(t)
k(t) := argmin J (Qk ,5k (t)). (31)
ke{0,...,N }
5(t):= Sk(t) , Qt := Qm ■ (32)
Набор 5(t) и полиномиальная функция Qt дают искомое приближенное решение задачи (29) [18, 19]. Из представления (20) видно, что задачи (30) являются задачами дробно-линейного программирования относительно 5e,5y,5u и стандартным способом сводятся к задачам линейного программирования в R4 (см., например, [20]). Они легко разрешимы с помощью современного программного обеспечения. Заметим, что при решении каждой задачи (30) задействовано также условие робастной устойчивости (12) в виде линейного ограничения 5yHGyv(Qk)|| + SuHGuv(Qk)H < 1, так что общее число линейных ограничений равно t + 5.
Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 12-П-1-1013.
Литература
1. Smith R.S. and Dahleh M. (Eds.) The Modeling of Uncertainty in Control Systems (Lect. Not. in Control and Information Sciences). Vol. 192. London, U.K.: Springer-Verlag, 1994. 391 p.
2. LjungL, VicinoA. (Eds.) Special Issue on System Identification // IEEE Trans. Autom. Control. 2005. Vol. 50. No. 10.
3. Soderstrom T., Van Den Hof P., Wahlberg
B., Weiland S. (Eds.) Special Issue on Data-Based Modelling and System Identification // Automatica. 2005. Vol. 41. No. 3.
4. Gevers M. A Personal View of the Development of System Identification // IEEE Control Syst. Magazine. 2006. Vol. 26. No. 6. P. 93-105.
5. Hjalmarsson H. From experiment design to closed-loop control // Automatica. 2005. Vol. 41. P. 393-438.
6. Khammash M., Pearson J.B. Analysis and design for robust performance with structured uncertainty // Syst. Control Lett. 1993. Vol. 20(3). P. 179-187.
7. Khammash M., Pearson J.B. Performance robustness of discrete-time systems with structured uncertainty // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. Vol. 36. No. 4. P. 398-412.
8. Соколов В.Ф. Адаптивное субоптимальное управление в случае ограниченной помехи // Ав-
томат. и телемех.1985. № 9. С. 78-86.
9. Sokolov V.F. Adaptive suboptimal control of a linear system with bounded disturbances // Syst. Control Lett. 1985. Vol. 6. P. 93-98.
10. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.
11. Соколов В.Ф. Асимптотическое робастное качество дискретной системы слежения в ll-метрике // Автомат. и телемех. 1999. № 1. С. 101112.
12. Соколов В.Ф. Оценка качества робастной системы управления при неизвестных верхних границах возмущений и помехи измерений // Автомат. и телемех. 2010. № 9. С. 3-18.
13. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович ВА. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.
14. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.
15. Соколов В.Ф. Синтез li-субоптимального робастного регулятора для линейного дискретного скалярного объекта со структурированной неопределенностью // Автомат. и телемех. 1999.№ 11. С. 80-99.
16. Sokolov V.F. li Optimal Robust Controller for SISO Plant under Coprime Factor Perturbations // IEEE Trans. Autom. Control. 2000. Vol. 45. No. 12. P. 2339-2345.
17. Khammash M.H., A new approach to the solution of the li control problem: the scaled-Q method // IEEE Trans. Autom. Control. 2000. Vol. 45. P. 180-187.
18. Sokolov V.F. Suboptimal robust synthesis for MIMO plant under coprime factor perturbations // Syst. Control Lett. 2008. Vol. 57(4). P. 348355.
19. Соколов В.Ф. Синтез субоптимальных робастных регуляторов при неизвестных весах возмущений // Автомат. и телемех. 2007. № 3.
С. 126-141.
20. Гавурин М.К., Малоземов В.Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1984. 176 с.
Статья поступила в редакцию 23.07.2012.
