Результаты теоретических исследований математической модели автогрейдера с шарнирно-сочлененной рамой Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

УДК 621.878.25 д. д. ПОРТНОВА

С. В. КОТЬКИН В. С. ЩЕРБАКОВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, г. Омск

РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОГРЕЙДЕРА С ШАРНИРНО-СОЧЛЕНЕННОЙ РАМОЙ

В статье приведены результаты теоретических исследований математической модели автогрейдера с шарнирно-сочлененной рамой. Получены регрессионные модели, описывающие зависимость угла складывания шарнирно-сочлененной рамы от угла поворота передних управляемых колес и коэффициента базы автогрейдера, а также зависимости радиуса поворота автогрейдера от угла поворота передних управляемых колес и коэффициента базы автогрейдера при выполнении обязательного условия, при котором передние и задние колеса автогрейдера с шарнирно-сочлененной рамой движутся по одной колее.

Ключевые слова: автогрейдер с шарнирно-сочлененной рамой, угол поворота, радиус поворота, регрессионная модель, коэффициент базы.

Цель теоретических исследований математической модели автогрейдера (АГ) с шарнирно-сочлененной рамой (ШСР) заключается в выявлении новых закономерностей, а именно получении регрессионных зависимостей угла складывания ШСР и радиуса поворота АГ от угла поворота передних управляемых колес и коэффициента базы. Данные зависимости позволяют разработать алгоритм процесса моделирования движения АГ по заданному курсу с условием, при котором передние и задние колеса АГ движутся по одной колее. Алгоритм необходим для разработки автоматической системы управления поворотом АГ с ШСР, что позволит значительно повысить маневренность АГ с ШСР в условиях городских застроек [1, 2].

Авторами была разработана математическая модель АГ с ШСР в программном продукте МА^АВ, в качестве примера были приняты геометрические размеры АГ ДЗ-122Б [3].

Введем понятие — коэффициент базы АГ К6, который равен [4]:

К = ^ , (1)

где Ь1 — расстояние от оси переднего моста до оси шарнира сочленения хребтовой и моторной рам, м; Ь6 — расстояние между передней осью и осью качания балансиров задней тележки (длина базы), м.

План вычислительного эксперимента:

1. Определение факторов эксперимента — варьируемых независимых параметров, которые влияют на ширину габаритного коридора движения АГ.

2. Определение интервала и шага варьирования факторов.

3. Задание численных значений факторов в математической модели и получение отклика — зависимой переменной.

4. Аппроксимация зависимостей, вывод уравнения регрессии.

5. Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии, подтверждение адекватности модели.

Значение коэффициента базы АГ варьировалось в диапазоне К6 = 0,5 — 0,85; что соответствовало смещению шарнира в базе машины на ±1 м от начального положения, находящегося перед отвалом (взгляд из кабины машиниста) и на 1 м назад от начального положения. Такие конструктивные решения осуществимы, с точки зрения габаритных размеров серийного автогрейдера, но не применялись ранее на существующих моделях АГ. У большинства отечественных и зарубежных АГ максимальный угол поворота передних управляемых колес атах =45°. В ходе моделирования значение угла поворота передних управляемых колес варьировалось в пределах 4°<а< 32°. У большинства отечественных АГ максимальный угол складывания ШСР Ртах < 30°, но у многих зарубежных АГ Ртах может достигать 40°, было принято решение рассмотреть возможность складывания рамы на Ртах до 40° [5].

Каждый раз моделирование продолжалось до тех пор, пока модель АГ совершит полный круг. Траектория фиксировалась по координатам передних и задних колес АГ.

Шаг варьирования независимого параметра а был принят 2°, шаг варьирования положения оси шарнира в базе машины был принят 0,5 м, что соответствует следующим коэффициентам базы К6 = 0,5; 0,6; 0,7; 0,77 и 0,85. В ходе моделирования угол складывания ШСР выбирался таким образом, чтобы передние и задние колеса АГ двигались по одной колее.

Из графика (рис. 1) видно, что зависимость fi=fI (а) является практически линейной, и при уменьшении К6 (т.е. при перемещении шарнира сочленения хребтовой и моторной рамы вперед, дальше от кабины машиниста) границы варьирования независимого параметра а сужаются. Это связано с конструктивными особенностями АГ. Например, при К6 = 0,5 и а = 6°, угол складывания рамы р уже достигает 40°.

Получена графическая зависимость радиуса поворота АГ от угла поворота передних управляемых колес при различном К6 (рис. 2).

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Кб 0,5 к6 = с II £ Кб = 0,77 А',, = 0,85

! f

/

/

А о ' Р"

х О

10

15

20

25

30

35

Рис. 1. Графическая зависимость p=f (а) при различных К6

R м

30

I

25

20

15

10

5

0

К б= 0,85

ХУ / — 0,77 к6 - ()~

_ К г, = 0,6

\ NN II <

10

15

20

25

30

а

35

Рис. 2. Графическая зависимость RB=f2 (а), при различных К6

Из графика (рис. 2) можно сделать вывод, что зависимость радиуса поворота АГ от угла поворота передних управляемых колес является нелинейной. Видно, что при уменьшении К6, границы варьирования а сужаются, так как угол складывания рамы достигает максимального значения при небольших углах поворота передних управляемых колес и, следовательно, уменьшается радиус поворота АГ.

Оценка качества полученных регрессионных зависимостей проведена с помощью следующих показателей: коэффициент детерминации R2; скорректированный коэффициент детерминации R2; критерий Фишера F; сумма квадратов остатков Rss; стандартная ошибка уравнения регрессии Sy. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессионного уравнения выполнена по t-критерию Стью-дента [6, 7].

В программном продукте MATLAB в Curve Fitting Toolbox было получено уравнение регрессии, представляющее собой полином 2-й степени, имеющий вид [6, 7]:

в = boo + bio ' а + Ь01 ' К6 + b2( + bn ■ а ■ К6 + Ъо2 ■К

(2)

Таблица 1

Значение коэффициентов уравнения (2)

Коэффициент boo bio boi b20 bii Ъо2

Значение 170,5 6,352 -460,7 -0,001157 -6,103 307,7

р-уровень 0,0 0,0 0,0 0,8 0,0 0,0

что коэффициент Ь20 является незначимым, так как его р-уровень превышает вероятность ошибки отклонения нулевой гипотезы. Это позволило упростить модель. Окончательный вид уравнения модели:

в = 170,5 + 6,352 ■ а - 460,7 ■ К6 -- 6,103 ■ а ■ К6 + 307,7 ■ К2

(3)

где Ь00, Ь10, Ь01, Ь20, Ь11, Ь02 — коэффициенты уравнения регрессии. Ниже представлена табл. 1 значений коэффициентов.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии (2) была определена с помощью программного продукта STATISTICA 8, для доверительной вероятности Р = 0,95 и уровня значимости аз = 0,05 [8]. Выявлено,

В табл. 2 приведены показатели качества регрессионной модели (3) для доверительной вероятности Р = 0,95; уровня значимости аз = 0,05; числа опытов N=38; числа независимых переменных п = 2; числа оцениваемых параметров уравнения 1 = 5.

Коэффициент детерминации уравнения регрессии (3) R2 = 0,98. Это говорит о высокой объясняющей способности данного уравнения.

Таблица 2

Показатели качества регрессионной модели в = -1 (а Кб

Показатели Rss Sy Tss R2 R2 F t

Значение 52,04 1,22 3197,8 0,98 0,98 1057,88 32,53

а2 +

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

Значение коэффициентов уравнения (4)

Коэффициент b00 Ью b0i Ь20 bii Ь 02 Ьз0 Ь21 bl2 Ь0з

Значение -9,41 1,915 - 15,78 0,1378 -13,25 238,2 -0,00261 0,05915 6,463 -166,1

р-уровень 0,8 0,3 0,9 0,0 0,0 0,3 0,0 0,3 0,2 0,2

Скорректированный коэффициент детерминации R2 практически не отличается от коэффициента детерминации R2.

Для а =0,05; d.f.t = 1; d.f.2=36; F (0,05; 1; 36) = 4,17.

f-^т 3 i i i i крит \ ' ' ' > '

Видно, что F > F . Следовательно, основная гипоте-

крит

за о незначимости коэффициента детерминации отвергается, и он признается значимым с вероятностью Р = 0,95.

Для аз = 0,05; N=38; 1= 5; tKpum(0,05;42) = 1,697. Видно, что t > tKpum. Следовательно, можно сделать вывод, что основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии (3) отвергается.

Максимальная относительная погрешность аппроксимации по уравнению (3) [6, 7]: &max = 13,8 %.

На рис. 3 дано графическое представление зависимости )3=fJ(a, К6). Точками показаны экспериментальные значения зависимого параметра р, поверхность отображает значения, полученные из уравнения (3) модели множественной регрессии.

Получено уравнение регрессии, отражающее зависимость радиуса поворота АГ от угла поворота передних управляемых колес и коэффициента базы АГ, представляющее собой полином 3-й степени [6, 7]:

Rn = b00 + Ь10 • а + Ь01 • К6 + b20 • а 2 +

+ b11 • а • К6 + b02 • к2 + b30 • а 3 + b21 • а 2 • К6 + , (4)

+ Ь12 • а • Кб + Ь03 • К6<

где b00, bl0, Ь0Г b20, blV b02, b30, b21, b12, Ь03 коэф-

фициенты уравнения регрессии. В табл. 3 представлены значения коэффициентов уравнения регрессии (4) и значения соответствующих р-уровней:

В программном продукте STATISTICA 8 была выполнена проверка коэффициентов уравнения регрессии. Выявлено, что все коэффициенты, кроме b20, b11 и b30, являются незначимым, так как р-уровни этих коэффициентов превышают вероятность отк-

лонения нулевой гипотезы о незначимости коэффициентов уравнения регрессии (ошибки первого рода) [8]. Выполнена проверка адекватности модели с попеременным исключением данных коэффициентов. Упрощение модели оказалось невозможным ввиду увеличения стандартной ошибки и уменьшения объясняющей способности уравнения регрессии.

Следовательно, уравнение (4) окончательно приняло вид:

Rn = -9,41 + 1,915 • а - 15,78 • К6 + 0,1378 • а2 -- 13,25 • а • К6 + 238,2 • К - 0,00261 • а3 + (5)

+ 0,05915 • а2 • К6 + 6,463 • а • К - 166,1 • К .

В табл. 4 приведены показатели качества регрессионной модели (5) для доверительной вероятности Р = 0,95; уровня значимости аз = 0,05; числа опытов N=38; числа независимых переменных п = 2; числа оцениваемых параметров уравнения 1 = 10.

Коэффициент детерминации уравнения регрессии (5) R2 = 0,99. Это говорит об очень высокой объясняющей способности данного уравнения.

Скорректированный коэффициент детерминации практически не отличается от коэффициента детерминации R2.

Для а =0,05; <111 = 1; dl.2=36; F (0,05; 1; 36) = 4,17.

г^г з ' ' ' ' крит \ ' ' ' > '

Видно, что F > F . Следовательно, основная гипоте-

крит

за о незначимости коэффициента детерминации отвергается, и он признается значимым с вероятностью Р=0,95.

Таблица 4

Показатели качества регрессионной модели R= f2 (а Кб)

Показатели Rss Sy Tss R2 R2 F t

Значение 5,40 0,39 796,48 0,99 0,99 2565,52 50,65

Рис. 3. Графическое представление зависимости p=ft (а, К6)

Для а =0,05; N=38; 1= 10; ^риш (0,05;27) = 1,703. Видно, что t > tкpaш. Следовательно, можно сделать вывод, что основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии (5) отвергается.

Максимальная относительная погрешность аппроксимации по уравнению (5) [6, 7]: 8шах = 9,3%.

На рис. 4 дано графическое представление зависимости Rn = f2 (а, К6). Точками показаны экспериментальные значения зависимого параметра Rn, поверхность отображает значения, полученные из уравнения (5) модели множественной регрессии.

Проведенные теоретические исследования математической модели механической подсистемы АГ с ШСР позволили получить уравнения множественной регрессии (3) и (5), с достаточной степенью точности описывающие процесс движения АГ с ШСР по круговой траектории, при выполнении обязательного условия, при котором передние и задние колеса АГ с ШСР движутся по одной колее. Полученные уравнения множественной регрессии были использованы при разработке алгоритма процесса моделирования движения АГ с ШСР по заданной траектории.

Библиографический список

1. Портнова, А. А. Зависимость между углами поворота передних управляемых колес и шарнирно-сочлененной рамы автогрейдера / А. А. Портнова // Омский научный вестник. — 2013. — № 3 (123). — С. 157-159.

2. Портнова, А. А. Результаты экспериментальных исследований физической модели автогрейдера / А. А. Портнова, Е. Д. Комаров // Вестник СибАДИ. — 2013. — № 6 (34). — С. 87-91.

3. Щербаков, В. С. Математическое описание механических систем в однородных координатах / В. С. Щербаков // Роботы

и робототехнические системы : сб. науч. тр. — Иркутск: ИПИ, 1984. — С. 82-88.

4. Щербаков, В. С. Результаты исследований автогрейдеров на базе трактора ЗТМ-82 / В. С. Щербаков, Д. С. Таланкин// Проблемы автомобильных дорог России и Казахстана : материалы Междунар. науч.-практ. конф. — Омск: СибАДИ, 2000. — С. 96-97.

5. Ронинсон, Э. Г. Автогрейдеры / Э. Г. Ронинсон. - М.: Высшая школа, 1982. - 192 с.

6. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский. — М. : Наука, 1976. — 278 с.

7. Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт : пер. с англ. - М. : Мир, 1985. - 509 с.

8. Халафян, А. А. Statistica 6. Статистический анализ данных / А. А. Халафян. — 3-е изд. — М. : Бином-Пресс, 2007. — 512 с.

ПОРТНОВА Александра Андреевна, аспирантка кафедры «Автоматизация производственных процессов и электротехника».

Адрес для переписки: portnova_aa@sibadi.org КОТЬКИН Станислав Вячеславович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Компьютерные информационные автоматизированные системы». Адрес для переписки: kotkin.s@gmail.com ЩЕРБАКОВ Виталий Сергеевич, доктор технических наук, профессор, декан факультета «Нефтегазовая и строительная техника».

Адрес для переписки: sherbakov_vs@sibadi.org

Статья поступила в редакцию 04.03.2014 г.

© А. А. Портнова, С. В. Котькин, В. С. Щербаков

Книжная полка

620.1/С79

Степанова, Е. П. Сопротивление материалов : учеб. электрон. изд. локального распространения: конспект лекций / Е. П. Степанова, А. С. Габриель ; ОмГТУ. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2014. — 1 о=эл. опт. диск (CD-ROM).

Раскрыты основные вопросы курса «Сопротивление материалов» — расчет геометрических характеристик сечений, вопросы теории напряженного и деформированного состояния; математические модели основных видов нагружения прямых стержней. Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ