CC BY
18
Затучный Д.А.
РЕЗУЛЬТАТ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО СОЗВЕЗДИЯ ПО ДВУМ ПРИЗНАКАМ КОНТРОЛЯ ЦЕЛОСТНОСТИ
В данной статье формулируется критерий выбора оптимального рабочего созвездия из всех имеющихся в поле видимости навигационных космических аппаратов. На основании этого принципа формулируется и доказывается результат, дающий возможность получить оптимальное рабочее созвездие.
1. Введение
В данной статье делается попытка получить математически результат построения рабочего созвездия на основе двух признаков контроля целостности радионавигационного поля, в системах спутниковой навигации . Метод выбора оптимальной четвёрки навигационных аппаратов из всех имеющихся в поле видимости потребителя основан на использовании функционала, построенного с учётом ошибок, полученных при контроле целостности на борту навигационного космического аппарата и в наземном комплексе управления.
2. Результат построения оптимального рабочего созвездия
Функционал имеет вид:
^5(е,5) = е1,2,5 + 51,2,5 = 1 + ^(£1,2,15£1,2,2’"-5£1,2,и) -
-К(1 -^1,2,1,1 -^1,2,2,--,1 -д1,2,п ) =
= с\еа5 +...+С ■+1еп + С/П +...+п-р+1зп
Сформулируем и обоснуем следующий результат.
Пусть е, д ^ 0 , е = Ьд2 , где Ь - произвольная константа,
8^ 0,г > 1 . В этом случае
т?Р, (д)=Р* (д), где 5 - это рабочее созвездие типа
п + г г +1
В этом случае при данной зависимости между ошибками в оценке состояния каждого НКА решением задачи является рабочее созвездие, представляющее из себя систему, в которой являются исправными хотя бы
п + г г +1
из п её НКА, где
п + г г +1
целая часть числа, г - показатель степенной зависимости между
ошибками оценки состояния НКА.
Функционал р (д) , характеризующий контролепригодность для целостности радионавигационного поля произвольного рабочего созвездия, можно переписать в виде :
Р (д) = Сдz + 3(д« г), <р, ,
Р (д) = С','др+я(др),а^ >Р5,
Р (д) = (С + С?)д« z + Л(д“' Z ), asz = р, .
■ z
Р 5 (5 ) (С5 ' С )5 ' ~ (д ), «Э* р5
Отсюда для оптимизированной с учётом надёжности структуры получим соотношения: Гп+z1 ( Гп+z1Д
(8) = С1,8 1 "+1 ]+3
э ' ' э
8
г+1
если п + г г +1
п + г
<------- или
г +1
г(п+1)
(8) = С/,18^+Г + 3
э ' ' э
п + г г +1
Ґ г(п+1) ^
8 2+1
п г +1
п + г г +1
п +1 г +1
Далее следует рассмотреть два случая.
1)
п + г
п г +1
. г +1
а) а5г < Р5 , то <
п п п
л , где о - целая часть числа о
2 2 2
количество НКА в рабочем созвез-
Рассмотрим разность
п
Р(д)-Р* (д) = Сд■z -С\.3^+1 + з(да‘■z)-£
= С8а'2 -ф(§а*■г) = 8а
С1
ф(8аэ ■г)"
С = Сэ , ф(8аэ) = С18г+1 + 3
8аэ •г
Ґ г п ^ 8г+1 V у
(а •г\
8э )'
По определению бесконечно малой функции Уе>0 35о: 5 < 5о ^
ф(8аэ •г)
из п .
а п
дии
гп
где
< Є
а • г
8
Если мы берём Б -
с,
, то
С,
•)
> 0 =. F,(5)-F. (5)> 0 , т.е. предложенное рабочее созве
здие
действительно является решением данной задачи.
б) >р , то р <
Рассмотрим то же самое соотношение:
п
К (5)-К. (5) = С/15Р + 3(5Р)-С-3 = С/5Р -ф(5Р ) = 5Й
С/ -
5р
где
С, = С/1, ф(5Р/ = С‘*5^г+1 + 3 5^+1 -3(5Р).
п Л
• +1 -3
У
С /
2 ,
и , учитывая, что
ф(5ё) - функция
Далее, принимая во внимание Б=
пьно 5Р/ , получаем :
/ Ф(5Р/)
С1/—> 0 ^ ^ (5)-(5)> 0,
т.е. в данном случае предложенное рабочее созвездие также является решением задачи.
бесконечно малая относи-
в) а= Д , то а/г <
К (5)- К. (5) = (С/1 + С, )5а- + 3 (5а •) - С,. 5^ - 3 ф[5а/•)
( п \ 52^+
= С// ■5а/• -ф(5а/• ) = 5а
С
С1// = С/1 + С1 , ф(5а/ = с/г+1 + 3
( п \
5 •+1
V У
С/
2
-3(5а// .
Далее, принимая во внимание, что Б = —у- и ,учитывая, что ф(5а•) - функция получаем:
> 0 ^ К (5)-(5)> 0.
бесконечно малая отно-
яа,. г
сительно 5 5 , получаем:
ф(5а/• )
с;' -
1 5а/2 *' ' /
Таким образом, в случае 1) для всей совокупности возможностей только предложенный вид рабочего созвездия является решением данной задачи.
2)
п + •
п +1 • +1
. • +1
а) Если а < Р , то а • < Рассмотрим разность
•>+1) • +1
•(п+1) ^ • (п+1) Л Г ф(5аг )Л
С1, 5 ^+г -3 5 2+1 + 3(5а/ ) = 5аг С, ( )
£ V / 1 5азг
^ У К У
•(п+1)
где С, = С, , ф(5а/ = С1 5 +3 5 г+1 -3(5а/)
^ • (п+1) Л
5 •+1
V У
По определению бесконечно малой функции Уб> 0 350 :5 <50
С ф(5а*2)
Если мы берём Б = , то С,-----2 0 ^ К/ (5)-К * (5) > 0.
< Б .
б) а^ >Р!!, то Р/ <
п +1
'Т+Т
2
)
а г
а г
5
Fб)-F. (б) = C!TSps + з(зР)-C.S2z+i-з фб)
f n+1 Д б"
--C[SP -
= SPs
где
C/
Sps
f n +1 Л
Cl = C!T , ф(зр) = CKS* z+T +з ss 1 -з(бР) .
Далее, принимая во внимание £ = -
тельно SPs , получаем :
ф(з^2)
C> 0 ^F{S)-F, (б) .
z(n +1)
C/
и, учитывая, что
ф(5р) - функция
бесконечно малая относи-
з) asz = P , то asz <
z +1
Ґ n+1 Л
с" = с/1 + cl , ф(за’2' =c\sz + з s2z -з'2'
Далее, принимая во внимание, что S-£as z
сительно о получаем:
і
и, учитывая, что
ф(зщ') -
функция бесконечно малая отно-
б»
б»
> О ^ F (б)-F. (б)> О.
Таким образом, ттК5 (5)= К * (5) , где / - это рабочее созвездие, представляющее из себя систему из п . Следовательно, по предложенному выше критерию получается , что рабочее созвездие,
n -
. Z +1
представляющее из себя систему типа
Z +1
из n является оптимальным по предложенному критерию
Приведём примеры, иллюстрирующие этот результат. В случае, если мы имеем рабочее созвездие, состоящее из 7 НКА, то при данной структурной связи между ними для обеспечения минимальной ошибки определения состояния СРНС относительно обоих признаков необходимо структурно связать спутники так, чтобы система функционировала, если функционируют 4 или больше любых её НКА. Для спутниковой СРНС ГЛОНАСС, содержащей 24 штатных спутника, оптимизированным по предложенному критерию надёжности рабочим созвездием, составленным из данных НКА является такая система, которая находится в работоспособном состоянии, если в этом состоянии находятся хотя бы 12 НКА (при условии, что орбитальная группировка развёрнута полностью). Для спутниковой СРНС GPS оптимизированным по предложенному критерию надёжности является рабочее созвездие, которое находится в работоспособном состоянии, если в этом состоянии находятся как минимум 14 её НКА .
і
где
