CC BY
4
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. №4. C. 92-103. ISSN 2079-6641
УДК 517.958:537.84
Научная статья
Режимы генерации магнитного поля в маломодовой модели а ^-динамо с динамическим подавлением а-эффекта энергией
поля
Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, c. Паратунка, ул. Мирная, 7 E-mail: sheremeteva@ikir.ru
В работе используется маломодовая модель аQ-динамо для моделирования режимов генерации магнитного поля при незначительных изменениях поля скорости вязкой жидкости. В рамках этой модели интенсивность а-эффекта регулируется процессом с памятью, который вводится в магнитогидродинамическую систему (МГД-система) как аддитивная поправка в виде функционала Z(t) от энергии поля. В качестве ядра J(t) функционала Z(t) выбрана функция, определяющая затухающие колебания с варьируемым коэффициентом затухания и постоянной частотой затухания, принятой равной единице. Исследование поведения магнитного поля проводится на больших временных масштабах, поэтому для численных расчётов используется перемасштабированная и обезразмеренная МГД-система, где в качестве единицы времени принято время диссипации магнитного поля (104 лет). Управляющими параметрами системы выступают число Рейнольдса и амплитуда а-эффекта, в которых заложена информация о крупномасштабном и турбулентном генераторах. Результаты численного моделирования режимов генерации магнитного поля при различных значениях коэффициента затухания и постоянной частоте затухания отражены на фазовой плоскости управляющих параметров. В работе исследуется вопрос о динамике изменения картины на фазовой плоскости в зависимости от значения коэффициента затухания. Проводится сравнение с результатами, полученными ранее при постоянной интенсивности а-эффекта и при изменении интенсивности а-эффекта, которое определялось функционалом Z(t) с показательным ядром и аналогичными значениями коэффициента затухания.
Ключевые слова: крупномасштабная модель динамо, а 0.-динамо, магнитное поле, инверсии.
Финансирование. Работа выполнялась в рамках государственного задания по теме «Физические процессы в системе ближнего космоса и геосфер при солнечных и литосферных воздействиях» (№ АААА-А21-121011290003-0).
О. В. Шереметьева
DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-92-103
Поступила в редакцию: 22.10.2021
В окончательном варианте: 15.11.2021
Для цитирования. Шереметьева О. В. Режимы генерации магнитного поля в маломодовой модели а О-динамо с динамическим подавлением а-эффекта энергией поля // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. № 4. C. 92-103. DOI: 10.26117/2079-66412021-37-4-92-103
Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Шереметьева О. В., 2021
Введение
Магнитное поле влияет на все сферы человеческой деятельности, а изменение знака дипольной составляющей поля (смена полярности или инверсия) может привести к глобальным изменениям на планете, поэтому исследователи строят модели подобные реальным, позволяющие отслеживать эволюцию магнитного поля [1, 2, 3]. Данные исследования не теряют своей актуальности, т.к. несмотря на успехи, достигнутые в данной области, задача исследования различных приближений на предмет генерации геомагнитного поля, близкого к наблюдаемому, полностью не решена.
Для описания динамо-систем космических объектов используются следующие основные механизмы аО-, а2- и наиболее общий а2О-динамо. Земное динамо хорошо согласуется с моделью аО-динамо, характерными свойствами которого является сильное дифференциальное вращение объекта и турбулентный характер движения проводящей среды [4, 5], [6]-[10].
Авторы на протяжении ряда лет продолжают цикл исследований по теории динамо [11]. Свойством динамо-систем является наличие инверсий без существенной перестройки движения проводящей среды. В реальных системах такие инверсии носят как регулярный характер (например, динамо Солнца), так и хаотический (например, динамо Земли) [12].
В модели аО-динамо [5, 6, 10, 13] генерация магнитного поля и поля скорости определяется работой О- и а-генераторов. В предположении постоянства интенсивности а-генератора были получены три различных режима генерации магнитного поля при незначительных изменениях поля скорости, а именно, затухающий, регулярный и бесконечно возрастающий. Интенсивность воздействия а-генератора изменяется во времени под влиянием внешних сил. Такое влияние может быть включено в модель в виде некоторого процесса, адекватно описывающего действие внешних сил на интенсивность а-генератора.
В рамках данной работы в детерминированную динамическую модель аО-динамо [14]-[18] введена аддитивная поправка в виде процесса с конечной памятью, регулирующего интенсивность а-эффекта. Исследование проводится во временных масштабах, сопоставимых со временем затухания магнитного поля. Для того, чтобы снизить вероятность вычислительных ошибок при расчетах на больших временных интервалах, перегрузки численных решений большими значениями и ухода на «машинную» бесконечность, в работе используется перемасштабированная и обезразмеренная МГД-система [18]. На таких временных масштабах возможно смоделировать лишь основные динамические характеристики поля с помощью маломодовых пространственных приближений. В работе приняты одномодовое
приближение для поля скорости вязкой жидкости и трёхмодовое — для магнитного поля. Такой выбор мод обеспечивает работу динамо с инверсиями в магнитном поле.
Целью данного исследования маломодовой модели аП-динамо является получение в результате численного эксперимента различных режимов генерации магнитного поля как регулярного, так и нерегулярного характера, в том числе с инверсиями, на фоне слабо изменяющегося поля скорости. Определение допустимых значений параметров модели и границ её применимости. Сравнительный анализ результатов численного эксперимента для допустимых параметров модели с ранее полученными результатами при постоянной интенсивности а-эффекта и интенсивности, изменяющейся по показательному закону.
Постановка задачи
Данное исследование проводится в рамках модели аП-динамо, которая описывается МГД-уравнениями [6, 10], включающими уравнение Навье-Стокса, уравнение индукции магнитного поля B с учётом турбулентного а-эффекта, условия неразрывности поля скорости V и соленоидальности магнитного поля, а также граничные условия, и в приближении Буссинеска имеет вид:
д v 1
3- + (vV) v + fc = V Av - — VP - fK + fout + fL, д t Po
^ = V x (v x B) + V x (a(r, в) B) + vmAB, д t
Vv = 0, VB = 0,
v(ri ) = v(r2) = 0,
(1)
где fc — ускорение центробежной силы, fK — массовая плотность силы Кориолиса, foUt — массовая плотность поля внешних сил (источник полоидальной скорости), f^ — массовая плотность силы Лоренца, V — кинематическая вязкость (пределы измерения 10-6 ^ 102 м2/с), ро = 7 ■ 103 кг/м3 — плотность, P — давление, Vm — магнитная вязкость (изменяется в пределах 1 ^20 м2/с), ri и Г2 — радиусы-векторы внутренней и внешней границ сферической оболочки жидкого ядра.
Примем в качестве характерных величин скорости U0 [м/с] - среднее значение линейной скорости вязкой жидкости и линейного размера области L [м] - радиус внешнего ядра Г2, через которые выразим единицы магнитной индукции B0 [Тл], давления P0 [Па], массовой плотности внешних сил /0 [Н/кг] и угловой частоты вращения конвективного слоя Q.0 [1/с]. В качестве единицы времени используем время диссипации магнитного поля L2/vm [с] с временным периодом 104 лет, а в качестве управляющих параметров выберем безразмерные величины: магнитное число Рейнольдса Rem = U0L/Vm, которое отвечает за воздействие крупномасштабного генератора, и амплитуду а-эффекта Ra = а0L/vm, в которой заложена информация о турбулентном генераторе. Тогда в перемасштабированном виде система (1)
записывается следующим образом [18] д v 1
dt = PmAv - VP - E-1Pm(ez X v) + fout + (V X B) X B,
^ = Rem[V x (v x B)] + Ra [V x a(r, в)B)] + AB, д t (2) Vv = 0,
VB = 0,
v( г ) = v(e2)= 0.
Определим процесс, который регулирует степень влияния турбулентного эффекта, в виде функционала Z(t), силу воздействия которого определяет квадратичная форма Q(B(t),B(t)), а характер воздействия — безразмерное ядро J(t — т):
t
Z (t ) = | J (t — t)Q(B(t), B(T))dT. (3)
0
С учётом аддитивной поправки Z(t) интенсивности a-эффекта МГД-система (2) запишется в следующем виде
д v 1
— = PmAv — VP — E—1Pm(ez X v) + fout + (V X B) X B,
ddB = Rem [V X (v x B)] + (Ra — Z (t ))[V x a (r, в )B)] + AB,
dt (4)
Vv = 0,
VB = 0,
v( ^ ) = v(e2 )= 0.
Маломодовое приближение и численная модель
Для решения МГД-системы используем маломодовое приближение галёркинского типа [1, 19, 10]. Различные варианты механизма динамо едины в том, что источником для тороидальной (полоидальной) компоненты поля B является нелинейное взаимодействие полоидальной (тороидальной) компоненты этого же поля с жидким потоком, поэтому для численного решения используем четыре моды — одну гидродинамическую и три магнитных: одну тороидальную и две полоидальных [10, 20]:
v = u(t )v0 = u(t )(a1vo,1,0 + a2vp,2,0 + a3v0,3,0 + a11vl",1,0 + a13vl",3,0),
B = B\(t)B0T,2,0(r) + BP(t)BP,1,0(r) + BpP(t)BP,3,0(r), ( )
где v0 — мода Пуанкаре [21], |v0| = 1, u(t) — амплитуда скорости, Bp1 0(r) дипольная составляющая магнитного поля, которая под воздействием дифференциального вращения порождает тороидальную Bg20(r) и полоидальную BP30(r) составляющие. Компоненты поля скорости и магнитного поля в данной модели считаем независимыми.
Функционал Z(t) (3) определим как интеграл от произведения энергии магнитного поля и знакопеременной функции J(t), задающей затухающие колебания с коэффициентом затухания b и частотой затухающих колебаний a,
t
Z(t) = у e-b(t-T) cos(a(t - x))B2(x)dx. (6)
о
Воздействие энергии поля максимально в момент времени t, а влияние в предыдущие моменты времени постепенно уменьшается с удалением от t к начальному моменту времени. Таким образом, наибольший вклад в суммарное воздействие на интенсивность а-эффекта вносится в момент времени t ив течение времени ожидания to.
Подставим в систему (4) разложения (5) и функционал (6) и применим метод Галёркина. В результате преобразований получаем систему, используемую далее для численной реализации с помощью неявного метода Эйлера,
д u
— = -Pmu(t) Lalh + fout + L aiLijkBjBk, dt к i, j, к
= Remu(t) L ajWijkBk - m + (Ra - Z) L W^Bk, (7)
д t j, к к
—- = LB2? — bZ — aZs, = aZ — bZs, i, j, к = 1, 2, 3. д t к к д t
где ki — собственное значение моды Пуанкаре [22], коэффициенты Lijк, Wj, W-j- — объемные интегралы от рассматриваемых полей [23], fr — коэффициент вязкой диссипации [22], значения коэффициентов ai вычислялись из задачи Пуанкаре о свободных малых колебаниях вязкой вращающейся жидкости [21].
Принятое значение шага дискретизации h на два порядка меньше наименьшего из времён затухания магнитного поля и поля скорости, которые определяются значениями коэффициентов k и fri. Выбор начальных условий обеспечивает выход системы (7) из точки покоя в начальный момент времени t = о и дальнейшую взаимную генерацию компонент магнитного поля и поля скорости
u(0) = 1, BT2 (0) = 0, BP(0) = 1, BP(0) = 0, Z(0) = 0, Zs(0) = 0.
Затухающий эффект в поле скорости компенсируется воздействием внешних сил, поэтому в численной реализации значение массовой плотности внешних сил fout принято равным коэффициенту при u(t) [18]. Численная модель рассматривается для управляющих параметров, изменяющихся в диапазонах Rem Е (0, 1000] и Ra Е (0, 100], с шагом равным пяти.
Характеристики функции ядра J(t)
Выбор знакопеременной затухающей функции в качестве ядра J(t) определяет процесс с конечным временем ожидания (памяти), подавляющее влияние которого на изменение интенсивности а-эффекта включается в начальный момент времени и постепенно накапливается в течение времени ожидания t0. Варьирование параметра b
изменяет характер влияния функционала подавления. Для различных значений коэффициента b время ожидания to вычислялось с помощью интеграла
сю
t0 = J te—bt | cos t |dt. (8)
o
Несобственный интеграл в правой части равенства (8) вычисляем аналитически. После раскрытия модуля получаем сумму из трёх интегралов
оо n/2a 5п /2a+2nk/a
fte—bt|cost |dt = f te—btcostdt + / te—btcostdt-
0 0 3n/2a+2nk/a
3n/2a+2nk/a
- f te—btcostdt, k = 0, 1, 2,...
П/2a+2n k/a
Применяя интегрирование по частям к каждому из них получим следующие решения, зависящие от параметра b функционала Z(t),
T»e-bt cos = ib2-i + e-b'/2(n (1 + b2)+ 4b) (10)
J te cosMi (i + b2)2 + 2(1 + b2)2 , (10)
5n/2a+2nk e—2bnk ,
f te—btcostdt = ——(e—3bn/2(3n(1 + b2) + 4b + 4n(1 + b2)k) + 3n/2a+2nk 2(1 +b ) V (11)
+e—5bn/2 (5n (1 + b2) + 4b + 4n (1 + b2)k^,
3n/2a+2nk e—2bnk ,
f te—bt cos tdt = — ——r^ (e—3bn /2(3n (1 + b2) + 4b + 4n (1 + b2)k) +
n/2a+2nk 2(1 +b2 )2V V \ ; (12)
+e—bn/2 (n (1 + b2) + 4b + 4n (1 + b2)k)
Суммируем решения (10)-(12) и получим выражение для вычисления несобственного интеграла (8)
оо
f te—bt | cos t |dt =
0
= 2(1 + b2)^2(b2 — 1) + e—bn/2(n (b2 + 1) + 4b)+
+ ((n (b2 + 1) + 4b) (e—bn/2 + 2e—3bn/2 + e—5bn/2) + (13)
L e—2bnk+ k=0
с \
+4n(1 + b2)(e—bn/2 + 2e—3bn/2 + e—5bn/2) L ke—2bnk).
£=0
Решение (13) содержит сходящиеся ряды. В первом случае ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом равным единице и частным q = , а его сумма принимает вид
^ 1
Е е-2" = ^т»• (14)
£=0 1 е
Во втором случае ряд может быть записан в следующей форме
£ ke-2bnk = ££ e-2bnр k=0 k=l p=k
и сведён к вычислению суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий с первым членом равным е-2Ъпр и частным q = е-2Ъп
та тете —2Ъп
I ке-2Ъпк = Ц е-2Ъпр = е .2. (15)
к=0 к=1 р=к (1 е )
Подставим полученные выражения сумм рядов (14) и (15) в интеграл (13) и в итоге получим аналитическое решение для вычисления времени ожидания ¿о, зависящее от параметра Ъ ядра /(г),
оо
г0 = / ге- ы | ео8 г=
о
= 2(1^(2(Ъ2- !) + е-ЪП/2(п(Ъ2 + 1) + 4Ъ)+
+
(п (b2 + 1) + 4b) (e-bn /2 + 2e-3bn/2 + e-5bn/2) + (16)
1
+4п (1 + b2)( e-3bn/2 + e-5bn/2)
1 _ e-2bn
+4п (1 + b2) (e-bn/2 + 2e-3bn/2 + e-5bn/2)
e -2bn
(1 - e-2bn )2
Вычисленные значения времени ожидания го с использованием решения (16) при постоянной частоте затухания а = 1 и выбранных значениях коэффициента затухания Ъ представлены в таблице.
Таблица
b to to J J(t )dt o
0.1 63.561 0.1
0.5 2.463 0.637
1 0.589 0.423
5 0.036 0.033
10 0.01 0.01
Результаты моделирования и обсуждение
Результаты численного моделирования при заданных параметрах модели представлены на фазовой плоскости управляющих параметров Rem, Ra (рис.). На их основании можно сделать вывод, что включение в МГД-систему воздействия, регулирующего интенсивность а-эффекта, в виде функционала Z(t) со знакопеременным ядром, привело к сокращению области расходимости (неограниченного роста) магнитного поля и увеличению области генерации незатухающих осцилляций магнитного поля, в том числе с инверсиями на фоне слабо
изменяющегося поля скорости, и появлению новых режимов генерации магнитного поля, помимо затухающего, регулярного и неограниченного роста поля, которые получены в случае постоянной интенсивности а-эффекта [18]. Отметим, что при значениях коэффициента затухания b > 1 появляются осцилляции в поле скорости порядка единицы, а в областях с хаотическим режимом генерации магнитного поля осцилляции в поле скорости сопровождаются переменой знака. Таким образом, применимость модели при параметре a = 1 ограничена значениями коэффициента затухания b < 1, поэтому при обсуждении результатов ограничимся только случаями допустимых значений.
Изменения на фазовой плоскости связаны с выбором ядра J(t) функционала подавления Z(t) (6). Важной характеристикой является время ожидания to (время затухания J(t)), которое определяется коэффициентом затухания b (табл.).
Рисунок. Режимы генерации магнитного поля
на плоскости управляющих параметров Rem и Ra. Интенсивность а-эффекта определяется функцией Z(t) с ядром: a) J(t) = e-0,1t cost,
J(t) = „-101,
e cost,
b) J(t) = e '5t cos t, c) d) J(t) = e-5t cos t, e) J(t) = e-10t cost. Белая область - магнитное поле бесконечно возрастает, наклонная штриховка - затухающий режим генерации магнитного поля, светло-серая область - регулярный режим, вертикальная штриховка - стационарный режим, чёрная область - васцилляция, наклонная штриховка на светло-сером фоне - динамо-всплеск, тёмно-серая область - хаотический режим.
Увеличение значений коэффициента затухания Ь приводит к уменьшению значений времени ожидания ¿о, а значит «памяти» процесса. При этом область расходимости поля значительно сокращается с увеличением значений Ь и увеличиваются области регулярного, стационарного, а также хаотического режимов
генерации магнитного поля, в то время как области с режимами васцилляция и динамо-всплеск постепенно уменьшаются и вытесняются вышеуказанными режимами.
В сравнении с результатами моделирования для функционала подавления Z(t) с показательным ядром J(t) [18] использование в качестве ядра затухающей осциллирующей функции приводит к увеличению частоты осцилляций при всех значениях коэффициента затухания b как в магнитном поле, так и в поле скорости. Характерно при значениях b < 1 появление областей с хаотическим режимом генерации магнитного поля на границе между областями регулярного режима и неограниченного возрастания магнитного поля.
Для случая b = 0.1 область незатухающих ограниченных осцилляций уменьшается, практически исчезает область режима динамо-всплеск на границе между областями с регулярным режимом и режимом неограниченного возрастания, что может объясняться уменьшением подавляющего влияния процесса при выборе знакопеременного ядра в связи с уменьшением времени воздействия и мощности интегрального воздействия (интеграл от J(t)) (табл.). Увеличение частоты осцилляций приводит к уменьшению области с режимом васцилляции и появлению области стационарного режима для значений управляющих параметров Rem е (0, 35] и Ra е (0, 30).
Для значения b = 0.5 область незатухающих ограниченных осцилляций в сравнении с [18] незначительно уменьшается, но в нашем случае на границе с областью расходимости магнитного поля появляются небольшие области с режимами динамо-всплеск и хаотическим. Причём они сопровождаются значительными осцилляциями (амплитуда 0.5) в поле скорости без смены знака. Такого же рода осцилляции появлялись и при показательном ядре функционала подавления, но только для значений параметров Rem > 550 и Ra > 60. А также увеличивается область режима васцилляции между областями стационарного и регулярного режимов при Rem е [55, 75] и Ra е (20, 35], что скорее всего также вызвано увеличением частоты осцилляций при выборе знакопеременного ядра.
Когда коэффициент затухания принимает значение b = 1, картина на фазовой плоскости изменяется незначительно по сравнению с результатами для показательного ядра функционала подавления а-эффекта. Отметим, что в этом случае времена ожидания и мощность интегрального воздействия (табл.) практически совпадают, что скорее всего и приводит к совпадению картины на фазовой плоскости управляющих параметров модели. Но есть и отличия в полученных результатах: на границе с областью расходимости магнитного поля вместо области динамо-всплеска появляются области с хаотическим режимом генерации, в поле скорости наблюдаются осцилляции без смены знака с амплитудой до 0.2 при регулярном режиме генерации магнитного поля и до 0.5 — при хаотическом.
Заключение
Включение в рассматриваемую модель процесса Z(t), который задаётся в виде функционала со знакопеременным ядром J(t) и регулирует интенсивность а-эффекта, привело к увеличению области генерации незатухающих ограниченных осцилляций магнитного поля, в том числе с инверсиями на фоне слабо изменяющегося
поля скорости, и появлению новых режимов генерации магнитного поля, помимо затухающего, регулярного и неограниченного роста поля, которые формируются в случае постоянной интенсивности а-эффекта [18].
В результате численного эксперимента при значениях b < 1 получены режимы не только регулярного характера, такие как стационарный, регулярный, васцилляция, динамо-всплеск, но также и нерегулярного - хаотический режим, который характерен для динамо Земли. Области с хаотическим режимом появляются на границе с областью расходимости магнитного поля при значениях управляющих параметров модели Rem > 350 и Ra > 15. Генерация хаотического режима магнитного поля приводит к появлению всплесков с амплитудой до 0.5 в поле скорости.
Использование знакопеременного ядра изменяет в сторону уменьшения времена ожидания и мощность подавляющего воздействия на а-эффект по сравнению с результатами для показательного ядра функционала подавления [18]. В сравнении такие тенденции приводят к уменьшению областей незатухающих ограниченных осцилляций для значений b < 1. Данный выбор ядра вызвал увеличение частоты осцилляций в магнитном поле, а также появление осцилляций, либо увеличение амплитуды и/или частоты осцилляций в поле скорости. Как следствие, в сравнении с результатами работы [18], это привело к увеличению размеров области с режимом васцилляции и уменьшению размеров областей с режимом динамо-всплеска при одинаковых значениях коэффициента затухания, а также появлению областей с хаотическим режимом генерации.
Вне зависимости от выбора функции ядра функционала Z(t), при значениях коэффициента затухания b > 1 сохраняются области с хаотическим и регулярным режимами генерации магнитного поля, где присутствует смена знака в поле скорости, что говорит об ограничениях применимости нашей модели для данных значений коэффициента затухания.
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.
Список литературы/References
1. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А.М. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1981.368 с. [Gledzer Ye. B., Dolzhanskiy F. V., Obukhov A.M. Sistemy gidro-dinamicheskogo tipa i ikh primeneniye. M.: Nauka, 1981.368 pp. (In Russian)]
2. Kono M., Roberts P.H. Recent geodynamo simulations and observations of the field//Reviews of Geophysics, 2002. vol.40, pp. B1-B41.
3. Sokoloff D. D., Stepanov R. A., Frick P. G. Dynamos: from an astrophysical model to laboratory experiments//UFN,2014. vol.184, no.3, pp. 313-335 DOI: 10.3367/UFNr.0184.201403g.0313.
4. Steenbek M., Krause F. Zur Dynamotheorie stellarer and planetarer Magnetfelder. I. Berechnunug sonnenahnlicher Wechselfeldgeneratoren//Astron. Nachr.,1969. no.291, pp. 49-84.
5. Zeldovich Ya. B., Rusmaikin A. A., Sokoloff D.D. Magnetic fields in astrophysics. The Fluid Mechanics of Astrophysics and Geophysics. New York: Gordon and Breach, 1983.382 pp.
6. Parker, E.N. Hydromagnetic dynamo models//Astrophys. /.,1955. no. 122, pp. 293-314.
7. Krause F., Radler K.H. Mean-filed magnetohydrodynamics and dynamo theory. Oxford: Pergamon Press, 1980.271 pp.
8. Steenbek M., Krause F., Radler K.H. Berechnung der mittlerer Lorentz-Field Starke v x B fur ein elektrisch leitendes Medium in turbulenter, durch Coriolis-Krafte beenflusster Bewegung//Z. Naturforsch., 1996. no.21, pp. 369-376.
9. Соколов Д. Д., Нефедов С. Н.Маломодовое приближение в задаче звездного динамо//Выч. мет. программирование, 2007. Т. 8, №2, С. 195-204. [Sokoloff D. D., Nefedov S. N. A small-mode approximation in the stellar dynamo problem// Num. Meth. Prog., 2007. vol.8, no. 2, pp. 195-204 (in Russian)].
10. Vodinchar G. M., Feshchenko L. K. Model of geodynamo dryven by six-jet convection in the Earth's core// Magnetohydrodynamics, 2016. vol.52, no. 1, pp. 287-300.
11. Водинчар Г. М., Паровик Р. И., Пережогин А. С., Шереметьева О. В. Работы по моделированию физических процессов и систем в институте космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН//История науки и техники, 2017. №8, С. 100-112. [Vodinchar G. M., Parovik R. I., Perezhogin A. S., Sheremetyeva O. V. Simulation of physical processes and systems in institute of cosmophysical research and radio wave propagation FEB RAS//Istoriya nauki i tehniki [History of Science and Engineering],2017. no.8, pp. 100-112 (in Russian)].
12. Merril R. T., McElhinny M. W., McFadden P. L. The Magnetic Field of the Earth: Paleomagnetism, the Core, and the Deep Mantle. London: Academic Press, 1996.531 pp.
13. Водинчар Г.М. Использование собственных мод колебаний вязкой вращающейся жидкости в задаче крупномасштабного динамо//Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2013. №2(7), С. 33-42 DOI: 10.18454/2079-6641-2013-7-2-33-42. [Vodinchar G. M. Using Modes of Free Oscillation of a Rotating Viscous Fluid in the Large-Scale Dinamo// Vestnik KRAUNTS. Fiz.-Mat. Nauki [Bulletin KRASEC. Phys. & Math. Sci.],2013. vol.7, no.2, pp. 33-42 (in Russian)].
14. Godomskaya A. N., Sheremetyeva O. V. Reversals in the low-mode model dynamo with aQ-generators//E3S Web of Conferences,2018. vol.62, pp. 02016 DOI: 10.1051/ e3sconf/20186202016.
15. Godomskaya A. N., Sheremetyeva O. V. Modes of magnetic field generation in models of a aQ-dynamo with a power type a-generator//E3S Web of Conferences, 2019. vol.127, pp. 02016 DOI: 10.1051/e3sconf /201912702016.
16. Годомская А. Н., Шереметьева О. В. Режимы генерации магнитного поля в модели aQ-динамо с а-генератором степенного типа//Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2019. №4(29), С. 58-66 DOI: 9.26107/2079-6641-2019-29-4-58-66. [Godomskaya A. N., Sheremet'yeva O. V. Rezhim generatsii magnitnogo polya v modeli аQ -dinamo s а-generatorom stepennogo tipa // Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki. no.4(29), pp. 58-66 (in Russian)].
17. Godomskaya A. N., Sheremetyeva O. V. Temporal regularities of changing magnetic field generation modes in the model of the аQ-dynam//E3S Web of Conferences, 2020. vol.196, pp. 02030 DOI: 10.1051/e3sconf/202019602030.
18. Шереметьева О. В., Годомская А. Н. Моделирование режимов генерации магнитного поля в маломодовой модели aQ-динамо с изменяющейся интенсивностью а-эффекта//Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 2021. Т. 14, №2, С. 27-38 DOI: 10.14529/mmp210203. [Sheremetyeva O. V., Godomskaya A. N. Modelling the magnetic field generation modes in the low-mode model of the аQ-dynamo with varying intensity of the а-effect// Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr. [Bulletin of the South Ural State University, Series «Mathematical Modelling, Programming&Computer Software»],2021. vol.14, no.2, pp. 27-38 (In Russian)].
19. Feschenko L. K., Vodinchar G. M. Reversals in the large-scale а Q-dynamo with memory// Nonlinear Processes in Geophysics, 2015. vol.22, no. 4, pp. 361-369 DOI: 10.5194/npg-22-361-2015.
20. Водинчар Г. М., Годомская А. Н., Шереметьева О. В. Инверсии магнитного поля в одной ма-ломодовой модели аQ-динамо//Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016. №4(15), С. 1723 DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-17-23. [Vodinchar G. M., Godomskaya A. N., Sheremetyeva O. V. Reversals of the magnetic field in one low-dimensional а Q-dynamo model// Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2016. no. 4(15), pp. 17-23 (in Russian)].
21. Vodinchar G. M., Feshenko L. K. Reversals in the 6-cells convection driven//Bulletin KRASEC. Phys. & Math. Sci., 2015. vol.11, no. 2, pp. 41-50 DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-45-54.
22. Водинчар Г. М. База данных «Параметры собственных мод свободных колебаний МГД полей в ядре Земли»//,2019. №гос. рег. 2019620054. [Vodinchar G. M.Baza dannyh «Parametry sob-stvennyh mod svobodnyh kolebanij MGD polej v yadre Zemli» [Database «Parameters of natural modes of normal oscillations of MHD fields in the Earth's core»]//,2019. no.2019620054].
23. Водинчар Г. М., Фещенко Л.К. Библиотека программ для исследования «Маломодовой модели геодинамо» «LowModedGeodinamoModel»//,2011. №гос. рег. 50201100092. [Vodinchar G. M., Feshenko L. K. Biblioteka programm dlya issledovaniya «Malomodovoj modeli geodinamo» [Library of programs for researching «Low-mode geodynamo model» «LowModedGeodinamoModel»] //,2011. no.50201100092 (in Russian)].
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2021. vol. 37. no. 4. P. 92-103. TSSN 2079-6641
MSC 65N80 Research Article
Modes of magnetic field generation in the low-mode a Q-dynamo model with dynamic regulation of the a-effect by the field energy
O. V. Sheremetyeva
Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation FEB RAS, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia E-mail: sheremeteva@ikir.ru
Tn this paper, we use a low-mode aQ-dynamo model to simulate the modes of magnetic field generation with insignificant changes in the velocity field of a viscous fluid. Within the framework of this model, an additive correction is introduced into the magnetohydrodynamic system to control the intensity of the a-effect in the form of a function Z(t) from the field energy. As the kernel ) of the function Z(t) is chosen the function that determines damped oscillations with the different values of the damping coefficient and a constant damping frequency taken equal to one. The study of the magnetic field behavior is carried out on a large time scales, therefore, for numerical calculations, a rescaled and dimensionless MHD-system is used, where the time of the magnetic field dissipation (104 years) is accepted as the unit of time. The main parameters of the system are the Reynolds number and the amplitude of the a-effect, which contains information about the large-scale and turbulent generators, respectively. According to the results of numerical simulation, an increase in the values of the damping coefficient is characterized an increase in the inhibition effect of the process Z(t) on the a-effect and decrease of the magnetic field divergence region on the plane of the main parameters.
Keywords: large-scale dynamo model, aQ-dynamo, magnetic field, inversions. DOT: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-92-103
Original article submitted: 22.10.2021 Revision submitted: 15.11.2021
For citation. Sheremetyeva O.V. Modes of magnetic field generation in the low-mode aQ-dynamo model with dynamic regulation of the a-effect by the field energy. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 37: 4,92-103. DOT: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-92-103
Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Sheremetyeva O. V., 2021
Funding. The work was carried out as part of the state assignment on the topic "Physical processes in the system of near space and geospheres under solar and lithospheric influences" (No. AAAA-A21-121011290003-0).
