CC BY
39
<51 2 в граничном условии (11) и коэффициентов при а2 во втором условии сопряжения (12) для трех параметров 3(- получим систему трех алгебраических уравнений, решение которой имеет вид
Ь
ai = ■
f2 X f2
a3 = —, a2 =-------------------------------2-------->
s s( Xc + rs)
где в = ЭЬХ I , С = сЬX I, при этом коэффициенты во втором условии (12) при а1 совпадают тождественно. Отсюда решение (13) задачи (11), (12) примет вид
вМ/п , XсЛХп + гвЬХц . \ г
----1 ^а1 +-------!1 а2 1сХ
u( k,n) = J
Xc + rs
Полученное решение содержит две квадратуры (внешнюю и внутреннюю в коэффициентах Фурье) от сильно осциллирующих функций при X ^ Ю , что делает это решение малоэффективным для приложений.
Для дробей, входящих в полученное решение, имеем
2ёк
2Є
в 1 - в 1 Хс + гв (X + г)(1 + ц) где ц = в'211 [1 - 2г(X + г)-1], при этом | ц | < 1 при 0 < X < со. Раскладывая дроби (1 - е21)-1 и (1 + ц)-1 в геометрические прогрессии и выделяя в (13) выражения (6)-(8), окончательно приведем решение задачи (11), (12) к виду
и = 2{ П 5, п - (2п + 1)1) - п( 5 ,-П - (2п + 1)1) +
п-0
+ (-1)п 2Ск(-2г)к[Фк&,ц - (2п +1)1) + Фк(5, п - (2п +1)1)
к=0
-2г Ф к+1( 5 ,-п - (2п + 1)1)] } (14)
где п(5,п) = {[Р(5,п) - Р(-5,п)], Фк(5,п) при
к = 1,2,.. имеет вид (9),
Фо( 5, п) = \[Г( 5, п) + р(-5, п)].
Отсюда решение исходной задачи строится по формулам (14), (10), где переменные 5, п имеют вид (3).
Список литературы
1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. - 431 с.
2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 735 с.
3. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47. - № 9. -С. 1550-1556.
4. Холодовский С.Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с прямолинейной трещиной (завесой) // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48. -№ 7. - С. 1209-1213.
5. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 6. -С. 855- 859.
1
1
s
о
УДК 539.217 ББК 3 221.8
А.А. Турулев
Резонаторные исследования пресного льда на частоте 3,3 ГГц
Приведены экспериментальные результаты диэлектрических потерь льда, не содержащего солевых и органических включений, в прямоугольном резонаторе при полном его заполнении на частоте 3,3 ГГц. Обнаружено уменьшение диэлектрических потерь льда перед фазовым переходом лед-вода.
Ключевые слова: резонатор, диэлектрическая проницаемость, лед.
A.A. Gurulev
Resonator Research of Ice on a Frequency of 3, 3 GHz
The article presents the experimental results of microwave dielectric losses of ice lack of salt and organic inclusions. The decreasing of ice dielectric losses was detected on a frequency of 3, 3 GHz before the ice-water transition.
Key words: resonator, dielectric constant, ice.
Над большей частью России, а также других стран в зимнее время преобладает отрицательная температура воздуха. Это приводит к появлению различных видов криогенных об-
Ученые записки ЗабГГПУ
разований, таких как мерзлый грунт, снег, ледяной покров водоемов, ледников и т.д.
Знание физических свойств вышеперечисленных объектов имеет очень большое научное и практическое значение, особенно для решения задачи интерпретации данных дистанционного зондирования Земли. Исследование электромагнитных свойств льда связано преимущественно с измерением его диэлектрических свойств, так как магнитные свойства льда практически не выражены (магнитная проницаемость близка к единице).
Одним из методов исследования диэлектрических свойств сред является резонатор-ный метод измерений.
Особенности резонаторного метода измерений
Объемный резонатор представляет собой замкнутую полость, ограниченную металлическими стенками, внутри которой существуют электромагнитные колебания. Изолированный объем выступает в роли «накопителя» и «хранителя» электромагнитной энергии. Поле в таких структурах может существовать только на фиксированных частотах.
Если исследуемый образец является однородным и не имеет внутренних особенностей, то его резонансная кривая имеет виц лоренцо-вого распределения. Вид такой кривой показан на рис. 1. Из данной кривой можно определять как мнимую часть комплексной диэлектрической проницаемости, так и действительную её часть по формулам:
£ = (~^)2, max
,, , Af
£ = £
fmax
где є - действительная часть комплексной
гг
диэлектрической проницаемости; є - мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости; f0 - собственная частота пустого
резонатора; fmax - измеренная частота резонанса; Дf = fH - fL - разность частот на уровне 3 дБ.
Действительная часть комплексной диэлектрической проницаемости среды характеризует поляризуемость молекул образца под действием электромагнитного поля.
Мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости среды называется также фактором электромагнитных потерь в образце и характеризует затухание электромагнитных волн при прохождении сквозь среду.
Методика измерений
Для исследований диэлектрических параметров льда применялась установка, схема которой показана на рис. 2. Исследуемый образец изготавливался из дистиллированной воды с концентрацией солей 1 мг/кг. Резонатор, наполненный льдом, помещался в морозильную камеру с температурой -15° С. Нагрев образца осуществлялся с помощью подогрева резонатора. Скорость нагрева была постоянной и составляла 2 °С/мин. При полном уменьшении резонансной кривой, что говорит о том, что во льду появилось большое количество влаги, подогрев льда прекращался и лед начинал охлаждаться до начальной температуры. Температура льда регистрировалась с помощью термопары. Запись резонансных линий осуществлялась с помощью двенадцатиразрядного АЦП на компьютер.
Из полученных данных анализировалась резонансная кривая. С использованием вышеприведенных формул определялись диэлектрические параметры льда.
Результаты измерений
По мере нагревания образца льда происходит уменьшение амплитуды резонансной кривой, что показано на рис. 3. Однако при приближении к температуре фазового перехода наблюдается некоторое ее увеличение.
На рис. 4 приведены результаты поведения действительной и мнимой частей комплексной диэлектрической проницаемости льда. Как видно из графика, около температуры фазового перехода, перед непосредственным разрушением льда происходит резкое уменьшение є ". Однако при нагревании льда є увеличивается, а при охлаждении льда -уменьшается, что видно из приведенного графика.
Отношение полуширин нижней по частоте и верхней по частоте резонансной кривой на уровне 3 дБ показано на рис. 5. Для лоренцо-вого распределения данное отношение должно быть равным единице. Однако, как видно из полученного графика, наблюдаются отклонения измеренного отношения от единицы, и в некоторых точках отклонение достигает 20% от средней величины. Причем полученные вариации больше при охлаждении образца льда.
Данное поведение резонансной кривой может быть обусловлено появлением жидкой фазы в исследуемом образце льда при его нагревании.
Таким образом, показано, что микроволновые свойства льда на частоте 3,3 ГГц имеют ряд особенностей:
- обнаружено резкое уменьшение мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости льда при приближении его температуры к температуре фазового перехода лед-вода, которые сопровождались первоначальным ростом;
Список литературы
1. Богородский В. В., Гаврило В. П. Лед. Физические свойства. Современные методы гляциологии. Л.: Гидрометеоиздат,. 1980. 384 с.
2. Бордонский Г. С. Электромагнитные свойства вблизи температуры фазового перехода вода-лед // Физика твердого тела. 2005. Т. 47. №4. С. 691-695.
3. Бордонский Г. С., Истомин А. С., Цыренжапов С. В. Зависимость действительной части диэлектрической проницаемости пресного льда от температуры и времени в сантиметровом диапазоне // Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. ХЬУ. №12. С. 1043-1048.
4. Лебедев И. В. Техника и приборы СВЧ: учебник для студентов вузов по специальности «Электронные приборы». М.: Высшая школа, 1970. 440 с.: ил.
- при резонаторных исследованиях необходимо учитывать поведение резонансной кривой, особенно при температурных измерениях;
- отношение полуширин резонансной кривой может нести в себе информацию о состоянии льда и процессов в нем протекающих, что требует дальнейшего исследования.
УДК 510 (022)
ББК В 11
И.А. Ефимова
О решении смешанных краевых задач типа (1, 3) для уравнения Лапласа
Рассмотрены смешанные краевые задачи в различных областях с граничными условиями первого и третьего рода на различных участках их границ. Методом свертывания разложений Фурье решения задач непосредственно выражены через решение классической задачи Дирихле в полуплоскости.
Ключевые слова: смешанные краевые задачи с граничными условиями первого и третьего рода, метод свертывания разложений Фурье.
I.A. Ephimova
On Solving Mixed Boundary Value Problems of (1, 3) Type for Laplace Equation
The author considers mixed boundary value problems with boundary conditions of the first and the third types. The problems were solved by means of Fourier method and expressed through Dirichlet problem solution.
Key words: mixed boundary value problems with boundary conditions of the first and the third types, , a method of convolution of Fourier expansions.
Известно, что смешанные краевые задачи, особенно с граничными условиями третьего рода, вызывают большие математические трудности, как в смысле построения аналитических решений этих задач, так и в смысле практического использования полученных решений [1; 2]. Именно построение функции Грина для таких задач достаточно сложно. Применение к указанным задачам метода потенциалов простого или двойного слоя приводит к интегральным уравнениям с неизвестной плотностью, которые решаются приближенно итерационными методами. Решения же, полученные методом Фурье, малоэффективны для приложений, т.к. содержат бесконечные промежутки интегрирования от сильно осциллирующих функций, что затрудняет их аппроксимацию. Отметим, что граничные условия третьего рода моделируют неидеальный контакт с внешней средой, что в частности соответствует наличию слабопроницаемой пленки [3].
В данной статье методом свертывания разложений Фурье [3-5] построено эффективное решение смешанной краевой задачи в полосе, полуполосе, квадранте и других областях с граничными условиями третьего и первого рода.
1. Рассмотрим в полосе (х е Я0 < у < I) смешанную краевую задачу Ди = 0, ии=| = Цх), дуи - у и1у=о = 0, (1)
