РЕШЕТОЧНЫЙ МЕТОД БОЛЬЦМАНА В ЗАДАЧАХ КОНДУКТИВНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА С УЧЕТОМ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ В МАТЕРИАЛЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФестникВТУИМ/Proceedings of VSUET ISSN 2226-910X E-ISSN 2310-1202

DOI: http://doi.org/1Q.20914/231Q-12Q2-2Q21-3-191-197_Оригинальная статья/Research article_

УДК 536.662_Open Access Available online at vestnik-vsuet.ru

Решеточный метод Больцмана в задачах кондуктивного _теплопереноса с учетом химических реакций в материале_

Александр Э. Ни 1 [email protected] <В QQQQ-QQQ2-7928-Q329 _Ксения Б. Ким 2 [email protected] 0000-0001-5564-8267

1 Томский политехнический университет, просп. Ленина, 3Q, г. Томск, 634Q34, Россия

2 Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394Q36, Россия Аннотация. Проведено математическое моделирование процесса теплопроводности в полимерном материале с учетом экзотермических и эндотермических реакций в трехмерной постановке. Краевая задача кондуктивного теплопереноса формулировалась с точки зрения мезоскопического решеточного метода Больцмана (LBM). Дискретизация уравнения Больцмана осуществлялась при помощи D3Q7 схемы. При этом для аппроксимации интеграла столкновения использовалась единовременная релаксация, предложенная Бхатнагаром-Гроссом-Круком. Верификация результатов численного моделирования проводилась путем сравнения с эталонными данными, полученными традиционным методом конечных разностей (FDM). Уравнение теплопроводности аппроксимировалось явными схемами второго порядка по пространству. Для удобства анализа экзотермических и эндотермических реакций мощность внутренних источников выделения и поглощения теплоты задавалась в диапазоне. Выявлено, что температура в ядре материала увеличивается в условиях экзотермической реакции и понижается при учете эндотермической с течением времени. Установлено, что при относительно малом значении времени равном 1QQ с тепловой эффект эндотермической реакции незначителен. Как результат, значение температуры в ядре практически равно начальной и перенос энергии осуществляется только у границ материала. Показано, что атипичный решеточный метод Больцмана воспроизводит аналогичные типичному методу конечных разностей поля температур. Во всех рассмотренных случаях LBM дает корректные профили температуры, а отклонения локальных значений лежат в пределах 5%. Такая погрешность может быть обусловлена неявной конвертацией макроскопических граничных условий первого рода посредством мезоскопической функции распределения. Также установлено, что решеточный метод Больцмана существенно проигрывает в скорости исполнения

расчетной программы традиционному методу конечных разностей при количестве узлов больше 613._

Ключевые слова: решеточный метод, уравнение Больцмана, экзотермическая реакция, эндотермическая реакция, теплопроводность

Lattice Boltzmann method for heat conduction problems with chemical

reactions

Alexander E. Nee Kseniya B. Kim

T

[email protected] 0000-0002-7928-0329 [email protected] 0000-0001-5564-8267

1 National Research Tomsk Polytechnic University, prosp. Lenina, 30, Tomsk, 634034, Russia

2 Voronezh State University of Engineering Technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, 394036, Russia

Abstract. Mathematical modeling of heat conduction in a polymer material is carried out taking into account exothermic and endothermic reactions in a three-dimensional formulation. The boundary value problem of conductive heat transfer was formulated in terms of the mesoscopic lattice Boltzmann method (LBM). The discretization of the Boltzmann equation was carried out using the D3Q7 scheme. In this case, the single relaxation time scheme proposed by Bhatnagar-Gross-Krook was used to approximate the collision integral. The numerical simulation results were verified by comparison with the reference data obtained by the traditional finite difference method (FDM). The heat conduction equation was approximated by explicit schemes of the second order in space. For the convenience of analyzing exothermic and endothermic reactions, the power of internal volumetric sources of heat release and absorption was set in the range of -105 < qv < 105. It was revealed that the temperature in the core of the material increases under the conditions of an exothermic reaction and decreases when the endothermic one is taken into account over time. It was found that at a relatively short time of 100 s, the heat effect of the endothermic reaction is insignificant. As a result, the value of the temperature in the core is practically equal to the initial one and the energy transfer occurs only at the boundaries of the material. It is shown that the atypical lattice Boltzmann method reproduces the temperature fields similar to the typical finite difference method. In all considered cases, LBM gives correct temperature profiles, and deviations of local values are within 5%. Such an error may be due to an implicit conversion of macroscopic boundary conditions of the first kind by means of a mesoscopic distribution function. It was also found that the lattice Boltzmann method significantly loses in the execution

speed of the computational program to the traditional method of finite differences when the number of nodes is more than 613._

Keywords: lattice method, Boltzmann equation, exothermic reaction, endothermic reaction, thermal conductivity

Введение

Решеточный метод Больцмана (Lattice Boltzmann method или LBM) является относительно новым инструментом для решения задач газовой динамики и тепломассопереноса [1-4]. Ядром этого метода является решеточное уравнение Больцмана, которое представляет собой особую форму кинетического уравнения Больцмана, дискретизированного по пространству и времени. LBM можно рассматривать как подход статистической физики, существенно отличающийся от «традиционных» макроско-

Для цитирования

Ни А.Э., Ким К.Б. Решеточный метод Больцмана в задачах

кондуктивного теплопереноса с учетом химических реакций в

материале // Вестник ВГУИТ. 2021. Т. 83. № 3. С. 191-197. doi:10.20914/2310-1202-2021-3-191-197

пических методов механики сплошной среды, которые обычно применяются при моделировании процессов химической инженерии.

В рамках решеточного метода Больцма-на анализируется микродинамика условных частиц с помощью упрощенных кинетических моделей. Кинетическая природа привносит многие отличительные особенности LBM от «традиционных» численных методов, такие как простота численной реализации и естественный параллелизм. Во многом эти особенности и привлекают исследователей к использованию LBM.

For citation

Nee A.E., Kim K.B. Lattice Boltzmann method for heat conduction problems with chemical reactions. Vestnik VGUTT [Proceedings of VSUET]. 2021. vol. 83. no. 3. pp. 191-197. (in Russian). doi:10.20914/2310-1202-2021-3-191-197

© 2Q21, Ни А.Э., Ким К.Б. / Nee A.E., Kim K.B.

This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License

2

Следует отметить, что рассматриваемый метод преимущественно используется для решения задач гидрогазодинамики [5, 6]. В этой связи, представляет интерес оценка возможности применения LBM для анализа процесса теплопроводности в твердом материале с учетом химической реакции. Таким образом, целью настоящей работы является математическое моделирование процесса кондуктивного теп-лопереноса мезоскопическим решеточным методом Больцмана.

Материалы и методы

Рассматривается краевая задача пространственного кондуктивного теплопереноса. Область решения представлена в виде, например, полимерного материала кубической формы (рисунок 1).

Рисунок 1. Область решения Figure 1. Solution domain

Предполагается, что теплофизические свойства материала не зависят от температуры. На границах задаются краевые условия первого рода. Макроскопическое уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая имеет следующий вид:

dt ~ a' 8x2 + 8y2 + dz2 l +

с' р

(1)

где T - температура, К; t - время, с; a - коэффициент температуропроводности, м2/с; х, y, z - декартовы координаты, м;

= Чхии-К 'р'exp( -RETj - объемный

источник выделения или поглощения теплоты за счет химической реакции, Вт/м3; с - удельная изобарная теплоемкость, Дж /(кг'К); р - плотность, кг/м3.

Уравнение (1) замыкается следующими начальными и граничными условиями:

t = 0: T(х,y,z,0) = T0, (2)

t > 0, х = 0,0 <y <L, 0 < z <L : T = T1, (3) t > 0, х = 1,0 < y < L, 0 < z < L : T = Tl, (4) t > 0, y = 0, 0 < х < L, 0 < z < L : T = T2, (5) t > 0, y = 1, 0 < х < L, 0 < z < L : T = T2, (6) t > 0, z = 0, 0 < х < L, 0 < y < L : T = T3, (7)

t > 0, 2 = 1, 0 < х < L, 0 < у < L : Т = Т3. (8) Рассматриваемый процесс можно также описать при помощи кинетического уравнения Больцмана вида:

f + u 'Vf =Q ,

8t

(9)

где f - функция распределения, кг/м ; О - интеграл столкновения, кг / (с м3); и - вектор скорости, м/с.

Применяя трехмерную семискоростную схему (рисунок 2) и BGK аппроксимацию, получим решеточные уравнения Больцмана:

+ и-У/к = -/к) + Sk, (10)

где - равновесная функция распределения, кг/м3; = • • р - источниковый член, кг / (см3); - частота релаксации, 1/с; к = 1.7.

Рисунок 2. Схема D3Q7 Figure 2. D3Q7 scheme

Уравнение (10) может быть дискретизи-ровано как:

f(x + Ck-At, t + At) =

= fk(x, t) + At• ю-[/-(x, t)-f (x, t)] + At-St.(11)

Равновесная функция распределения для D3Q7 схемы рассчитается как:

feq=Р'

1+з' (ct'u)+2' (ck-u )2 - 2' (u'u)

(12)

Поскольку рассматривается процесс теплопроводности, вектор скорости равен нулю. В этом случае равновесная функция распределения принимает частный вид:

f

eq

(13)

Весовые коэффициенты и скорости частиц для схемы D3Q7 имеют следующие значения:

1; к = 1, 4

-1; к = 2..7. 8

НиА.Э., Ким КЯ.ФестникФГУМТ, 2021, Т. 83, №. 3, С-191-197

[email protected]

Согласно теории Чепмена-Энскога температура восстанавливается из функции распределения следующим образом:

T (х, t ) =

= V f

^ fk (х t )•

(14)

Частота релаксации рассчитывалась как: 1

ю =

a I'

c ? -At + 2

(15)

где с - скорость звука в узлах решетки, м/с

На границах задаются следующие условия для функции распределения:

t > 0, х = 0, 0 < у < L, 0 < 2 < L: /7 = Т (w6 + w7)-/6,

(17)

(18)

(19)

(20)

t > 0, х = 1,0 < y < L, 0 < z < L: f6 = T1 (w6 + w7)- f7 t > 0, y = 0, 0 < х < L, 0 < z < L : f2 = T2 (w2 + w3)-f3 t > 0, y = 1, 0 < х < L, 0 < z < L: f3 = T2 (w2 + w3) - f2 t > 0, z = 0,0 < х < L, 0 < y < L: f5 = T3 (w4 + w5)- f4 t > 0, z = 1, 0 < х < L, 0 < y < L : f4 = T3 (w4 + w5) - f5 (21)

Упрощенный алгоритм решения краевой задачи при использовании решеточного метода Больцмана состоит из следующих частей:

• Задаются начальные параметры.

• Начало итерационного цикла.

• Рассчитываются равновесная функция распределения и теплота химической реакции.

• Процедура "Collision" в LBM.

• Процедура "Streaming" в LBM.

• Рассчитывается функция распределения

• Восстанавливается макроскопическая температура из мезоскопической функции распределения.

• Шаги 2 - 7 повторяются до достижения заданного количества итераций.

Результаты и обсуждение

Математическое моделирование процесса кондуктивного теплопереноса проведено при варьировании объемного источника выделения и поглощения теплоты. Для удобства анализа экзотермических и эндотермических реакций qv будет задаваться, а не рассчитываться. Значения входных параметров приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Входные данные

Table 1.

Input data

L 0,1

а 6,22 x10-/

C 750

P 1500

Т0 298

Т1 283

Т2 273

Т3 323

qv 104; 105; -104; -105

на границах полости.

На рисунке 3 приведены поля температур в динамике. Как и можно было предположить, температура в ядре материала увеличивается в условиях экзотермической реакции и понижается при учете эндотермической с течением времени.

(d) (e) (f)

Рисунок 3. Поля температур с учетом экзотермической qv = 105 (a, b, c) и эндотермической qv = -105 (d, e, f реакций при: (a), (d) t = 100; (b), (e) t = 500; (c), (f) t = 1000

Figure 3. Temperature fields taking into account exothermic qv = 105 (a, b, c) and endothermic qv = -105 (d, e, f) reactions at: (a), (d) t = 100; (b), (e) t = 500; (c), (f) t = 1000

k=1

Установлено, что при t = 100 тепловой эффект эндотермической реакции незначителен. Как результат, значение температуры в ядре практически равно начальной и перенос энергии осуществляется только у границ материала. С другой стороны, температура в центре области решения увеличивается примерно на 10 К при рассмотрении экзотермической реакции. С увеличением времени до 500 распределение температур в окрестности нижней и верхней границ изменяется несущественно, в то время как происходит модификация изотерм у других стенок материала при эндотермической реакции. При этом противоположные закономерности теплопереноса можно также выделить в условиях экзотермической реакции. Аналогичные паттерны наблюдаются и при дальнейшем увеличении времени. Для оценки достоверности результатов численного моделирования рассматриваемая краевая задача также решена традиционным методом конечных разностей (FDM). Поскольку решеточный метод Больцмана является явным, дифференциальные уравнения

второго порядка в частных производных аппроксимировались явными конечно-разностными схемами. Для временной производной использовалась схема Эйлера, а для диффузионных слагаемых - центральные разности второго порядка точности по пространству.

На рисунок 4 приведены распределения температур в характерных сечениях. На основании анализа представленных на рисунок 4 данных можно сделать вывод, что решеточный метод Больцмана адекватно воспроизводит рассматриваемые характеристики теплоперено-са. При этом интересно отметить, что наилучшее совпадение результатов достигается в условиях эндотермических реакций. Во всех рассмотренных случаях LBM дает корректные профили температуры, а отклонения локальных значений лежат в пределах 5 %. Такая погрешность может быть обусловлена неявной конвертацией макроскопических граничных условий первого рода посредством мезоскопической функции распределения.

- *

, ' i ■к A A 4 \ v

/ Л é. //•■ 4 At .. • у=0.05, ¿=0.05 FDM . ■ х=в.05, z=0.05 FDM * x-0.05, y-0.05 FDM Л 4

/*• /*■ /*. 1 =0.05, z=0.05 LBM -=0.05, z=0.05 LBM =0.05, y=0.05 LBM

Г1 / ■ •i У — — X - - ■ X A ■Î n

•

0,00

0,02

0,04 0,06

L, м

L, m

(b)

0,06

0,10

320300280-H 260 240-

• у =0.05, z=0.05 Г DM » х=0.05, z-O.Oi FDM

* x=0,05. y=0.05 FDM

-y =0.05, z=0.05 LBM

--x-0.05, 2-0.05 LBM

• • • x=0.05. y=0.05 LBM

'"Sîîi*_.rtiîî««1 "

220

0,00 0,02 0,04 0,06

L, M

L, m (d)

Рисунок 4. Распределения температур при: (a) qv = 104; (b) qv = 105; (c) qv = -104; (d) qv = -105 Figure 4. Distribution of temperatures at: (a) qv = 104; (b) qv = 105; (c) qv = -104; (d) qv = -105

0,08

0,10

Ни Я-Э., Ким К Б. ВестникШУИТ, 2021, Т. 83, №. 3, С. 191-197

Хорошо видно, что изотермические условия выполняются с ошибкой при LBM. Одним из вариантов решения этой проблемы представляется принудительное задание параметров на стенках материала после шага восстановления температуры из функции распределения. Также следует отметить, что решеточный метод Больцмана воспроизводит большие / меньшие значения температуры в условиях экзотермических / эндотермических реакций. Возможно, понижение частоты релаксации приведет к лучшему согласованию результатов численного моделирования. Известно, что при решении задач гидрогазодинамики LBM имеет преимущество перед традиционными численными методами в скорости расчета программы. В этой связи, представляет интерес оценка вычислительной производительности решеточного метода Больцмана при моделировании процесса теплопроводности.

На рисунке 5 представлены времена исполнения программ при варьировании количества узлов расчетной сетки.

На основании сравнительного анализа установлено, что решеточный метод Больцма-на существенно проигрывает традиционному методу конечных разностей при количестве узлов > 613.

Однако, такой результат в некотором смысле предсказуем, поскольку при решении задач теплопроводности отсутствует необходимость решать стационарные уравнение неразрывности потока и Пуассона для поля давления на каждом шаге по времени как в случае численного анализа процессов газовой динамики. Более того, при использовании трехмерной семискоростной схемы решается семь уравнений для функции распределения, в то время

[email protected] как при применении классического метода конечных разностей - одно уравнение энергии.

Рисунок 5. Время расчета программ при t = 1000 Figure 5. Time of calculation of programs at t = 1000

Заключение

Численно проанализирован пространственный процесс кондуктивного теплопереноса в полимерном материале с учетом экзотермических и эндотермических реакций. По результатам проведенных исследований установлено, что относительно новый решеточный метод Больцмана корректно воспроизводит поля температур. Однако при решении задач теплопроводности LВМ уступает в скорости расчета традиционным численным методам. Дальнейшие направления исследований могут включать постановку нелинейных граничных условий и учет термического разложения материала.

Благодарности

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда № 21-7900011.

Литература

1 Rahimi A., Kasaeipoor A., Amiri A., Doranehgard M.H. et al. Lattice Boltzmann method based on Dual-MRT model for three-dimensional natural convection and entropy generation in CuO-water nanofluid filled cuboid enclosure included with discrete active walls // Computers & Mathematics with Applications. 2018. V. 75. P. 1795-1813. doi: 10.1016/j.camwa.2017.11.037

2 Dixit H.N., Babu V. Simulation of high Rayleigh number natural convection in a square cavity using the lattice Boltzmann method // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2006. V. 9. P. 727-739. doi: 10.1016/j.ij heatmasstransfer.2005.07.046

3 Esfahani J.A., Norouzi A. Two relaxation time lattice Boltzmann model for rarefied gas flows // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2014. V. 393. P. 51-61. doi: 10.1016/j.physa.2013.08.058

4 Frapolli N., Chikatamarla S.S., Karlin I.V. Entropic lattice Boltzmann simulation of thermal convective turbulence // Computers & Fluids. 2018. V. 175. P. 2-19. doi: 10.1016/j.compfluid.2018.08.021

5 Zhuo C., Zhong Ch. LES-based filter-matrix lattice Boltzmann model for simulating turbulent natural convection in a square cavity // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2013. V. 42. P. 10-22. doi: 10.1016/j.ijheatfluidflow.2013.03.013

6 Obrecht Ch., Kuznik F., Tourancheau B., Roux J. - J. Multi-GPU implementation of a hybrid thermal lattice Boltzmann solver using the TheLMA framework // Computers & Fluids. 2013. V. 80. P. 269-275. doi: 10.1016/j.compfluid.2012.02.014

7 Rahimi A., Azarikhah P., Kasaeipoor A., Hasani Malekshah E. et al. Lattice Boltzmann simulation of free convection's hydrothermal aspects in a finned/multi-pipe cavity filled with CuO-water nanofluid // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. 2019. V. 29. P. 1058-1078. doi: 10.1108/HFF-07-2018-0349

8 Izadi M., Mohebbi R., Chamkha A. et. al. Effects of cavity and heat source aspect ratios on natural convection of a nanofluid in a C-shaped cavity using Lattice Boltzmann method // Int. J. Numer. Method H. 2018. V. 28. P. 1930-1955. doi: 10.1108/HFF-03-2018-0110

9 Hammouda S., Amam, B., Dhahri H. Viscous dissipation effects on heat transfer for nanofluid flow over a backward-facing step through porous medium using lattice boltzmann method // Journal of Nanofluids. 2018. V. 7. P. 668682. doi: 10.1166/jon.2018.1491

10 Lallemand P., Lou L-S. Hybrid finite-difference thermal lattice Boltzmann equation // International Journal of Modern Physics B. 2003. V. 17. P. 41-47.

11 Rahimi A., Kasaeipoor A., Amiri A., Hasani Malekshah E. et al. Lattice Boltzmann numerical method for natural convection and entropy generation in cavity with refrigerant rigid body filled with DWCNTs-water nanofluid-experimental thermo-physical properties // Thermal Science and Engineering Progress. 2018. V. 5. P. 372-387. doi: 10.1016/j.tsep.2018.01.005

12 Avramenko A.A., Tyrinov A.I., Shevchuk I.V., Dmitrenko N.P. et al. Mixed convection in a vertical flat microchannel // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2017. V. 106. P. 1164-1173. doi: 10.1016/j.ij heatmasstransfer.2016.10.096

13 Avramenko A.A., Tyrinov A.I., Shevchuk I.V., Dmitrenko N.P., Kravchuk A.V., Shevchuk V.I. Mixed convection in a vertical circular microchannel // International Journal of Thermal Sciences. 2017. V. 121. P. 1-12.

14 Javaherdeh K., Azarbarzin T. Lattice boltzmann simulation of nanofluid mixed convection in a lid-driven trapezoidal enclosure with square heat source // Journal of Nanofluids. 2017. V. 6. P. 1188-1197. doi: 10.1166/jon.2017.1398

15 Arun S., Satheesh A., Chamkha A.J. Numerical Analysis of Double-Diffusive Natural Convection in Shallow and Deep Open-Ended Cavities Using Lattice Boltzmann Method // Arab. J. Sci. Eng. 2020. V. 45. P. 861-876. doi: 10.1007/s13369-019-04156-3

16 Sukop M.C., Thorne D.T, Jr. Lattice Boltzmann Modeling An Introduction for Geoscientists and Engineers // Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2006. V. 2007. P. 177.

17 Mohamad A.A. Lattice Boltzmann Method Fundamentals and Engineering Applications with Computer Codes // Springer-Verlag London Limited. 2011. P. 195. doi: 10.1007/978-0-85729-455-5

18 Succi S. The Lattice Boltzmann Equation for fluid dynamics and beyond. Clarendon Press. Oxford. 2001. 299 p.

19 Guo Zh., Shu Ch. Lattice Boltzmann method and its applications in engineering. World Scientific, Singapore, 2013. 420 p. doi: 10.1142/8806

20 Krüger T., Kusumaatmaja H., Kuzmin A., Shardt O. et al. The Lattice Boltzmann Method: Principles and Practice. Springer, Switzerland. 2017. 230 p.

References

1 Rahimi A., Kasaeipoor A., Amiri A., Doranehgard M.H. et al. Lattice Boltzmann method based on Dual-MRT model for three-dimensional natural convection and entropy generation in CuO-water nanofluid filled cuboid enclosure included with discrete active walls. Computers & Mathematics with Applications. 2018. vol. 75. pp.1795-1813. doi: 10.1016/j.camwa.2017.11.037

2 Dixit H.N., Babu V. Simulation of high Rayleigh number natural convection in a square cavity using the lattice Boltzmann method. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2006. vol. 9. pp. 727-739. doi: 10.1016/j.ij heatmasstransfer.2005.07.046

3 Esfahani J.A., Norouzi A. Two relaxation time lattice Boltzmann model for rarefied gas flows. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2014. vol. 393. pp. 51-61. doi: 10.1016/j.physa.2013.08.058

4 Frapolli N., Chikatamarla S.S., Karlin I.V. Entropic lattice Boltzmann simulation of thermal convective turbulence. Computers & Fluids. 2018. vol. 175. pp. 2-19. doi: 10.1016/j.compfluid.2018.08.021

5 Zhuo C., Zhong Ch. LES-based filter-matrix lattice Boltzmann model for simulating turbulent natural convection in a square cavity. International Journal of Heat and Fluid Flow. 2013. vol. 42. pp. 10-22. doi: 10.1016/j.ijheatfluidflow.2013.03.013

6 Obrecht Ch., Kuznik F., Tourancheau B., Roux J. - J. Multi-GPU implementation of a hybrid thermal lattice Boltzmann solver using the TheLMA framework. Computers & Fluids. 2013. vol. 80. pp. 269-275. doi: 10.1016/j.compfluid.2012.02.014

7 Rahimi A., Azarikhah P., Kasaeipoor A., Hasani Malekshah E. et al. Lattice Boltzmann simulation of free convection's hydrothermal aspects in a finned/multi-pipe cavity filled with CuO-water nanofluid. International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. 2019. vol. 29. pp. 1058-1078. doi: 10.1108/HFF 07-2018-0349

8 Izadi M., Mohebbi R., Chamkha A. et. al. Effects of cavity and heat source aspect ratios on natural convection of a nanofluid in a C-shaped cavity using Lattice Boltzmann method. Int. J. Numer. Method H. 2018. vol. 28. pp. 1930-1955. doi: 10.1108/HFF 03-2018-0110

9 Hammouda S., Amam, B., Dhahri H. Viscous dissipation effects on heat transfer for nanofluid flow over a backward-facing step through porous medium using lattice boltzmann method. Journal of Nanofluids. 2018. vol. 7. pp. 668682. doi: 10.1166/jon.2018.1491

10 Lallemand P., Lou L-S. Hybrid finite-difference thermal lattice Boltzmann equation. International Journal of Modern Physics B. 2003. vol. 17. pp. 41-47.

Ни А.Э., Ким %Б.Вестник,ВГУМТ, 2021, Т. 83, №. 3, С. 191-197

[email protected]

11 Rahimi A., Kasaeipoor A., Amiri A., Hasani Malekshah E. et al. Lattice Boltzmann numerical method for natural convection and entropy generation in cavity with refrigerant rigid body filled with DWCNTs-water nanofluid-experimental thermo-physical properties. Thermal Science and Engineering Progress. 2018. vol. 5. pp. 372-387. doi: 10.1016/j.tsep.2018.01.005

12 Avramenko A.A., Tyrinov A.I., Shevchuk I.V., Dmitrenko N.P. et al. Mixed convection in a vertical flat microchannel. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2017. vol. 106. pp. 1164-1173. doi: 10.1016/j.ij heatmasstransfer.2016.10.096

13 Avramenko A.A., Tyrinov A.I., Shevchuk I.V., Dmitrenko N.P., Kravchuk A.V., Shevchuk V.I. Mixed convection in a vertical circular microchannel. International Journal of Thermal Sciences. 2017. vol. 121. pp. 1-12.

14 Javaherdeh K., Azarbarzin T. Lattice boltzmann simulation of nanofluid mixed convection in a lid-driven trapezoidal enclosure with square heat source. Journal of Nanofluids. 2017. vol. 6. pp. 1188-1197. doi: 10.1166/jon.2017.1398

15 Arun S., Satheesh A., Chamkha A.J. Numerical Analysis of Double-Diffusive Natural Convection in Shallow and Deep Open-Ended Cavities Using Lattice Boltzmann Method. Arab. J. Sci. Eng. 2020. vol. 45. pp. 861-876. doi: 10.1007/s 13369-019-04156-3

16 Sukop M.C., Thorne D.T, Jr. Lattice Boltzmann Modeling An Introduction for Geoscientists and Engineers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2006. vol. 2007. pp. 177.

17 Mohamad A.A. Lattice Boltzmann Method Fundamentals and Engineering Applications with Computer Codes. Springer-Verlag London Limited. 2011. pp. 195. doi: 10.1007/978-0-85729-455-5

18 Succi S. The Lattice Boltzmann Equation for fluid dynamics and beyond. Clarendon Press. Oxford. 2001. 299 p.

19 Guo Zh., Shu Ch. Lattice Boltzmann method and its applications in engineering. World Scientific, Singapore, 2013. 420 p. doi: 10.1142/8806

20 Krüger T., Kusumaatmaja H., Kuzmin A., Shardt O. et al. The Lattice Boltzmann Method: Principles and Practice. Springer, Switzerland. 2017. 230 p.

Сведения об авторах Александр Э. Ни к.ф.-м.н., доцент, Научно-Образовательный центр И.Н. Бутакова, Томский политехнический университет, пр-т. Ленина, 30, г. Томск, 634034, Россия, пее_а1ехшк1ег(й)таД.т https://orcid.org/0000-0002-7928-0329

Ксения Б. Ким к.х.н., доцент, кафедра неорганической химии и химической технологии, Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия, кткветуайуаМех.ги https://orcid.org/0000-0001-5564-8267

Вклад авторов

Все авторы в равной степени принимали участие в написании рукописи и несут ответственность за плагиат

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about authors Alexander E. Nee Cand. Sci. (Phys.-Math.), associate professor, Scientific and Educational Center I.N. Butakovt, Tomsk Polytechnic University, ave. Lenin, 30, Tomsk, 394036, Russia, nee_alexander(S!mail.m

https://orcid.org/0000-0002-7928-0329 Kseniya B. Kim Cand. Sci. (Chem.), associate professor, inorganic chemistry and chemical technology department, Voronezh State University of Engineering Technologies, Voronezh, Russian Federation, av. Revolution, 19, Voronezh, 394036, Russia, kmkseniya(S)y andex.ru https://orcid.org/0000-0001-5564-8267

Contribution

All authors are equally involved in the writing of the manuscript and are responsible for plagiarism

Conflict of interest

The authors declare no conflict of interest.

Поступила 27/07/2021_После редакции 17/08/2021_Принята в печать 03/09/2021

Received 27/07/2021_Accepted in revised 17/08/2021_Accepted 03/09/2021