CC BY
3ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 3, 2021 Электронный журнал, рег. Эл № ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172
http://diffjournal.spbu.ru/ e-mail: _ [email protected]
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений
Решения в полиномах дробно-полиномиальных дифференциальных уравнений, порожденных вторым
уравнением Пенлеве
Хакимова З.Н.1*, Тимофеева Л.Н. 2* Зайцев О.В. 3** ' Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург
о
БГТУ «Военмех» им. Д.Ф. Устинова, Санкт-Петербург
e-mail: *vka@maiLru **zaytsev_oleg1997@maiLru
Аннотация. Построена дискретная псевдогруппа точечных, Беклунда и касательных преобразований для 2-го уравнения Пенлеве, замкнутых в классах обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальной или дробно-полиномиальной правой частью. Построен 36-вершинный граф этой псевдогруппы.
Вычислены решения в полиномах всех полиномиальных и дробно-полиномиальных уравнений орбиты 2-го уравнения Пенлеве при некоторых целых значениях параметра в правой части. Кроме того, указан способ нахождения решений уравнений орбиты 2-го уравнения Пенлеве с произвольными коэффициентами в правой части.
Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), дискретная группа, псевдогруппа преобразований, второе уравнение Пенлеве, трансценденты Пенлеве.
1. Введение
В начале 20-го века и ранее математикам удавалось найти точные решения лишь для отдельных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В конце 20-го века В.Ф. Зайцев [1] разработал дискретно-групповой анализ ОДУ, включающий в себя, в первую очередь, нахождение дискретных групп и псевдогрупп преобразований, замкнутых в исследуемых классах уравнений, а также построение соответствующих графов; далее -
нахождение решений всех уравнений, обозначаемых вершинами графов, если известно решение хотя бы одного уравнения из некоторого подкласса рассматриваемого класса уравнений.
Благодаря этому методу «размножения» решений уравнений по графу дискретной группы или псевдогруппы, за короткий срок научной школой В.Ф. Зайцева были найдены решения тысяч дифференциальных уравнений [2], тогда как раньше были известны лишь немногочисленные разрешимые случаи в исследовавшихся классах ОДУ [3].
Французский математик П. Пенлеве со своим учеником Б. Гамбье на рубеже 19-го и 20-го веков участвовали в поиске ОДУ 2-го порядка, имеющих решения без подвижных критических особых точек (наряду с Э. Пикаром и Р. Фуксом) [4]. Ими были найдены шесть уравнений (которые позже были названы уравнениями Пенлеве), обладающих таким свойством (Р-свойством). Решения этих шести уравнений можно считать специальными функциями наряду с известными специальными функциями.
В данной работе дискретно-групповой анализ был применен к ОДУ с полиномиальными, дробно-полиномиальными правыми частями и ко второму уравнению Пенлеве. Найдены дискретные преобразования, действующие в исследуемых классах уравнений; построены дискретные группы и псевдогруппы преобразований, замкнутые в этих классах уравнений, их графы.
В работе решалась задача нахождения точных решений уравнений. В [5] одним из авторов были получены общие решения для уравнений орбиты второго уравнения Пенлеве через второй трансцендент Пенлеве. В данной работе была решена задача нахождения частных решений уравнений орбиты второго уравнения Пенлеве в полиномах, в рациональных функциях.
В статье были использованы следующие методы дискретно-группового анализа: методы построения дискретных групп и псевдогрупп, их графов; метод «расширения» класса уравнений для получения замкнутости дискретных преобразований; метод «размножения» разрешимых уравнений с помощью дискретных групп и псевдогрупп.
В качестве «отправной» точки для метода «размножения» было использовано рациональное решение второго уравнения Пенлеве, которое существует и единственно для каждого целого значения параметра в правой части второго уравнения Пенлеве [7,8,9]. В качестве примера в статье были вычислены рациональные решения всех уравнений орбиты второго уравнения Пенлеве при некотором целом значении этого параметра. Таким образом, используя рациональные решения второго уравнения Пенлеве, с помощью дискретной псевдогруппы 36-го порядка для этого уравнения были вычислены решения всех остальных 35-ти уравнений орбиты второго уравнения Пенлеве.
Кроме того, был указан способ нахождения рациональных решений уравнений орбиты второго уравнения Пенлеве с произвольными коэффициентами при слагаемых в правой части - аналогично тому, как для орбиты первого уравнения Пенлеве [10].
Все результаты данной статьи были получены авторами самостоятельно.
2. Рассматриваемые уравнения
В данной статье рассматривается 2-е уравнение Пенлеве
У"хх = ХУ + 2 у3 + а, (1)
класс ОДУ 2-го порядка с полиномиальной правой частью
А1хк1у11(у'х)т1(ху'х - у)Щ, (2)
1=1
с дробно-полиномиальной правой частью
Уж = нил^уЧу*ГКхух - у)щ]-1, (3)
а также класс уравнений, обобщающий (2) и (3):
" _ ^31=1А1хк1у11(у'х)т\хУх-у)Щ
Ухх = П=^уЧУх ГК*ух-УГ (4)
Классы уравнений (2), (3) и (4) будем обозначать, соответственно,
ки10т0п1\А1), (5)
[ЪЫ^Л^щ^)]-1, (6)
Т,31=1(к1,11,т1,п1\А1)
Т,1=4(.1<.ьк'тьп1\а1У
3. Группы преобразований для классов уравнений (2), (3), (4)
(7)
Для классов уравнений (2) и (3) были найдены точечные преобразования, замкнутые в этих классах уравнений, в частности, преобразование г, «переставляющее местами» переменную х и искомую переменную у :
т: х = и, у =
1 т „ (8)
Ъ3=1(ки Iо ти щ \А1) —- Ъ33=1(к, ки -т, -щ + 3,щ\ (-1)п^-1А1),
Т
[ЪЫкь к, т1, щ \А1)]-1 — [Ъ3=1(1о ки -т, -щ + 3,щ\(-1)п^-1А1)]-1. (9)
Кроме того, были найдены касательные преобразования, замкнутые в классе дробно-полиномиальных уравнений (4), но они не замкнуты в классах уравнений (2) и (3), а переводят уравнения класса (2) в (3) и наоборот, в частности, преобразование И :
1 Ьщ - и
к: х = —, у =--;-, уг = и,
Щ щ (10)
ЪЫкь11,т0п1\А1)-к-[Ы=1(п1,т1,-к1-11-3,11\(-1)^-1А1)]-1,
[%3=1(ки 1и ти щ \^)]-1 Ъ3=1(щ, ти -к1 -к-3,11\(-1)1^-1А1). (11)
Преобразования г и И являются образующими группы диэдра 12-го порядка
06 = {Е, к, к2, к3, к4, к5, т, кт, к2т, к3т, к4т, к5т}, (12)
элементами которой являются преобразования, замкнутые в классе уравнений (4)[5].
Группа 06 (12) имеет код г2 = И6 = (гИ )2 = Е и граф, изображенный на рис. 1 [6].
Рис. 1. Граф группы Д
Применение группы Д к классу уравнений (2) даёт уравнения, соответствующие вершинам графа на рис. 1. Они помещены в таблицу 1.
Таб. 1. Уравнения-вершины графа Д для класса уравнений (2); уравнения с нечетными _номерами принадлежат классу уравнений (2), с четными - (3)_
1(ки10 ти щ1Ад _
1'
1(10к0 -Ш1-П1 + 3,п11(-1)п^-1А1) Л=1_
3 ,-1
3
^(п1,т1,-к1-11-3,111(-1)1^-1А1) л=1_
-1
3
I
Л = 1
(т1,п1,к1,111А1)
I
1=1
(1и —кг -11-3, -т{ - щ
+ 3,тг1(-1)11+т^)
- - 3,1иЩ,щ1(-1)1'--1А1)
1=1
3
3
1(т0 -т{ -щ + 3, ки -к1 - 11 -¿=1
1(-т,1 -щ + 3, ти 1и -кг -
Л = 1
- 31(-1)к^+т^А1)
-31(-1)1^А{)
I
1=1
(-к^ -11- 3,кищ, -т{ -щ
I
1=1
(1и -к{ -11-3, -т{ - щ
+ 3,т11(-1)^+^А1)
3
3 -1
1(-Ш1 -щ + 3,щ,10к11(-1)п~1А1)
Л = 1
1(щ, -т{ -щ + 3, -к1 -
1л=1
-3,к11(-1)к'+щАд
1
2
3
4
1
1
5
6
1
4. Псевдогруппа преобразований 36-го порядка для второго уравнения
Пенлеве
Поскольку второе уравнение Пенлеве принадлежит классу уравнений (2), то группа Д применима к этому уравнению.
Кроме того, было обнаружено [5], что в классе полиномиальных уравнений (2) действует преобразование Беклунда g1, а также, соответственно, обратное преобразование ^ 1 (они зависят от параметров уравнений):
3
Л , А1 V" А1
д-,. х = ик1+1,у = (щ) 1,ух =--У -;---ик1+1,
У У и УХ к1 + 1 ¿-1^ + 1 1 1=2 1
3
(к1,1,0,0\А1) + У(ки 0Д0|Аг)
=2
д- ( к1 21 + 1 I -^11,-^-^,—,0\---гттг-А, ) +
к1 2 + 1
3
ХГI к;-к1 + 1 21 + 1 I \
+1 [°'--тт-—'<>\- (к1 + 1т +1)' А');
I; — 1л 1
I -1~1 А- 11 1
д-1- х=■ -.у = ^.у^ =
3
(1,11,т,0\А1) + 1(0,11,т,0\А1) ——>
=2
дГ1 ( Ь 1 2 -т
1 1 2 - т
[-^;TT—r0,0|V;+тl^Аl) +
^ + 1т -2 '(11 + 1)2
3
V1/ 11-2^-1 (11-11)(2-т) \
+ У ( 1 , \—'000\ „ 'АЛ
¿-¡\ Ь + 1 ' ' ' 1 (11 + 1)2 7 =2 1 1
(13)
Преобразование g1 1 применимо ко 2-му уравнению Пенлеве (1), благодаря чему для 2-го уравнения была построена псевдогруппа 36-го порядка, граф которой изображен на рис. 2.
3.2' 1.2
2.2
Рис. 2. Граф псевдогруппы преобразований 36-го порядка для второго уравнения Пенлеве
1.1, 8 = И 2г
В таблице 2 приведены уравнения, соответствующие вершинам графа на рис. 2.
Таб. 2 Уравнения орбиты 2-го уравнения Пенлеве
1.1 (1,1,0,011)+ (0Д0,0|2) + +(0,0,0,0|а) 1.1' (1,1,3,01- 1) + (3,0,3,0| - 2) + +(0,0,3,0| - а)
1.2 (0,0, -5,1|1) + (0,0,-6,3|2) + +(0,0,-3,0| - а) -1 1.2' Г(0,0,1,1|1) + (0,0,0,3|2) +1-1 |+(0,0,0,0|а)
1.3 (1, —5,3,0| -1) + (3, -6,3,01 -2) + + (0,-3,3,01а) 1.3' (-5,1,0,0|1) + (-6,3,0,0|2) + +(-3,0,0,0| - а)
1.4 (0,3,1, -5| - 1) + (0,3,0,-612) + +(0,3,0, -3|а) - -1 1.4' (3,0,1, -5| - 1) + (3,0,3,-61 -2)+] +(3,0,0, -3|а)
1.5 (—5,1,0,3| -1) + (-6,0,0,312) + + (-3,0,0,3|а) 1.5' (1, —5,3,01 -1) + (3,-6,3,012) + +(0,-3,3,01а)
1.6 (3,0,1,11- 1) + (3,0,3,0| - 2) + +(3,0,0,0| - а) -1 1.6' (0,3, -5,11 - 1) + (0,3, -6,012) + +(0,3,-3,0|а) -1
2.1 11 (--,--,0, V 2 2 ( 3 + (--,0,0,0 0 ^ + (0,0,0,012) + а -2) 2.1' (11 \Tr-r30 3 + У0,-'3,3,0 -1) +(0,3,0,01-2) + а 2)
2.2 3 + {0,0,-г0 1) +(0,0,-3,01-2) + а 2) 2. 2' 11 У00,--1,-! ( 3 1) + (0,0,0,0|2) + а\ -2) \ -1
2.3 1 3 -11) + (0,-3,3,0\2) + а\ -2) 2.3' 3 I1) + (-3,0,0,0\ - 2) + а\ 2)
2.4 1 3 3 ~2 11) +(0,3,0,-3\2) + а\ 2. 4' (3,0,-\,-2 3 + (3,0,0,-- -11) +(3,0,0,-3\2) + а\
2.5 33 + (--,--.0 —— 3 ¡1) + (-3,0,0,3 \ 2) + а\ -12) 2.5' 1 3 ♦ (о,-3,3,0 -^1) + (0,-3,3,0 \ 2) + а\ -2)
2.6 г/ 1 1 ( 3 + (3,0,0,-- 1\ --) + (3,0,0,0\ - 2) + а\ г) 2.6' (0,3,-2,--2 3 3 '2 11) + (0,3,-3,0\2) + -i—} .
3.1 (-2,-2,0,0\11 (33 +(-3,0,0,0 \1) + а\ 3.1' (-2,-2,3,0\ -1 + 33 + {--,--,3,0 i} + (о,—з,з,о\— Ч)
3.2 (д,0,1,-2\-11 + (0,0,0,0 \ - ( 3 3 )+ ■ + -1 3.2' (0,0,-2,-2\11) + + (0,0,-3,0\1) + ( 3 3 а\ + {0,0,--3,--3-il) -1
3.3 (-2,1,3,-2\1- ( 3 + (^,0,3,0 ^^л30 \ 2)+ а\ г) 3.3' (1,-2,0,0\ -( 3 ^ + (0,0,0,0 \-1) + а\ --) 2)
3.4 (0,3,-2,1\11 ( 3 ^ + (0,3,-3,0\ -1) + 2) 1 3.4' 1 3 | + (3,0,0,0\1) + 2) - -1
3.5 (1,-2,0,3\11 ( 3 +(0, —30,31—+ ) 3.5' (-2,1,3,0\11) ( 3 + (--, 0,3,0 + (0,0,3,0\ - 1) + а\ г)
3.6 (3,0,-2,-2\ - + (3,0,0,-3\ -( 3 3 4Н 2}+ 1у\ -1 3.6' (0,3,1,-2\11) + + (0,3,0,-3\-1) + ( 3 а\ -1
5. Решения уравнений орбиты 2-го уравнения Пенлеве в полиномах
Уравнения-вершины графа на рис. 2 имеют общие решения при произвольном а через
второй трансцендент Пенлеве [5]. Оказывается, существуют частные решения уравнений орбиты 2-го уравнения Пенлеве в полиномах.
А.И. Яблонский и А.П. Воробьев показали, что второе уравнение Пенлеве имеет рациональные решения только при целых значениях параметра а [7,8]. Причем, при каждом а е Z рациональное решение - единственно.
В справочнике [2] приведены рекуррентные формулы относительно а, позволяющие находить рациональные решения для последующих а через предыдущие. В результате получается таблица 3 [9] для рациональных решений у (х;а) при первых неотрицательных
значениях а : а = 0,1, 2, 3,4 ( у (х;0) = 0 - очевидно).
Таб. 3. Рациональные решения второго уравнения Пенлеве при а = 0,1, 2, 3, 4
у(х; 0) = 0
1
У(х; 1) =
х
3
2(х3 - 2)
х(х3 + 4)
3х2(х6 + 8х3 + 160)
У(х; 2) =
У(х; 3 = (х3 + 4)(х6 + 20х3 - 80) У(х; 4)
4(х15 + 50х12 + 1000хх9 - 22400х6 - 112000х3 - 224000) х(х9 + 60х6 + 11200)(х6 + 20х3 - 80)
Все уравнения таблицы 2 связаны с уравнением Пенлеве 1.1 композициями преобразований ^, И и г . Этими же преобразованиями связаны и решения всех уравнений с решением уравнения Пенлеве 1.1. Но проще находить решения всех уравнений таблицы 2 редукцией к «ключевым» уравнениям 1.1, 2.1, 3.1 с помощью преобразований группы диэдра
А.
Если за исходное взять частное рациональное решение второго уравнения Пенлеве, то решения всех остальных 35-ти уравнений на рис. 2 являются рациональными.
Пример. Пусть а = 2. Найдем решения всех уравнений таблицы 2 для исходного уравнения Пенлеве 1.1:
у'Хсх = ху + 2у3 + 2. (14)
Уравнение 1.1 (14), согласно таблице 3, имеет рациональное решение в параметрическом виде:
х =
1У = Р(Г,2) = -£3+4)
2(г3-2). (15)
т(т3+4)
Решения «ключевых» уравнений 1.1, 2.1, 3.1 приведены в таблице 4.
Таб. 4. Решения трех «ключевых» уравнений орбиты 2-го уравнения Пенлеве при а = 2
1.1 2Р2 ' 2Рз ' 4Р4 х = т,у =--, ух = —.2, хух - у = —2 тР± ух т2Р2 тР2
2.1 4Р22 4Р. ' 2Р5 ' 4Р6 х = т2Р2 У = т^Р? "ух = т2Р12Р2, хУх У = т4Р4
3.1 1 41Р2 ' трлр3е+4р2 ' 1Рз х = - -, у = -г;-.2-, ух =--ЧЧ—2, хух - у = —— е' ' т2Р.£ ух т2р2р2 ' ух У тР1Р2
В таблице
P =т6 - 7т3 - 8,
4:
P = т3 + 4,
P2 =т
-2,
P =т6 - 16т3 - 8,
P =т9 - 48т6 - 32,
P = т12 - 68т9 - 48т0 - 320т3 + 64,
е = 2тР1 + 2Р4 + 4аР - 2Р2.
Поскольку граф на рис. 2 является декартовым произведением графа группы и графа-дерева из «ключевых» точек, то из решения каждого «ключевого» уравнения можно получить решения еще 11 -ти уравнений-вершин графа группы .
Вычислив преобразования, связывающие эти уравнения с «ключевым» уравнением, получим решения 11-ти уравнений через решение «ключевого» уравнения (см. таблицу 5).
Таб. 5. Решения уравнений /.2,...,/.6, /.1',..., /.6' через решение уравнения /.1 (/ = 1,2,3) из _орбиты 2-го уравнения Пенлеве_
i.1 x = a,y = ß ,yx = y ,xyx — y = S i.1' о ' 1 ' s x = ß ,y = a ,yx =- ,xyx -y=—-
i.2 „ - i ' ß x = 5,у = у,Ух =~,хУх -У = -- i.2' x = Y,y = S,yx = a, xy'x — y = ß
i.3 ß 1 ' 1 ' у x = —, у = -, yx = xyx — у = -- i.3' 1 ß ' я ' x = -, y = —-, yx = s, xyx — y = Y
i.4 у 1 'S > 1 x = —g>y = s>yx = —y,xyx — y = y i.4' 1 у ' ß ' 1 x = -, y = — -,yx = —, xyx — y = -
i.5 1 a 'S ' 1 x = ß ,y = —ßß,yx = —~fxyx — y = y i.5' a 1 ' у i 1 x = —ß ,y = ß ,yx = —S ,xyx —y=~S
i.6 1 S ' о ' x = ->y = — ,yx =ß, xyx — y = a i.6' S 1 ' 1 ' a x = —S,y = ?yx =ß xyx — y = —ß
Решения всех 36-ти уравнений-вершин графа на рис. 2 получаются если а, (, у, 8, взятые из таблицы 4, подставить в таблицу 5.
Решения всех уравнений орбиты второго уравнения Пенлеве 1.1 (из таблицы 2) приведены в таблице 6.
Таб. 6. Решения уравнений орбиты 2-го уравнения Пенлеве при а = 2
1.1 2P2 ' 2P3 x = x, y =--, yx = —2, ' ' TPi Jx T2Pl' ' 4P4 xyx — y = 4P2 1.1' 2 P2 ' x2Pl ' x =--, y = T,yx = —l, xyx — y = XP± J ' */x 2P3 Jx J XP4
1.2 4P4 2P3 ' 1 x = —2, y = тт, yx =-, TP2 T2P2 Jx X ' 2P2 xyx-y = -ppri 1.2' 2 P3 ' X2P2 ' x = x2p2, y = T,yx = 2Pi ,xyx y = XP4
1.3 _ 2P2 _ 1 ' _ XP2 x = x2Pi, y = X,yx = 4P4, ' P3 xyx — y =-- Jx J 2xP4 1.3' 1 2 P2 ' 4P4 ' x = ,y=7,yx = 2, xyx y = X* J x2Pi XP2 2P3 X2P2
1.4 „ — P3 _ *P? _ 2XP4 x = 2xP4 , y = 4P4, yx = P3 , ' _ X2P2 x y n ry 2p3 1.4' XP? P3 ' 2P2 x = —, y =--, yx = TT—, xyx — y = 4P4 XP4 '/x X2P± '/x J 1 X
1.5 _ xP1 _ X2P1 ' _ 2xP4 x = 2P2, y = 2P2 ,yx= p3 , ' _ X2P22 x y n ry 2p3 1.5' x - x2Pi V - XPi v' - P3 2P2 , y 2P2, yx 2XP4 , ' XPi xyx —y = — Jx J 4P4
1.6 _ X2P2 _ 2XP4 ' _ 2P2 x = 2P3 , y = P3 ,yx = xPi, xyx —y = T 1.6' _ _ 2xP4 _ _ xP2 _ xPi x = P3 ,y= 2P3, yx = 2P2, ' _ X2Pi x y n ry 2p2
2.1
х =
4Р2
4Р%
У ^г,4,Ух
2Р5
т2р2>* т4р4
хУх -У =
4Р6
Т4Р?
Т2Р*Р2
2.1'
х =
4Р42
У =
4 Р22
т2Р2>
У =
Ух =
2Р2Р6 т2Р^РБ
Т2Р^Р2 2Р5
, ХУх
2.2
х =
4Рб
Т4Р4
, У =
2Р5
Т2Р2Р:
Ух =
т2Р2 4Р2 '
х =
2Р5
4 Р6
4 Р
2.2'
Т2Р2Р2' У Т*Р? УХ Т2Р2 ХУх
ХУх У = т2Р2Р2
У =
4 Р
Т4Р*
2.3
х =
Р2 р4
Т2Р2
У = , Ух =
т2Р2Р2 ' 4р-
хух -у =
т4Р4 4Рб '
х =
т2Р^Р5 2р2р6
2.3'
Т2Р2
4Р2
' У =
Р2 р4
Т2Р^Р{
Ух =
2Р5
4Рб
Т4Р4'
хух-у=^рр2
2.4
х =
Т2Р^Р5
Т4Р4
, У = —-, Ух =
4 Р6 х
2Р2Р6
2Р2Р6 _ _ _2
Т2Р^Р5' хУх У = 2Р5
Т2Р^Р2
2.4'
т4Р4
х = —, У =
4 Р6
хУх
т2Р2Р5 2Р2Р6
-у =
' Ух =
Т2Р2 4Р2
Т2Р2РВ
2.5
х =
т4Р4 4Р2
, У =
Т2Р2РВ
•1РР- XV'
Т2Р2Р^ Хух
У
' Ух =
4
2 Р
х =
г2Р^Р5
2.5'
' У =
Т4Р4
4Р2
' Ух =
т2Р^Р5 2Р2Р6'
хУх -У =
4 Р6
2.6
х =
Т2 Р2Р2
2Р5 4Р2 т4Р4
' У =
Т2р2 Р5
' Ух =
х =
' хУх - У =
4Р|
2.6'
2Р2Р6 Т2 Р2Р$
' У =
Т2Р}Р2
2Р5
' Ух =
44
т4Р:
4 Р
хУх - У =
т2Р2Р2
3.1
4 Р22
х = —, У = -т^
£? У Т2Р2£
ТР2Р3£+4Р^ т2 Р 22 Р2
' хУх - У =
' Ух = 1Р3
х =
3.1'
4 1Р2 _ , _
ТР[к,у = - £ Ух =
т2Р2Р2
ТР2Р3£+4Р3
ТР2Р2
хУх -У =
1ТР2Р3
ТР2Р3£+4Р3
3.2
х =
Р3
-, У =
ТР2Р3£+4Р3
ТР2Р2 У Т2Р2Р2
Ух = £ и ху'х -У =
х =
4Р2 Т2Р2
3.2'
ТР2Р3£+4Р3 Т2Р2Р2
хУх -
■, У =
У =
ЬР3 ' I
——, ух = - -,
ТР2Р2 7х £ 4 Р22
Т2Р?£
3.3
х =
4 Р22
Т2р2' У = 81>ух =
IТ Р2Р2 Р3 '
. тР2 Р3 £+4Р?
хух - у = -I -2
•/х '_тР2Р3
3.3'
х = £I, У =
4 Р
Т2Р2
Ух =
1Р3 ТР2Р2
, хУх -У =
ТР2Р3£+4Р3 т2 Р 22 Р2
3.4
. ТР2Р3 £+4Р? 1ТР2Р2
х = -I 2 3 _—У =--—,
Ух =
ТР2Р3 1ТР2Р3
ТР2Р3£+4Р3
хУх -У =
3.4'
IтР2Р2 . ТР2Р3 £+4Р?
х =--У = -I- 2 3 2
Т2Р2Р2 ТР2Р3£+4Р23
Ух =
4Р2
хУх
ТР2Р3 У = -£{
3.5
х = —I
. Т2 Р2 £
4 Р22
1ТР2Р3
, У =
£2 Р2 4Р2
, Ух =
х =
ТР2Р3£ + 4Р3
хУх -У =
3.5'
4 Р2
г, У = -I-
4 Р2
Ух =
Т2 Р2 Р2 ТР2Р3£+4Р23
—I
. ТР2 Р3 £+4Р2
ТР2Р3
' хУх -У =
1ТР2Р2 Р3
3.6
х =
т2Р2Р2
ТРЛР3£ + 4Р*
Ух =
2 Р3
_ 41Р2
2
У =
1ТР2Р:
3
ТР2Р3£ + 4Р•
3
х =
1ТР2Р3
3
Т2 Р2 £
' хУх -У =
3.6'
ТР2Р3£+4Р3
У =
3
. Т2 Р2 £
Ух = хУх
2
т2Р2Р2
ТР2Р3£ + 4Р%' Т2Р2
У = Тр
Р
Р
Р
2
Р
4
т4р4
3
3
В таблице 6: р = т3 + 4, Р2 =т3 -2, Р3 =т6 - 16г3 -8,
Р4=т6-7г3-8, Р5 =г9-48г6-32, Р6 = г12 - 68г9 - 48т6 - З20г3 + 64,
& = 2гР2 + 2Р4 + 4аР - 2Р2.
Заключение
Найден и реализован метод вычисления решений уравнений орбиты второго уравнения
Пенлеве в полиномах, рациональных функциях.
Приведен пример нахождения решений в полиномах уравнений орбиты 2-го уравнения
Пенлеве при а = 2.
С помощью операции масштабирования можно найти решения в полиномах уравнений
орбиты второго уравнения Пенлеве с произвольными A, A аналогично тому, как это
делалось для орбиты первого уравнения Пенлеве (см. теоремы 1,2 в [10]).
Список литературы:
[1] Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. - М.: Наука, 1993. - 464с. [11]
[2] Polyanin A. D., Zaytsev V. F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. - CRC Press. Boca Raton - London, 2018. - [19]
[3] Kamke E. Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. - B. G. Teubner, Leipzig, 1977. - 24б p.
[4] Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre superieur, dont l'integrale generale est uniforme // Acta Math. - 1902. - Vol. 25. - P. 1-8б.
[5] Хакимова З. Н. Дискретная псевдогруппа второго уравнения Пенлеве и решения дифференциальных уравнений через второй трансцендент Пенлеве // Перспективы науки. - Тамбов. - 2021. - № 5 (140). - С. 17-35.
[6] H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser, Generators and relations for discrete groups. Fourth edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 14. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. íx+169 pp. - [39]
[7] Яблонский А. И. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Вести Акад. Наук БССР, Серия Физико-технических наук. - 1959. - Т. 3. С. 30-35
[8] Воробьев А. П. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения. - 1965. - Т. 1. - С. 79-81
[9] Демина M. В., Кудряшов Н. А. Специальные полиномы и рациональные решения иерархии второго уравнения Пенлеве // Теоретическая и Математическая Физика. -2007. - Т. 153, вып. 1. - С. 58-67
[10] Хакимова З. Н., Зайцев О. В. Дробно-полиномиальные дифференциальные уравнения: дискретные группы и решения через трансцендент 1 -го уравнения Пенлеве [Электронный ресурс] // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2021. - N 1(4). - С. 61-92. - URL :https://diffjournal.spbu .ru/RU/numbers/2021.1/arti cle.1.4. html
Polynomial solutions of fractional polynomial differential equations generated by the second Painleve equation
Khakimova Z.N.1*, Timofeeva L.N2*, Zaytsev O.V. 3**
1 2
, Mozhaisky Military Space Academy, Saint-Petersburg 3BSTU «VOENMEH» named after D.F. Ustinov, Saint-Petersburg
e-mail: *[email protected] **[email protected]
Abstract. A discrete pseudogroup of point, Backlund and tangent transformations for the 2nd Painleve equation, closed in classes of ordinary differential equations with polynomial or fractional polynomial right-hand side, is constructed. A 36-vertex graph of this pseudogroup is constructed. The solutions in polynomials of all polynomial and fractional polynomial equations of the orbit of the 2nd Painleve equation are calculated for some integer values of the parameter of the right-hand side. In addition, a method is indicated for finding solutions of the orbital equations of the 2nd Painleve equation with arbitrary coefficients on the right-hand side. Keywords: ordinary differential equation (ODE), discrete group, transformation pseudogroup, second Painleve equation, Painleve transcendents.
