CC BY
12
Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 4, С. 58-67
УДК 517.958:531.332
DOI 10.46698/s8185-4696-7282-p
РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ КАРЛЕМАНА ЧЕРЕЗ РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕНЛЕВЕ
С. А. Духновский1
1 Национальный исследовательский Московский
государственный строительный университет, Россия, 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26 E-mail: sergeidukhnvskijj @rambler. ru
Посвящается 75-летию Семёна Самсоновича Кутателадзе
Аннотация. Рассматривается одномерная дискретная кинетическая система уравнений Карлема-на. Система Карлемана является кинетическим уравнением Больцмана и для нее не сохраняется импульс и энергия. Данная система описывает одноатомный разреженный газ, состоящий из двух групп частиц. Данные группы частиц двигаются вдоль прямой, в противоположных направлениях с единичной скоростью. Взаимодействие частиц происходит внутри одной группы, т. е. сами с собой, меняя направление движения. В последнее время особое внимание уделяется построению точных решений неинтегрируемых уравнений в частных производных с использованием усеченного ряда Пенлеве. Применяя разложение Пенлеве к неинтегрируемым уравнениям в частных производных, получают условия в резонансе, которые должны выполняться. Решение системы ищется с помощью усеченного разложения Пенлеве. Данная система не удовлетворяет тесту Пенлеве. Это приводит к некоторым ограничениям на многообразие особенностей, одним из которых является двумерное уравнение Бейтмена. Зная неявное решение уравнения Бейтмена, можно найти новые частные решения самой системы Карлемана. Также отдельно решение строится с помощью анзаца масштабирования, которое позволяет свести задачу к нахождению решений соответствующего уравнения Риккати.
Ключевые слова: система уравнений в частных производных Карлемана, разложение Пенлеве, уравнение Бейтмена.
Mathematical Subject Classification (2010): 35A24, 35Q20, 35C99.
Образец цитирования: Духновский С. А. Решения системы Карлемана через разложение Пенлеве // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 4.—С. 58-67. DOI: 10.46698/s8185-4696-7282-p.
1. Введение
Основными дискретными кинетическими системами, описывающими различные процессы в газе между группами частиц, являются модели типа Карлемана, Годунова — Сул-тангазина, Бродуэлла [1, 2, 3-5]. Исследование асимптотической устойчивости состояний равновесия кинетических систем в весовом пространстве L2)7 для периодических начальных данных изучалось в работах [3-6]. Здесь решение искалось для малых возмущений состояния равновесия. Более того, доказана экспоненциальная скорость стабилизации к состоянию равновесия. Литература, посвященная нахождению решений в виде соли-тонов, приведена в [7-9], стационарных решений в [10, 11]. В статье [1] были найдены решения с помощью усеченных рядов Пенлеве для моделей Годунова — Султангазина и Бродуэлла. В данной работе будут построены новые решения аналогичным способом для одномерной системы Карлемана.
© 2020 Духновский С. А.
2. Решение системы Карлемана
Рассмотрим одномерную систему уравнений Карлемана [2, 12-14]:
дьи + дхи = -(и)2 - и2), х € М, г > О, (1)
£
дгиз — дхги = —(ю2 — и2). (2)
£
Проверяем на тест Пенлеве [15]. Ищем решение в виде
1 те
и(хЛ) = -;--У^ иЛхЛ)ф> (хЛ),
1 те
ъи(хЛ) = —т---у^и)1(хЛ)(рЗ(хЛ).
Для 3 =0 имеем
и(х^) = и0(х,£)у р(ж, , (3)
■ (ж, í) = ад0(х, (ж, ¿). (4)
Подставляем (3)-(4) в систему уравнений (1)-(2):
- - гоо,^"'3 + 1Уя™о = (гооУ~2/3 - •
Отсюда находим, что р = 1, в = 1- В этом случае имеем
- = ^ - ио) > -у^о + <РхМ0 =- .
Отсюда
Далее находим резонансы. Подставляем соотношения
и(х^) = и0у-1 + и3- у3-1, ■ (х,^ = + ■ у3-1
в систему (1)—(2), в итоге имеем
Я(з)' 3
щ\ = ((з- !)(У* + Ух) + §«0 -§мо А (иЛ = (Л-1
и>з) V 0' - 1)(у* - Ух) + 1^0/ \Шз) \gj-i
где /3-1, д3-1 зависят от функций и0, ■о, - - -, и.^1, ад^ь у. Для произвольности функций и3, ■ необходимо, чтобы определитель матрицы равнялся нулю. Тогда
ёе! Q(j) = (3 + 1)(3 - 1)(у + ух)(у* - Ух) = 0.
Отсюда получаем два резонанса ] = -1,1. Далее исходя из того, что ] = 1 — резонанс, то ищем решение в виде
= _[_ ¿), (6) Р
= + ул{х,1). (7)
Р
Подставляем (6)-(7) в (1)-(2):
зд,^-1 - (р~2(рги0 + + -ио,^-1 - р~2рхио + = -/(«о, т, Щ, 1^1),
£
имеет такой же вид
■шо,^"1 - + - гоо,^"1 + - ги1>х = --/(«0, гио, «ъ г^),
£
где
2 2
Пио, гУо, «1, «ж = --^ + 2—-Ш1 — 2—щ — щ.
(2 (2 ( (
Теперь группируем слагаемые при одинаковых степенях р. Получаем для них уравнения
<р~1 + и0,х ~ 1 + ^щи^ + (р° (и^ + Щ,х -^(ъи^-
+р~2 ( - (ргио - <рхи0 - - «о)) = °> Р-1 - ио0,х + - ^щи^ + - го^ + ^(го? - и?)
+р~2 ^ - + <РхЫ0 + ^(гУо - ^о)^ = 0.
Приравнивая члены при одинаковых степенях р, получим следующую систему уравнений
- РжЗД - ^ (г«о - «о) = 0, 0 + (рхги0 + ^(г«о ~ «о) =
2 2
ио,1 + ио,х--(гУогУ1 - щщ) = 0, - и)0,х + -(и)0и)г - щщ) = 0,
££
Щ,г + Щ,х--(и]1 - и2Л = 0, - и)1,х + - («^ - и() = 0.
££
Первые уравнения системы дает нам уже известные ведущие члены разложения, которые определяются по формуле (5).
Нас интересует выполнение уравнений при резонансе ] = 1:
22
ио,г + ио,х = -(и}0и)1 - иои{), гу0,4 - и)0,х = —(и)0и) 1 - щщ).
££
Складываем уравнения
2
ио,г + ио,х = -(.1и0Ю1 - иощ), (8)
£
ио,г + По,х = -(шо,г - Wo,x)■ (9)
Очевидно, что уравнение (9) не удовлетворяется. Подставляя найденные главные члены разложения (5) в (9), получаем:
у«уХ - 2ухУгУхг + УгУхь = 0. (10)
Уравнение (10) представляет собой двумерное уравнение Бейтмена [16]. Тест Пенлеве будет выполнен только в том случае, если у удовлетворяет уравнению (10). Это является ограничением на данную функцию. Поскольку и1 = ■1 = 0 являются частным решением системы (1)—(2), получим уравнение для нахождения функции у:
- уХ(Уй + Ухь) + - УхЬ + Ухх) + у3(ух + Ухх)
+ у4уХ(-у« + УХ + 2ухх) = 0. (11)
Общее решение двумерного уравнения Бейтмена (10) записывается в виде
/ (у) = ж + д(у)*, (12)
где /, д являются гладкими произвольными функциями.
Лемма. Для двухскоростной модели (1)—(2) усеченное разложение Пенлеве
= = (13)
У У
где и0, ■ заданы формулами (5), дает условия на функцию у (10) и (11) со следующими решениями
X + М - С2
=-,
где Й0 € М \ {0, ±1}, С1 € М \ {0}, С2 € М;
у(ж, ¿) = ^(ж ± ¿), ^ — произвольная обратимая функция;
1
где {А, С1} € М \ {0} и {С2, В} € М.
< Диффренцируем неявное решение (12) и подставляем в (11):
-Ф2 -!)((! + ~ (* + )2 - ^ - !) (0 -
Отсюда собираем слагаемые при одинаковых степенях при ¿:
2
"(1 + 3^(1) + 1)
ду2
0
0
Случай 1. Рассмотрим при g = ±1. Тогда
Pt =
Отсюда согласно (12) получаем p(x,t) = F(x ± t), где F - обратимая функция. Решение системы Карлемана при g = 1 имеет вид
u(x,t)=0, w(x,t)=0.
Система (1)-(2) при g = —1 также имеет нулевое решение.
Случай 2. Пусть g = ko, ko / {0, ±1}. Тогда получаем уравнение
d2f
= 0 Др) = Cip + с2.
, , . , .. X + kot — С2
Cip + C2 = Ж + /Cot => р(Ж, i) = -.
c1
Получаем решение системы (1)-(2) в следующем виде
u(x t) = _£(ko-l)4ko + l) , (fco-l)(fco + l)2
4ko(x + kot — C2)' ' 4ko (x + kot — C2)
Случай 3. Пусть g'(p) = 0. Тогда систему можно переписать в виде
Г g''
(14) / У
Отсюда интегрируя (14), имеем
/(р) = С1у(р) + С2, С1,С2 € М, С1 = 0. Используя решение уравнения Бейтмена (12), можно выразить функцию у:
= (16) С1 — Г
Более того, из уравнения (15) получаем, что
^ = А-11^3-, А € м \ {0}. (17)
йр У
Решение (17) с учетом (16) записывается в виде
<р(х,г) = \1---о-+-В|, (18)
где В € М — постоянная интегрирования. Таким образом, решение системы Карлемана (1)-(2) с помощью (5), (13) и (18) имеет вид
G(x,t) ' v ' ' G(x,t)
где
С(ж,£) = 2^(1 + 2В)с? + ¿2 - 2с1 (^ + 2В£) - 2В(с2 - ¿2 - 2с2ж + ж2)). > Предложение. Решение двухскоростной модели может быть представлено в виде и(ж^) = и0Н1(у), эд(ж,£) = ад0Я2(у),
где
Я1(у)= Я2(у)+ Ь, Ь € М, а Я2 удовлетворяет уравнению Риккати
¿у 2 2д 4д
Здесь и0, ■ заданы в (5), функция у удовлетворяет уравнениям (10) и (11). < Ищем решение в следующем виде
и(М) = -Л(у), ММ) = —/2(у). (20)
уу После подстановки (20) в (1)—(2), получим условия для нахождения функций /1, /2:
у4ух(4у/1 - 4/1 + 2/2 + 2/2) - у/2 - /2) - уХ(/2 - /2) = 0,
у4ух(4у/ - 4/2 + 2/2 + 2/2) - у/2 - /22) - ух(/2 - /22) = 0. Сделаем подстановку /¿(у) = ЯДу)у, г = 1, 2 :
у4ух(4Я' + 2Я2 + 2Я|) - у2(Я? - Я22) - ух(Я2 - Я22) = 0,
у4ух(4я2 + 2Я2 + 2Я22) - у2(я 2 - Я22) - ух(Я2 - Я22) = 0. Вычитаем одно из другого
4у4ух(Я' - Я2) = 0, (21)
у4ух(4Я2 + 2Я2 + 2Я22) - у2(Я2 - Я22) - ух (Я2 - Я22) = 0. (22)
Из первого уравнения (21) следует, что
Я1 = Я2 + Ь, Ь € М. (23)
Подставляем (23) в (22). После некоторых преобразований получим уравнение Риккати
Ш2 2 -4ф + 2д% + 2Ь , -2дЪ2 + д2Ъ2 + Ъ2
—:— = —л2 Н--:-Й2 Н--:-• >
ау 4д 4д
Здесь воспользовались, что
ух
Рассмотрим примеры, когда уравнение Риккати дает различные решения для системы Карлемана.
Пример 1. Пусть g = 3, b = 1, у = x + 3t при c 1 = 1, c2 = 0. В этом случае имеем уравнение Риккати
dip 2 3 3
которое имеет решение
Зе^ — е4А
3(е^ + е4^
Я2(у) =
где А — постоянная интегрирования. Окончательно получаем решение нашей системы (1)—(2):
4е / Зе - е4А
u(a;,i) = щ{Н2{<р) + 1) = -— I , 4(д+30-- + 1
3( е з +е4
w(x,t) = WqH2(^) =
n 4(x+3t)
У е з— + е4А
Пример 2. При g(y) = 1 уравнение (19) принимает вид
Отсюда
dH2 jj2
/'(.г • /j • С|'
Решение системы (1)—(2), также как и выше, имеет вид
и(ж^)=0, ■(ж,£)=0.
При д(у) = -1 получам нулевое решение.
Пример 3. Рассмотрим оставшийся случай при д'(у) = 0. Сделаем подстановку Я2(у) = Я2(д), используя (18). Также воспользуемся тем, что
dЯ2 dЯ2 ¿д
ау ад ау
Тогда уравнение Риккати перепишется в виде
(1д ¿(0- 1)2(0+ 1)2 2-г2Л(5 + 1)2 2^4А(5 + 1)2-Положим Ь = 0. В этом случае решение имеет вид
Решение системы Карлемана принимает форму
££
и(хЛ) =--7ТТ-(<?), Ь)(хЛ) = ——Т7-Г#2(<7)•
4Л(С1 - с2 - 4 + ж) 4Л(С1 + с2 - 4 - ж)
Литература
1. Линдблом О., Эйлер Н. Решение уравнений Больцмана для дискретных скоростей при помощи уравнений Бейтмена и Риккати // Теорет. и мат. физика.—2002.—Т. 131, № 2.—С. 522-526. DOI: 10.4213/tmf322.
2. Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи мат. наук.—1971.—Т. 26, № 3(159).—С. 3-51.
3. Радкевич Е. В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного дискретного кинетического уравнения // Соврем. математика. Фундам. направления.—2013.—Т. 47.— С. 108-139.
4. Духновский C. А. О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана с периодическими начальными данными // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.— 2017.—Т. 21, № 1.—С. 7-41. DOI: 10.14498/vsgtu1529.
5. Духновский C. А. Об асимптотической устойчивости состояний равновесия для систем уравнений Карлемана и Годунова — Султангазина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех.—2019.—Т. 74, № 6.—С. 55-57.
6. Васильева О. А., Духновский C. А., Радкевич Е. В. О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова — Султангазина // Соврем. математика. Фундам. направления.—2016.— Т. 60.—С. 23-81.
7. Cabannes H., Dang Hong Tiem Exact Solutions for some Discrete Models of the Boltzmann Equation // Complex Systems.—1987.—Vol. 1, № 4.—P. 575-584.
8. Cornille H. Exact (2 + 1)-dimensional solutions for two discrete velocity Boltzmann models with four independent densities // J. Phys. A: Math. Gen.—1987.—Vol. 20, № 16.—P. 1063-1067. DOI: 10.1088/0305-4470/20/16/005.
9. Cornille H. Exact (1 + 1)-dimensional solutions of discrete planar velocity Boltzmann models // J. Stat. Phys.—1987.—Vol. 48.—С. 789-811. DOI: 10.1007/BF01019697.
10. Ильин О. В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.—2007.—'Т. 47, № 12.—С. 2076-2087.
11. Ильин О. В. Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла // Теорет. и мат. физика.— 2012.—Т. 170, № 3.—С. 481-488. DOI: 10.4213/tmf6780.
12. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960.—120 с.
13. Platkowski Т., Illner R. Discrete velocity models of the Boltzmann equation: a survey on the mathematical aspects of the theory // SIAM Review.—1988.—Vol. 30, № 2.—P. 213-255. DOI: 10.1137/1030045.
14. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова.—М.: Физматлит., 2001.—107 с.
15. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial diferential equation // J. Math. Phys.—1983.—Vol. 24, № 3.—P. 522-526. DOI: 10.1063/1.525721.
16. Euler N., Lindblom O., Euler M. and Persson L.-E. The Higher dimensional Bateman equation and Painleve analysis of nonintegrablee wave equations // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics.— 1997.—Vol. 1.—P. 185-192.
Статья поступила 2 апреля 2020 г.
Духновский Сергей Анатольевич Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, преподаватель
РОССИЯ, 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26 E-mail: sergeidukhnvskijj @rambler. ru https://orcid.org/0000-0001-9643-7394
Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 4, P. 58-67
SOLUTIONS OF THE CARLEMAN SYSTEM VIA THE painlevE EXPANSION
Dukhnovskii, S. A.1
1 Moscow State University of Civil Engineering, 26 Yaroslavskoe Shosse, Moscow 129337, Russia E-mail: sergeidukhnvskijj @rambler. ru
Abstract. The one-dimensional discrete kinetic system of Carleman equations is considered. This system describes a monatomic rarefied gas consisting of two groups of particles. These groups of particles move along a straight line, in opposite directions at a unit speed. Particles interact within one group, i. e. themselves, changing direction. Recently, special attention has been paid to the construction of exact solutions of non-integrable partial differential equations using the truncated Painleve series. Applying the Painleve expansion to non-integrable partial differential equations, we obtain the conditions in resonance that must be satisfied. Solution of the system is sought using the truncated Painleve expansion. This system does not satisfy the Painleve test. It leads to the singularity manifold constraints, one of which is the Bateman equation. Knowing the implicit solution of the Bateman equation, one can find new particular solutions of the Carleman system. Also, the solution is constructed using the rescaling ansatz, which allows us to reduce the problem to finding solutions to the corresponding Riccati equation.
Key words: system of partial differential equations Carleman, Painleve expansion, Batemans equation.
Mathematical Subject Classification (2010): 35A24, 35Q20, 35C99.
For citation: Dukhnovskii, S. A. Solutions of the Carleman System Via the Painleve Expansion, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 4, pp. 58-67 (in Russian). DOI: 10.46698/s8185-4696-7282-p.
References
1. Lindblom, O. and Euler, N. Solutions of Discrete-Velocity Boltzmann Equations via Bateman and Riccati Equations, Theoretical and Mathematical Physics, 2002, vol. 131, no. 2, pp. 595-608. DOI: 10.1023/A:1015428229008.
2. Godunov, S. K. and Sultangazin, U. M. On Discrete Models of the Kinetic Boltzmann Equation, Russian Mathematical Surveys, 1971, vol. 26, no. 3, pp. 1-56. DOI: 10.1070/RM1971v026n03ABEH003822.
3. Radkevich, E. V. On the Large-Time Behavior of Solutions to the Cauchy Problem for a 2-dimensional Discrete Kinetic Equation, Journal of Mathematical Sciences, 2014, vol. 202, no. 5, pp. 735-768. DOI: 10.1007/s10958-014-2074-x.
4. Dukhnovskii, S. A. On a Speed of Solutions Stabilization of the Cauchy Problem for the Carleman Equation with Periodic Initial Data, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 1, pp. 7-41. DOI: 10.14498/vsgtu1529 (in Russian).
5. Dukhnovskii, S. A. Asymptotic Stability of Equilibrium States for Carleman and Godunov-Sultangazin Systems of Equations, Moscow University Mathematics Bulletin, 2019, vol. 74, no. 7, pp. 246-248. DOI: 10.3103/S0027132219060068.
6. Vasil'eva, O. A., Dukhnovskii, S. A. and Radkevich, E. A. On the Nature of Local Equilibrium in the Carleman and Godunov-Sultangazin Equations, Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 235, pp. 392-454. DOI: 10.1007/s10958-018-4080-x.
7. Cabannes, H. and Dang Hong Tiem. Exact Solutions for some Discrete Models of the Boltzmann Equation, Complex Systems, 1987, vol. 1, no. 4, pp. 575-584.
8. Cornille, H. Exact (2 + 1)-Dimensional Solutions for Two Discrete Velocity Boltzmann Models with Four Independent densities, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1987, vol. 20, no. 16, pp. 1063-1067. DOI: 10.1088/0305-4470/20/16/005.
9. Cornille, H. Exact (1 + 1)-Dimensional Solutions of Discrete Planar Velocity Boltzmann Models, Journal of Statistical Physics, 1987, vol. 48, pp. 789-811. DOI: 10.1007/BF01019697.
10. Il'in, O. V. Investigation of the Existence of Solutions and of the Stability of the Carleman Kinetic System, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, vol. 47, no. 12, pp. 1990-2001. DOI: 10.1134/S0965542507120093.
11. Il'in, O. V. Stationary Solutions of the Kinetic Broadwell Model, Theoretical and Mathematical Physics, 2012, vol. 170, no. 3, pp. 406-412. DOI: 10.1007/s11232-012-0039-0.
12. Carleman, T. Problèmes Mathématiques dans la Théorie Cinetique des Gaz, Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler, Almqvist & Wiksells, Uppsala, 1957, 112 p.
13. Platkowski, ^ and Illner, R. Discrete Velocity Models of the Boltzmann Equation: a Survey on the Mathematical Aspects of the Theory, SIAM Review, 1988, vol. 30, no. 2, pp. 213-255. DOI: 10.1137/1030045.
14. Vedenyapin, V., Sinitsyn, A. and Dulov, E. Kinetic Boltzmann, Vlasov and Related Equations, Elsevier, Amsterdam, 2011, xiii+304 p. DOI: 10.1016/C2011-0-00134-5.
15. Weiss, J., Tabor, M. and Carnevale, G. The Painleve Property for Partial Diferential Equation, Journal of Mathematical Physics, 1983, vol. 24, no. 3, pp. 522-526. DOI: 10.1063/1.525721.
16. Euler, N., Lindblom, O., Euler, M. and Persson, L.-E. The Higher Dimensional Bateman Equation and Painleve Analysis of Nonintegrablee Wave Equations, Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics, 1997, vol. 1, pp. 185-192.
Received April 2, 2020
Sergey A. Dukhnovskii
Moscow State University of Civil Engineering,
26 Yaroslavskoe Shosse, Moscow 129337, Russia,
Teacher
E-mail: sergeidukhnvskijj @rambler. ru
https://orcid.org/0000-0001-9643-7394
