CC BY
105
Вычислительные технологии
Том 10, Специальный выпуск, 2005
РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ
Б. С. Добронец, Е.А. Стрельникова Красноярский государственный технический университет, Россия e-mail: dobronec@fivt.krasn.ru, Juri1975@mail.ru
Methods estimating the regions of existence of solutions of the boundary value problems for ordinary differential equations are considered.
Введение
Цель данной работы — исследование численных методов построения границ множества решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными коэффициентами. Рассмотренные в работе обыкновенные дифференциальные уравнения имеют кусочно-непрерывные коэффициенты, и известны интервальные функции, их включающие. Построение границ множества решений основано на апостериорных оценках погрешности некоторых частных решений. Данная работа продолжает исследования, начатые в [1]. В разд. 2 приведена общая методика оценки границ множества решений, далее в разд. 3 рассмотрен случай кусочно-постоянных коэффициентов. Показано, что при выполнении ряда условий можно получить оптимальные границы множества решений.
Большой вклад в развитие двусторонних методов, основанных на апостериорных и априорных оценках, внес Е.А. Волков [2]. Интервальные методы решения краевых задач рассматривались в ряде работ других исследователей. Например, в [3] описан интервально-аналитический метод нахождения двустороннего решения первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Этот метод непосредственно основан на работе Е.А. Волкова [4]. При нахождении решения учитываются локальные ошибки аппроксимации и возникающие в процессе численного решения ошибки округления, так что в точках сетки можно получить локальные границы решения. Практическая реализация данного метода встречает большие трудности. Более эффективные интервальные методы основаны на использовании теорем сравнения и свойств операторов монотонного типа, описанных в работе [5].
1. Постановка задачи
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: Rn — евклидово пространство размерности n с точками x = (xi, x2,..., xn); a = [a, a] — интервальное число, a < a,
@ Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2005.
а, а £ Д, wid а = а—а; И — множество интервальных чисел. Интервальные числа а = а = а будем называть вырожденными. Таким образом, вырожденные интервальные числа совпадают с обычными вещественными числами.
Рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
Ьи = — (р(х)и'(х))' + д(х)и(х) = / (х), 0 < х < I, (1)
где функции р(х), д(х), / (х) кусочно-непрерывны на [0, 1] и р(х) > р* > 0, д(х) > 0 Ух £ [0,1].
Зададим краевые условия в общем виде
Г а1и(0) — в1и'(0) — 91 = 0, (2)
Ди = \ «2и(/)+ в2и'(/) — 92 = 0, (2)
где аг > 0, вг > 0, дг, г = 1, 2, — заданные числа, причем а2 + вг2 > 0, «2 + а2 > 0.
Будем считать, что для краевой задачи (1), (2) при заданных допущениях существует решение, и оно единственно [6].
Оператор Ь называется оператором монотонного типа [5], если из соотношения Ьи > Ьу следует, что и > V.
В [5] показано, что (Ь, Д) — оператор монотонного типа. Для решения задачи (1), (2) имеет место оценка
N1« < с(||/1|<» + Ы + Ы), (3)
где С — некоторая константа.
Сформулируем теорему сравнения для системы (1), (2). Подобные теоремы для задачи (1) с краевыми условиями первого или третьего типа сформулированы и доказаны в работах [5, 7, 8].
Теорема 1. Пусть в задаче (1), (2) д1 > 0, д2 > 0, р(х) > р* > 0, q(x) > 0, /(х) > 0 Ух € (0,1), тогда для функции решения справедливо неравенство и(х) > 0 на [0,I].
2. Краевые задачи с интервальными неопределенностями
Как правило, при решении практических задач коэффициенты исходных задач известны не точно, а заданы их оценки. Поэтому возникает необходимость оценивать множества решений. Допустим, в уравнении (1) коэффициенты p,q,f известны не точно и заданы интервальные функции p, p', q, f, их включающие, кроме того, известны интервальные константы ai G ai, ßi G ßi, Qi G gi. Справедливо предположить, что решение при этом также лежит в некотором интервале u G u.
Следуя [9], построим интервальное решение u. Для численного решения поставленной задачи построим равномерную сетку = {xi = ih; i = 0, 1,...,N} с шагом h = 1/N и целым N > 2. Обозначим через w>h = {xi = ih; i = 1, ...,N — 1} множество внутренних точек этой сетки. Каждой внутренней точке поставим в соответствие разностное уравнение [10, 11]:
Lhuh = fh на ^ (4)
с сеточной функцией ин(х), определенной на соь- Решим разностную задачу (4) для конкретных коэффицентов р, д, /, аг, вг, дг- Полученное разностное решение ик проинтерполи-руем эрмитовым кубическим сплайном 5 [9]- Далее нам понадобится численное решение и^(х) вспомогательной задачи
Ь и\ = 1 на ,
и, соответственно, построим эрмитовый сплайн Интервальное решение будем искать в виде
8 = 5 + ав1 + Ь Э и.
Мы будем использовать интервальные расширения операторов Ь, И [9]- Таким образом, для оценки границ множества решений необходимо найти две функции — в, Ьв < f < Ьв, Ив < 0 < Ив- Тогда в силу теремы 1 и С 8 = [в, 5].
Сначала из неравенств Ив < 0 < Ив найдем Ь- Далее определим а следующим образом:
а > тах((f — Ьв — яЬ)/Ьв1), а < ]па.1г1 ((f — Ьв — яЬ)/Ьв1).
Доказательство существования а и включения в Э и полностью повторяет аналогичное доказательство из [9]-
Следует рассмотреть возможность выбора численных решений и^ для оптимизации wid в- Пусть нам известно несколько численных решений и^ при различных значениях коэффициентов- Тогда, следуя описанной выше методике, мы можем построить соответствующие им интервальные решения вг Э и- Но тогда можно положить в = Пвг Э и- Таким образом, подбирая и'1, можно существенно снизить ширину полученного интервального решения- Конкретную методику построения и^ рассмотрим в случае кусочно-постоянных коэффициентов-
3. Случай кусочно-постоянных коэффициентов
Большое число математических моделей ограничивается случаем кусочно-постоянных коэффициентов- Не ограничивая общности, для простоты изложения будем считать, что р и д — константы, р £ р, д £ я-
Тогда (1) можно переписать в виде
Ьи = —ри" + ди = /, 0 < х < I. (5)
Следовательно, и = и(р, д), и множество решений и определим как
и = {и^ д)|р £ р,д £ я}.
Рассмотрим случай, когда границы и, и можно явно выразить через частные решения и(р, д), р £ р, д € я-
Определим частные производные ир = ди/др, щ = ди/дд- Если известны значения ир(х), ид(х), то построим р(х) и я(х):
( р,
р(х) = < р \ p,
если ир > 0, если ир < 0, если ир Э 0,
д, если и > 0,
д, если и < 0,
3, если и э 0.
Я(х) =
Таким образом, и = и(рр, Я), аналогично можно построить зависмости от параметров и для и. Следовательно, для нахождения и можно решить краевую задачу
—ру'' + Яу = /, 0 < х < I, (6)
с краевыми условиями (2) и положить и = V. В ряде случаев непосредственное решение задачи (6), (2) несколько проще решения задачи (5), (2). В частности, если
щ 3 0, щ 3 0, (7)
то р(х), Я(х) — вещественные константы и нахождение и сводится к оценке решения некоторой вырожденной задачи.
Рассмотрим нахождение Пр, щ. Для этого продифференцируем уравнение (5) по р и д:
—риР' + дир = и'', 0 < х < I,
—ри^' + = —и, 0 < х < I,
и дополним соответствующими однородными краевыми условиями (2). Несложно видеть, что для выполнения условий (7) должно выполняться постоянство знака для функций и'', и. Действительно, в силу теоремы 1 при однородных краевых условиях постоянство знака правой части влечет постоянство знака решения. Пример 1. Рассмотрим задачу
— [1, 2]и'' + [0,1]и = зт(х), 0 < х < п/2,
и(0) = 0, и'(п/2) = 0.
На первом этапе методами, рассмотренными в разд. 2, было построено интервальное решение и, далее после дифференцирования исходного уравнения два раза по х аналогичным
Множество решений для примера 1.
образом была построена интервальная оценка на u". Полученные решения обладали свойствами u > 0 и u" < 0. Таким образом, было установлено, что для u, u справедливы уравнения
-2u" + 1u = sin(x), 0 <x<n/2,
-In" + 0u = sin(x), 0 < x < п/2,
с соответствующими однородными граничными условиями.
На рисунке приведено множество решений исходной задачи. Таким образом, построенные границы u, U являются частными решениями и, следовательно, — оптимальными. Пример 2. Рассмотрим задачу
-u" + u = (п2 + 1) sin(nx), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u'(1) = u[.
Множество решений u = sin(nx) + u[(ex — e-x)/(e — e-1). Интервальное решение будем искать в виде
s = s + as1 + ßs2,
где s1, s2 — кубические сплайны Эрмита, интерполирующие численные решения следующих вспомогательных задач:
—u1 + u1 = 1, 0 < x < 1,
u(0) = 0, u'(1) = 0; —u'2 + u2 = 0, 0 < x < 1, u2(0) = 0, u'2(1) = 1.
В силу того что сплайны Эрмита точно удовлетворяют соответствующим краевым условиям, получаем ß = u[. Величина wid asi ~ O(h2), что соответствует скорости сходимости разностных схем. Таким образом, границы полученного интервального решения отличаются от точных на величину O(h2).
Список литературы
[1] DOBRONETS B.S. A Posteriori Error Estimation for Partial Differential Equations // Scientific Computation and Validated Numerics / G. Alefeld, A. Frommer and B. Lang (Eds). Berlin: Akademie-Verlag, 1996. P. 239-244.
[2] Волков Е.А. Поточечные оценки погрешности разностного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 4. С. 717-726.
[3] TOST R. Zur numerischen Losungen von Randwertaufgabe mit Gesicherter Fehlereinschliessung bei Partiellen Differentialgleichungen // Z. Angew. Math. Mech. 1971. Bd 51. S. T74-T75.
[4] Волков Е.А. Эффективные оценки погрешности решений методом сеток краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике и некоторых треугольниках // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 74. С. 55-86.
[5] КОЛЛАТЦ Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.
[6] Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1987.
[7] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.
[8] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
[9] Довронец Б.С. Интервальная математика. Красноярск: КГУ, 2004.
[10] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
[11] Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
[12] Довронец Б.С., РощинА Е.Л. Приложения интервального анализа чувствительности // Вычисл. технологии. 2002. Т. 7, № 1. С. 75-82.
Поступила в редакцию 2 ноября 2005 г.
