Решение задачи упругопластического деформирования и разрушения толстостенной трубы на основании эндохронной теории пластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376:539.4

С. Н. МИРОНОВА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ НА ОСНОВАНИИ ЭНДОХРОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Предложен один из вариантов эндохронной теории пластичности, не учитывающий поверхность нагружения и описывающий процесс рассеянного накопления поврежден-ности вплоть до разрушения.

Разработан метод сведения краевой задачи упругопластического деформирования и разрушения к задаче ползучести. В качестве примера применения разработанной модели решена модельная задача упругопластического деформирования и разрушения толстостенной трубы под действием внутреннего давления и осевой нагрузки.

Традиционный подход при построении определяющих соотношений, описывающих упругопластическое деформирование, состоит в введении;-поверхности пластичности, отделяющей упругую область материала от упругопластической. Однако, при таком подходе нужно считаться с известными трудностями, связанными с тем, что положение поверхности пластичности зависит не только от напряженно-деформированного состояния, но и от истории нагружения. Еще большие трудности приходится .испытывать при описании пластических свойств с использованием такого подхода для повышенных температур, где наряду с пластическими деформациями развиваются деформации ползучести. В силу того, что нагружение образца происходит за конечное время, здесь в качестве условной пластической деформации принимают необратимую деформацию, полученную в эксперименте на растяжение с максимально допустимой для данной машины скоростью нагружения. Очевидно, что и поверхности пластичности в этих условиях построить затруднительно.

Поэтому в последнее время развивается направление описания пластических свойств, в котором, во-первых, отказываются от введения поверхности пластичности, т. е. считают, что необратимые деформации пластичности возникают при сколь угодно малых напряжениях. С одной стороны, это не противоречит современным представлениям о том, что элементарные акты пластического деформирования в микрообъемах, особенно в условиях повышенных температур, могут происходить при очень малых напряжениях. С другой стороны, при малых значениях напряжений величина пластической деформации на несколько порядков меньше упругой составляющей и при решении прикладных задач в упругой области (при классическом подходе) она вносит незначительные погрешности.

Во-вторых, вводится предположение, согласно которо!му пластическая деформация развивается во времени [1—3] аналогично деформации ползучести, но со скоростью на 2—3 порядка выше последней. Данный подход к описанию пластической деформации соответствует так называемым эндохронным теориям пластичности [2, 3], т. е. теориям пластичности с внутренним временем. В частности, в уравнениях, предложенных в [1], в качестве внутреннего времени используется обычное физическое время.

Введенным выше гипотезам можно дать и некоторое экспериментальное обоснование. Так в [4] элементарные акты пластической деформации в образце запаздывали по отношению к приложению нагрузки от 0,4 до нескольких секунд. И хотя это больше связано с

микронеоднородным полем пластической деформации, интегрально эго явление можно трактовать как развитие пластических деформаций во

В связи с изложенным при построении соответствующих соотношений упругопластического деформирования в уравнение вводят физическое время, учитывая при этом, что время развития пластической деформации должно составить незначительную величину, при этом накопленная деформация ползучести за это время должна быть пренебрежимо малой по сравнению с пластической деформацией. Таким образом, схе!ма развития упругопластической деформации в координатах а—8 в режиме мягкого нагружения представляет собой ломаную ОАВ (рис. 1). При приложении нагрузки материал деформируется упруго (прямая ОА), а далее в течение очень малого времени развивается пластическая деформация (участок АВ) до достижения предельного значения, определяемого положением точки В на диаграмме деформирования.

Данный подход к оценке пластической деформации удобен в расчетной практике, поскольку позволяет с единых методологических позиций алгоритмизировать процесс расчета пластических деформаций и деформации ползучести ценой незначительных погрешностей.

Целью настоящей работы являются разработка модели упругопластического деформирования и разрушения металлов на основании обобщения модели, предложенной в [1]. и рассмотрение вопроса её применения к решению краевых задач на примере толстостенной трубы.

1. Отказываясь от поверхности текучести, используемой в [1], в настоящей работе основной вариант имеет вид

г = е + ер, е=м/Е,

= I М*(ог(0)я-^р(0], М<т(0)я>ер(*),

| 0, а(а(/))"<вр(/),

сг=а0(1 + ау),

гу = /-а-ер. (1)

Здесь е — полная деформация; е и ер — упругая и пластическая деформации соответственно; сг и сг0 — истинное и номинальное напряжения; Е — модуль Юнга; а и п — константы материала; 7—параметр материала.

Рассмотрим методику определения параметров пластичности. Необходимой информацией для этой цели является стандартная диаграмма упругопластического деформирования, полученная, например, с постоянной скоростью нагружения, но такой, чтобы за время нагружения накопленная деформация ползучести (р) была незначительной (р<£гр). Для определения параметров а и п используется начальный участок диаграммы упругопластического деформирования (ер в зависимости от материала не должна превышать 1—5%). Тогда в силу малости ер на начальном участке (по сравнению с деформацией разруше-86

Рис. I. Схема развития упругопластических дефор-_ маций

ния) можно считать, что поврежденность незначительна и сго~сг, а коэффициенты а и п степенной аппроксимации '

ер = а- воп (2)

определяются по методу наименьших квадратов (МНК) [5].

Дальнейшим этапом работы являлся выбо.р структуры параметра 7, входящего в последнее уравнение (1), на основании экспериментальных данных. Как показано в работе [1] для ряда материалов можно считать 7 —const. Однако, детальный анализ экспериментальных данных показал, что в общем случае у = у(ер) и для нее можно использовать степенную аппроксимацию вида

7 = а1 • (ер) т\ (3)

где а1 и ml — константы материала.

Проинтегрировав систему дифференциальных уравнений (1) при Со = const, получим:

ер

?р = а(сго-ехр) f е-во-йер))п. (4)

о

Располагая рядом экспериментальных значений (ер1у а1о) диаграммы

мгновенного упругопластического деформирования и используя для

численного интегрирования, например, формулу прямоугольников, из соотношения (4) получим выражение для определения уР:

/ р \ 1 ч/1^-. Г {иР/&)Х^П Оог 1

<•) - 0о.-(Лр_/г_1Р) Х|п [~~(1~7р7аУГп ао‘ ^ ^

Зная дискретную зависимость у(ер), можно по МНК определить а 1 и т1, входящие в (3).

В качестве критерия разрушения используется соотношение вида

/*р

С* ас!ер = (6)

о

где Лр* — работа разрушения, определяемая по диаграмме упругопластического деформирования; ер* — величина пластической деформации в 'момент разрушений; 0 — истинное напряжение.

В качестве примера расчета использовались экспериментальные данные для титанового сплава ВТ5 приГ = 20°С, взятые из работы [6].

и о * ь-Г Е, МПа а, (МПа)-" п | ol, (МПа)-"11 ml J /4%, МДж/м3

20 103 0.163-10-36 12.035 1.153 2;844 104.559

В таблице приведены параметры модели (1) для данного сплава, вычисленные по изложенной выше методике. На ,рис. 2 представлены экспериментальная (сплошная линия) и расчетная по уравнениям (1) {пунктирная линия) диаграммы упругопластшческого деформирования. Как видно, наблюдается соответствие расчетных и экспериментальных данных. При этом модель (1) описывает участок неустойчивого деформирования (ниспадающая ветвь диаграммы).

2. Выполним обобщение одноосной модели (1) на случай сложного напряженного состояния (СНС). Для описания кинетики накопления поврежденное™ в настоящей работе вводится гипотеза, согласно которой скалярный параметр повреж--денности в материале пропорционален работе истинных напряжений на пластической деформации. Определяющие соотношения для СНС^ получаемые формальным обобще-

Рис. 2. Экспериментальная (сплошная нием (1) в главных осях имеют вид линия) и расчетная (пунктирная линия) ' 7 ’

диаграммы упругопластического деформирования сплава ВТ5 при Т=20°С в^

[(1+к')у*а°], (^= Ь 2, 3)

с^ = -<х™°(1 + *0), к[а-{8)*~'-В—е„р], [...]5>0,

О, [...]В<0,

хю = 7 (ап •ерц + а22-^р22+сгзз-ёрзз), (7)

где 8^ —полные деформации; —упругие деформации; ер^ —пластические деформации; и а0™ — истишюе и номинальное напря-

жения соответственно; £, V — упругие /константы материала; а, п, у, X — параметры; о0 — гидростатическое давление (суммирование по индексу V в (7) не производится).

Величины В ^ И 5, входящие в (7), имеют вид

й- = -|- -----—о0, (8)

5 ==' (Оц—<Т22)2+(РП — сгзз)2Ч~ (СГ22—<Тзз)2)1/2- (9)

у 2

В качестве критерия разрушения предлагается использовать соотношение

Г оцУ)йерц = Лр*, (10)

0

где Лр* — критическая величина работы истинных напряжений на пластических деформациях, которая может быть определена в результате одноосного эксперимента. Фактически основной вариант реологических уравнений (7) — (9) есть один из вариантов кинетических уравнений Работнова Ю. Н. [7] с параметром поврежденио-сти энергетического типа для упругопластических сред.

3. С целью апробации разработанной модели упругопластического деформирования и разрушения металлов в данной работе решена задача оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) и разрушения толстостенной трубы под действием внутреннего давления и осевой растягивающей силы.

88

!

Пт!

350

I /

450

0 0,03 0,06 0,03 0,12. ер

Предположим, что толстостенная труба с внутренним радиусом ДТ и внешним Я2 нагружена внутренним давлением р и осевой силой Индексы для всех переменных соответствуют окружной, радиальной и осевой составляющим (соответственно). При решении задачи использовалась гипотеза плоских сечений:

гг (г, г, /) = 80 (2, 0-Второе уравнение совместности деформаций имеет вид

^8@

дг

Запишем уравнения равновесия:

йоГ

8г.

(12)

, -\-Ог ~ 00 *,

2п- I вг-Г-йг=(). (13)

Представим полную деформацию в виде

' — ^0 Н- 6 0 ^

8 г=ег + ерг,

8г = е2-\~ер2. ( 14)

Найдем выражение для компонент напряжений ав, аг, вг. Для это-

го подставим первые два соотношения (14) в (12) и после преобразований получим:

г' ~1Г+ еь~ег=ерг—ерв~г- —•• (15)

Используя закон Гука

е1 = —^— [ (1 + V) - сг,—V */] (1’ = Г, 0, г), (16)

где / — первый инвариант, находим:

е*—ег = (1 “ЬV) '/Е- (ов — вг). (17)

Дифференцируя (16) по г при / = © и подставляя полученное в (15), получим:

Г г / <1(3? . й(5г , п р

-£—[-37-------^ + -агП+е»-е'=еР'-еР°-г'—‘ <18>

Выразим —через функции и стг. Для этого подставим третье соотношение (14) в уравнение (16). Тогда при 1 = 2 имеем:

—• [Стг—■у(ай + а»-)] = ео(г, Ц—ерг. (19)

Дифференцируя полученное по г и выражая находим:

Подстановка ('17) и (20) в (18) дает

-^-•(1—V2)—---------' ~^г-------------Ь --^г^(о0—<тг) =Я(Г. 0. (21)

41° ... (11/ ‘

ё(г^)= ерг—ерв—г—^- — гх-1Г . (22)

Выражая из уравнения (13) .....

Аа' =ст,----(23)

(1г

и подставляя это выражение в (21), получим: -

<Ч> , _ Е-ё(г, 0 0/(.

-37- +от*----------------(24[

Продифференцируем (23) по г:

+Г!£- + Л!;:----------1~- = 0. ,25)

с1г с1г2 1 с1г ёг

Подставляя в (24) соотношение, выраженное из (25), получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной сгг:

й2ог . г* с1ог _ Е^(г, 0

^ ~~ П_л,2\.г2 .»

с//-2 1 (1—V2)-Г2 ’

где время / входит в 0Г и ^ как параметр. Граничные условия для (26) имеют вид

(Тг|г=Я| = Рч <5г\г=1*2 — 0. (27)

Решение уравнения (26) с граничными условиями (27) имеет вид

ГГ (г /\ — РКП 'Д1_______.Г| 1 I _ ^_______Г Г *у _ А 2 V.

<ММ) #,2 I1 г? 1 + 2(1—V2) ^ X /?22 — Х

Яз 4\ У2 /7 0.2. О 2 Яг

х •'*, —х - Т7~)аХ* + -2-(Т^*Т7?' I "я? -к~{—X— Х

X (1 - -рг~) с1Х-\ £ (X, Ь) ХйХ]. (28)

к 2 я,

Выразим ав из (13): _ _

о» = г-1%-+Ог. (29)

Продифференцировав (28) по г и подставив полученное выражение в (29), находим величину <тч: . : ■ :::ю'Гтб^

[' + -7Й -ТЯГ'Лг [-7+ + ЧХ

хГ-^5л-П--и-]"+ Т|Ьг ЩХЛМХ +

+ ]^1М-йХ]. (30)

/?« Л

Нетрудно видеть, что первые члены (28), (30) совпадают с упругим решением для толстостенной трубы, так как g(r, ^)|<=о = 0.

Найдем распределение ог{г, 0-

Представим соотношение (14) в виде

ег(г> 0 =ео(0 = Мг> 0 +ерг(г, /). (31)

Используя закон Гука (16), соотношению (13) можно придать вид

ео(0 = —{сТг(г, 0—'у[ст., (Г, 4) +аг(г, 0 ]} + ерг(г, /) . (32)

Выразим из (32) ст*:

СГг ^ = Е • [бо (0 —(/, ^) ] + V ((Те + (Х,г) . (33)

Таким образом, для того, чтобы иметь распределение аг, необходим мо знать величину ео(/). Для ее нахождения подставим (33) в (13) и разрешим полученное относительно 8о(0:

8о(0 = { 2^- + Г ^('', /) гс1г- [а, (г, /) +

+ Ог (г, 0] Г(1г}' (34)

• * ■

Зная величину ео(0> из (33) определим а*. Имея законы распределения для всех компонент напряжений, из (14) находим е(, и ег:

e^(■^^) = l/£•{(l+v)•a^(^0—v•/}+v^ (г, /). (35)

4. Численная реализация расчета НДС толстостенной трубы под действием внутреннего давления и осевой силы осуществлялась аналогично хорошо известному в теории ползучести методу «шагами по времени». При этом сначала (рассчитывается упругое решение при / = 0, а затем — неупругое решение с использованием пошагового метода интегрирования основных дифференциальных уравнений по времени.

В качестве модельного примера была решена задача об упругопластическом деформировании и разрушении толстостенной трубы из титанового сплава ВТБ при 7 = 20°С с внутренним радиусом 7^ = 20 тт и внешним ^9'=22 тт. Параметры модели (7) определялись по результатам одноосных испытаний и их значения приведены в таблице.

По результатам расчета на рис. 3 приведена предельная диаграмма разрушения трубы при двухпараметрическом нагружении.

Таким образом, в статье предложен ва- Рис* 3- ДиагРамима разруше-

г ^ 1 ни я толстостенной трубы из

риант теории пластичности без поверхности сплава ВТ5 при Т==20°С в ко-

текучести, позволяющий ценой незначитель ординатах Р(2

ных погрешностей свести задачу упругопластического деформирования к задаче ползучести.

На основании предложенной модели решена задача упругопластического деформирования и разрушения трубы не на основе силовых критериев предельного состояния, а на основании уравнений, учитывают,их кинетику накопления поврежденности в материале.

1. Радченко В. П. Прогнозирование ползучести и длительной прочности материалов на основе энергетического подхода в стохастической постановке//Проблемы прочности, 1992. № 2. С. 34—40.

2. Кадашевт Ю. М., Мосолов А. Б. Эндохронные теории пластичности: основные положения, перспективы развития//!Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 1. С. 161 —168.

3. Мосолов Л. Б. Эндохронная теория пластичности. М.: Институт проблем механики.

АН СССР, 1988. С. 44. "

4. Жуков Л. М. Ползучесть металлов при комнатной температуре после малой частичной нагрузки. Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 64—68.

5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.

6. Соснин О. В., Соснин О. О. О термопластичности//Проблемы прочности. 1988. № 12. С. 3—9.

7. Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. С. 752.