CC BY
70
СИСТЕМЫ И л
ПРОЦЕССЫ ^ ш в ▼
УПРАВЛЕНИЯ
УДК62.50
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ДВУМЯ ПАНЕЛЯМИ
СОЛНЕЧНЫХ БАТАРЕЙ
НАЗАРОВ А. С.
Решается задача управления движением космического аппарата с двумя панелями солнечных батарей. Рассматривается аналитическое решение построения динамической математической модели упругого космического аппарата как системы с сосредоточенными и распределенными параметрами. Описываются уравнения движения космического аппарата вокруг его центра масс и изгибных колебаний.
Введение
Актуальность: Большие космические конструкции собираются или развертываются непосредственно в космосе. Данные конструкции функционируют в условиях, близких к условиям вакуума и невесомости, подвергаются малым нагрузкам и поэтому могут быть очень гибкими. При этом действующие нагрузки, а также гравитация и ускорение, особенно во вращательном движении, могут оказывать существенное влияние на упругие динамические характеристики таких конструкций и в результате на их динамику. Динамика современных космических аппаратов (КА) во многом зависит от применяемых технических решений, полученных на основе принятой математической модели. Протяженные упругие конструкции балочного типа применялись уже на первых искусственных спутниках Земли для размещения экспериментальной аппаратуры, в качестве гравитационной стабилизации, антенн связи. Свойства упругого деформирования конструкций широко используются в современных космических летательных аппаратах.
Цель исследования: решить задачу управления движением упругого космического аппарата с двумя панелями солнечных батарей.
Задачи: 1) получение уравнений движения КА вокруг его центра масс и изгибных колебаний; 2) выбор числа учитываемых мод колебаний; 3) упрощение математической модели упругого КА при малых углах отклонения панелей солнечных батарей.
Постановка задачи
Для вывода уравнений возмущенного движения упругого космического аппарата воспользуемся известными теоремами динамики об изменении количества движения и кинетического момента системы [1]. При РИ, 2008, № 2
этом движение центра масс КА будет описываться следующим уравнением:
dQ = dt
(1)
где Q - вектор количества движения КА с учетом упругих колебаний панелей солнечных батарей (ПСБ); F - главный вектор внешних сил в БСК, действующих на КА. Уравнение движения КА относительно центра масс можно записать в виде
dG
dt
= M,
(2)
здесь G - вектор момента количества движения КА с учетом упругих колебаний ПСБ; M - главный вектор момента внешних сил в ССК. Уравнение (2) можно переписать, пользуясь понятием локальной производной по отношению к системе Oxyz, в следующей форме:
d
dtG + юх G — M + M упр, (3)
где Mупр - управляющий момент, создаваемый СГК.
Схематизируем ПСБ в виде упругих неоднородных балок, погонные массовые, инерционные и жесткостные характеристики которых равны соответствующим характеристикам ПСБ [2,3]. В этом случае составляющие вектора количества движения КА можно записать следующим образом:
2 Ik
Qx = mx + Ё J mk(^k)uxk(^k>t)dlk;
k=10 2 Ik
Qy = my + Ё І mk(^k)uyk(l k,t)d^ k; k=10
2 Ik
Qz = mz +ZJ mk(5k)uzk(5k>t)d5k> (4)
k=10
где m - масса КА; lk - длина балок; mkCk) -
погонная масса балок; uxk 0,uyk (0,uzk О - проекции скорости точек k-й балки с ССК.
Последние определяются выражениями
uxk Й k,t) = (“1)k Ф r|kЙ k , t)c°sa kCOsPk +
+ (-1)k+1 Ф qkC k, t)sina kCOsPk;
uyk(^ k,t) = (-1)k Ф k,t)cosa kSinPk +
+ (-1)k+1 Ф qkd k,t)sina ksinPk;
uykC^kA) = (“1)k[(P k,t)sina k +
+ Ф qk(^k,t)cosa k]. (5)
Здесь 9^k (§k>Фдс (^k,t) - упругие перемещения точек k-й балки в плоскостях ^kOklk и QkOklk соответственно. При этом положительные направле-
3
ния упругих перемещений совпадают с положительными напр авлениями осей локальных систем координат °k^k^kCk •
Составляющие вектора момента количества движения КА определяются по формулам 2 Ik
Gx = !xФ + Е [ J (У 0kuzk _ z0kuyk)mk(^ k)d^k + k=1 0
. К
+ (-1)ksinpk • }ф§k(lk,t)iSk(5k№k];
0
2 Ik
Gy _ ly? + E[ J (z0kuxk _ x0kuzk)mk(^k)d^k +
k=1 0
lk
+ (~1)k+1COsPk • |фд<(|k,t;)i§k(^k)d5k];
0
2 lk
Gz = Iz& + E J(x0kuyk _y0kuxk)mk(^k)d^k, (6)
k=l0
где Ix,Iy,Iz - массовые моменты инерции КА относительно осей ССК; X0k,y0k,z0k - координаты точек крепления k-й недеформированной балки в ССК; i^k(^k) - погонный массовый момент инерции балки относительно оси Ik , k = 1,2 ; Ф§k(lk>t) - скорость упругого перемещения точек k-й балки при колебаниях относительно оси Ok^k •
Координаты точек крепления k-й недеформированной балки определяются выражениями
x0k =-h+(-1)k I ksin Р k;
y0k = (-1)k+1(r + lk cos p k);
z0k = 0,k = 1,2, (7)
где h - расстояние по продольной оси Ox аппарата от места крепления ПСБ до центра масс; r - расстояние от продольной оси Ox аппарата до места крепления ПСБ.
Подставляя (5), (7) в (4), (6), а результат в (1) и (2), получаем уравнения движения центра масс упругого КА [2,3]:
2 k 1 mx + ^ cos Pk [(— 1)k+1sinak x k=1
lk
x JФk,t)mk€k)d5k +
0
k lk
+ (-1)kcosak Jфлкйk,t)mk(lk)d^k] = Fx; (8)
0
my + ^ sin P kt(-1)k+1 sina k x k=1
lk
x JФg^k,t)mk(^к Жk +
0
k lk
+ (-1)k cosak J ф^ k, t)mk (§k№k] = Fy; (9)
0
mz + ^ (-1)k+1[cosa k x k=1
lk
x JФg^k,t)mk(^k№k +
0
lk
+ sinak Jcp^(|k,t)mk(^к Жk] = Fz (10)
0
и уравнения вращательного движения упругого КА относительно центра масс:
2 lk
Ix Ф + Е[ J(r+1 kcos Pk) х
k=1 0
х (Фд^кЙk)cosak +i;p4kmk(^k)sinak)d£k +
k lk
+ (-1)ksin p k J cp ^k^ k)d| k] = Mx;
0
Iy‘7 + |[(-1)k+1 J (h + (-1)k+1 £,ksinpk)X k=1 0
x (Фд^кЙk)cosak +cP4kmk(^k)sinak)d£k +
. 1 lk
+ (-1)k+1cosPk ІФ§kik(lk№k] = My;
0
2 lk k
Iz^ + E J((-1)khsinpk -Ik -rcospk)X
k=10
x (Фд^.Й k)sin a k +
+ Ф 4kmk(l k)cos a .)d| k = Mz. (11)
Для определения величин Фдо ФдЪ Фдс рассмотрим упругие колебания балок в системе O. Ik Pk С k • Исходя из принципа Даламбера, уравнение упругой балки можно получить из уравнений ее упругого равновесия, добавив к внешним силам, действующим на балку, фиктивные (даламберовы) силы инерции [1]. Тогда уравнения упругих колебаний балки можно записать в виде
д2 3 ФгкйкА)
mk(5 к)Ф ?кЙ k,t) + —[В^й.) • ^2 ] =
^к зік
= Pg^ k,t);
mk(^к)^Рдк(^k,t) + 2 [Br|k(^k)
к
= РдкйкА);
^ Фдкйк’О
&>k
] =
2
mk Й k)(f> §k(^ k,t) +
ЕІ
^к
[B§k(^k) •
5 Ук(^кД)
зі к
= P^ k,t); к = 1,2,
(12)
где Вд,,Влк,В§к - изгибные жесткости балки в плоскостях I.Oklk и PkOkl к и жесткость балки на кручение относительно оси Ok^k ;P?k,Pnk,Pi;k - груз, действующий на балку со стороны корпуса КА.
4
РИ, 2008, № 2
Граничные условия для системы (12) определяются в зависимости от вида крепления балки:
при = О
(е t) 0 ^к^ьО о
ф^к (^к,t) =0; —^----=0;
Съ к
(е t) о 5Флк(^к,0 о
Фг|кй к,і) =0; —Ь----=0;
CS к
при §к =1
к
9 к,1) = 0;[Бд,(|к) 9 ФСк(?к,1)| = 0;
,2
(13)
% к
^ к
%к
^ Ф^к(^к,1) _ 0; д
2 ■ = 0; — [Блк(| к)
д^к д^к
д Фгікйк,1)
^ к
] = 0;
для крутильных колебаний
при !к = О Ф^к (^к ,1) = 0;
'Эф^кЙкД)
при ^к = 1к
^к
■ = О
(14)
ний с последующим усечением числа уравнений до разумного предела. Процедура перехода от (8)-(12) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений базируется на р азложении функций Ф^к, Фг|к, Ф^к в ряды по формам собственных колебаний упругих балок. Это разложение имеет вид
N
Ф^к(^ъt) = Ё fg<(^k)qnk(t);
n=1
N ; ;
Флк(^к,1) = Е ґлпк(^к)4лк(і);
n=1
N n n
Ф^кЙъО =Ё f|k(Sk)qnk(t), (18)
n=1
где fgc(0>fnk (’),%<(■) - соответственно формы изгиб-ных колебаний балки в плоскостях Ck^k^k и PkOklk, и крутильных колебаний балки; qПк (t), Чт;к (t), qПк (1) -обобщенные координаты; N - число учитываемых мод упругих изгибных и крутильных колебаний балок.
Выбор числа учитываемых мод колебаний представляет собой самостоятельную задачу - задачу редукции. Редуцирование исходной системы уравнений может проводиться по различным критериям.
Функции Р^к ОХ Рг|кОХ Р^к(0, выражающие внешнюю нагрузку на балку, определяются по формулам
Р^кй к,1) = -Шк(| к){(-1)к+1 х х (z cos ак + y sin аksin Рк + х sin a kCOS Рк) +
+ v|7 (r + | к cos p k)cos а к +
+ Y[(_1)k+1h + § к sin P,]cos а к +
+ $[(-1)khsin Рк - rcos p к k]sin а к}; (15)
Рлк(^ к,1) = “ткЙ k){(-1)k+1zsin а к +
+ (_1)к(3? cos а к sin р к + х cos а к cos р к) +
+ Ф(г + | к cos p,)sin а к +
+ У[(-1)к+1 h + § к sin Р k]sin а к +
+ 5[(-1)k+1hsin р к + rcos р к + § ,]cos а к}; (16)
Во-первых, высшие моды колебаний для практически подавляющего числа реальных упругих конструкций имеют высокое демпфирование из-за внутреннего и конструктивного трения и узкорезонансные пики амплитудно-частотных характеристик. Кроме того, коэффициенты инерционной связи для высших мод пренебрежимо малы. По этой причине высокочастотные составляющие q^^), j = С, Р, 5;к = 1,2 , в практических расчетах могут быть отброшены.
Во-вторых, отбрасывание некоторых мод упругих колебаний конструкции может быть проведено на основе сравнения величин собственных частот и полосы пропускания приводов системы управления.
Подставив (15), (16), (17) в (12), а (18) в (8), (9), (10), (12) и граничные условия (13), (14), получим конечномерную систему уравнений возмущенного движения упругого КА.
Р^кй к,1) = ^кйк)[(-1)к Ф sin Рк + (-1)к+1У cos Рк]. (17)
Таким образом, уравнения (8)-(12) с граничными условиями (13) и (14) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую возмущенное движение КА с учетом упругих колебаний двух ПСБ. Системы уравнений такого рода носят название «гибридных». Однако чрезвычайно сложно использовать их в рамках проектного анализа и синтеза динамических свойств. Поэтому на практике обычно существует этап упрощения системы уравнений (8)-(12) путем сведения ее к системе обыкновенных дифференциальных уравне-
Уравнения сил принимают следующий вид:
2 N к .
тх + Ё £[(-1)к ад^к sin а к +
к=1n=1
+ (_ 1) а^кq^k cosak]cosРк _ Fx;
m37 + Е Ё [(-1)к+1а^;ktlnk sin а к + k=1n=1
+ (-1)ка П, ^іП, cos a ,]sin р, = Fy;
РИ, 2008, № 2
5
2 N
m +2 2 [(_1) + a”ktlnkcos ak + k=1n=1
+ a?,ktink sin ak] = Fz. (19)
Уравнения моментов приобретают следующий вид:
2 N
ix У + Е Е [(ra ”k + b”kcosPk)ti" kcosa k +
k=1n=1
+ (raлk + bл,cosPk)qnk 'sinak +
+ (-1)ka nk finksinPk] = Mx; (20)
IyY + E E[((-1)k+1hank + bnksinPk)tinkcosak +
k=ln=1
+ ((_ 1) ha ^ k + b л ksinP к^л k 'sina k +
+ (-1)k+1a nktinkcos Pk] = My; (21)
2 N k n n
ix & +EE[((-1)kba nk - b£k -
k=1n=1
- ra n ,cosp k)tinksina k +
+ ((-1)khanksinPk -b^k -
- rankcosPk)(l^k • cosak] = Mz. (22) Уравнения изгибных колебаний в плоскостях ПСБ CkOk^k и Pk^k^k представляются таким образом:
M^k^k +8n^—q nk + (®nk)2q ”k] +
+ (— 1) a nk * [z cos (x k +
+ (x cos p k + y sin p k)sin a k] +
+ (ra n k + bnkcos p k)fp cos a k +
+ [(-1)k+1ha nk - b nk sin Pk - b £k]y cos a k +
+ [(-1)kha nksin Pk - ra nkcos p,]$ sin a k = 0; (23)
,,n r„n . sn ®Лk лп , /„n ч2 n n .
І^Лкйлk ^^лk ^ qлk ^ (®лk) qЛk] ^
+ (-1)k+1a” k -[Z sin ak -- (x cos Pk + y sin p k)cos a k] +
+ (ra?, k + b” k cos Pk)v|V sin ak +
+ [(-1)k+1ha^k + b^k sin P,]Y sin ak +
+ [(-1)k+1ha” k sin Pk + ra?, ,cos p, +
+ b1^ , ]S cos ak = 0. (24)
Уравнения крутильных колебаний имеют вид:
ink[qnk +8nk^k qnk + (<k)2q nk] +
n (25)
+ (-1)k+1 a |kC7 cos Pk -(p sin Pk) = 0;
k = 1,2; n = 1N.
В уравнениях (23)-(25) величины p.” k, qnk,ink - соответственно приведенные массы изгибных и приведенный массовый момент крутильных колебаний балки. Здесь n - индекс номера моды; 8П k, 8 л k, ^k -логарифмические декременты изгибных и крутильных колебаний балки; a n k, a?^ k,ank,bnk,b^ k - коэффициенты инерционных связей.
Система (20)-(25) при фиксированном положении ПСБ относительно корпуса КА, т.е. при о,, = const и Pk = const, k = 1,2, представляют собой линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В противном случае, если динамика КА рассматривается в процессе перекладки ПСБ, система уравнений (19)-(25) будет существенно нелинейной и нестационарной.
Положим в уравнениях (20)-(25) углы отклонения панелей в локальных системах координат Ok I k Л k С k (k = 1,2) равными нулю: а, = Р, = 0. В уравнениях (23)-(25) исключим членні, зависящие от линейных ускорений центра масс КА. В результате система (20)-(25) существенно упростится и примет вид:
уравнения моментов
2 N n n n
Ix(P + Е Е(rank + bnk)^іПk = Mx; k=1n=1
2 N , .
IyY + E E[(_1) + (ha”ktli^k + ankqnk)] = My; k=1n=1
2 N n n n
Iz & +EE (ra ^k + bT]k)q л k = Mz; (26)
k=1n=1
уравнения изгибных колебаний в плоскостях ПСБ
M^k^k +8n^^k q n k + (ronk)2qnk] +
+ (ra n, + ^kW + (-1)k+1ha ?їку = 0; (27)
М-лк^лк +8л k_^ q лк + (roT]k)2qTik] +
+ [ra n, + Цк^ = 0; (28)
уравнения крутильных колебаний
^k^k +8n^^k qnk + (®nk)2q nk] +
+ (-1)k+1a nk=y = 0; у = 0,k = 1,2. (29)
При рассмотрении этой системы видно, что движения рыскания и крена являются взаимосвязанными, в то время как движение тангажа является независимым.
Далее будем рассматривать уравнения движения КА вокруг центра масс (26) и уравнения изгибных колебаний (27) и (28). Введем в рассмотрение вектор W = [vp у S]T , тогда с учетом уравнения (3) система уравнений (26) примет вид:
6
РИ, 2008, № 2
Іхй х Ixyf^ y Ixz z
+
+ roy(Izx®x +Izy®y +Izroz)
_ ® z (Iyx®x + Iy® y + Iyz®z) +
2 N
+ E E(rank + b^^k = Mx + Mxr; k=1n=1
—Iyx Й x + Iy(b y — Iyz Й z +
+ ®z (Ix®x + Ixy®y + Ixz®z) _
_®x(Izx®x +Izy®y + Iz®z) +
2 N , 1
+ E E[(_1) + (hank^lnk + anktlnk)] = My + МуГ; k=1n=1
начальный кватернион ориентации
Л(0) = {0.712789;-0.217925;0.53589;-0.396564} , конечный кватернион ориентации
Л (T) = {1;0;0;0},
начальные углы прецессии гиродинов Р (0) = {-900;500;-500;900}.
Г ашение угловой скорости: начальные угловые скорости
Шг(0) = {0.01745;0.0149;0.0224} рад/с, конечные угловые скорости
_Ixz® x _ Iyz® y + Iz®z +
+ ®x (Iyx ® x + Iy® y + Iyz ®z) _
— ®y(Ix ® x ^ Ixy ® y ^ Ixz ® z) ^
2 N
+ EE (raT| k + bT| k)qr| k = Mz + MZr. (30)
k=1n=1
Уравнения изгибных колебаний (27), (28) перепишутся в следующем виде:
^nk[qnk +8nk—^ qnk + (ronk)2qnk] +
+ (ra !;k + b !;k)c& x + (_1)k+1ba "k133 y = 0; (31)
..n [qn , xn юлk qn , , n )2_n ] ,
Н-цk[qr|k k *1 цk ^(ючk) qr|k]^
+ [rank + b?,k]cbz = 0, k = 1,2; n = 1,N; N = 2, (32)
где внешние возмущающие моменты Mx, My,Mz и управляющие моменты Mxr ,Myr ,Mzr определяются из следующих выражений:
Mx = 0; My = 0; Mz = 0; M Г =-IT - (их H), (33)
суммарный кинетический момент гиродинов
Hxг = h0 (cos P1 + cos P2 + cos P3 + cos P4);
Hyp = b0 (sin P1 + sin p2);
Hzг = b0(sinP3 + sin P4), (34)
где h0 = 250H • м • с - кинетический момент одного гиродина.
Для иллюстрации работоспособности математической модели упругого КА был проведен вычислительный эксперимент при следующих условиях: T = 150 с - время ориентации КА.
Трехосная переориентация:
начальные угловые скорости
ШТрП (0) = {0.00152;0.00169;0.0014} рад/с,
конечные угловые скорости
Штрп (T) = {-0.063;-0.01;-0.038} рад/с,
РИ, 2008, № 2
шг (T) = {0.0001745;-0.000349;0.0003665} рад/с,
начальные углы прецессии гиродинов
Р (0) = {700 ;-700 ;-500 ;500}, матрица моментов инерции КЛА
I =
1445 - 41 56
- 41 3335 25.5
56 25.5 3660
кг • м
2
Выводы
Научная новизна. Рассмотрено аналитическое решение построения динамической математической модели упругого КА как системы с сосредоточенными, так и распределенными параметрами. Получены уравнения движения КА вокруг его центра масс и изгибных колебаний в общем виде. Получаемые величины амплитуд колебаний упругих элементов являются сравнительно малыми, что свидетельствует о довольно слабом возмущении ПСБ и более точной ориентации. Слабые возмущения ПСБ могут объясняться тем, что ориентация происходит посредством управления системой гиродинов, где управление происходит плавно. Получен такой закон управляющего момента, который не приводит к возбуждению упругих элементов. При этом влияние упругости конструкции на его ориентацию будет сведено к минимуму.
Практическая значимость: Полученные аналитические результаты могут быть использованы для построения систем управления упругими КА с рассмотренной компоновкой гиродинов и конструкцией аппарата.
Литература: 1. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с. 2. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986. 216 с. 3. Иванов В.А., Ситарский Ю.С. Динамика полета гибко связанных космических объектов. М.: Машиностроение, 1986. 246 с.
Поступила в редколлегию 30.11.2007
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Аврамов К.В.
Назаров Алексей Сергеевич, старший преподаватель кафедры систем и процессов управления НТУ „ХПИ”. Научные интересы: системы управления ориентацией и стабилизацией движущимися объектами. Адрес: Украина, 61142, Харьков, ул. Блюхера, 62, кв. 84, тел. 66-21-47.
7
