CC BY
11УДК 621.929.1; 66.011
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПАКОВКИ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ПОРОШКОВ В СТРУКТУРЕ КОМПОЗИТА
КРИВОНОС ОЛЕГ КОНСТАНТИНОВИЧШИК
кандидат военных наук доцент, заместитель генерального директора Государственного научно-производственного объединения порошковой металлургии, г.Минск, Беларусь
ПЕТЮШИК ЕВГЕНИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ
доктор технических наук профессор, заместитель генерального директора Государственного научно-производственного объединения порошковой металлургии, г.Минск, Беларусь
Аннотация. В работе рассмотрен вариант учета влияния морфологических и размерных характеристик частиц порошковых материалов при решении задачи их упаковки в процессе смешивания при получении высоконаполненного композита. В качестве морфологической характеристики выбрана проекция рельефа поверхности частицы в произвольном ее сечении, оцениваемая относительным радиусом частицы, а в качестве размерных - размер частиц, показатели фактора формы и степени неравноосности частицы.
По итогам анализа функции относительного радиуса частицы, формализованной разложением в ряд Фурье и представленной в тригонометрическом виде с последующим разложением в амплитудно-частотный спектр, выявлены тренды распределения плотности спектральной мощности в зависимости от установленных инструментальным методом изменений значений фактора формы и степени неравноосности частиц для принятой выборки порошка и относительного радиуса частицы в принятых интервалах их изменений. Показано, что существует возможность выделить интегральную характеристику, чувствительную к изменениям фактора формы, степени неравноосности и радиуса частиц порошка, которая может уточнять модель смешивания, построенную для идеальной элементарной ячейки композита, сформированной из сферических частиц.
Ключевые слова: высоконаполненный композиционный материал, полидисперсные порошковые материалы, морфологические и размерные характеристики частиц порошков, преобразование Фурье, плотность спектральной мощности, продолжительность перемешивания компонентов
Введение. Высоконаполненные композиционные материалы (ВКМ) получают, как правило, смешиванием порошковых компонентов в среде связующего. Предполагается, что на этапе смешивания компонентов формируется требуемая структура материала, которая не претерпевает существенных изменений при формовании композиции и последующей полимеризации связующего [1]. Для установления технологических режимов смешивания проводят большое число опытов или используют различные модели. Как правило, такие модели основаны на теоретико-вероятностном описании процесса равномерной укладки частиц порошков и получения оценок механизма структурообразования ВКМ по результатам обработки полученного в ходе моделирования статистического материала [2 - 5]. При этом в описанных моделях, чаще всего, за основу принимается материал, структура которого образуется сферическими частицами порошков с одинаковым радиусом. Например, в работе [2] модель структуры композиционного материала построена на основе двух фракций сферических порошков с фиксированным значением радиуса (для крупной фракции - 240 мкм, а для мелкой - 50 мкм) и установленного соотношения их размеров. На практике при получении ВКМ в состав композиции вводятся полидисперсные порошки с формой частиц отличающейся от сферической [6].
Для описания формы частиц применяемых порошков в соответствии с ГОСТ 25849-83 в качестве характеристик используют степень отклонения формы проекции частицы от сферической или фактор формы (/) и степень неравноосности (д). Также каждая частица имеет отклонение значений радиуса (гЧ) в границах размеров ячеек сит, выбранных для классификации порошковых компонентов. Пример случайной выборки одного из порошковых компонентов ВКМ с характеристиками частиц показан на рис. 1 [7].
Рис. 1. Фрагменты результатов исследования свойств полидисперсных порошков С учетом наличия трех разных по содержанию характеристик порошков сформулирована цель исследования, заключающаяся в решении задачи упаковки несферических полидисперсных порошков при формировании структуры ВКМ.
Материалы и методики исследования. Для количественной оценки изрезанности рельефа частиц условно разобьем на равные сектора их проекции с шагом 5 градусов. Для чего выберем из случайной партии крупной фракции одного из порошковых компонентов ВКМ (рис. 1) частицы с наилучшим (/=0,9; д=1,1), средним (/=0,76; д=1,4) и наихудшим (/=0,51; д=1,7) показателями фактора формы и степени неравноосности. Лучи, исходящие из центра окружности, разделим на равные части, каждая из которых соответствует 1/10 радиуса частицы (г0), выбранного в [8] для построения элементарной ячейки.
Использование относительного значения радиуса частицы (гч/г0, где Гч - измеренное значение радиуса частицы на определенном участке окружности) для оценки ее вклада в формирование заданной структуры материала позволяет учитывать отклонения от номинального значения для полидисперсных порошков. Проекция отобранных частиц с нанесенной шкалой для количественной оценки несферичности их поверхности и отклонений значений радиуса от принятого Г0 показана на рис. 2.
а) б) в)
Рис. 2. Проекция частиц с нанесенной шкалой для количественной оценки несферичности их поверхности и отклонений радиуса: а) с наилучшим значением фактора формы (/=0,9); б) со средним значением фактора формы (/=0,76); в) с наихудшим значением фактора формы (/=0,51) Построим график, отражающем изменение относительного радиуса частицы Гп (где Гп= гч/го) на отрезке I е [0; 2п], составляющем периметр частицы, для чего отложим на оси ординат его значения, измеренные против хода часовой стрелки от оси абсцисс, проведенной через центр частицы. Вид полученных графиков для трех отобранных частиц (с наилучшим /=0,9, наихудшим /=0,51 и средним /=0,76 показателями фактора формы) и условно принятой при построении модели элементарной ячейки сферической частицы (/=1) представлены на рис. 3.
ы
Гп
U 1.1 i 0.9 CU 0.7 о.» ОЛ
Гп
1.75 1,55 1,35 1.1S 0.95 0.75 0.55 0.25 0.15
IX 1ÍO МО >10 >40 >70 МО J30 МО
30 60 90 120 150 180 210 240 270 ЗОО 3» 3«
а)
б)
Гп
1,95 1.75 I.SS 1.35 1.1S 0.95 О.П 0.55 0.15 0.15
Гп
1.75 1.55 US 1.15 0.95 0.75 0.55 0.35 0.15
за 60 90 ¡га iso iao jio з*а гта loo э» isa
30 60 90 120 150 180 210 240 270 ЗОО 330 360
l
l
в) г)
Рис. 3. Характер изменения радиуса частицы на отрезке [0; 2п]: а) для сферической частицы (/=1); б) с наилучшим значением фактора формы /0,9); в) со средним значением фактора формы /0,76); г) с
наихудшим значением фактора формы /0,51) Приведенные на рисунке 3 графики описывают функцию одной переменной/^) на заданном отрезке l. Из работ [9, с. 65 - 80; 10] известно, что любую функцию одной переменной на заданном интервале можно представить как периодически повторяющуюся и формализовать разложением в ряд Фурье, представив его через тригонометрические функции sin и cos и записав в виде [11, с. 34 -48]:
/•/74 a0 ^, m%l , . тл1,
f (l) = +L (amCOS— + bm Sin—, 2 m=1 L L
(1)
где ао, ат, Ьт - коэффициенты Фурье, при этом ат, Ьт - амплитуды т-й гармоники; £ - исследуемый участок графика;
тл
L
угловая частота m-й гармоники.
Полученные в результате такого представления поверхности частиц кривые (б, в, г), в зависимости от значений измеренных характеристик (фактор формы, степень неравноосности) могут быть представлены набором частот колебаний с некоторыми расчётными амплитудой и частотой. Такой подход отображения информации о степени несферичности поверхности
l
l
частицы позволяет в последующем подобрать наиболее целесообразный инструмент математического анализа, применение которого даст количественную оценку степени влияния на перемешивание топливной композиции.
Качественно разложение в ряд Фурье одной из функций (рис. 3в) представлено на рис. 4, где условно показаны основная/\{1) и одна из высших /„,(/) гармоник.
Рис. 4. Схема аппроксимации функции рядом Фурье
Для приведенных на рисунке 3.10 гармоник можно записать:
,a (i 2шШ ^ . (, 2шШ fi(l) = Ai cos
l—
L
fm (l) = Am COS
+ Blsin 2ш
v ^
t о____\
l—
L
L
v ^
f о____Y
+ Bm sin
2ш L
(2)
где m - порядковый номер гармоники;
f (l) - первая гармоника спектрального разложения функции r(/) на исследуемом участке;
fm (l) - гармоника, имеющая максимальную частоту из всего анализируемого спектра и характеризующая максимальный угол подъема (спуска) или кривизну функции на исследуемом участке;
A и B - значение амплитуд гармоник f (l);
Am и Bm - значение амплитуд гармоник fm (l).
Представление графика, характеризующего динамику изменения относительного радиуса частицы на исследуемом отрезке, в виде совокупности постоянной составляющей ( a 0
выражение (1) и суммы гармонических колебаний (выражение 2), позволяет
использовать для ее исследования гармонический (спектральный) метод, применяемый для анализа геофизических характеристик, электрических, звуковых и других сигналов [11, с. 94 - 109; 12, с. 164 - 205; 13, с. 55 - 59]. Для этого графики, характеризующие изменение относительного значения радиуса на отрезке [0; 2п], представляются в виде амплитудного и частотного спектров [14].
Для дальнейшего исследования и преобразования зависимостей Гч/Г0(/) с помощью ряда Фурье в амплитудно-частотный спектр используем пакет прикладных программ MATLAB,
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
библиотека математических функций в котором содержит необходимые для разложения вычислительные алгоритмы [15]. Для получения графика, характеризующего спектральную мощность при преобразовании с помощью рядов Фурье зависимости Гч/Г0(/) для каждой из исследуемых частиц с различными значениями фактора формы (/) и степени неравноосности (д) (рисунок 3.9.в), в строке команд MATLAB вводим соответствующие операторы. Пример преобразования Фурье графика, характеризующего изменение относительного значения радиуса для частицы ^0,76 и д=1,4, в том числе алгоритм формализации и результаты преобразования, представленные в виде амплитудно-частотной диаграммы, показаны на рис. 5.
Рис. 5 Пример алгоритма и результатов преобразования Фурье графика, характеризующего изменение радиуса частицы с значениями фактора формы_^0,76 и степени неравноосности д=1,4,
в виде амплитудно-частотной диаграммы Полученный амплитудно-частотный спектр, с характерным для него значением плотности, отражает неровность поверхности частицы исследуемого порошкового компонента. Используя возможности пакета прикладных программ МАТLAB проведем спектральный анализ для поверхности частиц, показанных на рис. 3.
Графики спектров разложения функции в гармонический ряд для каждой из частиц, приведенных на рис. 3, показаны на рис. 6.
Из анализа графиков спектров разложения исследуемых функций следует, что для сферической (идеальной) частицы (рисунок 6а) вся спектральная мощность амплитудно-частотного спектра сосредоточена в области «гармоники» а0 (на рисунке 6а эта мощность сосредоточена на отрезке [0-1]). На всех остальных графиках (6б - 6г) вся спектральная мощность распределена по некоторому диапазону частот. Следовательно, местоположение частоты, в пределах которой сосредоточена большая часть спектральной мощности, характеризует степень отклонения формы частицы от сферической и радиуса частицы от принятого в [2, 8] при разработке модели элементарной ячейки. Для оценки достоверности этой гипотезы рассмотрим степень влияния на формирование амплитудно-частотного спектра изменений характеристик частиц порошков (фактора формы, степени неравноосности) и затем отдельно - влияние радиуса частицы. При этом фактор формы и степень неравноосности, ввиду невозможности их раздельного представления, рассмотрим как интегральную характеристику степени неровности поверхности частицы и, соответственно, колебаний функции г„ (I).
о оог о.о4 ооб о.об о 002 0.04 006 оое oi
Частота Частота
в) г)
Рис. 6. Амплитудно-частотные спектры для частиц: а)f=1 и q=1; б)f=0,9 и q= 1,1; в)f=0,76 и
q=1,4; г) с f=0,51 и q=1,7 Очевидно, что с изменением степени неровности поверхности частицы и колебаний функции rn (l), будет соответствующим образом изменяться интервал, в границах которого сосредоточена большая часть спектральной мощности fb, что и будет является индикативным показателем для рассматриваемой поверхности [16, с. 10 - 11]. Основываясь на положениях теоремы Котельникова, установим интервал частот разложения [0, fb], в пределах которого сосредоточена большая часть плотности спектральной мощности Sf), т. е.
fb
i S(f )df = E , (3)
0
где значение E принимается из интервала EE [0,7; 0,95] и при этом достигается достаточная точность аппроксимации зависимости Гч/го(1) [17, с. 87 - 94]. В дальнейшем в соответствии с выражением (3) будем рассматривать только первые пять гармоник, предполагая, что плотность спектральной мощности, сосредоточенная под этими гармониками, будет соответствовать выбранному для анализа интервалу EE [0,7; 0,95]. При этом примем, что превалирование доли спектральной мощности (более 0,3), сосредоточенной за 5 гармоникой, будет характеризовать степень существенных (критических) отклонений формы частицы от сферической, что свидетельствует о целесообразности отбраковки выбранного порошкового компонента или проведения дополнительных технологических операций по сфероидизации его частиц.
Для расчета распределения спектральной мощности на отрезках между начальными и 2-
5 гармониками используем возможности МАТЬЛВ. Результаты проведенных расчетов и динамика изменения рассчитанных характеристик для различных значений фактора формы и степени неравноосности частиц порошкового компонента ВКМ приведены в табл. 1.
Таблица 1
Распределение спектральной мощности в зависимости от степени неровности частиц
Характеристики частиц Плотность распределения Соотношение
% долей начальных
фактор степень начальные 2-я - 5-я последующие к 2-5 гармоникам
формы неравноосности гармоники гармоники гармоники
0,9 1,1 63,52 20,24 16,24 3,14
0,89 1,1 59,52 19,52 20,96 3,05
0,84 1,4 44,83 27,24 27,93 1,65
0,81 1,3 51,61 23,87 24,52 2,16
0,78 1,4 43,75 40,63 15,62 1,08
0,76 1,4 50,00 25,00 25 2,00
0,76 1,5 30,00 28,00 42 1,07
0,75 1,7 46,00 36,00 18 1,28
0,65 1,6 34,09 43,18 22,73 0,79
0,51 1,7 27,50 27,50 45 1,00
Графическое представление рассчитанной спектральной мощности (табл. 1), сосредоточенной в области 2-5 гармоник, соответствующее измеренным фактору формы и степени неравноосности, с трендами, построенными методом линейной аппроксимации, показано на рис. 7.
а) б)
Рис. 7. Зависимость плотности спектральной мощности, сосредоточенной в области 2-5 гармоник: а) от фактора формы; б) степени неравноосности Построенные тренды подтверждают зависимость распределения плотности спектральной мощности, сосредоточенной в границах 2 - 5 гармоник, от значений фактора формы и степени неравноосности частиц принятой выборки порошка. Следовательно, доля спектральной мощности, не попавшая в область начальных гармоник, может быть использована в качестве эквивалента для корректировки длительности перемешивания компонентов с несферической формой частиц, относительно значения, рассчитанного в [2].
Для оценки степени влияния отклонений от r0 радиуса частицы (rn) на значения доли спектральной мощности, рассмотрим последовательность ее изменений для частиц, представленных на рисунке 1 (б, в, г) у которых Гч может принять любое значение в интервале [200; 315 мкм]. Примем за основу для выбранных частиц rn~1 и в последующем, с показателем приращения на каждом шаге (±0,1 r), рассчитаем долю спектральной мощности и значение ее
приращения.
По результатам расчетов установлено, что изменение радиуса частицы влияет на величину доли спектральной мощности, сосредоточенной только в границах начальных гармоник и, соответственно, на итоговое значение плотности амплитудно-частного спектра. Полученные значения для выбранных частиц (с наилучшим ./=0,9, наихудшим /=0,51 и средним/=0,76 значениями фактора формы) в установленном характеристиками сит интервале (200^315 мкм, что соответствует гие[0,8; 1,4]) приведены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты расчетов изменений доли спектральной мощности, сосредоточенной в области
первых гармоник, для гне[0,8; 1,4]
Относительный радиус частиц Характеристики частиц порошкового компонента ВКМ
f=0,9; q=1,1 f=0,76; q=1,4 f=0,51; q=1,7
д оля (%) д оля (%) оля (%)
1,4 7 2,56 1,41 6 4,35 1,65 1,02 1,71
1,3 7 1,15 1,58 6 2,7 1,76 9,31 1,81
1,2 6 9,57 1,72 6 0,94 1,98 7,5 2,02
1,1 6 7,82 1,92 5 8,96 2,05 5,48 2,19
1 6 5,9 5 6,91 3,43
0,9 6 3,63 2,27 5 4,46 2,45 30,36 3,07
0,8 6 1,1 2,53 5 1,72 2,74 27,15 3,21
Графическое представление результатов проведенных расчетов для отобранных частиц представлено на рис. 8.
Рис. 8. Характер изменения спектральной мощности, сосредоточенной в области (0-1) гармоник, от колебаний радиуса частиц порошков Полученные по итогам расчетов результаты (табл. 2) и их графическое представление (рис. 4) подтверждают чувствительность спектральной мощности, сосредоточенной в границах начальных гармоник, к изменению относительного радиуса частицы порошковых компонентов ЭГКМ. В свою очередь увеличение или уменьшение доли спектральной мощности, сосредоточенной в области начальных гармоник, соответствующим образом отражается на значении, характеризующем долю амплитудно-частотного спектра, вышедшего за их границу.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
Следовательно значение доли спектральной мощности амплитудно-частотного спектра, сосредоточенной вне начальных гармоник, можно рассматривать как интегральную характеристику, определяющую степень отклонения свойств частиц порошковых компонентов от принятой в [2, 8] модели. При этом предложенная характеристика чувствительна к изменениям фактора формы, степени неравноосности и радиуса частиц.
Заключение. В работе рассмотрены способы оценки характеристик порошковых компонентов ВКМ и предложен один из механизмов решения задачи их упаковки, основанный на преобразовании Фурье. На примерах обоснования выбранного способа формализации показана последовательность проведения измерений и расчетов при решении задачи упаковки полидисперсных несферических порошков. Подтверждено, что преобразование Фурье, итоговым результатом которого является значение плотности спектральной мощности, является чувствительным способом оценки отклонений морфологических и размерных характеристик частиц порошков. Предложено для всестороннего анализа свойств порошков плотность спектральной мощности оценивать в границах 0-1 (начальных) и 2-5 гармоник. Рассчитано и практически подтверждено, что значение, характеризующее степень уменьшения доли спектральной мощности, сосредоточенной в области начальных (0-1) гармоник, и, соответственно, увеличения в области 2-5 гармоник, следует использовать как коэффициент для пропорционального увеличения продолжительности перемешивания композиции, значение которой получено моделированием для идеальной элементарной ячейки. Предложенные способ и последовательность расчетов может использоваться для оценки любых порошковых компонентов и решения задачи их упаковки в структуре композита.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кривонос, О.К. Методология разработки энергонасыщенного гетерогенного композиционного материала / О.К. Кривонос, А.Ф.Ильющенко, Е.Е.Петюшик // Порошковая металлургия : Респ. межвед. сб. науч. трудов / редкол.: А.Ф. Ильющенко [и др.]. - Минск: НАН Беларуси, 2020. - Вып. 43.
- С. 122 - 129.
2. Kryvanos, А.К. Modeling of structure formation of energy-saturated heterogeneous composite material / А.К. Kryvanos, А.Рк Ilyushchanka, V.M. Buloychik. Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1507 - P.082037.
3. Науменко, А.М. Моделирование градиента неровноты смешивания идеальных двухкомпонентных продуктов / А.М. Науменко, Д.Б. Рыклин // Вестник Витебского государственного технологического университета. - 2013. - № 25. - С. 42 - 49.
4. Математическое описание процессов окончательной стадии смешения, проходящих во внешнем канале смесительной камеры / Н.С.Любимый [и др.] Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. - Иркутск, 2019;9(3): - С.530-541. DOI: 10.21285/2227-29172019-3-530-541.
5. Теоретическое исследование влияния параметров смешивания на время смешивания и качество смеси разнородных дисперсных материалов / Мизонов В.Е. [и др.] // Вестник ИГЭУ.
- № 5. - 2018. - 56 - 61.
6. Ильющенко, А.Ф. Повышение плотности упаковки твердой фазы гетерогенного композиционного материала. Основные проблемы и пути их решения / А.Ф. Ильющенко [и др.] // Порошковая металлургия: Респ. межвед. сб. науч. трудов / редкол.: А.Ф. Ильющенко [и др.]. - Минск: НАН Беларуси, 2017. - Вып. 40. - С. 42 - 47.
7. Кривонос, О.К. Обоснование способов исследования процесса смешивания полидисперсных порошков с несферической формой частиц в среде полимерного связующего / О.К.Кривонос, // Порошковая металлургия: Инженерия поверхности, новые порошковые композиционные материалы. Сварка: сб. докл. 13-го междунар. Симп. (Минск, 5-7 апреля 2023 г.). В 2 ч. Ч.1 / Нац. акад. наук Беларуси [и др.]; редкол.: А.Ф.Ильющенко (гл. ред.) [и др.]. -Минск: Беларус. навука, 2023. - С. 338 - 348.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
8. Ильющенко, А.Ф. Способ расчета количественно-качественных характеристик порошковых и жидкофазных компонентов ЭГКМ / А. Ф. Ильющенко, О. К. Кривонос, Е. Е. Петюшик // Порошковая металлургия: Респ. межвед. сб. науч. трудов / редкол.: А.Ф. Ильющенко [и др.]. - Минск: НАН Беларуси, 2022. - Вып. 45. - С. 170 - 180.
9. Эдвардс, Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 264 с.
10. Чигирёва О.Ю. Ряды Фурье. Преобразование Фурье: метод. указания / О.Ю. Чигирёва ; под ред. А.Н. Канатникова. - М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - 51 с.
11. Бат, М. Спектральный анализ в геофизике / М.Бат. Пер. с англ. В.Н.Лисина, В.М.Кузнецова. - М.:Недра, 1980. - 535 с.
12. Марпл мл., С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л.Марпл мл. - М.: Мир, 1990. - 584 с.
13. Прохоров, С.А. Структурно-спектральный анализ случайных процессов / С.А. Прохоров, В.В. Графкин. - Самара, : СНЦ РАН, 2010. - 128 с.
14. Дашенков, В.М. Спектральный анализ и синтез сигналов : Лабораторное пособие / В.М.Дашенков. - Мн.: БГУИР, 2004. - 20 с.
15. Павлейно, М.А., В.М. Спектральные преобразования в MATLAB : Учебно-методическое пособие / М.А.Павлейно, В.М. Ромаданов. - СПб., 2007. - 160 с.
16.Винер, Н. Преобразование Фурье в комплексной области / Н.Винер, Р.Пэли. - М., Наука, 1964. - 267 с.
17. Харкевич, А.А. Спектры и анализ: 4-е изд / А.А.Харкевич. - М.: Гос. изд. тех.-теор. литры, 1957. - 235 с.
