CC BY
28РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ ТРЕХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ОТРАСЛИ
А. А. Джусупов, М. Н. Калимолдаев, З. Н. Мурзабеков, Е. В. Малишевский
Институт проблем информатики и управления Министерства образования и науки Республики Казахстан, 050010, Алма-Ата, Казахстан
УДК 330.4(075.8)
Рассмотрена математическая модель трехсекторной экономики. Для неподвижных точек трехсектор-ной модели построено отображение сопряжений. Предложен конструктивный метод исследования динамики нелинейной системы в окрестности положения равновесия путем преобразования к линейной системе.
Ключевые слова: трехсекторная модель отрасли, производственные фонды секторов, инвестиционные ресурсы, дифференциальные уравнения.
The mathematical model of three sector economy is considered. The interface maps for fixed points of three-sector model was constructed; and the asymptotic behavior of system solutions is reduced to the classification of their linear part.
Key words: three sector model of industry, production assets of sectors, investment resources, differential equations.
Введение. Актуальность исследования математической модели горнометаллургического производства [1] как многосвязной нелинейной динамической системы обусловлена тем, что рассматриваемая модель может быть применена при изучении переходных процессов, происходящих при смене одного варианта экономической политики другим.
В соответствии с [2] рассмотрим трехсекторную модель отрасли в абсолютных показателях, которая включает:
1) четыре линейных динамических элемента первого порядка:
— К -L
-К = -^гКг + Ii, Ki(0) = K0, г = 0,1,2, — = vL, L(0) = L0; (1)
-t -t
2) три линейных распределительных элемента:
L = Lo + Li + L2, Xi = Io + Ii + I2, (1 - ao)Xo = aX + a2X2; (2)
3) три нелинейных статических элемента:
Хг = Fi(Ki,Li), г = 0,1, 2. (3)
В (1)-(3) Кг — основные производственные фонды (ОПФ) секторов; L — общее число работников, занятых в производственной сфере; v — темп прироста числа занятых работников; Li — число работников, занятых в г-м секторе; Хг — выпуск продукции в г-м секторе; 1г — инвестиции в г-й сектор; F — производственные функции в г-м секторе; аг — прямые материальные затраты на единицу продукции г-го сектора; ¡лг — коэффициент износа ОПФ г-го сектора.
Секторы трехсекторной модели экономики (1)-(3) имеют следующее назначение: материальный (нулевой) сектор производит предметы труда (топливо, электроэнергию, сырье и другие материалы); фондосоздающий (первый) — средства труда (машины, оборудование, силовые устройства, производственные здания и сооружения); потребительский — предметы потребления (продовольственные и непродовольственные товары, непроизводственные здания и сооружения, вооружение и другие предметы конечного непроизводственного назначения).
Постановка задачи. Решается следующая задача: оценить структурную устойчивость (гиперболичность) неподвижных точек для каждой области параметров (ei,si), обеспечивающих экономический рост фондовооруженности секторов.
Определение области параметров (ei,si) для обеспечения экономического роста. Пусть использованы производственные функции (3) Кобба — Дугласа
X = Fl(Kl,Ll) = AKTL¡~ai, г = 0,1, 2, (4)
где Ai — коэффициент нейтрального технического прогресса; ai — коэффициент эластичности по фондам.
Обозначим через 0i = Li/L, si = Ii/Xi (г = 0,1, 2) доли секторов в распределении трудовых и инвестиционных ресурсов (2), удовлетворяющих условиям сбалансированности
во + в1 + в2 = 1, so + si + S2 = 1, вг > 0, Si > 0. (5)
Тогда уравнение материального баланса принимает вид
(1 — a0)x0 = aixi + a2x2, (6)
а производственные функции (4) определяются в относительных показателях:
Xi = вгАгкТ, г = 0,1, 2, (7)
где Xi = Xi/L, ki = Ki/Li (г = 0,1, 2) — производительность труда и фондовооруженность в расчете на одного занятого в г-м секторе соответственно.
Уравнения (1) для фондовооруженности секторов запишем в следующем виде:
dk■ s■ Ко
-t- = —^iki + ef,xi, Ai = fii + v, ki(0) = lo = k0, г = 0,1, 2. (8)
Используя производственную функцию из (7), дифференциальные уравнения (8) представим в виде [2]
so
ko = -Xoko + ^ 0iAk1, ko(0) = k
У0
o
ki = —\\k\ + slAlk11, ki(0) = k0, (9)
k2 = -\2k2 + Sr Aika1, k2(0) = k0,
V2
где ki (i = 0,1, 2) — фондовооруженность в расчете на одного занятого в i-м секторе; Si — доли секторов в распределении инвестиционных ресурсов; 9i — доли секторов в распределении трудовых ресурсов; \i, A1, ai (i = 0,1, 2) — заданные постоянные величины.
Стационарные положения равновесия (особые точки) для системы (9) определим из нелинейной системы уравнений
o
-Аскс + ^ М^?1 = 0, -Лхкх + з1Л1к'а1 = 0, -Л2^2 + «2 к?1 = 0-Ро Р2
Решая данную систему уравнений, получаем следующие особые точки:
кС1 =
51ЛЛ 1_а1
, ко = #Л1(кСГ, к2 = Л4-Л1(кСГ -
ЛоРо Л2Р2
(10)
(11)
Для обеспечения роста фондовооруженности секторов необходимо выполнение неравенства
^ > 0,
(И
г = 0,1, 2,
из которого следуют условия
Лорок°
5о >
ЛА(ко)а1
Используя (11), (12), получаем
, «1 >Л (ко)
Л1 (1 о\ 1—а1 Л2Р2 к°
«2 >
Р1Л1 (ко)-1'
к? < кС, г = 0,1, 2.
(12)
(13)
Следовательно, условиям (13) удовлетворяют особые точки (11), для которых матрица Яко-би системы (9) принимает вид
Л
— Ло 0 0
8ов1а1 Л1
Ро «1 — Л1(1 — а1) в2^1а1 Л1 Р2 «1
0 0
—Л2
(14)
Если матрица Л не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью, то положение равновесия (ко, к\, к2), определенное в (11), называется гиперболической, или невырожденной неподвижной точкой и асимптотическое поведение решений вблизи нее (и, следовательно, тип устойчивости) определяется при линеаризации (9).
Характеристическое уравнение для матрицы Л (14) имеет вид
\ЛЕ — Л\
Л + Л,
8ов1а1Л1
0
Ро«1
0 Л + Л1(1 — а1) 0
0
в2«1
Л + Л2
(Л + Ло)(Л + Л1(1 — а1))(Л + Л2) = 0. (15)
Так как Лг > 0, 0 <а1 < 1, г = 0, 1, 2, то получаем отрицательные характеристические корни. Следовательно, положения равновесия (ко, к\, к2), определенные в (11), являются гиперболическими, или невырожденными неподвижными точками.
Построение отображений сопряжений для неподвижных точек трехсекторной модели. Эффективный метод исследования дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы их не решать, а преобразовывать к возможно более простому виду. Теория Пуанкаре нормальных форм указывает такие наиболее простые формы, к которым можно привести дифференциальное уравнение в окрестности положения равновесия или периодического движения.
Приведение к нормальным формам осуществляется с помощью рядов по степеням отклонения от равновесия или периодического движения. Если эти ряды сходятся, то метод нормальных форм оказывается весьма эффективным методом исследования дифференциальных уравнений: несколько первых членов ряда нередко дают информацию о поведении решений, достаточную для построения фазового портрета.
Согласно теореме Пуанкаре в классе формальных степенных рядов "нерезонансное" векторное поле может быть приведено к своей линейной части в особой точке формальным диффеоморфизмом.
Теорема 1. Если собственные числа матрицы А являются нерезонансными, то уравнение х = Ах + ... формальной заменой переменной х = у + ... приводится к линейному уравнению у = Ау (многоточия означают ряды, начинающиеся с членов выше первой степени).
Доказательство теоремы Пуанкаре состоит в последовательном исключении членов второй, третьей и т. д. степеней в правой части. Каждый шаг основан на решении линейного гомологического уравнения.
Преобразуем дифференциальные уравнения (9), используя замену переменных
и. _ кс
хг = ^^, г = 0, 1, 2. (16)
кс
Тогда получаем
X о = -Аохо + Ао[(х 1 + 1)"1 - 1], хо(0) = х0,
X 1 = -А 1х 1 + А 1 [(х 1 + 1)"1 - 1], х 1 (0) = х° , (17)
х 2 = А2х2 + А2[(х1 + 1)"1 - 1], х2(0) = хо.
В соответствии с [3] выполним преобразования дифференциальных уравнений (17) в окрестности положения равновесия. Приведение к нормальным формам осуществляется с помощью рядов по степеням отклонения от равновесия:
хо = -Аохо + Ао(«1х1 + 1 а1 (а1 - 1)х2 + 1 а^а - 1)(а - 2)х? + ...), хо(0) = хо,
26
х 1 = -А1х1 + А1(а1х1 + - а1(а1 - 1)х2 + - а1(а1 - 1)(а1 - 2)х? + ...), х1(0) = х°, (18)
2 6
х2 = -А2х2 + А2(«1 х1 + - «1(^1 - 1)х1 + - «1(^1 - 1)(«1 - 2)х? + . ..), х2(0) = х2.
26
Так как собственные числа матрицы А (15) являются нерезонансными, то уравнение
х = Ах + ... (19)
заменой переменной
хг = Уг + Ку1) = уг + Нцу1 + Ъ<г2у\ + Л^з + ... (20)
приводится к линейному уравнению
у = Ау, (21)
где матрица А определена из линейной части (18) и имеет вид
А
—Ао Аоа1 0 0 —А1(1 — а1) 0 0 А2а1 —А2
(22)
Из результатов работы [4] следует, что в случае гиперболичности использование локального анализа является очень эффективным. Из теоремы Хартмана — Гробмана следует, что динамика гиперболического отображения во многом подобна динамике его линейной части.
Рассмотрим систему уравнений (18) и докажем, что вблизи гиперболической неподвижной точки отображение топологически сопряжено со своей линейной частью. Теорема 2. Пусть
/о(х) = — Ао Хо + Ао[(х1 + 1)"1 — 1], Х = (Хо,Х1,Х2),
Л(х) = —А1Х1 + А1[(Х1 + 1Г — 1], (23)
/2 (х) = —А2Х2 + А2[(Х1 + 1Г — 1],
такой С™-диффеоморфизм с гиперболической неподвижной точкой {0},что линейная часть {/о(х), /1(х), /2(х)} в точке {0} не имеет резонансов. Тогда в некоторой окрестности точки {0} диффеоморфизм {/о(х), /1 (х), /2(х)} С™-сопряжен со своей линейной частью.
Доказательство. Для построения сопряжений сначала рассмотрим отображение /1(х), а затем /о(х) и /2(х).
Приведем выражения (23) к нормальным формам с помощью рядов по степеням отклонения от равновесия:
/о(х) = —АоХо + Ао(а1Х1 + 1 а^а — 1)х1 + 1 а^а — 1)(а1 — 2)х1 + ...),
2 6
/1(х) = —А1х1 + А1(а1х1 +— а1(а1 — 1)х2 +— а1(а1 — 1)(а1 — 2)х1 + ...), (24)
2 6
/2 (х) = —А2Х2 + А2(а1Х1 + - «1(^1 — 1)х1 + - «1(^1 — 1)(а1 — 2)х^ + ...).
26
Для того чтобы получить отображение /1 (х), построим сопряжение Н1(у), используя замену переменных (20) х1 = Н1(у1) = у1 + к1(у1), где к1(у1) — однородный многочлен степени п > 2.
Покажем, что равенство
ХХ1 = —А1х1 + А1 ( а1х1 +— а1(а1 — 1)х1 +— а1(а1 — 1)(а1 — 2)х^ + ... ) , х1(0) = х° (25)
V 2 6 )
сопряжено со своей линейной частью, т. е. динамика уравнения (25) подобна динамике линейного уравнения
у1 = —А1(1 — а^уь (26)
Найдем ряд
Н1Ы = ух + ^12у2 + к^у? + ... + НыуП + ..., (27)
где коэффициенты ки подлежат определению. Используя условие сопряженности, из уравнений (25), (26) определяем коэффициенты ряда (27)
на = %, Ьз = "1<2";" 1}, .... (28)
2 6
Аналогично определяем коэффициенты для /о(х). Построим сопряжение Но(у), используя замену переменных
хо = Но (у) = уо + йоЫ, (29)
где Но (у1) — однородный многочлен степени п > 2. Покажем, что равенство
хо = -Аохо + Ао ^ «1^1 + 2 «1(«1 - 1)х1 + 1 «1 («1 - 1)(«1 - 2)х1 + . , хо(0) = хо (30)
сопряжено со своей линейной частью, т. е. динамика уравнения (30) подобна динамике линейного уравнения
Уо = -Аоуо + Ао «1У1- (31)
Найдем ряд для (29):
Но (у) = уо + йо2у? + ^оэу? + ... + ЬопуП + ... (32)
(коэффициенты Н^ подлежат определению). Используя условие сопряженности, из уравнений (30), (31) определяем коэффициенты ряда (32)
_ Ао«1(2«1 - 1) и _ Ао«1 (2«1 - 1)(3«1 - 2) Но2 =2(Ао - 2А1(1 - «1))' Но3 = 6(Ао - 3А1(1 - «1)) (33)
Аналогично определяем для /2 (х). Построим сопряжение Н2(у), используя замену переменных х2 = Н2(у) = у2 + Н2(у1), где Н2(у1) — однородный многочлен степени п > 2. Покажем, что
хх 2 = -А2х2 + А2 ^ах + 1 «1(^1 - 1)х1 + 1 «1(^1 - 1)(а - 2)х1 + . х2 (0) = х2 (34)
сопряжено со своей линейной частью, т. е. динамика уравнения (34) подобна динамике линейного уравнения
у2 = -А2у2 + А2 «1у1. (35)
Найдем ряд
Н2 (у) = у2 + Н22у2 + Н2зу3 + ... + Н2пуП + . . . , (36)
где коэффициенты к2г подлежат определению. Используя условие сопряженности, из уравнений (34), (35) определяем коэффициенты ряда (36)
, _ \2aij2ai - 1) , _ \2aij2ai - 1)(3«1 - 2) 22 _2(А2 - 2А1 (1 - «1))' 23 _ 6(Л2 - ЗЛ1 (1 - «1)) '•••• ()
Теорема доказана.
Найдем решение ж1(^) и у1(^) и определим асимптотическое поведение решений линеаризованной системы вблизи положения равновесия из системы уравнений (17) и (26) в следующем виде [5]:
Ж1(*)_(1 + с еХ1(а1-1)г) ^ - 1, с _(хо + 1)1-а1 - 1; (38)
у^Не^-^О)- (39)
Решения (38), (39), связанные соотношением
1
Х1(*) _ (1 + с^У'" - 1, с _ (Х1(0) + 1)1-а1 - 1, У1(0) _ -^-с—, (40)
запишем в виде ряда
Х1(0_ + 2 у?М + ^^Ор1-
Отметим, что коэффициенты ряда (40) соответствуют коэффициентам (28) ряда (27). Из системы уравнений (17) и (31) находим решение Хо(£) и уо(£):
хо® _ е"Ао4 | Хо(0) + Ао У" еЛ°т((х1 + 1)а1 - 1)йг | ; (41)
(42)
у»«_е-Л°'( уо(0) - у«-
Решения (41), (42) связаны соотношением
^ , Ао а1(2а1 - 1) 2,. Аоа1 (2а1 - 1)(3а1 - 2) 3 / . ,лоЛ
Хо(г) _ уо(^) + ^-7рг-г-гтУ1(^) + —7--^Г-Т-ГТ"У1(^) + • • • , (43)
2(Ао - 2А 1 (1 - а 1)) 6(Ао - 3А 1 (1 - «1))
в котором учтено соотношение (40), представленное в виде
а1
(Х1(*) + 1Г _ (1 + с^у а1, (44)
и начальное условие
Аоа1(2а1 - 1) 2 Аоа1(2а1 - 1)(3а1 - 2) 3
Уо(0) _ Хо(0) - 2( " ^ -у2(0) - "А 1 /; 1 )) 7у3(0) + • • • • (45)
2(Ао - 2А 1 (1 - а 1)) 6(Ао - 3А 1 (1 - а 1))
Отметим, что коэффициенты ряда (43), для определения которых учтены условия (44), (45), соответствуют коэффициентам (33) ряда (32).
Из системы уравнений (17), (35) находим решение Х2(£),у2(£):
х2(1) = е"|^2(0) + Л2 I еЛ2Т((Х1 + 1)"1 - 1)^т | ; (46)
У*Ю = е"Л- (,2(0) - . Л2"1У;(0) )) + . ^ )*(*). (47)
V Л2 - Л1 (1 - а.\)) Л2 - ЛЦ1 - аг)
Решения (46), (47) связаны соотношением
(+\ | Л2а1(2а 1 - ;) 2^. Л2а1 (2а 1 - 1)(3а 1 - 2) з
Х2 ) = У2 + -^^-ГГУ1 + —Т1-^7-7--ГТ— У3 + (48)
2(Л2 - 2Л1 (1 - а1)) 6(Л2 - 3Лц1 - а1))
в котором учтено соотношение (40), представленное в виде
(Х1(*) + 1Г = (1 + еУ^У а1 , (49)
и начальное условие
А2а1(2а 1 — 1) 2. . А2СИ1 (2а 1 — 1)(3а1 — 2) 3
»2(0) = -2(0) — 2(А22—2Ai(l — ai))^2(0) — 6(А2 — 3Ai(1 — 1i)) !/3(0) + " ' (50)
Отметим, что коэффициенты ряда (48), для определения которых учтены условия (49), (50), соответствуют коэффициентам (37) ряда (36).
Заключение. Рассмотрена математическая модель трехсекторной экономики. Путем преобразований исходная система сведена к системе дифференциальных уравнений (17). Найдено стационарное положение равновесия (11) в определенной области параметров, обеспечивающих экономический рост фондовооруженности секторов. Показано, что локальная гладкая классификация диффеоморфизмов в окрестности гиперболической неподвижной точки сводится к классификации их линейной части.
Список литературы
1. Джусупов А. А. Разработка и исследование свойств многомерной системы НЦУ технологическим процессом окисления сернистого ангидрида в контактном аппарате: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Алма-Ата, 1983. 23 с.
2. КолЕМАЕВ В. А. Экономико-математическое моделирование. М.: ЮНИТИ, 2005.
3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевск. респ. тип., 2000.
4. КАТОК А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хас-селблат. М.: Факториал, 1999. 768 с.
5. Мурзабеков З. Н. Оптимизация управляемых систем. Алма-Ата: АТУ, 2009. 216 с.
Джусупов Арыстан Айткужаевич — д-р техн. наук, зам. директора Института проблем информатики и управления МОН РК; тел. (727)272-37-12; e-mail: arystan@ipic.kz; Калимолдаев Максат Нурадилович — д-р физ.-мат. наук, проф., директор Института проблем информатики и управления МОН РК; тел. (727)272-37-11; e-mail: mnk@ipic.kz; Мурзабеков Заинелхриет Нугманович — д-р техн. наук, ведущ. науч. сотр. Института проблем информатики и управления МОН РК; тел. (727)262-72-80; e-mail: murzabekov-zein@mail.ru;
Малишевский Евгений Витальевич — канд. техн. наук, проректор Алмаатинского университета энергетики и связи; e-mail: malishevskiy@hotmail.com
Дата поступления — 09.03.2010
