CC BY
43
А. С. Урусова
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТРЕХСЕКТОРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ
Работа представлена кафедрой информатики и вычислительной математики Карачаево-Черкесского государственного университета им. У. Д. Алиева.
Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Семенчин
В статье поставлена и подробно исследована обратная задача для параметров трехсекторной модели экономики. Для ее решения автор предлагает построить специальные системы линейных алгебраических уравнений, воспользовавшись моделью трехсекторной экономики, затем, применяя методы квадратичного программирования, найти наилучшие в среднем квадратическом оценки параметров модели: v, р(, afi = 0, 1, 2.
The inverse problem for the parameters of the three-sector economics model is investigated in the article in detail. For its solution the author proposes working out special systems of linear algebraic equations using the three-sector economics model and then applying the methods of square programming. The author also suggests finding estimations of the model’s parameters, which are the best in the quadratic average: v, api=Q, 1,2.
27 1
Постановка задачи. Пусть экономика разбита на 3 сектора1: нулевой (материальный) сектор производит предметы труда; первый (фондосоздающий) - средства труда; второй (потребительский) - предметы потребления. Материальный сектор занимает особую промежуточную позицию между фондосоздающим и потребительским секторами.
Предполагается, что за каждым сектором закреплены основные производственные фонды (ОПФ), а труд и инвестиции свободно перемещаются между секторами.
Пусть выполнены следующие допущения2:
1. Производственные возможности каждого сектора заданы в форме линейно-однородных неоклассических производственных функций
X = Р(К, . у = 0, 1 2 где X К., Ь - соответственно выпуск, основные производственные фонды и число занятых в у-м секторе.
2. Общее число занятых Ь (в производственной сфере) изменяется с постоянным темпом прироста V.
3. Коэффициенты износа ОПФ у,, и прямых затрат а. секторов постоянны.
4. Экономика замкнутая, т. е. внешняя торговля в математической модели напрямую не рассматривается.
5. Время t изменяется непрерывно.
Используя указанные предположения,
можно построить трехсекторную модель экономики3:
Ь = Ь(0)вг‘ (число занятых); (1)
Ь0 + Ь1 + Ь2 = Ь (распределение занятых по секторам); (2)
ёк
= ~ъК.+ Ь, К(0) = К0,. =0,1,2
(динамика фондов по секторам); (3)
X . = ¥ 1 (К . , Ь . ) , у = 0,1, 2 (выпуск про-
дукции по секторам); (4)
X1 = 10 + 11 + 12 (распределение про-
дукции фондосоздающего сектора); (5)
X0 - а0 X0 + а1 X1 + а2 X2 (распределение продукции материального сектора), (6) где I - инвестиции ву-й сектор; V - темп прироста числа занятых; /и- коэффициенты выбытия основных производственных фондов по секторам; а,- коэффициенты прямых материальных затрат по секторам.
Задачу определения Ь(0, К(0, X(t) из модели (1)-(6) по заданным V, ц., а., К0 будем называть прямой задачей в трехсекторной математической модели экономики.
По отношению к этой прямой задаче сформулируем обратную задачу: по заданным переменным Ь(О, К(), X(t), I р), у=0, 1, 2, найти параметры V, /п., а., 7=0, 1, 2.
Метод решения поставленной задачи. На практике величины Щ), К(0, XJ(t), /.(О, у=0, 1, 2 согласно экспериментальным данным могут быть заданы только в дискретные моменты времени t0, ^, К, tn (см.табл. 1).
С помощью табл. 1 находим значения К' ^ ) в точках t0, t1, К, tn численно4, где у=0, 1, 2. "
Если К' (t0 ), К' (t1 ), ..., К' (t п ) вычислены по данным табл. 1, то воспользовавшись соотношениями (3), приходим к системам алгебраических уравнений
К 0 ^ 0) = -^0°К ^ 0) +1 o(to),
К 0 (tl) = ~^1К 0(А) +1 o(tl), (7)
..........................5
К0 ) = -^К0(/п ) + 10^ ),
'к;с^ 0) = К1(/0)+/1(^0),
<К^1) = -А К1(^1) + /1(^1), (8)
..........................5
к;(tn) = -^lnKl(tn)+/1(/п),
К2 (0 _ ~^2 К2 0 ) + 12 0 ),
К2 (t1) = “^К2(0 + 12(t1), (9)
..........................5
К2 ) = -^2ПК2(tn ) + 12& ).
Таблица 1
t0 t1 12 к tn
* 0(0 = K 00 K 0(0 = K10 K 0(t 2) = K 20 к K 0 (t.) = K
KM = K1 K1(t1) = k1 K1(t 2) = K1 к K1(tn) = K1
K 2 (t 0) = K 02 K 2(t1) = K12 K 2 (t 2) = K 22 к K 2 (t.) = Kn
L(t0 ) = L0 L(tx) = L1 L(t2) = L2 к L(t ) = L \ n у n
IM = 100 10(t1) = I10 10(t 2) = 12 к 10(tn ) = /0
/1(0 = 10 I1 (t1)=/1 /1 (t 2)=11 к /1(tn ) = /1
12 (t 0) = 102 12(t1) = /12 12 (t 2) = 12 к 12 (tn ) = /2
X 0(t 0) = X 00 X 0(t1) = X10 X 0(t 2) = X 20 к X0(tn ) = X„°
X 1(t 0) = X 0 X 1(t1) = X1 X 1(t 2) = X1 к X 1(tn) = X1
X 2(t0) = X 02 X 2(0 = X12 X2 (t2) = X22 к X2 (tn ) = X2
Из (7) находим Ц0, д1,,..., ¡иЩ , из (8) находим д0, М1 ,•••,К , из (9) находим £,.
Решая задачи квадратичного программирования 5:
(М> -^о0)2 + (М> -мУ +... + (М> )2 ^ min, 0 ^ 1
Сц-м°)2 + Сц-rt1)2 +.. + (А - rt) 2 min, 0 ^ ^ 1 (10)
(Мг -^20)2 + (Мг -^)2 + ... + (Мг )2 ^ min, 0 ^ ^ 1, найдем наилучшую в среднем квадратичес-комоценки д,, А „п2 параметров ^, А со-
ответственно.
Воспользовавшись данными табл. 1 и соотношением (1) приходим к системе алгебраических уравнений:
ln L (t1) = ln L0 +vt1
ln L (t 2) = ln L0 +vt 2, (11)
Jn L (t„ ) = ln L0 +vtn.
Из (10) находим v1, v2,.., vn. Решая задачу квадратичного программирования
(у-^)2 +(у-ух)2 +.. ,+(у-у1)2 т, -1 <у<\ (12)
найдем наилучшую в среднем квадратичную оценку V параметра V.
Аналогично, по данным табл. 1, воспользовавшись соотношением (6), придем к системе
X0 (t0 ) _ a0X0 (t0 ) + a1X1 (t0 ) + a2X2 (t0 ), X0 (t1 ) _ a0X0 (t1 ) ^ a1X1 (t1 ) ^ a2X2 (t1 ),
(13)
_Х0 (^п ) _ а0Х0 ) + а1Х1 0п ) + а2Х2 0п ).
Из системы (13), группируя первые п уравнений системы по га подсистем из 3 уравнений находим
/0 0 0 \ /1 1 1\ / т т т\
(а0,, а.2), (а0, а^,а2V-- , (а0 ,а , а ) . Решая задачу квадратичного программирования
(а0 _а00)2 + (а0 _а0)2 +... + (а0 _а”)'
(а -а^)2 + (а1 - а})2 + . . . + (а; - а!” )2
► min, 0 < a„ < 1,
► min, 0 < a1 < 1, (14)
а _ a2) + (a2 _ a2) +... + (a2 _ a2)
min, 0 < a2 < 1
Таблица 2
t0 = 0 t =1 t2 _ 2 t3 = 3 t4 = 4
K 0(0 = 400 к 0(0 = 480 K 0(t 2) = 500 K 0(t3) = 520 K 0(t 4) = 550
KAh) = 420 KJ(tJ) = 450 K1(t 2) = 480 K1(t3) = 500 K1(t 4„ ) = 540
к 2(t 0) = 440 K 2(t1) = 460 K 2 (t 2) = 480 K 2(t3) = 510 K 2(t 4) = 520
L(t0) = 1000 L(t1) = 1020 L(t 2) = 1040 L(t3) = 1050 L(t„ ) = 1100
10(t 0) = 300 I c(t1) = 310 10(t 2) = 315 10(ta) = 330 10(t 4) = 340
I1(t0) = 400 I1 (t1 ) = 420 I1(t 2) = 430 I1(t3) = 440 A(t 4) = 450
12 (t 0) = 400 12(t1) = 410 12 (t 2) = 420 12(ta) = 430 12 (t 4) = 440
X 0(t 0) = 450 X 0(t1) = 455 X 0(t 2) = 460 X 0(t3) = 430 X 0(t 4) = 440
X1 (t 0) = 350 X1 (t1) = 320 X 1(t 2) = 400 X1 (t3) = 380 X 1(t 4) = 390
X 2(t 0) = 490 X 2(0 = 495 X 2 (t 2) = 510 X 2(t 3) = 520 X 2(t 4) = 530
найдем наилучшую в среднем квадратичную оценку параметров соответственно.
При решении задач квадратичного программирования (10), (12), (14) можно использовать средства Microsoft Excel.
Пример. Значения L(t), K(t), X(t), I(t), j = 0, 1, 2, в момент времени t = 0, 1, 2, 3, 4 представлены в табл. 2.
Требуется найти наилучшие в среднем квадратичные оценки у ß0,ß[,'p2, а0 ,3,, а2 параметров v, ц., a., i = 0, 1, 2.
Решение. Согласно данным, приведенным в табл. 2, системы (7)-(9), (11), (13) соответственно принимают вид (в данном случае в (7)-(9) отсутствует последнее уравнение):
80 = ~^0 " 400 + 300,
20 = -ß0 • 480 + 310, (15)
20 = -ß0 • 500 + 315,
30 = -ß0 • 520 + 320;
30 = 420 + 400,
30 = 450 + 420,
20 = • 480 + 430,
40 = • 500 + 440;
(16)
20 = д2 ■ 440 + 400,
20 = —д2 • 460 + 410,
30 = • 480 + 420,
10 = • 510 + 430;
(17)
v1 = 1 • ln
1020 1000 , 1040
v7 = — • ln-2 2 1000
1 1050
v, = — • ln
1000
1100
v4 = -• ln-4 4 1000
3
450 = а0 • 450 + ах • 350 + а2 • 490,
455 = а0 • 455 + а1 • 320 + а2 • 495,
460 = а0 • 460 + а1 • 400 + а2 • 510, (19) 430 = а0 • 430 + ах • 380 + а2 • 520,
440 = а0 • 440 + а1 • 390 + а2 • 530.
Из системы (15) находим д00 = 0,55, jul = 0,6, д02 = 0,59, д03 = 0,58 ;
из системы (16) находим
д! = 0,88, д! = 0,87, д! = 0,85, д! = 0,8 ; из (17) находим
д0 = 0,86, ц\ - 0,85, д22 = 0,8, ßl = 0,82 ; из (18)
у = 0,0198, v2 = 0,0196 v3 = 0,016, v4 = 0,024 ; и наконец, из (19) находим
аг0 = 1, a1 = 0, = 0, i = 0,1,...,m.
Задачи (15)-(19) в данном случае принимают соответственно вид:
(д0 - 0,55)2 + (д0 - 0,6)2 + (д0 - 0,59)2 + (д0 - 0,58)2 ^ min, 0 < /и0 < 1,
(д1 - 0,88)2 + (д1 - 0,87)2 + (д1 - 0,85)2 + (д1 - 0,8)2 ^ min, 0 < цх < 1,
(д2 - 0,86)2 + (д2 - 0,85)2 + (д2 - 0,8)2 + (д2 - 0,82)2 ^ min, 0 < ц2 < 1,
(v - 0,0198)2 + (у- 0,0196)2 + (у- 0,016)2 + (у- 0,024)2 ^ min, -1 < v < 1,
(a0 -1)2 + (a0 -1)2 + (a0 -1)2 + (a0 -1)2 ^ min, 0 < a0 < 1,
(a1 - 0)2 + (a1 - 0)2 + (a1 - 0)2 + (a1 - 0)2 ^ min, 0 < a1 < 1,
(a2 - 0)2 + (a2 - 0)2 + (a2 - 0)2 + (a2 - 0)2 ^ min, 0 < a2 < 1.
С помощью средств Microsoft Excel находим окончательно исходной задачи: д0 = 0,58, д = 0,85, д2 = 0,83, V = 0,02, а0 = 1, щ = 0, а2 = 0.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. С. 121.
2 Там же. С. 121.
3 Там же. С. 121.
4 Вержбицкий В. М. Численные методы. М.: Высшая школа, 2001. С. 189.
5 Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений: Учебник для вузов. СПб.: Политехника, 2001. С. 217.
