CC BY
35
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL
УДК 519.174.7 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-4-3-8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСКРАСКИ ВЗВЕШЕННОГО ГРАФА ДЛЯ МЯГКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ В СЕТЯХ БЕСПРОВОДНОГО АБОНЕНТСКОГО ДОСТУПА
THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF THE COLOURING OF THE WEIGHED COUNT FOR SOFT DISTRIBUTION OF THE RESOURCE OF THROUGHPUT SPOSOSBNOSTI IN NETWORKS OF THE WIRELESS USER'S ACCESS
© 2015 г. В.И. Калюка, С.А. Остапенко, В.Г. Кобак, В.В. Зубакин, И.В. Морозов
Калюка Владимир Иванович - канд. техн. наук, доцент, докторант, кафедра «Автоматизированные системы специального назначения», Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного, г. Санкт-Петербург, Россия. E-mail: kvi_spb@rambler.ru
Остапенко Сергей Алексеевич - аспирант, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: cj-x@yandex.ru
Кобак Валерий Григорьевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: valera33305@mail.ru
Зубакин Владимир Валентинович - ст. преподаватель, кафедра «Автоматизированные системы специального назначения», Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного, г. Санкт-Петербург, Россия. E-mail: vzub2006@ya.ru
Kalyuka Vladimir Ivanovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Automated Systems of a Special Purpose», Military academy of Communication of a name of the Marshal of the Soviet Union of S.M. Budennogo, St. Petersburg, Russia. E-mail: kvi_spb@rambler.ru
Ostapenko Sergey Alekseevich - post-graduate student, department «The Software of Computer Facilities and the Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: cj-x@yandex.ru
Kobak Valery Grigoryevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «The Software of Computer Facilities and the Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: valera33305@mail.ru
Zubakin Vladimir Valentinovich - senior lector, department «Automated Systems of a Special Purpose» Military academy of Communication of a name of the Marshal of the Soviet Union of S.M. Budennogo, St. Petersburg, Russia. E-mail: vzub2006@ya.ru
Морозов Иван Васильевич - ст. преподаватель, кафедра Morozov Ivan Vasilyevich - senior lector, department «Auto-
«Автоматизированные системы специального назначения», mated Systems of a Special Purpose» Military academy of
Военная академия связи имени Маршала Советского Союза Communication of a name of the Marshal of the Soviet Union
С.М. Буденного, г. Санкт-Петербург, Россия. E-mail: of S.M. Budennogo, St. Petersburg, Russia. E-mail: moroz_i.v
moroz_i.v@mail.ru @mail.ru
Рассматривается трехэтапное решение задачи раскраски взвешенного графа на сетях беспроводного абонентского доступа, обладающих ресурсом пропускной способности, подлежащим мягкому распределению. Предлагается при больших входных данных воспользоваться приближенными вычислениями с помощью генетического алгоритма, эффективность которого проявляется на третьем этапе решения данной задачи.
Ключевые слова: задача раскраски взвешенного графа; сети беспроводного абонентского доступа; мягкие решения; мягкое распределение ресурса пропускной способности; неопределенность; адаптация системы; минимаксная задача; метод Магу; NP-полные задачи; генетический алгоритм; модель Голдберга; модель Уитли; принцип элитизма; теория расписаний.
The trekhetapny solution of a problem of a coloring of the weighed count on the networks of wireless user's access possessing a resource of capacity, subject to soft distribution is considered. It is offered to use at big entrance data approximate calculations by means of the genetic algorithm which efficiency is shown at the third stage of the solution of this task.
Keywords: theory of counts; a problem of a coloring of the weighed count; networks of wireless user's access; soft decisions; soft distribution of a resource of capacity; uncertainty; system adaptation; minimax task; method to
the Magu; NP-complete problems; genetic algorithm; the model of Goldberg; the model of Wheatley's; elitizm principle; theory of schedules.
Введение
В современных информационных и телекоммуникационных системах значительную роль играют сети беспроводного абонентского доступа (СБАД), реализованные на различных технологиях широкополосного радиодоступа [1]. СБАД обеспечивают абонентов новыми видами конвергентных услуг [2] за счет максимальной скорости передачи качественного пакетного трафика (QoS - Quality of Service) при минимальном времени задержки. Обеспечение качественного пакетного трафика обусловлено наличием мягкого распределения ресурса пропускной способности в СБАД с помощью служебного потока данных. Мягкие решения [3] позволяют повысить эффективность распределения имеющегося в наличии как частотного [4, 5] ресурса, так и ресурса пропускной способности СБАД за счет частичного или полного устранения неопределенности путем адаптации системы под текущую ситуацию, приводящей, в итоге, к изменению ее структуры. Исследования в данном направлении проводят, опираясь на широко известную теорию графов [6 - 8].
Теория графов - один из самых молодых и актуальных разделов дискретной математики на сегодняшний день. Решение задач этого раздела находит применение в самых разных областях, в частности, в информационных и телекоммуникационных технологиях, где приходится работать со сложными структурами и системами как на техническом, так и на абстрактном уровне, и зачастую ставится вопрос о распределении тех или иных ресурсов (мягкого распределения ресурса пропускной способности в СБАД). В данном случае на помощь приходит такой раздел теории графов, как теория расписаний.
Графом принято называть множество вершин (точек) и множество ребер (линий), каждое из которых соединяет две вершины. Взвешенным графом называется такой граф, в котором каждому ребру (или каждой вершине) соответствует некое числовое значение (вес или стоимость). Если вес присвоен ребрам, обычно говорят о пропускной способности (например, транспортная задача).
Минимаксной называется задача, оптимальным решением которой считается такое из множества возможных решений, в котором максимальное значение окажется минимальным среди всех максимальных значений возможных решений (или максимальное из минимальных).
Задача раскраски взвешенного графа
Имеется взвешенный граф, в котором для каждой вершины определено числовое значение. Необходимо раскрасить вершины графа таким образом, чтобы каждое ребро графа соединяло вершины разных цветов, чтобы число цветов, в которые раскрашивается
граф, было минимальным, и чтобы максимальная сумма стоимостей вершин одного цвета была минимальной из возможных [9].
Поставленная задача решается в три этапа:
1) нахождение всех максимальных внутренне устойчивых подмножеств графа;
2) нахождение хроматического числа графа;
3) поиск решения минимаксной задачи.
На первом этапе проводится поиск максимальных внутренне устойчивых подмножеств, т. е. таких подмножеств, что никакие две вершины, входящие в них, не соединены ребром. На втором этапе находится хроматическое число. Хроматическим числом графа называется минимальное число, в которое можно раскрасить граф так, чтобы ни одно его ребро не соединяло двух вершин одинакового цвета (иначе говоря, чтобы вершины одного цвета не были смежными). На третьем этапе ставится минимаксная задача для каждой из возможных комбинаций подмножеств (для каждой комбинации число подмножеств равно хроматическому числу графа) распределить вершины так, что при раскраске наибольшая сумма стоимостей вершин оказалась наименьшей из возможных. Такая необходимость возникает в результате того, что одна и та же вершина может входить сразу в несколько подмножеств, но раскрасить ее нужно только в один цвет.
Рассмотрим пример, показанный на рис. 1. Взвешенный граф из шести вершин, у каждой есть своя стоимость (8, 9, 9, 5, 6, 4). Найдем для этого графа такую раскраску, чтобы максимальная сумма стоимостей всех вершин одного цвета была минимальной из всех возможных.
Рис. 1. Пример взвешенного графа
Этап первый. Находим все максимальные внутренне устойчивые подмножества. Для этого воспользуемся методом Магу [10]. В результате мы получили 4 подмножества: {1, 4}; {2, 5, 6}; {2, 3, 5}; {1, 5, 6}.
Все эти подмножества являются максимальными, поскольку ни в одно из них нельзя добавить еще одну вершину такую, чтобы она не была смежной ни с одной из вершин этого подмножества.
Этап второй. Находим хроматическое число графа. В данном примере хроматическое число графа равно 3, что хорошо видно благодаря присутствию полного подграфа (3, 4, 6).
Этап третий. Комбинации из трех подмножеств, покрывающих весь граф:
1) {1, 4}, {2, 3, 5}, {2, 5, 6};
2) {1, 4}, {2, 3, 5}, {1, 5, 6}.
Для каждой из комбинаций ставим минимаксную задачу - распределить вершины по подмножествам так, чтобы максимальная сумма стоимостей была минимальной из возможных. Воспользуемся методом простого перебора. Для первого случая оптимальным вариантом является такое распределение:
{1, 4}, {3, 5}, {2, 6} - (13, 15, 13).
Суммы стоимостей будут соответственно равны 13, 15, 13. Максимальное значение - 15.
Для второй комбинации возможны два равнозначных лучших варианта:
{4}, {2, 3}, {1, 5, 6} - (5, 18, 18);
{1, 4}, {2, 3}, {5, 6} - (13, 18, 10).
Мы считаем эти варианты равнозначными, поскольку максимальное значение для обоих вариантов одинаково (18).
Среди найденных вариантов распределения лучшим вариантом является первый:
{1, 4}, {3, 5}, {2, 6}.
Таким образом, решение поставленной задачи раскраски взвешенного графа выглядит следующим образом (рис. 2).
Рис. 2. Раскраска графа
Остановимся более подробно на третьем этапе. Дело в том, что метод простого перебора хоть и является методом точного решения, однако для решения данной задачи им пользоваться нерационально при больших входных данных, поскольку минимаксная задача относится к МР-полным.
Для того чтобы упростить понимание условия задачи третьего этапа, переформулируем ее, сведя к классической постановке задачи распределения. Хроматическое число графа представим как число вычислительных устройств в некой вычислительной системе. Вершины представим как задания, которые нужно распределить по этим устройствам. Поскольку вершина может входить не во все подмножества, по которым ведется распределение, введем в условие задачи неопределенности - задания могут выполняться не на всех устройствах, т. е. на некоторых время выполнения (стоимость вершины) будет равно бесконечности.
В данной ситуации, при больших входных данных (большое число вершин, например), удобно вос-
пользоваться приближенными вычислениями, например генетическим алгоритмом. В статье мы исследуем эффективность использования генетического алгоритма для третьего этапа решения нашей задачи.
Генетический алгоритм - это эвристический алгоритм, заключающийся в нахождении решения путем случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, аналогичных естественному отбору в природе. Набор значений, представляющий собой одно из возможных решений, называется особью, а каждое значение из набора - геном. Набор нескольких различных особей, в свою очередь, называется поколением [11].
Суть канонической модели генетического алгоритма заключается в следующем. Сначала формируется родительское поколение (для представленной постановки задачи каждый ген особи характеризует то, на какое устройство будет отправлено соответствующее задание). Следующее поколение формируется с помощью оператора кроссовера - выбираются две случайные особи и скрещиваются между собой, т. е. формируется новая особь, у которой часть генов будет от одного родителя, остальные - от другого. Далее с некоторой вероятностью применяется оператор мутации - в одном из генов выбирается случайный бит и заменяется на противоположный. Полученная особь в следующем поколении становится на место одного из родителей. Лучшая особь, т. е. особь, гены которой образуют наилучшее из имеющихся решений поставленной задачи, считается текущим решением. Формирование новых поколений повторяется циклически, пока не выполнится условие останова, которое обычно заключается в прохождении определенного количества кругов без улучшения решения.
Простая модель, или модель Голдберга [12], отличается от канонической тем, что в ней при формировании следующего поколения используется турнирный отбор. То есть после каждого применения оператора кроссовера потомок сравнивается либо с особью из родительского поколения, либо с другим потомком, сформированным от этих же родителей, либо с особью из родительского поколения, либо и с тем, и с другим [13].
В рамках исследования было создано программное средство, реализующее три модификации модели Голдберга генетического алгоритма. Общим для всех алгоритмов является, во-первых, модифицированный оператор кроссовера, в результате которого получается два потомка: каждый родитель отдает часть своих генов одному потомку, остальные - другому; во-вторых, турнирный отбор проходит в два этапа: сначала потомки сравниваются между собой, затем лучший из них сравнивается с особью из родительского поколения; в-третьих, на каждом цикле происходит не одно скрещивание, а для каждой особи применяется с определенной вероятностью (в данном случае была выбрана вероятность 100 % для ускорения поиска) оператор кроссовера со случайной особью и победи-
тель турнирного отбора в новом поколении заменяет именно эту особь. Таким образом, каждая особь на каждом этапе обязательно участвует в скрещивании, а некоторые и не один раз.
Первая модификация алгоритма заключается в том, что особь из родительского поколения для второго этапа турнирного отбора выбирается случайным образом. Во второй модификации потомок сравнивается только с родительской особью. Третья модификация представляет собой гибрид модели Голдберга и модели Уитли. Суть последней состоит в том, что на каждом этапе формируется один потомок, который заменяет собой наименее приспособленную особь из поколения родителей. Таким образом, при формировании нового поколения в пятом варианте на выходе получается такой набор потомков, какой получился бы, если бы к каждой особи из родительского поколения применить модель Уитли. То есть каждое следующее поколение состоит только из лучших представителей среди родителей и потомков.
Также в генетических алгоритмах иногда используется принцип элитизма, заключающийся в том, что выбирается, чаще всего, одна особь, которая переходит из поколения в поколение и всегда остается на своем месте, никто не может ее заменить. При этом она может участвовать в скрещивании и формировании потомков.
В рамках данного исследования были реализованы модификации описанных ранее алгоритмов с использованием принципа элитизма для решения однородной минимаксной задачи. Для формирования элиты был выбран алгоритм критического пути. Суть алгоритма заключается в том, что массив заданий сортируется в порядке убывания времени выполнения. Затем, по очереди, каждое задание отправляется на то устройство, на котором его выполнение возможно (время выполнения не равно бесконечности) и загрузка которого минимальна.
В связи с тем что в условии задачи присутствуют неопределенности (т. е. в матрице загрузки устройств могут присутствовать бесконечности), алгоритм критического пути представлен в трех модификациях, разница в которых состоит в сортировке массива
заданий. Первая модификация - классическая, учитывающая только время выполнения задания на каждом устройстве. Вторая - с учетом бесконечностей. То есть сперва идут отсортированные в порядке убывания те задания, которые на каких-либо устройствах имеют время выполнения, равное бесконечности, а затем все остальные, также в порядке убывания. Третья модификация - с учетом числа бесконечностей. Чем больше устройств, на которых задание не может выполняться, тем больший у него приоритет при распределении [14].
Было проведено 9 серий опытов с определенным набором общих и отличающихся параметров. Каждая серия опытов проходила следующим образом: генерировалась случайная матрица загрузки, для которой каждым из реализованных алгоритмов находилось решение 50 раз и высчитывалось среднее значение. В каждой серии опытов применялось 12 алгоритмов -каждая из трех модификаций была представлена в четырех вариантах: без элитных особей и с элитными особями, образованными тремя различными модификациями алгоритма критического пути. Для каждой серии опытов генерировалось 50 случайных матриц загрузки.
В качестве общих параметров были выбраны следующие:
- число особей в поколении - 50;
- условие останова (количествово циклов без улучшения) - 100;
- минимальное значение времени выполнения -
100;
- максимальное время выполнения - 1000;
- вероятность скрещивания - 100 %;
- вероятность мутации - 100 %.
Условие останова выбрано достаточно большим.
В качестве изменяемых параметров были выбраны количество устройств и количество заданий. Количества устройств - 2, 3 и 4, количества заданий - 50, 150 и 250.
Для каждой серии опытов было подсчитано, сколько раз тот или иной алгоритм становился лучшим (рис. 3).
Алгоритмы Пр = 2 Зад = 50 Пр = 3 Зад = 50 Пр = 4 Зад = 50 Пр = 2 Зад=150 Пр = 3 Зад=150 Пр = 4 Зад=150 Пр = 2 Зад = 250 Пр = 3 Зад = 250 Пр = 4 Зад = 250 Итого
Случайная особь 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Родитель 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Только лучшие особи 2 0 0 1 0 0 2 0 0 5
Случайная особь + Элита 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Родитель + Элита 1 5 2 2 4 4 3 6 5 1 32
Только лучшие особи 27 32 34 29 32 33 31 31 35 284
Случайная особь + Элита 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Родитель + Элита 2 3 1 3 0 2 4 2 3 2 20
Только лучшие особи + Элита 2 7 7 5 9 7 3 4 3 6 51
Случайная особь + Элита 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Родитель + Элита 3 2 2 1 2 0 2 3 2 0 14
Только лучшие особи + Элита 3 3 6 5 5 5 5 2 6 60 43
Рис. 3. Подсчет лучших результатов
1 2 3
- =
- Э э
- э -
5 -
= е е
- - 4
к*
а б
Рис. 4. Матрицы загрузки для первого (а) и второго (б) наборов подмножеств
Алгоритмы
Случайная особь 15
Родитель 15
Только лучшие особи 15
Случайная особь + Элита 1 15
Родитель + Элита 1 15
Только лучшие особи + Элита 1 15
Случайная особь + Элита 2 15
Родитель + Элита 2 15
Только лучшие особи + Элита 2 15
Случайная особь + Элита 3 15
Родитель + Элита 3 15
Только лучшие особи 4 Элита 3 15
а
Алгоритмы
Случайная особь Родитель Только лучшие особи Случайная особь+ Элита 1 Родитель + Элита 1 Только лучшие особи + Элита 1 Случайная особь + Элита 2 Родитель + Элита 2 Только лучшие особи + Элита 2 Случайная особь + Элита 3 Родитель + Элита 3 "олько лучшие особи + Элита 3
18И
18(4 Ii ) ) ) ) )
1В(
ist
1В( ist ist ist
13(2) 13(2)
ш
б
Рис. 5. Результат работы алгоритмов для первого примера
По данной статистике лучше всех показал себя алгоритм гибридной модели Голдберга - Уитли, выбиравший только лучшие особи среди родителей и потомков, а из методов критического пути для формирования элиты лучшие результаты показал метод критического пути без учета бесконечностей. Стоит отметить, что в опытах без применения элиты во всех случаях, при всех вариантах параметров лучший результат показала модель Голдберга - Уитли.
Теперь вернемся к примеру, который был показан ранее - граф из 6 вершин, показанный на рис. 1. Проверим работу выбранных алгоритмов на наборах подмножеств, дающих хроматическое число графа, -(а) {1, 4}, {2, 3, 5}, {2, 5, 6} и (б) {1, 4}, {2, 3, 5}, {1, 5, 6}.
Составим матрицы загрузки для обоих вариантов (рис. 4, а, б).
На этом простом примере все алгоритмы довольно быстро нашли решение, как в первом случае (рис. 5 а), так и во втором (рис. 5 б).
Поскольку во втором наборе было два равнозначных лучших варианта, в скобках указано, какой именно из этих вариантов алгоритм выбрал в качестве лучшего: 1 - вариант с распределением (13, 18, 10) и 2 - вариант с распределением (5, 18, 18).
Генетический алгоритм - очень гибкий и эффективный способ поиска решений. С помощью задания входных параметров можно заставить его работать
более точно или более быстро, в зависимости от того, что приоритетнее для конкретной задачи.
Выводы
Проведенные исследования показали, что мягкое распределение ресурса пропускной способности в СБАД возможно благодаря применению теории графов (теории расписаний, метода Могу и др.) для построения эффективных алгоритмов функционирования и адаптации, а также использованию генетического алгоритма применительно к последнему этапу приведенного способа решения задачи раскраски взвешенного графа.
На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что для улучшения работы генетического алгоритма следует использовать принцип элитизма. Использованный для формирования элитных особей метод критического пути в различных модификациях улучшил средний результат серий опытов в 445 из 450 случаев.
Литература
1. Немировский М.С., Шорин О.А., Бабин А.И., Сарта-ков А.Л. Беспроводные технологии от последней мили до последнего дюйма. М.: Эко-Трендз, 2009. 400 с.
2. Бакланов И.Г. NGN: принципы построения и организации. М.: Эко-Трендз, 2008. 400 с.
3. Zadeh, Lotfi A. «Fuzzy Logic, Neural Networks, and Soft Computing», Communications of the ACM, March 1994, Vol. 37 No. 3, pages 77 - 84.
4. Одоевский С.М., Калюка В.И. Оценка качества обслуживания мобильных абонентов в широкополосных сетях беспроводного доступа с мягким повторным использованием частот // Кибернетика и высокие технологии XXI века: сб. трудов XVI междунар. науч.-техн. конф. Воронеж, 13-14 мая 2015 г. Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2015. C. 113 - 120.
5. Одоевский С.М., Калюка В.И., Степаненко В.В. Оптимизация распределения частотно-энергетических ресурсов сети широкополосного радиодоступа // Радиолокация, навигация, связь: сб. тр. XXI междунар. науч.-техн. конф. Воронеж, 14-16 апреля 2015 г. Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2015. Т.3. C. 1052 - 1059.
6.Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 301 с.
7. ЗыковА.А. Основы теории графов. М.: Наука, 1987. 384 с.
8. Diestel R. Graph Theory, Electronic Edition. NY: SpringerVerlag, 2005. С. 422.
9. Кормен Т. Алгоритмы: построение и анализ. М.: Виль-ямс, 2013.1328 с.
10. Магу (K. Maghout). Applications de e'Algebre de Bool a la Theorie des Graphes, Cahiers du Centie d'Etudes de Recherche Operationnelle. Bruxelles 5. №1 - 2 (1963). 21.
11. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы и их применение / Таганрогский РТУ. 2002. 244 с.
12. Калюка В.И., Кобак В.Г., Троцюк Н.И., Зубакин В.В. Алгоритмическое улучшение модифицированной модели Голдберга в однородных системах обработки информации // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2015. № 2. С. 3 - 7.
13. Кобак В.Г. Исследование турнирного отбора в генетическом алгоритме для решения однородной минимаксной задачи // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21: сб. тр. междунар. науч. конф. Саратов, 27-30 мая 2008. Т. 5. С. 12 - 13.
14. Кобак В.Г. Модификация алгоритма обслуживания по «Критическому пути» для систем с избирательными свойствами приборов // Микропроцессорные и цифровые системы. 2003. № 2(6). С. 152 - 162.
References
1. Nemirovskii M.S., Shorin O.A., Babin A.I., Sartakov A.L. Besprovodnye tekhnologii ot poslednei mili do poslednego dyuima [Wireless technologies from the last mile to the last inch]. Moscow, Eko-Trendz Publ., 2009, 400 p.
2. Baklanov I.G. NGN: printsipy postroeniya i organizatsii [NGN: principles of construction and organization]. Moscow, Eko-Trendz Publ., 2008, 400 p.
3. Zadeh, Lotfi A. Fuzzy Logic, Neural Networks, and Soft Computing. Communications of the ACM, March 1994, vol. 37, no. 3, pp. 77-84.
4. Odoevskii S.M., Kalyuka V.I. [Assessment of quality of service of mobile subscribers in broadband networks of wireless access with a soft reuse of frequencies]. Trudy VGU «Kibernetika i vysokie tekhnologii XXI veka» [Cybernetics and high technologies of the XXI century], 2015, pp. 113-120. [In Russ.]
5. Odoevskii S.M., Kalyuka V.I., Stepanenko V.V. [Optimization of distribution of frequency energy resources of a network of a broadband radio access]. Trudy VGU «Radiolokatsiya, navigatsiya, svyaz'» [Radar-location, navigation, communication], 2015, vol. 3, pp. 1052-1059. [In Russ.]
6. Kharari F. Teoriya grafov [Graph theory]. Moscow, Mir Publ., 1973, 301 p.
7. Zykov A.A. Osnovy teorii grafov [Bases of the theory of counts]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 384 p.
8. Diestel R. Graph Theory, Electronic Edition. NY: Springer-Verlag, 2005. p. 422.
9. Kormen T. Algoritmy: postroenie i analiz [Algorithms: construction and analysis]. Moscow, Vil'yams Publ., 2013, 1328 p.
10. Магу (K. Maghout). Applications de e'Algebre de Bool a la Theorie des Graphes, Cahiers du Centie d'Etudes de Recherche Operationnelle. Bruxelles 5. 1963. №1-2. 21 p.
11. Kureichik V.M. Geneticheskie algoritmy i ikh primenenie [Genetic algorithms and their application]. Taganrog, Taganrogskii RTU, 2002. 244 p.
12. Kalyuka V.I., Kobak V.G., Trotsyuk N.I., Zubakin V.V. Algoritmicheskoe uluchshenie modifitsirovannoi modeli Goldberga v odnorodnykh sistemakh obrabotki informatsii [Algorithmic improvement of the modified Goldberg's model in uniform systems of information processing]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2015, no. 2, pp. 3-7. [In Russ.]
13. Kobak V.G. [Research of tournament selection in genetic algorithm for the solution of a uniform minimax task]. Trudy «Mate-maticheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh» [Mathematical methods in equipment and technologies], Saratov, 2008, vol. 5, pp. 12-13. [In Russ.]
14. Kobak V.G. Modifikatsiya algoritma obsluzhivaniya po «Kriticheskomu puti» dlya sistem s izbiratel'nymi svoistvami priborov [Modification of algorithm of service on "A critical way" for systems with selective properties of devices]. Mikroprotsessornye i tsifrovye sistemy, 2003, no. 2(6), pp. 152-162.
Поступила в редакцию 3 сентября 2015 г.
