CC BY
35
УДК 532.5.01
Решение задачи оптимизации криогенного трубопровода с помощью метода поиска Парето-оптимального решения
Канд. техн. наук А. В. ЗАЙЦЕВ1, Е. В. ЛОГВИНЕНКО
[email protected] Университет ИТМО 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
В статье рассмотрена задача оптимизации криогенного трубопровода, в которой в роли критериев качества выбраны мощности гидравлических и тепловых потерь. Течение криогенной жидкости по трубопроводу, в данном случае, описывается системой дифференциальных уравнений: уравнениями движения и неразрывности; уравнением, учитывающим тепловое состояние жидкости (уравнение энергии); комплексом уравнений для вычисления теплофизических свойств криогенной жидкости, затем с целью дальнейшего численного решения производится переход от дифференциалов к конечным разностям. В оптимизационной задаче использован метод исследования пространства параметров. Он позволяет достаточно гибко реагировать на промежуточные результаты расчетов, переводить параметры из одной группы в другую, достигая тем самым минимальных затрат на поиск решения. Сформулирован алгоритм численного исследования пространства параметров системы, приведена блок-схема. Приведен пример оптимизации криогенного трубопровода, предназначенного для транспортирования жидкого азота длиной 100 м. Диаметр внутренней трубы 36x2 мм, диаметр кожуха 100*2 мм. Получены оптимальные решения данной задачи. Выбрана наилучшая пробная точка (набор параметров), величина суммарных потерь в которой не превышает 1,3 кВт.
Ключевые слова: криогенный трубопровод, оптимизация, Парето-оптимальное решение, криогенная жидкость, транспортирование.
Optimization of cryogenic piping using Pareto optimalsolution method
Ph. D. A. V. ZAITSEV1, E. V. LOGVINENKO
[email protected] ITMO University 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
The article deals with optimization of cryogenic piping, performance criterion being hydraulic and heat pressure loss power. Cryogenic liquidflow is described by differential equations system (equation of motion and continuity, equation for thermal condition of liquid (energy equation); system of equations for thermophysical properties of cryogenic liquid). Then we use finite differences instead of differentials to get numerical solution. Parameter space method is used for optimization. It allows quick response to intermediate calculation results and parameters upgrading, so, finding solutions becoming optimal. Numerical analysis algorithm for system space parameters andflow-scheme are given. The theory is exemplified by optimization of app. 100 m. length cryogenic piping for liquid nitrogen. Inner tube diameter is 36*2 mm, pipe casing diameter is 100*2 mm. Optimal solutions are given. The best sampling point (parameter set) is chosen. The total loss is within 1.3 kWthere.
Keywords: cryogenic piping, optimization, Pareto optimal solution, cryogenic liquid, handling.
В общем случае задача оптимизации криогенного трубопровода, как и любая задача проектирования современного высокоэффективного оборудования, является многокритериальной, многопараметрической математической задачей, требующей применения соответствующего математического аппарата и методов получения решения.
Возникновению методов оптимального проектирования различных систем и устройств, учитывающих несколько критериев качества, предшествовало развитие вычислительной математики и вычислительной техники. Более того, все чаще инженеры, математики и конструкторы, занимающиеся оптимизацией, вследствие
необъективности отказываются от постановки задачи с единственной целевой функцией.
Свойствам и методам отыскания Парето-оптималь-ных решений посвящена обширная литература, среди которой, по-нашему мнению, следует выделить монографию В. В. Подиновского и В. В. Ногина [1]. Вопросы Парето-оптимальных решений затрагиваются и в теории игр, математической экономии, теории статистических решений, исследований операций, теории оптимального управления и др.
Эффективное решение не является единственным, однако, выявление множества эффективных решений
сильно сужает область поиска и является первой задачей интерактивных (человеко-машинных) процедур многокритериальной оптимизации. На суженной области можно вводить дополнительные упрощения и ограничения или даже пользоваться методом вариантных расчетов.
Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями основан на методике изучения и решения задач, в которых необходимо наилучшим образом выбрать значения нескольких параметров оптимизации с учетом получаемых значений нескольких критериев качества [2]. Поэтому, для наиболее подходящего метода оптимального проектирования при разработке технических объектов, в данной работе выбран интерактивный «эвристический» итерационный процесс поиска, так называемого, Паре-то-оптимального решения [1], заключающийся в систематическом просмотре многомерной области критериев качества с помощью последовательностей равномерно распределенных пробных точек, каждая из которых представляет собой набор параметров оптимизации, совокупность которых является необходимой и достаточной для вычисления критериев качества.
Используемый метод (Parameter Space Investigation method — PSI method, метод исследования пространства параметров — МПП) позволяет достаточно гибко реагировать на промежуточные результаты расчетов, переводить параметры из одной группы в другую, достигая тем самым минимальных затрат на поиск решения.
Первый шаг для решения данной задачи — это создание математической модели, описывающей процессы в криогенном трубопроводе при транспортировании криогенной жидкости на заданное расстояние.
Таким образом, задается математическая модель исследуемой системы, трубопровода для транспортирования криогенных жидкостей, которая зависит от n-го количества параметров ар... an (например, температура жидкости на входе в трубопровод, давление жидкости, изменение ее теплофизических свойств, потери давления в процессе транспортирования и др.). В данном случае модель представлена в виде системы уравнений, отвечающих требованиям корректной постановки задачи [3-7]:
— уравнения движения и неразрывности:
,
(1)
(2)
— комплекс уравнений для вычисления теплофизических свойств криогенной жидкости [12]:
где ср — теплоемкость криогенной жидкости, кДж/ (кгК); Т — температура насыщения криогенной жидкости, К.
Затем в этих уравнениях с целью дальнейшего численного решения производится переход от дифференциалов к конечным разностям [8-11]. Весь трубопровод разбивается на п участков вдоль оси г и бесконечно малая величина dz заменяется конечной разностью Аг = г.+1 - г. (I = 1... п). Дифференциал времени А заменяется конечным временным шагом Ат.
Существует понятие пространство параметров, которое будет применяться далее. Пространство параметров — это да-мерное пространство, состоящее из точек с координатами (ар... ода). Соответственно каждой такой точке ак (к = 1. да) будет соответствовать определенный набор параметров.
В соответствии с заданием проектирования или по иным причинам могут быть указаны разумные пределы изменения каждого из этих параметров, т. е. могут быть заданы параметрические ограничения. Вывод о параметрических ограничениях может быть сделан после первой серии опытов.
Данные ограничения выделяют в пространстве некоторую область, и в дальнейшем мы будет исследовать только точки, принадлежащие этой области.
Кроме параметрических ограничений в условие задачи также включают функциональные ограничения. В данной работе в качестве функциональных ограничений выбраны:
Pout Pin Api > Pe
i
T = T + У AT. < T
out in Хш^ г s
(5)
(6)
дт дг
где / — площадь поперечного сечения трубы, м2; р — плотность криогенной жидкости, кг/м3; V — скорость
потока, м/с; т — время, с; г — продольная (осевая) координата, м: р — давление. Па; 8— — потери давления
дг
в потоке, обусловленные трением и деформированием профиля скоростей;
— уравнение, учитывающие тепловое состояние жидкости (уравнение энергии):
Э/ Э/ ^ — + w— = Q. Эт Э г
где /' — энтальпия криогенной жидкости;
(3)
где рп, — давление и температура на входе в криогенный трубопровод; рои1, Тои1 — соответствующие параметры на выходе из трубопровода; е^Рг и ^АТ- —
/ /
суммарные потери давления и изменение температуры по длине трубопровода; ре — атмосферное давление.
Задание такого рода ограничений исключает варианты решения при падении давления в магистрали ниже давления на выходе р, так как в этом случае процесс транспортирования становится невозможным, и при увеличении температуры до уровня температуры насыщения Т^ поскольку при повышении температуры до температуры насыщения начинается процесс кипения криогенной жидкости, поток становится двухфазным, что резко увеличивает потери при транспортировании жидкости по трубопроводу, и условие однофазности потока при оптимизации становится заведомо необходимым.
Введем понятие критерий качества или целевая функция. Критерий качества — это некоторая характеристика данной системы, которая связана с ее качеством монотонной зависимостью. То есть при прочих равных условиях система должна быть лучше при увеличении либо при уменьшении данного критерия. Зачастую критерии качества противоречат друг другу, что суще-
Сформулируем алгоритм предлагаемого численного исследования пространства параметров системы. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 1. Далее будем пользоваться предложенным алгоритмом для решения задачи оптимизации криогенного трубопровода.
У данного алгоритма есть некоторые особенности. Например, важное достоинство данного метода — это возможность использования псевдокритериев, т. е. вместо функциональных ограничений, задание которых непростая задача, можно ввести в рассмотрение псевдокритерий, задать границы которого можно обоснованно. Этот псевдокритерий не будет критерием, т. к. нет монотонной зависимости от качества конструкции.
Приведем пример оптимизации криогенного трубопровода.
Рассмотрим прямолинейный участок трубопровода для транспортирования жидкого азота длиной 100 м. Диаметр внутренней трубы 36*2 мм, диаметр кожуха 100^2 мм [3]. Математическая модель задана как система уравнений (1-4).
Зададим исходные данные.
1. Границы изменения параметров. Численные значения всех параметров оптимизации приведены в табл. 1.
2. Функциональные ограничения. Описываются формулами (5) и (6) — давление на выходе из трубопровода должно быть больше атмосферного, температура криогенной жидкости не должна достигать температуры насыщения.
Критерии качества — мощность гидравлических потерь и мощность тепловых потерь — энергозатраты на переохлаждение, рассчитываются по формулам (7) и (8).
Далее проведем первую серию опытов и составим таблицу испытаний. На компьютере, с применением программы, составленной на алгоритмическом языке Фортран, было просчитано 1000 пробных точек; некоторые из них не удовлетворяли условию функциональных огра-
Таблица 2
фрагмент таблицы испытаний
№ пробной точки d, м рп, МПа Т.п, К G, кг/ч ДЕ1, Вт ЛЕ2, Вт ЛЕ, Вт
5 0,021 2,079 80,308 315,025 0,849 132,813 133,662
9 0,029 0,935 81,899 420,825 0,489 183,513 184,002
10 0,030 1,971 110,256 497,311 1,081 190,971 192,051
14 0,024 0,866 90,996 307,779 0,499 152,039 152,537
16 0,029 2,733 100,181 354,888 0,389 181,681 182,070
17 0,022 2,963 99,759 279,843 0,657 137,368 138,025
18 0,031 2,854 82,95 350,212 0,219 194,290 194,508
23 0,028 2,998 115,543 269,958 0,255 179,151 179,406
26 0,025 1,704 98,717 286,164 0,418 154,303 154,721
30 0,023 0,647 88,51 414,413 1,453 145,460 146,913
980 0,023 1,897 103,215 290,322 0,579 147,433 148,012
982 0,030 2,610 92,042 394,354 0,411 187,583 187,994
985 0,027 2,562 110,008 344,569 0,615 167,702 168,317
986 0,023 2,381 118,293 379,249 1,989 147,811 149,800
990 0,030 1,312 99,411 493,634 0,836 191,756 192,592
996 0,030 0,709 84,149 254,769 0,094 190,939 191,033
1000 0,022 2,323 90,957 430,495 1,954 140,418 142,372
ственно усложняет формулировку задачи. Например, уменьшая вес устройства (что является несомненным плюсом), в то же время уменьшается его прочность (что является нежелательным). Таким образом, необходимо удачно выбрать критерий, который будет соединять в себе несколько показателей, но создание единого критерия качества проблема сложная и не всегда решаемая. Это может привести к огрублению задачи. Избежать этого может помочь выбор критериальных ограничений. Критериальное ограничение определяется как значение критерия, ниже (хуже) которого значения считаются неприемлемыми при решении данной задачи.
В качестве критериев оптимальности (целевых функций) в рассматриваемой задаче выбраны [8, 13, 14]: мощность гидравлических потерь (Вт)
АрО
Щ = -
Р
где G — расход жидкости, кг/с,
и мощность тепловых потерь реохлаждение (Вт)
АЕ2 = с р АГО,
А Р
(7)
энергозатрат на пе-
(8)
Таблица 1
Параметры исходной модели
Параметр Значение
Давление на входе в трубопровод рп, МПа 0,2 ... 3
Температура на входе в трубопровод Т., К 80 ... 120
Диаметр трубопровода d, мм 25 ... 56
Расход через трубопровод G, кг/ч 200 ... 500
Длина трубопровода L, м 100
Число участков п 1000
Теплоприток через изоляцию q, Вт/м2 20
Г------------Г
Рис. 1. Блок-схема алгоритма исследования пространства параметров
ничений и из дальнейшего рассмотрения были выброшены (табл. 2).
Проанализировав данные, полученные в ходе опыта можно отметить, что
— температура криогенной жидкости на входе в трубопровод и диаметр трубопровода меняются в заданных границах;
— минимальное давление на входе трубопровод — 0,237 МПа. Таким образом, транспортировать жидкий азот на заданное расстояние можно и при минимальном избыточном давлении на входе. Температура в данном случае должна быть примерно 80-85 К. А суммарные потери мощности колеблются в заданных пределах, а именно 150-200 Вт;
— величина суммарных потерь в результате расчетов получена в пределах от 120 до 200 Вт.
Следующий шаг — выбор наилучшей пробной точки. В общем случае это задача сложная, но в данном случае она решается сравнительно просто. Существует несколько точек, имеющих значение суммарных энергетических потерь, близкое к минимальному значению с заданной точностью. Параметры этих точек приведены в табл. 3.
Так как критерием качества в данной задаче является величина суммарных энергопотерь, то наилучшей является точка 63.
Если ввести дополнение в эту задачу, а именно выбрать такое решение, чтоб давление было минимально
Таблица 3
Точки, имеющие наименьшее значение суммарных потерь
№ пробной точки d, м pin, МПа Tin, К G, кг/ч ДЕ^ Вт ЛЕ2, Вт AE, Вт
63 0,019 1,965 104,654 200,178 0,496 119,806 120,302
355 0,019 2,127 116,837 249,729 1,337 120,808 122,145
380 0,019 1,430 106,345 297,674 1,699 120,575 122,274
714 0,019 1,088 83,654 310,525 1,282 121,574 122,856
360 0,019 2,051 88,157 251,104 0,672 122,852 123,524
169 0,020 1,264 103,441 250,194 0,798 124,912 125,710
362 0,020 2,899 89,820 207,158 0,347 125,406 125,753
700 0,020 0,848 80,079 241,965 0,492 125,793 126,285
723 0,019 1,866 99,429 426,227 4,190 122,590 126,780
500 0,020 1,808 94,744 263,010 0,743 126,563 127,306
944 0,020 2,040 94,015 389,832 2,597 125,106 127,703
739 0,020 2,967 110,591 333,463 2,081 125,902 127,983
200 0,020 2,356 86,832 371,733 1,914 126,455 128,370
303 0,020 2,962 112,492 324,074 1,953 126,559 128,512
765 0,019 1,438 92,088 478,366 5,243 123,483 128,727
55 0,020 2,442 108,261 422,515 4,338 125,291 129,629
(чтобы исключить затраты на дополнительное сжатие жидкости), а температура максимальной (чтобы исключить затраты на ее переохлаждение), то точка с минимальным давлением на входе в трубопровод — это точка 700. А точка с максимальной температурой на входе — это точка 303. Таким образом, два данных параметра являются взаимозависимым, и при увеличении температуры (что выгодно) растет и давление (что невыгодно), в данном случае придется прибегнуть к помощи специалистов и предоставить им право произвести выбор решения, которое из этого набора наиболее применимо на практике.
Стоит отметить, что точка 169 обладает средними по величине давлением и температурой, что еще раз подтверждает ее оптимальность, и ее показатели эффективности лишь на 5 Вт превышают показатели выбранной ранее 63 точки. Поэтому, возможно следует расширить диапазон просматриваемых величин при определении оптимальности, то есть использовать преимущества многокритериального поиска Парето-оптимального решения.
Список литературы
1. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982. 256 с.
2. Соболь И. М., Статников Р. Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. — М.: Наука, 1981. 111 с.
3. Зайцев А. В. О корректной постановке задачи течения жидкости в трубе. // Вестник Международной академии холода. 2012. № 4. С. 18-20.
4. Баранов А. Ю., Беликов П. А., Приходько С. В., Баранов В. А. Снабжение аэрокриотерапевтический комплексов жидким азотом // Известия СПбГУНиПТ. 2003. № 2. С. 82.
5. Малышева Т. А., Сидорова А. Ю., Баранов А. Ю. Моделирование нестационарного переноса теплоты при управля-
емом криотерапевтическом воздействии // Известия СПбГУНиПТ. 2009. № 1. С. 121-123.
6. Зайцев А. В. Разработка алгоритма решения уравнений Навье-Стокса для течения криогенной жидкости в трубе // Вестник Международной академии холода. 2011. № 3. С. 37-42.
7. Зайцев А. В., Пеленко Ф. В. Моделирование течения вязкой жидкости в трубе // Процессы и аппараты пищевых производств. 2012. № 1. С. 163-168.
8. Логвиненко Е. В. Анализ энергоэффективности трубопровода для транспортирования криогенных жидкостей // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых. — Санкт-Петербург, 2013. Вып. 1. С. 162-163.
9. Криогенные системы. Том 2. Основы проектирования аппаратов, установок и систем. / А. М. Архаров, И. А. Архаров, В. П. Беляков и др.; под общ. ред. А. М. Архарова и А. И. Смородина. — М.: Машиностроение, 1999. 720 с.
10. Беляков В. П. Криогенная техника и технология. — М.: Энергоиздат, 1982. 271 с.
11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1969. 742 с.
12. Акулов Л. А., Борзенко Е. И., Зайцев А. В. Теплофизиче-ские свойства и фазовое равновесие криопродуктов. Справочник. — СПб.: СПбГУНиПТ, 2009. 567 с.
13. Баранов А. Ю., Малышева Т., Баранов В. А. Энергетические основы эффективности криотерапевтической аппаратуры. // Физиотерапия, бальнеология и реабилитация. 2005. № 2. С. 29-31.
14. Зайцев А. В., Логвиненко Е. В. Оптимизация криогенного трубопровода // Омский научный Вестник. Серия «Приборы, машины и технологии» 2014. № 3 (133). С. 164-169.
References
1. Podinovskii V. V., Nogin V. D. Pareto-optimal solutions of multicriteria tasks. Moscow, 1982. 256 p. (in Russian)
2. Sobol I. M., Statnikov R. B. Choice of optimum parameters in tasks with many criteria. Moscow, 1981. 111 p. (in Russian)
3. Zaitsev A. V. About an incorrect problem definition of a current of liquid in a pipe. Vestnik Mezhdunarodnoi akademii kholoda. 2012. No 4. p. 18-20. (in Russian)
4. Baranov A. Yu., Belikov P. A., Prikhod'ko S. V, Baranov V A. Supply aero cryotherapeutic complexes liquid nitrogen. Izvestiya SPbGUNiPT. 2003. No 2. p. 82. (in Russian)
5. Malysheva T. A., Sidorova A. Yu., Baranov A. Yu. Simulation of nonstationary transfer of warmth in case of controlled cryotherapeutic influence. Izvestiya SPbGUNiPT. 2009. No 1. p. 121-123. (in Russian)
6. Zaitsev A. V Development of algorithm of the solution of the equations of Navier-Stokes for a current of cryogenic liquid in a pipe. Vestnik Mezhdunarodnoi akademii kholoda. 2011. № 3. P. 37-42. (in Russian)
7. Zaitsev A. V, Pelenko F. V Simulation of a current of viscous liquid in a pipe. Protsessy i apparaty pishchevykh proizvodstv. 2012. No 1. p. 163-168. (in Russian)
8. Logvinenko E. V. The analysis of energy efficiency of the pipeline for transportation of cryogenic liquids. Collection of
theses of reports of the congress of young scientists. — St. Petersburg. 2013. Vol. 1. p. 162-163. (in Russian) 9. Arkharov A. M., Arkharov I. A., Belyakov V. P. Cryogenic systems. Vol. 2. Bases of design of devices, installations and systems. — Moscow, 1999. 720 p. (in Russian)
10. Belyakov V. P. Cryogenic technique and technology. — Moscow, 1982. 271 p. (in Russian)
11. Loitsyanskii L. G. Mechanics of liquid and gas. — Moscow, 1969. 742 p. (in Russian)
12. Akulov L. A., Borzenko E. I., Zaitsev A. V. Heatphysical properties and phase equilibrium of cryoproducts. Reference manual. — St. Petersburg. 2009. 567 p. (in Russian)
13. Baranov A. Yu., Malysheva T., Baranov V A. Energetic bases of efficiency of cryotherapeutic equipment. Fizioterapiya, bal'neologiya i reabilitatsiya. — 2005. No 2. p. 29-31. (in Russian)
14. Zaitsev A. V, Logvinenko E. V Optimization of the cryogenic pipeline. Omskii nauchnyi vestnik. Seriya «Pribory, mashiny i tekhnologii» 2014. No 3 (133). p. 164-169. (in Russian)
Статья поступила в редакцию 12.02.2015
