Решение задачи об испарении двух капель операторными методами для любых радиусов капель и любых расстояний между ними Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.72

DOI: 10.18384-2310-7251-2018-2-51-60

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИСПАРЕНИИ ДВУХ КАПЕЛЬ ОПЕРАТОРНЫМИ МЕТОДАМИ ДЛЯ ЛЮБЫХ РАДИУСОВ КАПЕЛЬ И ЛЮБЫХ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ НИМИ

Хасанов А.С.

Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова 117997, г. Москва, Стремянный пер., д. 36, Российская Федерация Аннотация. В данной статье задача об испарении в диффузионном режиме двух взаимодействующих крупных неподвижных аэрозольных капель с произвольными радиусами решена операторными методами при произвольных расстояниях между каплями. Приведены формулы для времени полного испарения капель и соответствующие графики, характеризующие фактор взаимодействия капель.

Ключевые слова: аэрозольные капли, испарение капель, взаимодействующие капли.

THE SOLUTION OF THE EVAPORATION PROBLEM OF TWO DROPS BY OPERATOR METHODS FOR ARBITRARY RADII OF DROPS AND ARBITRARY DISTANCES BETWEEN THEM

A. Khasanov

Plekhanov Russian University of Economics

36 Stremyanny pereulok, 117997 Moscow, Russian Federation

Abstract. The problem of evaporation of two interacting large stationary aerosol drops in diffusion mode is solved by operator methods for arbitrary radii of drops and arbitrary distances between them. Formulas for the complete evaporation time of drops are given and the corresponding graphs describing the interaction of the drops are presented. Key words: aerosol drops, evaporation of drops, interacting drops.

Введение

Вклад различных эффектов при описании поведения испаряющихся жидких капель изучался в работах [1-3]. Задачи о сублимации твердых частиц с учетом различных эффектов были рассмотрены в работах [4-5]. В работе [6] приведено решение задачи об испарении двух капель с использованием биполярной системы координат. В работе [4] предложен операторный метод для решения класса задач о двух взаимодействующих аэрозольных частицах. Этот метод является более простым и позволяет учесть больше эффектов, чем использование биполярной системы координат. В работе [7] этим методом решена задача об испарении двух одинаковых взаимодействующих аэрозольных капель. В данной статье

© CC BY Хасанов А.С., 2018.

мы обобщаем результаты работы [7] на случай двух капель с произвольными радиусами при произвольных расстояниях между каплями.

Методы

Пусть две неподвижные капли (радиусы сферических капель могут быть существенно отличающимися) одного и того же чистого вещества находятся в бинарной газовой смеси. Первый компонент смеси состоит из молекул летучего вещества капель, а второй компонент - из молекул несущего газа. Молекулы газа на поверхностях капель не испытывают фазового перехода. Радиусы капель будем считать много большими по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул смеси. Пусть n1 и n2 - численные концентрации молекул первого и второго компонентов смеси, n0 = n1 + n2, c1 = ni/n0, Te - поле температуры в смеси. Будем считать, что на большом расстоянии от капель величины Te и c1 постоянны и равны, соответственно, значениям Teи c1j. Предполагается, что величины Te и с1 также удовлетворяют условиям с1 << 1 и |(Te - TeJ)/ Te| << 1. (j)

Пусть Tf - поле температуры внутри j-й капли, где j е {1, 2}. Поля

(j) (j)

Te, T и c1 описываются системой уравнений ATe = 0, AT = 0, Дс1 = 0. На поверхности j-й капли выполняются условия: T = Tt(), С1 = cb((()),

-кe (VTe,ej)-L1m1n0D12 (Vc1,ej) = -Kt (VTt(),ej), где c1s(T) - относительная концентрация молекул насыщенных паров вещества капель при температуре T, ке и D12 - коэффициент теплопроводности и коэффициент взаимной диффузии компонентов смеси, L1 и m1 - удельное тепло фазового перехода и масса молекул первого компонента, Kt - коэффициент теплопроводности вещества капель, ej -

единичный вектор внешней нормали к поверхности j-й капли, а запись (я, b)

означает скалярное произведение векторов я и b. Пусть Tt0 - невозмущенное

(другой каплей) значение температуры поверхности одиночной капли. Решение задачи об испарении одиночной капли приводит к следующему соотношению относительно Tt0 [6]:

к e (T 0 - Tej) + Lmn D12 (c1s (T 0) - c1 J ) = 0. Для величин c1s (((()) на поверхностях капель используются следующие лине-

3cb .„ ______ „ .

на поверхности j-й капли.

аризованные соотношения:

((() = С (Тю ) + ^ (То )(((То)

Пусть О1 и О2 - центры капель, Я1 и Я2 - радиусы капель (для определенности будем считать, что Я1 < Я2), О - середина отрезка О1О2, I - расстояние между центрами капель. Направления оси Ох декартовой системы координат Охух и век-

тора 0i02 совпадают. Путём параллельного переноса системы Oxyz в точки Oi

и 02 получим еще две декартовые системы координат. Пусть r®, Qj, ф® - сферические координаты точки в системе координат с началом в точке Oj, а r, Q, ф - сферические координаты точки в системе координат с началом в точке О. Поля Te,

(j)

Tj' и ci обладают свойством осевой симметрии относительно оси Oz. Пусть P„ -многочлен Лагранжа, P„(j) = Pn (cosQ j), Н() = rfPn (cos Q j), H_li = г~"~1Рп (cos Q j). Поле Te представляется в виде Te = Теж + £(i) + e(2), где e® - возмущение значения Teж, вызванное j-й каплей и удовлетворяющее условиям де® = 0 и lim e() = 0.

Записав каждое возмущение в виде разложения по объемно-сферическим функциям [8] в своей системе координат, получим разложение:

Te = Тж + jAjh ()i + ^ _П_1,

s=0 п=0

где Ae(S), - неопределенные коэффициенты. Аналогично разлагается ci

ci = ci. + faHh О + ]ГaL2)h (li,

s=0 n=0

где A(i), A() A() - неопределенные коэффициенты. Так как поля T( ограничены при r® i 0, то они представляются в следующем виде:

T(j)= Ti0 +^А()Н(), где Aisi) - неопределенные коэффициенты.

s=0

Пусть Aen = (Tio _ Teж)яn+1xiи, = (i _ Te»)(^i) an+ixen ,

Acn = (cis ((0 ) _ ci~ ) al+lxxcn , А(п) = (cis (( ) _ ci~ ) (^i) a2+ixcn) , Ai'n = (o _ Tex ) ai "x\} ,

А(п2^=(Г0 _TeM)(_i)n a^xi2, где xe®, x®, x^ - неопределенные коэффицнты.

При учете граничных условий на поверхности одной капли, вблизи этой капли объемно-сферические функции, записанные в сферической системе координат с началом в центре другой капли, разлагаются по объемно-сферическим функциям, записанным в сферической системе координат с началом в центре рассматриваемой капли с использованием формул [9]:

Н Hi =(_i)n ]Г i-n_s _icn+sHs(i),

s=0

H (in_i =fl ~n_ s _iCnn+s (_i)sHs(2),

s=0

а в получившихся двойных суммах меняется порядок суммирования. Пусть

X() = (,x(,.., X() = x^,...) , x( = (x(, x(, ...)Г. Поиск этих шести векторов будем вести в пространстве li = jX|X = (xi,x2,...)T ,^|x;| <|

[10] операторными методами. Пространство li является линейным нормированным пространством с нормой ||х|| = xt|. Пусть - линейное пространство

i=1

матриц A c бесконечным числом строк и столбцов, элементы asn которых удовлетворяют условию sup ^ |asn | < Это пространство является линейным нор-

*sn I

n s=1

мированным пространством с нормой ||a|| = sup^|asn |. В пространстве Z1 рассмо-

n s=i

трим линейный оператор, действующий из Zi в Zi по формуле Y = AX, где A е I1 )

X е Zi, AX - произведение матрицы A на вектор X. Для матрицы и порожденного ею матричного оператора будем использовать одно и тоже обозначение. Можно показать, что норма матричного оператора A, согласованная с нормой вектора X,

равна (AH = sup^ |asn |. Для элемента матрицы A с индексами s и n кроме стан-

n s=i

дартного обозначения asn будем использовать и обозначение (A)sn.

Пусть координаты вектора Ei е Zi определяются по формуле Ei = (i, 0, 0, ...)T,

а элементы матриц Ai е 4M), Mi,2 е l[M) M2,i е l[M) определяются по формулам

(Ai) = (s - i)/ s5sn, (Mi,2 )sn = Cn-i-2ts-1тП , (M2,i )sn = Cn-i-2т2-1тП , где s > i, n > i,

Ti = ai/Z, T2 = a2/Z, 5Sn - символ Кронекера. Граничные условия на поверхностях капель приводят к следующим уравнениям:

X« + Mi,2xi2) - х(1) = Ei, x( + M2,iXW - x(2) = Ei, x(i) + Mi2(T0) T0 -Te~ X21) = Ei,

C 1,2 C dT['4 cis (T0)-Ci- г 1

Xi2) + M^-^(T0) T0 Xi2)= Ei,

C 2,1 C 3Tl ,0) cis (T0)-ci- г 1

- X21) + A1M1,2 Xi' + X2i)-AiMi,2 X(2) = — Ai X«,

К 2

- x22) + Л1 M2,1 xi' + X(2) -Л1 M2,1 x«^Л1 xi2).

К 2

Из этой системы следует, что

Х(1) = Х(1) _(Е - Ми М2>1 )-1 (Е - М1>2 ), (1)

Х(2) = Х() = (Е - М2ДМ1,2 )-1 (Е - М. 2,1) Е1, (2)

Х«_ Хг(2) = 0, (3)

где элементы матрицы Е определяются по формуле (Е)5„ = 5ОТ, где 5 > 1, п > 1. Можно показать, что ||М1,2М2,1|| < 1, ||М2,1М1,2|| < 1, ||Л1|| = 1, следовательно

[10] (Е-М1,2М2,1 )-1 е !11М), (Е-М2ЛМ1а1 е ДМ). На основе соотношений (1)-(2)

поля Те и С1 могут быть записаны с использованием ограниченных линейных операторов и линейных функционалов, определенных в ¡1. Но для нахождения времени полного испарения капель достаточно вывести формулы для величины Эс1

—— на поверхностях капель. Пусть элементы матриц Л2 и Л3 определяются по дг

формулам (Л2)5„ = ^от, (Л3)5„ = (5 - 1)8^, где 5 > 1, п > 1, а Р(61) - ограниченный линейный функционал, определенный в ¡1 и равный для любого X = (х1, х2, ...)т е ¡1. скалярному произведению векторов (Ро(со80О, Р1(сов01), Р2(со80О, ...) и (х1, х2, ...) Тогда на поверхности первой капли:

дс1 _ С15 (То )-дг1 а

(Л2 е ДМ), Л3 е ДМ), но можно показать, что Л2Х( е ¡1, Л3М1,2Х() е ¡1). На

основании формулы (4) можно найти в сферической системе координат с началом в центре первой капли величину первого компонента через бесконечно малый элемент ее поверхности:

дс

¿С() _ —п0 Д2 —1 а2 $1п01й01й^1. (5)

Эг1

Из формулы (5) можно вывести формулу для потока С() первого компонента через поверхность первой капли:

С1 _ 4гспоА2а1(сь (То)-С1„)Е? (Е- МиМ1Х1 (Е- Ми ). (6)

Аналогично можно вывести формулу для потока С() первого компонента через поверхность второй капли:

С()_ 4п„оВ12а2(съ (То) -С1») (Е- М1ХМи1 (Е- М1Х ). (7)

Имея дело с достаточно малыми аэрозольными каплями, мы можем пренебречь временами релаксаций полей температур и концентраций и рассматривать процесс испарения в квазистационарном приближении. Пусть радиусы ка-

-Р (01 )Л2 Х()+ Р (01 )Лз М1,2 X()

(4)

пель я1 и я2 являются функциями, зависящими от времени t, а расстояние между центрами капель l является величиной постоянной. Для значений радиусов я1 и я2 момент времени t = 0 будем использовать обозначения я1,0 и я2,0. Так как

d (4 3 ^ л(1) — -rafpt =-m1Qi ,

dt I 1 У dt I 1

4

= -m1Q1(2), где pt - плотность вещества ка-

V-' / VJ /

пель, и я1 = 1т1, я2 = 1т2, то получим систему дифференциальных уравнений:

^ = -m1n0D12(cis ()-c1j) ET (E-M1,2M2,1 )-1 (E-M1,2). (8)

dt l2ptT1 v > \ >

** = -m1n0D12(c1s (Tt0)-c1j) et (E-M21M12)-1 (E-M21 )E1. (9) dt l2pt T2 1 V 2 ' V ^ 1

Из уравнений (8)-(9) получим дифференциальное уравнение: dT2 = T1 ET (E - M2,1 M1,2 )-1 (E - M2,1 )E1 dT1 T2ET (E - M1,2M2,1 ) (E - M1,2 )E1 '

(10)

Пусть т1,0 = я1,0/1, т2,0 = я2,0/1. Уравнение (10) дает возможность изучать численными методами зависимость т2 от т1 на отрезке [0, т1,0] при начальном условии т2(т1,0) = т2,0 и найти значение т2 при значении т1 = 0. Пусть т3 = т2(0). Тогда я3 = 1т3 - радиус второй (большей) капли в момент полного испарения первой капли. В данной работе при решении уравнения (10) использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка. При вычислении правой части уравнения (10) вместо бесконечномерных матриц М1,2 и М2,1 использованы их конечномерные (урезанные) аналоги, позволяющие достичь высокую точность вычислений.

Зная зависимость т2 от т1 на отрезке [0, т1,0] и значение т3 = т2(0), можно найти время полного испарения обеих капель. Найдем сначала время испарения первой (меньшей) капли. Из уравнения (8) можно получить следующее дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

* =--^-.--^-. (11)

Ш1Щ Д2(СЬ (Т 0) - ЕТ (Е - М1,2 М2,1 ) (Е - М1,2 )

Л5)

Пусть те ,1 - время полного испарения одиночной первой капли с начальным

.(1)

радиусом я1,0, а ге' - время полного испарения этой капли с учетом взаимодействия со второй каплей с начальным радиусом я2,0. Проинтегрировав обе части этого уравнения (11) от 0 до получим:

$ =-Р^-, -А ?-^-. (12)

2Ш1П0 Д2(СЬ (ТЮ) - С1^)12,0 0 ЕГ (Е - М1,2 М2,1 ) (Е - М1,2 )

Пусть I ^ Тогда из формулы (12) следует формула:

Величина

f\s) _ teii —

p;a12>0

2Ш\ЩDi2(cis (To) - Ci^)

T1,0

40 n

XidXi

2,0 0 ET (E - MuM2,i ) (E - Mi,2 )Ei

(i3)

(i4)

характеризует влияние второй капли на время полного испарения первой капли, так как ^ = / • ^д- При вычислении интеграла в правой части соотношения

(14) нами была использована формула Симпсона.

1)

Пусть ,2 - время полного испарения одиночной второй капли с начальным

.(2)

радиусом я2,0, а ге' - время полного испарения этой капли с учетом взаимодействия с первой каплей с начальным радиусом Я1,о. Величина ^,2 может быть вычислена по формуле (13), если в эту формулу вместо величины а1,0 подставить

Я2,о:

te2 —

pia2,0

2mnDi2(cis () -ci^)

Легко показать, что

t (2) _t (s)

te — te,2

f

fi

Ti,0 Vх2,0 У

Л2 i Л2 Тз

+

Т2,0

(i5)

(i6)

Таким образом, величина

f2 _ fi

Ti,0 Т2,0

2

+

Тз

Т2,0

2

(i7)

характеризует влияние первой капли на время полного испарения второй капли, так как = /2 • £(2 -

Анализ полученных результатов

Из соотношений (3) следует, что Т2) = Т1 (2) = То, то есть температура внутри

капель распределена однородно, температуры капель равны. При а1 = а2 из полученного решения можно вывести решение задачи об испарении двух одинаковых взаимодействующих аэрозольных капель. Расчеты поправочных коэффициентов / и/2 по формулам (14) и (17) показывают, что вторая (большая) капля может существенно увеличить время полного испарения первой (меньшей) капли, если начальные радиусы а1,0 и а2,0 отличаются существенно. Пусть, например, а2,0 = 5а1,0. При рассмотрении двух взаимодействующих испаряющихся капель

нас будут интересовать зависимость радиуса большей капли от радиуса меньшей капли в процессе испарения, значение радиуса большей капли аз в момент полного испарения меньшей капли и значения поправочных коэффициентов ^ и f2, характеризующих фактор взаимодействия капель. Для расстояния между каплями выберем два значения: l = 10al,o и l = 8al,o. На рис. 1 представлены графики, описывающие зависимость переменного радиуса a2 от переменного радиуса a1 в процессе испарения двух капель. По оси х, начиная от значения x = 1, в сторону уменьшения отложены значения безразмерного радиуса испаряющейся первой капли x = al/al,o, а по оси у - соответствующие значения безразмерного радиуса второй капли у = a2/al,o.

Рис. 1. Графики зависимости безразмерного радиуса второй капли у = а2/а1,0 от безразмерного радиуса первой капли я = а\/а\,0 при а2,0 = 5а1,0 для значений I = 8а1,0 и I = 10а1,0

Вычисления приводят к следующим значениям: аз = 4,8153а^0, ^ = !,8796, f2 = 1,0027, в случае I = Юа^ и аз = 4,7666а^, ^ = 2,3617, f2 = 1,0033, в случае I = 8а^0. Таким образом, вторая капля существенно влияет на время полного испарения первой капли и это влияние возрастает при сближении капель. Если радиусы капель не отличаются существенно, то такой эффект не наблюдается даже при сильном сближении капель. Например, если а2,0 = 1,25а1,0, то аз = 0,6161al,o, ^ = 1,4370, f = 1,1626 даже при I = 2,5а^.

Статья поступила в редакцию 19.04.2018 г. ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин М.К. Теория нестационарного процесса испарения сферической аэрозольной капли с учётом зависимости давления насыщенного пара от кривизны её поверхности // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2012. № 3. С. 39-49.

2. Кузьмин М.К. Анализ формул для вычисления времени полного испарения одиночных капель воды // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 20i5. № i. С. 56-63.

3. Кузьмин М.К., Хасанов А.С. Формула для вычисления времени полного испарения аэрозольных капель с учётом коэффициентов испарения и поверхностного натяжения // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 20i7. № 3. С. 68-75.

4. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория движения сублимирующих и взаимодействующих твёрдых сферических неоднородных аэрозольных частиц во внешних полях. Монография. Москва: ИИУ МГОУ 2006. 22i с.

5. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Фотофорез крупных сублимирующих аэрозольных частиц // Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. № 2. С. 293-297.

6. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Шулиманова З.Л. Избранные вопросы физики аэрозолей: учебное пособие. Москва: Московский педагогический университет, i992. 297 с.

7. Хасанов А.С. Теория испарения двух одинаковых взаимодействующих аэрозольных капель на основе теории линейных операторов // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 20i8. № i. С. 82-90.

8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, i972. 735 с.

9. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, i976. 632 с.

10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, i976. 542 с.

1. Kuz'min M.K. Teoriya nestatsionarnogo protsessa ispareniya sfericheskoi aerozol'noi kapli s uchotom zavisimosti davleniya nasyshchennogo para ot krivizny ee poverkhnosti [Theory of a nonstationary process of evaporation of a spherical aerosol droplet with allowance for the dependence on the steam pressure on the curvature of its surface]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2012, no. 3, pp. 39-49.

2. Kuz'min M.K. Analiz formul dlya vychisleniya vremeni polnogo ispareniya odinochnykh kapel' vody [Analysis of formulas for calculating the time of complete evaporation of single water droplets]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2015, no. 1, pp. 56-63.

3. Kuz'min M.K., Khasanov A.S. Formula dlya vychisleniya vremeni polnogo ispareniya aerozol'nykh kapel' s uchotom koeffitsientov ispareniya i poverkhnostnogo natyazheniya [The formula for calculating the time of complete evaporation of the aerosol droplets with allowance for the coefficients of evaporation and surface tension]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2017, no. 3, pp. 68-75.

4. Yalamov Yu.I., Khasanov A.S. Teoriya dvizheniya sublimiruyushchikh i vzaimodeistvuyush-chikh tverdykh sfericheskikh neodnorodnykh aerozol'nykh chastits vo vneshnikh polyakh [The theory of movement of sublimating and interacting solid spherical inhomogeneous aerosol particles in external fields]. Moscow, MRSU Ed. off. Publ., 2006. 221 p.

5. Yalamov Yu.I., Khasanov A.S. Fotoforez krupnykh sublimiruyushchikh aerozol'nykh chastits [Photophoresis of large sublimating aerosol particles]. In: Teplofizika vysokikh temperature [High Temperature], 2006, vol. 44, no. 2, pp. 293-297.

REFERENCES

6. Shchukin E.R., Yalamov Yu.I., Shulimanova Z.L. Izbrannye voprosy fiziki aerozolei [Selected topics of the physics of aerosols]. Moscow, Moscow Pedagogical University Publ., 1992. 297 p.

7. Khasanov A.S. Teoriya ispareniya dvukh odinakovykh vzaimodeystvuyushchikh aerozol'nykh kapel' na osnove teorii lineinykh operatorov [The theory of evaporation of two identical interacting drops of the aerosol based on the theory of linear operators]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics], 2018, no. 1, pp. 82-90.

8. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1972. 735 p.

9. Happel J., Brenner H. Low Reynolds number Hydrodynamics: with special application to particulate media. Hague, Kluwer, 1983. 552 p.

10. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 542 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Хасанов Анис Саляхович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова; e-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Anis S. Khasanov - Doctor in Physical and Mathematical Sciences, professor at the Department of Higher Mathematics, Plekhanov Russian University of Economics; e-mail: [email protected]

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Хасанов А.С. Решение задачи об испарении двух капель операторными методами для любых радиусов капель и любых расстояний между ними // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2018. № 2. С. 51-60. DOI: 10.18384-2310-7251-2018-2-51-60.

FOR CITATION

Khasanov A.S. The solution of the evaporation problem of two drops by operator methods for arbitrary radii of drops and arbitrary distances between them. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics. 2018. no. 2. pp. 51-60. DOI: 10.18384-2310-7251-2018-2-51-60.