CC BY
40
УДК 517.977.56
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ОБЪЕКТА С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ОСНОВЕ ПРИБЛИЖЕННОЙ КВАЗИАСИМПТОТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Н. В. Дилигенский, А. П. Ефимов
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: usat@samgtu.ru, a_efimov@newmail.ru
Рассмотрена возможность применения приближённых квазиасимптотических моделей при решении задачи быстродействия при нагреве. Для решения задачи быстродействия использовался численный алгоритм с применением экстраполирования минимизируемого поля сплайнами на каждой итерации. Показано, что такой подход к решению задачи быстродействия позволяет обеспечить достаточную точность определения предельно допустимой точности и длительностей интервалов управления для одно-, двух- и тр'ехинтервального управления.
Ключевые слова: задача быстродействия, квазиасимптотическая модель нагрева, погрешность модели, задача недифференцируемой оптимизации, метод сплайновой аппроксимации.
Рассмотрим задачу оптимального по быстродействию управления процессом нагрева стержня ограниченной длины с заданной точностью приближения к требуемой температуре, оцениваемой в равномерной метрике.
Уравнение динамики распределённого объекта конечной длины в канонической форме описывается одномерным параболическим уравнением теплопроводности
дТ д2Т
9?= О«*«1- (D
с граничным управляющим воздействием
дТ
дх
= и(т), (2)
Х=1
условием адиабатичности
и начальным условием
дТ
дх
х=0
(3)
*1=0 =«• М
Здесь х — безразмерная (нормированная) пространственная координата по длине стержня; г — безразмерное время (число Фурье); Т(х, т) —температурное поле в относительных единицах; и(т)—управляющее воздействие,
Николай Владимирович Дилигенский (д.т.н., проф., засл. деятель науки РФ), зав. кафедрой, каф. управления и системного анализа в теплоэнергетике. Александр Порфирьевич Ефимов (к.т.н., доц.), доцент, каф. управления и системного анализа в теплоэнергетике.
представляющее собой относительную величину теплового потока на границе
Ставится задача достижения в момент времени тк заданной температуры Т3 = const с требуемой точностью е:
в условиях заданных ограничений на величину управляющего теплового потока
Сформулированная задача (1)-(7) относится к задачам недифференцируемой оптимизации. Она была всесторонне исследована в работах [1,2], в которых был установлен ряд универсальных закономерностей алгоритмов управления и поведения оптимальных температурных распределений, приведённых ниже.
1. Установлено, что алгоритм оптимального управления и*(т) является кусочно-постоянной (релейной) функцией времени, попеременно принимающей свои предельно допустимые согласно (7) значения Мт;п и Цтах С длительностями ПОСТОЯНСТВа управления Аг'. ^Г=1 ^ = ТК-
2. Число п — число интервалов постоянства оптимального управления — однозначно определяется величиной допустимой требуемой точности е из (5). При ужесточении требований (при уменьшении е) число п возрастает. Другими словами, п —> оо при е —> 0. При этом для каждого оптимального управления с фиксированным числом интервалов
3. Оптимальные конечные температурные распределения Т(тк, х) при любом е обладают альтернансными свойствами: являются дифференцируемыми по х функциями, принимающими предельно допустимые согласно (5) значения Т3±£ в чередующихся на отрезке [0,1] максимумах и минимумах в точках х* € [0,1]. Исходная задача недифференцируемой оптимизации эквивалентна задаче решения системы уравнений
для внутренних точек х* экстремума конечного распределения темпе-
х = 1.
ж€[0,1]
при минимальном значении критерия оптимальности
max |Т(тк,ж) — Т3\ ^ є
(5)
(6)
шах*
(7)
п существует предельно достижимая точность нагрева £^-п\
Т(тк,ж)
дополненной условиями
ратуры.
Система (8), (9) является замкнутой относительно неизвестных, к которым относятся длительности интервалов Aj и координаты локальных экстремумов х* Є [0, 1].
Разработанный точный аналитический альтернансный метод решения задачи оптимального управления (1)—(7) инвариантен по отношению к способу нахождения температурного состояния распределённого объекта Т(тк,х). В работах [1,2] использован точный метод расчёта температуры Т(т, х) в форме классического разложения по собственным функциям в виде сходящегося бесконечного ряда. При этом в расчётах численные значения параметров оптимального алгоритма {Aj}, найденные на основе точных методов, в той или иной степени являются приближенными.
Рассмотрим возможность решения задачи (1)—(7) с использованием приближённого выражения для температурного поля в конце нагревания.
Авторами [3,4] для решения задач теплопроводности вида (1)-(4) предложен метод построения аналитических квазиасимптотических решений, удовлетворительно описывающих температурные распределения краевых задач в области 0^т<оо,0^ж^1. Квазиасимптотические решения строятся путём сопряжения внутренних и внешних асимптотических представлений решения с помощью специально конструируемых мультипликаторов. Получаемые при таком подходе приближённые решения асимптотически совпадают с точными решениями задачи при больших и малых временах, а в промежуточной области имеют погрешность, которая может быть уменьшена путём увеличения числа учитываемых в разложениях членов рядов.
Так, квазиасимптотическое решение для задачи (1)-(4) при и(т) = и о = = const, построенное путём квазисопряжения первых двух членов внутреннего и первых двух членов внешнего разложений, имеет следующий вид [3]:
где ггаег1с(г) —итерированные интегралы дополнительной функции ошибок.
На рис. 1 представлены относительные погрешности 6 квазиасимптотиче-ского решения (10) и его градиента. Видно, что погрешности асимптотически
Рис. 1. Зависимость максимальной относительной ошибки (а) и относительной ошибки градиента (б) приближённого решения (10) от времени т
уменьшаются при малых и при больших временах. Максимальная величина погрешности достигается при средних временах и составляет 0,5% для значения температуры и менее 1,5% для градиента температуры, что показывает вполне удовлетворительную эффективность квазиа-симптотического решения (10).
Для сопоставления оптимизационных расчётов были решены задачи минимизации суммарного времени нагрева тк при релейном управлении мощностью для одно-, двух-п трёхинтервального управления на основе точного и приближенного (10) решений. При этом был использован разработанный в [5,6] численный итерационный метод, использующий сплайновую аппроксимацию оптимизируемого поля на каждой итерации и ориентированный на минимизацию числа обращений к модели. Отметим, что в этом методе условия альтернанса при решении не использовались. Результаты расчётов приведены в таблице.
На рис. 2 приведены зависимости длительности временных интервалов управления от требуемой точности нагрева для одно- и двухин-тервального оптимального алгоритма при Т3 = 0,5, полученные на основе точного и приближённого решений.
На рис. 3 приведены оптимальная траектория нагрева и конечное распределение температур по х для т = тк при точности нагрева > е > £^ для квазиасимптотической модели. На рис. 4 приведены конеч-
Рис. 2. Зависимость длительности временных интервалов управления от требуемой точности нагрева: сплошная линия — точное решение, штрихпунктирная линия — приближённое решение
Рис. 3. Траектория нагрева (а) и конечное распределение температур (б) для случая
,(1)
> £ > £
(2)
(2)
ные распределения температур по х для т = тк при точностях нагрева е = £ (рис. 4, а) и > £ > £^ (рис. 4, б).
Результаты расчётов подтверждают обоснованные в [1,2] альтернансные свойства оптимальных распределений конечных температур. Наблюдается удовлетворительное совпадение результатов определения предельно допустимой точности и длительностей интервалов управления, полученных с ис-
122
Результаты расчётов по точному и приближённому решениям
є Ді Дг Аз 103
точное приближённое точное приближённое точное приближённое точное приближённое
0,274 0,277 0,414 0,414 — — — —
0,256 0,259 0,434 0,434 — — — —
0,240 0,242 0,453 0,453 — — — —
0,233 0,236 0,461 0,461 — — — —
0,224 0,226 0,472 0,472 — 0,0 — —
0,223 0,216 0,472 0,484 0,0 0,000385 — —
0,210 0,213 0,487 0,486 0,000578 0,000578 — —
0,174 0,178 0,519 0,519 0,00788 0,00788 — —
0,109 0,113 0,558 0,558 0,0432 0,0432 — —
0,0748 0,0787 0,568 0,567 0,0737 0,0737 — —
0,0500 0,0500 0,572 0,573 0,105 0,110 — —
0,0251 0,0288 0,576 0,577 0,151 0,151 — —
0,0172 0,0206 0,578 0,578 0,173 0,173 — —
0,0117 0,0149 0,579 0,580 0,193 0,193 — —
0,00852 0,0115 0,580 0,580 0,207 0,207 — —
0,00763 0,0105 0,580 0,581 0,212 0,212 0,0 0,0
0,00729 0,00745 0,580 0,582 0,214 0,228 0,0100 0,0
0,00685 0,00666 0,580 0,582 0,216 0,233 0,0500 0,0500
0,00648 0,00630 0,580 0,582 0,218 0,235 0,110 0,110
Дилигенский Н. В., Ефимов А.П.
Рис. 4. Конечное распределение температур: а) случай в = в(2); б) случай > в >
пользованием приближённого квазиасимптотического и точного решения для одно-, двух- и трёхинтервального управления.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. 279 с. [Rapoport Е. Ya. Process optimization of induction heating of metal. Moscow: Meta.llurgiya, 1993. 279 pp.]
2. Рапопорт Э. Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000. 336 с. [Rapoport Е. Ya. The alternance method in applied problems of optimization. Moscow: Na.uka, 2000. 336 pp.]
3. Ефимов А. П. Метод построения равномерно-пригодных аппроксимаций решений нестационарных задач теплопроводности в телах конечных размеров // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки, 2008. №2(22). С. 196-200. [Efimov А. P. A method for constructing a uniformly suitable approximation of nonstationary heat conduction problems solutions in finite dimensions bodies // Vestn. Sam.. Cos. Tekh.n. Un-ta. Ser. Tekh.n. Nauki, 2008. no.2(22). Pp. 196-200].
4. Дилигенский H. В., Ефимов А. П. Использование принципа дополнительности для конструирования систем математических моделей задач теплопроводности с требуемыми аппроксимативными свойствами / В сб.: Труды Третьей Российской национальной конференции, по теплообмену. Т. 7. М.: МЭИ, 2002. С. 111-114. [Diligenskiy N. V, Efim.ov А. P. Using the principle of subsidiarity for the design of systems of mathematical models for heat conduction problems with the required approximation properties / In: Proceedings of the Third Russian National Conference on Heat Transfer. Vol. 7. Moscow: MEI, 2002. Pp. 111-114].
5. Ефимов А. П. Алгоритм сплайновой экстраполяции при решении задач полубесконечной оптимизации // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки, 2009. №2(24). С. 25-32. [Efim.ov А. P. Spline extrapolation algorithm for solving semi-infinite optimization// Vestn. Sam,. Cos. Tekh.n. Un-ta. Ser. Tekh.n. Nauki, 2009. no. 2(24). Pp. 25-32].
6. Ефимов А. П. Применение алгоритма сплайновой экстраполяции при решении задач полубесконечной оптимизации // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки, 2010. №2(26). С. 44-51. [Efimov А. P. Application of spline extrapolation algorithm for solving semi-infinite optimization // Vestn. Sam.. Cos. Tekh.n. Un-ta. Ser. Tekh.n. Nauki, 2010. no.2(26). Pp. 44-51].
Поступила в редакцию 15/IX/2011; в окончательном варианте — 21/XI/2011.
MSC: 49J20; 49M30
SOLUTION OF NONDIFFERENTIABLE OPTIMIZATION PROBLEM FOR OBJECT WITH DISTRIBUTED PARAMETERS BASED ON QUASI-ASYMPTOTIC APPROXIMATE MODEL
N. V. Diligenskiy, A. P. Efimov
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
E-mails: usat@saingtu.ru, a_efimovanewmail.ru
The possibility of approximate quasi-asymptotic models application is considered on an exam,pie of the solution of a time-optimal heating problem. To solve an optimal control problem the numerical algorithm has been, used on the basis of spline extrapolation of the minimized field at each iteration. It is shown that this approach, to the time-optimal control problem can provide with, negligible error the determination of maximum admissible accuracy and interval durations for one-, two-, and three- stage control.
Key words: time-optimal problem, quasi-asymptotic model of heating process, error of model, problem of nondifferentiable optimization, spline approximation method .
Original article submitted 15/IX/2011; revision submitted 21/XI/2011.
Nikolay V. Diligenskiy (Dr. Sei. (Techn.)), Head of Dept., Dept, of Management and Systems Analysis in Heat Power Industry. Alexander P. Efimov (Ph. D. (Techn.)), Associate Professor, Dept, of Management and Systems Analysis in Heat Power Industry.
