CC BY
31УДК: 519.6 MSC2010: 74M15
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОНТАКТА ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ MORTAR-МЕТОДОМ И МЕТОДОМ ШВАРЦА НА НЕСОГЛАСОВАННЫХ СЕТКАХ © П. С. Аронов
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН Миусская пл., 4, Москва, 125047, Российская Федерация Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана 2-я Бауманская ул., 5, стр. 1, Москва, 105005, Российская Федерация e-mail: aronovps@mail.ru
© М. П. Галанин
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН Миусская пл., 4, Москва, 125047, Российская Федерация Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана 2-я Бауманская ул., 5, стр. 1, Москва, 105005, Российская Федерация e-mail: galan@keldysh.ru
© А. С. Родин
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН Миусская пл., 4, Москва, 125047, Российская Федерация Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана 2-я Бауманская ул., 5, стр. 1, Москва, 105005, Российская Федерация
e-mail: rals@bk.ru
© И. В. Станкевич
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана 2-я Бауманская ул., 5, стр. 1, Москва, 105005, Российская Федерация e-mail: aplmex@yandex.ru
Solution of the Contact Problem Using Mortar-Method and Schwarz Alternating Method on Mismatched Grids.
Aronov P. S., Galanin M. P., Rodin A. S., Stankevich I. V.
Abstract.
The article discusses the implementation of the algorithms based on mortar-method and Schwarz alternating method for solving contact problems of elasticity theory. Solving such problems is often associated with necessity of using mismatched grids. Their joining can be carried out both with the help of iterative procedures that form the so-called Schwarz alternating methods, and with the help of the Lagrange multipliers method or the penalty method. The algorithm constructed in the article uses the mortar method for matching the finite elements on the contact line. All these methods of joining the grids make it possible to ensure continuity
of displacements and stresses near the contact line. However, one of the main advantages of the mortar method is the possibility of independent choice of different types of finite elements and form functions on both boundaries of two bodies on the contact line, and when integrating along it. The application of this method in conjunction with the classical formulation of the finite element method based on the minimization of the Lagrange functional leads to a system of linear algebraic equations with a saddle point. The article discusses in detail its numerical solution based on the modified symmetric successive upper relaxation method.
One of the main advantages of the Schwarz method is the ability to reduce the solution of the general contact problem of several bodies to a sequence of solutions of standard problems of mechanics for each body separately. But the competitiveness of this method compared to the methods of penalty functions and Lagrange multipliers is largely determined by the convergence rate of the considered iterative process.
On the example of a test problem with various combinations of grid steps, some regularities are revealed. The influence of the master and slave bodies choice on the distribution of displacements and stresses on the contact line is investigated. In the case of matched grids, there are no oscillations in the graphs of the distribution of displacements and stresses, regardless of the choice of active and passive bodies. In the case of mismatched grids, the choice of a master body with a finer mesh leads to a significant decrease in oscillations of both displacements and stresses. When using the Schwarz method, fluctuations in the graphs of distributions of displacements and stresses are absent.
Keywords: contact problem of the elasticity theory; finite element method; mortar-method; Schwarz alternating method; successive over-relaxation method
Введение
Расчет прочности и надежности различных ответственных элементов конструкций, функциональных узлов оборудования является обязательным этапом проектирования. Многие из этих элементов контактируют между собой в пределах некоторой поверхности. Данные о напряженно-деформированном состоянии таких элементов и узлов можно получить, используя современный аппарат математического моделирования. Лишь для сравнительно малого количество контактных задач теории упругости получены аналитические решения, поэтому наиболее перспективным способом исследования контактного взаимодействия тел являются численные методы. Ведущее место среди численных методов, используемых для решения контактных задач, занимает метод конечных элементов. При контактном взаимодействии нескольких тел зачастую отсутствует возможность использовать согласованные сетки. Численное решение подобных задач на несогласованных сетках можно осуществлять с помощью итерационного метода Шварца, обеспечивающего поочередное выполнение
на контактной границе кинематических и силовых условий (см., например, [1, 2]). Также возможно использование прямых процедур, использующих метод множителей Лагранжа [3, 4], метода штрафа [5] и шоЛаг-метода [6, 7].
В данной работе описана реализация алгоритмов решения контактных задач теории упругости с помощью шоЛаг-метода и метода Шварца. Рассмотрены случаи согласованных и несогласованных сеток для двумерной тестовой задачи.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты № 18-01-00252 и № 18-31-20020).
1. Математическая постановка задачи
Рассмотрим в двумерном пространстве К2 группу тел, занимающих область
0 = и а0а
(а — индекс, обозначающий номер тела) с кусочно-гладкой границей д0.
При решении контактной задачи на поверхностях контакта тел дополнительно должны быть выполнены условия контактного взаимодействия по перемещениям и напряжениям. Для построения алгоритма достаточно ограничиться случаем двух тел с одной парой контактных поверхностей. Рассмотрим два упругих контактирующих тела, занимающих в пространстве области 0г и 02, ограниченные кусочно-гладкими границами д0г и д02.
Математическая формулировка контактной задачи теории упругости для случая, когда объемные силы отсутствуют, включает в себя следующие соотношения [8] для каждого тела 0а С К2, участвующего в контакте, а Е {1, 2}:
• уравнения равновесия
Ом (и) = 0, г] = 1,2, х е 0а; (1)
• кинематические граничные условия
и(х)|5а = и0(х), х Е Бг и Б2 и 53 С д0г и д02; (2)
• силовые граничные условия
оц(и)пи = дг(х), г,] = 1, 2, х Е Б± С д0г; (3)
• соотношения Коши
£ц(х) = 1 (щ,з(х) + п^^(х)), г,] = 1, 2, х Е 0а; (4)
• определяющие уравнения (закон Гука)
ац(х) = С^ы (£Ы(х) - £°ы(х)) , г,] = 1,2, х е Са; (5)
• кинематическое контактное условие
иП(х) = -иП(х), х е Бк; (6)
• силовое контактное условие
аП(х) = аП(х) ^ 0, х е Бк, (7)
где хг — координаты вектора х е Оа; а^ — компоненты тензора напряжений; £кг — компоненты тензора деформации; £к — компоненты тензора начальной деформации; иг — компоненты вектора перемещения; С^ы — компоненты тензора упругих постоянных; дг — компоненты вектора поверхностных сил; щ — компоненты вектора внешней нормали к соответствующей поверхности Бг; игп — проекции векторов перемещений граничных точек на направление внешней нормали пг к границе тела г; аП — проекции векторов напряжений на направления внешних нормалей пг; Б к — контактная поверхность.
Для рассматриваемого двумерного случая векторы напряжений <г и перемещений и записываются следующим образом:
а = < сто > , u
Решение задачи (1)-(7) эквивалентно [11] минимизации функционала:
П=±/ о-Т £вО - У ит двБ + ^ Л (пЦх) - пЩх)) вБ (9)
о я2 як
при выполнении кинематических граничных условий (2), где О = и О2; Б2 = Б1 и Б|; Л — вектор множителей Лагранжа, состоящий из проекций векторов напряжений на направления внешних нормалей.
2. Основные матричные соотношения метода конечных
элементов
Для численного решения задачи (1)-(7) будем использовать метод конечных элементов. Конечно-элементная сетка состоит из четырехугольных элементов. Применим функции формы либо первого порядка (метод Шварца), либо второго порядка (mortar-метод).
Компоненты u1e), u|>e) вектора перемещения u внутри конечного элемента с номером е определяются с помощью зависимости
jje)} = N](e){u}(e), (10)
где [N](e) — матрица функций форм конечного элемента [12] с номером e, а {u}(e) — объединенный вектор компонент во всех узлах конечного элемента с номером е.
Соотношения между деформациями и перемещениями в двумерном случае записываются следующим образом [13]:
{e}(e) = [B](e){u}(e), (11)
где [B](e) — матрица градиентов конечного элемента [12] с номером е.
Напряжения выражаются через деформации с помощью закона Гука:
M(e) = [Dje){e}(e) (12)
или, с учетом (11),
М(е) = [Ва](е)[Б](е){п}(е), (13)
где [Оа\(е) — локальные матрицы упругости конечного элемента с номером е для тела с номером а.
3. Применение mortar-метода для решения контактных задач
Mortar-метод решения контактных задач теории упругости основан на независимой конечно-элементной дискретизации непересекающихся подобластей. Сетки на этих подобластях являются, вообще говоря, несогласованными на линии контакта, а непрерывность решения достигается за счет использования множителей Лагран-жа [14]. Среди основных преимуществ mortar-метода можно отметить возможность независимого выбора различных типов конечных элементов и функций формы как на границах контактирующих тел, так и при интегрировании вдоль линии контакта.
Пусть тело G1 является активным (master), а тело G2 — пассивным (slave). Линию контакта со стороны тела G1 обозначим через Гт, а со стороны тела G2 — rs. Рассмотрим одномерные конечные элементы второго порядка на линиях контакта Гт и Г8. Из узлов этих элементов на линии контакта Гт проведем нормали на линию контакта Г8. По образованным при пересечении нормалей и rs конечным элементам будем вести дальнейшее интегрирование, считая их также одномерными квадратичными элементами с аналогичными функциями формы. Деление тел на master/slave во многом является условным и неочевидным. Но в конечном счете в mortar-методе этот выбор определяет дискретизацию множителей Лагранжа.
Рассмотрим следующий интеграл:
um
dj XTUs dj, (14)
/km л ks л
AT(Um - Us) dj = / Um d^f / A'
i=lJ i=\J
где Г = Гт и Г8, кт и к3 — общее число конечных элементов, на которые разбиты линии контакта Гт и Г соответственно, векторы ит и и8 состоят из нормальных компонент векторов перемещений узлов конечного элемента на линиях контакта Гт и Г8, а вектор Л состоит из множителей Лагранжа, соответствующих проекциям векторов напряжений на направления внешних нормалей на линии контакта Г8.
Минимизация функционала (9) совместно с интегралом (14) приводит к формированию следующей системы линейных алгебраических уравнений [15]:
где
/ An 0 Ais\
0 A22 A23 уА^з А^з 0 J
Ui U2
Ri R2
:i5)
ki
[A11] = $>G](e)r ^J [B](e)[Di](e)[B](e) dG I [aG](e),
[A13] = £[as](e)T |J[N](e)TN(e) d7 | [as](e), k2 /
[A22] = &G](e)T у J [B](e)[D2](e)[B](e) dG I [aG](e),
km
[A23] = £[as](e)T I /[N](e)TN(e) dY I [as](
e=1
{Ri} = £[as](e)T ( J
e=1 VS
{R2} = £ [as](e)T 1 J
e=1 \s
[N](e)T [g1](e) dV
[N](e)T[g2](e) dV I ,
:i6)
:i7)
:is)
:i9)
(20)
(2i)
Здесь [ас](е), [а,д](е), [а,д](е) — матрицы геометрических связей конечного элемента е, [Дз,](е) — локальные матрицы упругости конечного элемента, {ра}(е) и {да}(е) — локальные векторы объемных и поверхностных сил соответственно, а и к2 — количество конечных элементов, на которые разбиты тела и С2.
4. Алгоритм решения системы линейных алгебраических
уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (15) с седловой точкой является плохо обусловленной и имеет нулевой блок на главной диагонали, поэтому вместо
прямых или классических итерационных численных методов будем использовать модифицированный метод симметричной последовательной верхней релаксации [16]:
Г1 Лп(и«1к+2 - + А11 и1к + л13хк = я1, 1Л22 ( «2к+1 - «2к 1 + Л22«2к + Л2эЛк = #2
Т
(22)
-аВ (Лк+1 - Лк) + Лт3«1к+1 + Лт3«2к+2 = 0, 1 Ли («1к+1 - + Лп«1к+1 + Л1зЛк+1 = Я1,
Л2^«2к+1 - «2к+^ + Л22«2к+1 + Л2зЛк+1 = #2,
где к — номер итерации, а и т — итерационные параметры, В — матрица-предобуславливатель.
Перед первой итерацией необходимо задать начальное (нулевое) значение вектора множителей Лагранжа А и затем вычислить глобальный вектор перемещений и1 из первого уравнения системы (15).
Использование схемы (22) позволяет свести решение общей плохо обусловленной системы уравнений для всех контактирующих тел к последовательному решению систем уравнений отдельно для каждого тела. Причем матрица для каждой системы является стандартной для задач теории упругости: симметричной и положительно определенной.
В частности, для случая двух тел возникает необходимость решения на каждой итерации пяти систем линейных алгебраических уравнений. Все эти системы уравнений решаются с помощью метода сопряженных градиентов. Матрица-предобуславливатель выбрана в виде диагональной матрицы 1 1 1
В = < —, —,...,-(, а значения итерационных параметров заданы следу-
[ ац а>22 апп )
ющими: а = 0, 75, т = 0, 5.
5. Применение метода Шварца для решения контактных задач
Одним из альтернативных численных методов решения контактной задачи является метод Шварца [17]. Суть метода состоит в следующем: на нулевом шаге на контактных поверхностях тел задается некоторое начальное приближение для компонент вектора перемещений (приближение выбирают из диапазона ожидаемых значений для зоны контактного взаимодействия). После решения данной задачи кинематическое условие (6) (условие непроникания одного тела в другое) на контактной
поверхности будет выполнено, но вычисленные контактные давления для взаимодействующих тел оказываются различными. На следующем шаге с помощью специальным образом выполненной коррекции [i8] добиваются равенства контактных напряжений (7), но полученные перемещения не удовлетворяют условию непроникания. Далее, на очередной итерации снова используют скорректированные кинематические условия (6) (совмещают контактирующие поверхности). Чередование силовых и кинематических итераций выполняется до достижения сходимости, когда и кинематические и силовые условия на контакте выполнены с заданной точностью. В формулах, которые используются для коррекции перемещений и напряжений на контактных поверхностях, присутствуют итерационные параметры, которые можно задавать различными способами [i8]. Одним из главных преимуществ метода Шварца является сведение решения общей задачи контактного взаимодействия нескольких тел к последовательности решений стандартных задач механики для каждого тела по отдельности. Конкурентноспособность данного метода по сравнению с методами штрафных функций и множителей Лагранжа во многом определяется скоростью сходимости используемого итерационного процесса.
6. Результаты численного моделирования
В качестве тестовой рассмотрим следующую задачу: две двумерные пластины шарнирно закреплены и нагружены так, как это показано на рис. i. Обе пластины выполнены из одинакового материала с модулем упругости E = 210 ГПа и коэффициентом Пуассона v = 0, 3, давление P (x1) = p0 ( 1 + cos —-— j , p0 = 10 МПа.
Размер тела G1 по x1 равен 0,6 м, размер по x2 — 0,2 м, размер тела G2 по x1 равен 0,9 м, размер по x2 — 0,4 м; h1 и h2 — шаги конечно-элементной сетки в направлении x1 для тел G1 и G2 соответственно. Ячейки сетки являются почти квадратными. Также будем рассматривать различные варианты выбора активного (master) и пассивного (slave) тел. Данный выбор влияет на структуру системы (i5), так как вектор множителей Лагранжа А состоит из проекций векторов напряжений на направления внешних нормалей на линии контакта пассивного тела, а, следовательно, в случае h1 = h2 размерность вектора А зависит от того, какое тело является активным, а какое — пассивным.
Для начала рассмотрим согласованные сетки с h1 = h2 = 0, 025. Для данной комбинации сеток выбор активного и пассивного тел не оказывает существенного влияния на распределение перемещений и напряжений на линии контакта.
Получаемые в mortar-методе результаты сильно зависят от точности решения системы линейных алгебраических уравнений (22). В качестве критерия остановки
итерационного процесса решения систем уравнений методом сопряженных градиентов выбрано условие достижения заданной относительной точности е решения на двух последовательных итерациях в сеточной норме L2.
На рис. 2 показаны зависимости относительной точности от количества итераций (два графика соответствуют различным вариантам выбора master/slave). Из графиков видно, что после первых 6-10 итераций ошибка начинает убывать очень медленно. Для варианта, когда активным является нижнее тело, получаемая точность несколько больше, чем для случая, когда активным является верхнее тело.
Для сравнения приведем графики перемещений на контактной поверхности в случае, когда выполнено только 3 итерации (е = 10-3). На рис. 3 видно, что между графиками возникает существенный разрыв (максимальное относительное расхождение, вычисленное в C-норме, равно 0, 0433).
0.100 0.010 0.001 10' 1010
п-4
П-5
П-6
0
G1 — master, G2 — slave G1 — slave, G2 — master
20
30
40
50
Рис. 2. Зависимости относительной точности от количества итераций
N
Х2, м
-6
-5. х 10"
-0.000010
-0.000015
-0.00002'
xi, м
Х2 = 0.4 м; Gi Х2 = 0.4 м; G2
Рис. 4. Зависимости перемещения u2(x1), Gi — master, G2 — slave
X2, м
-5
-10
-15
-20
02
xi, м
X2 = 0.4 м; Gi X2 = 0.4 м; G2
Рис. 5. Зависимости нормального напряжения ^2(x1), Gi — master, G2 — slave
Приведенные на рис. 4-6 результаты получены после 109 итераций (е = 5 • 10-6). На рис. 4 представлены два графика распределения перемещений в узлах конечно-элементной сетки двух тел на линии контакта. Графики визуально не отличимы, максимальное относительное расхождение составляет 0,0007. На рис. 5 показано распределение напряжений в узлах. Графики напряжений в узлах визуально совпадают всюду, кроме окрестности угловой точки, где имеются осцилляции. Больше осцилляций не наблюдается. В mortar-методе напряжение в узлах получается путем осреднения значений a2l полученных в каждом конечном элементе, в который входит рассматриваемый узел. В методе Шварца приведенные значения контактных давлений в узлах являются независимыми величинами, которые вычисляются отдельно с помощью специальных процедур.
Х2, м
Х-| , м
центры элементов; Gi центры элементов; G2
Рис. 6. Зависимости нормального напряжения ^(xi), G1 — master, G2 — slave
Приведенные графики демонстрируют, что на контактной границе выполнены и кинематические (6), и силовые (7) условия, что может служить доказательством того, что задача решена корректно. На рис. 6 приведены распределения напряжений в центрах прилегающих к линии контакта элементов. Графики близки друг к другу, но не совпадают, так как относятся к разным сечениям.
Рассмотрим случай несогласованных сеток (hi = 0, 01875, h2 = 0, 01). В этом варианте шаги h1 и h2 отличаются друг от друга почти в два раза. Характер сходимости итерационного процесса решения системы уравнений остается прежним (рис. 2), но различие между графиками по сравнению со случаем согласованных сеток для разных пар master/slave становится заметно больше. Приведенные на рис. 7-10 результаты получены после 108 итераций (е = 10-5) в случае, когда тело G1 является активным, а G2 — пассивным.
На рис. 7 показаны распределения перемещений. Они близки друг к другу, но на графике для нижнего тела появляются небольшие осцилляции (для наглядности этот график отдельно показан на рис. 8).
На графике распределения напряжений в узлах конечных элементов (рис. 9) осцилляции становятся еще более существенными. В то же время на графике распределения напряжений в центрах прилегающих к линии контакта элементов нижнего тела (рис. 10) колебания остаются, но их амплитуда значительно уменьшается.
Х2, м -0.000012
-0.000014
-0.000016
-0.000018
-0.000020
-0.000022
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5
Х1 , м
Х2 = 0.4 м; G1 Х2 = 0.4 м; G2
Рис. 7. Зависимости перемещения u2(xi), G1 — master, G2 — slave
X2, м -0.000012
-0.000014
-0.000016
-0.000018
-0.000020
-0.000022
0 1 0 2 0 3 0 4 0
X1 , м
X2 = 0.4 м; G2
Рис. 8. Зависимость перемещения u2(xi), G1 — master, G2 — slave
X2, м
-5
-20
X1 , м
X2 = 0.4 м; Gi X2 = 0.4 м; G2
Рис. 9. Зависимости нормального напряжения ^2(xi), G1 — master, G2 — slave
Х2, м 0 ■
-5
-10
-15
-20
0 1 0 2 0 3 0 4 0 сл
xi, м
центры элементов; G2
Рис. 10. Зависимости нормального напряжения <J2(x1), G1 — master, G2 — slave
Далее рассмотрим те же шаги сеток h1 = 0, 01875, h2 = 0,01, но в качестве активного (master) выберем нижнее тело G2 (с более мелкой сеткой), а в качестве пассивного (slave) — верхнее тело G1. Приведенные на рис. 11-12 результаты получены после проведения 125 итераций (е = 5 ■ 10-7).
График распределения перемещений в этом случае визуально совпадает с графиком на рис. 4.
Х2, м 0
-5
-10
-15
-20
-25
0 1 0 2 0 3 0 4 0 oi
xi, м
Х2 = 0.4 м; G2
Рис. 11. Зависимости нормального напряжения ст2(ж1), G1 G2 — master
slave,
Графики напряжений в узлах конечных элементов в среднем совпадают, но на нижнем теле сохраняются осцилляции. На рис. 11 отдельно показано распределение
Х2, м 0
-5
-10
-15
-20
-25
0 1 0 2 0 3 0 4 0
xi, м
центры элементов; Gi центры элементов; G2
Рис. 12. Зависимости нормального напряжения ^2(x1), G1 — slave, G2 — master
напряжений для нижнего тела. Осцилляции становятся существенно меньше по сравнению с графиком на рис. 9. В центрах прилегающих к линии элементов колебания почти исчезают (рис. 12).
Таким образом, выбор в качестве активного тела с меньшим шагом сетки приводит к уменьшению амплитуды колебаний в распределениях как перемещений, так и напряжений. Данную закономерность можно трактовать следующим образом: в реализованном варианте mortar-метода вводимые поверхностные элементы, на которых задаются множители Лагранжа, в качестве базовых используют поверхностные элементы пассивного тела, и на них дополнительно проецируются узлы активного тела. Поэтому если в пределах одного элемента контактное давление меняется существенным образом, то проецирование узлов с мелкой сетки на сетку с большим шагом является более устойчивым процессом.
Для обоих вариантов шагов сеток проведены аналогичные расчеты с помощью метода Шварца, но с использованием конечных элементов 1-го порядка. Полученные результаты визуально не отличимы друг от друга, на рис. 13 показаны два распределения перемещений, а на рис. 14 — распределения напряжений в узлах для расчета с несогласованными сетками h1 = 0, 01875, h2 = 0,01. На приведенных графиках осцилляций не наблюдается.
Х2, м
1-6
-5. х 10
-0.000010
-0.000015
-0.000021
xi, м
Х2 = 0.4 м; Gi Х2 = 0.4 м; G2
Рис. 13. Зависимости перемещения u2(xi), метод Шварца
Х2, м
-5
-10
-15
-20
0 2 0 4 0 0
xi, м
Х2 = 0 .4 м; Gi Х2 = 0 .4 м; G2
Рис. 14. Зависимости контактного давления в узлах, метод Шварца
Заключение
В статье представлены результаты реализации алгоритмов решения двумерных контактных задач теории упругости с помощью mortar-метода и метода Шварца. Исследовано влияние выбора активного (master) и пассивного (slave) тел на распределение перемещений и напряжений на линии контакта. Результаты представлены на примере тестовой задачи с различными комбинациями шагов сеток. В случае согласованных сеток колебания рассчитанных распределений и перемещений и напряжений отсутствуют вне зависимости от выбора активного и пассивного тел. Если сетки на линии контакта двух тел являются несогласованными, то выбор в качестве активного (master) тела с более мелкой сеткой приводит к существенному уменьшению осцилляций как перемещений, так и напряжений. При использовании метода Шварца колебания распределений перемещений и напряжений отсутствуют.
Описок литературы
1. Галанин, М. П., Крупкин, А. В., Кузнецов, В. И., Лукин, В. В., Новиков, В. В., Родин, А. С., Станкевич, И. В. Моделирование контактного взаимодействия системы термоупругих тел методом Шварца для многомерного случая // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. — 2016. — № 12. — C. 9-20.
GALANIN, M. P., KRUPKIN A. V., KUZNETSOV V. I., LUKIN V. V., NOVIKOV V. V., RODIN A. S., STANKEVICH I. V. (2016) Modeling of Contact Interaction of a Thermoelastic Body System using Schwarz Method for a Multidimensional Case. Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building. No. 12. p. 9-20.
2. Станкевич, И. В., Яковлев, М. Е., Си Ту Хтет Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. — 2011. — Спец. вып. Прикладная математика. — C. 134-141.
STANKEVICH, I. V., YAKOVLEV, M. E., SI TU KHTET (2011) Development of the algorithm of contact interaction based on the Schwarz alternative method. Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences. spec. iss. Applied Mathematics. p. 134-141.
3. LE TALLEC, P. & SASSI, T. (1995) Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach. Mathematics of Computation. Vol. 64. p. 1367-1396.
4. Галанин, М. П., Глизнуцина, П. В., Лукин, В. В., Родин А. С. Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — 2015. — № 89. — C. 1-27.
GALANIN, M. P., GLIZNUTSINA, P. V., LUKIN, V. V., RODIN, A. S. (2015) Variants of realization of the Lagrange multipliers method for solving two-dimensional contact problems. Preprints of Keldysh Institute of Applied Mathematics. No. 89. p. 1-27.
5. BABUSKA, I. (1973) The finite element method with penalty. Mathematics of Computation. Vol 27. p. 221-228.
6. WRIGGERS, P. (2006) Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag.
7. LAMICHHANE, B. P. (2006) Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Largange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universitat Stuttgart.
8. Зарубин, В. С., Кувыркин, Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. — 512 c.
ZARUBIN, V. S., KUVYRKIN, G. N. (2008) Mathematical models of continuum mechanics and electrodynamics. Moscow: BMSTU Publ..
9. Котович, А. В., Станкевич, И. В. Решение задач теории упругости методом конечных элементов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. — 112 c.
KOTOVICH, A. V., STANKEVICH, I. V. (2012) Solution of the problems of the elasticity theory by the finite element method. Moscow: BMSTU Publ..
10. Розин, Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. — М.: Стройиздат, 1977. — 129 c.
ROZIN, L. A. (1977) The finite element method applied to elastic ,system,s. Moscow: Stroiizdat Publ..
11. Розин, Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1978. — 222 c.
ROZIN, L. A. (1978) Variational formulations of problems for elastic system„s. Leningrad: Leningrad University Publ..
12. Зенкевич, О., Морган, К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ.. — М.: Мир, 1986. — 318 c.
ZENKEVICH, O., MORGAN, K. (1986) Finite elements and approximation: transl. from English. Moscow: Mir Publ..
13. Гуреева, Н. А., Клочков, Ю. В., Николаев, А. П. Применение МКЭ в смешанной формулировке для прочностных расчетов инженерных сооружений АПК // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. — 2009. — № 2. — C. 123-129.
GUREEVA, N. A., KLOCHKOV, YU. V., NIKOLAEV, A. P. (2009) Application of FEM in a mixed formulation for strength calculations of engineering structures of the agroindustrial complex. Proceedings of Nizhnevolzhskiy agrouniversity complex: science and higher vocational education. No. 2. p. 123-129.
14. WOHLMUTH, B. I. (2000) A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier. SIAM Journal on Numerical Analysis. Vol. 38 (No. 3). p. 989-1012.
15. Станкевич, И. В., Аронов, П. С. Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью mortar-метода // Математика и математическое моделирование. — 2018. — № 3. — C. 26-44.
Stankevich, I. V., Aronov, P. S. (2018) Mathematical Modeling Mortar-method of Contact Interaction between Two Elastic Bodies. Mathematics and Mathematical Modeling. (No. 3). p. 26-44.
16. Быченков, Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. — М.: БИНОМ, 2010. — 349 c.
BYCHENKOV, YU. V., CHIZHONKOV, E. V. (2010) Iterative methods for solving saddle problems. Moscow: BINOM.
17. Цвик, Л. Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел // Прикладная механика. — 1980. — Т. 16. № 1. — C. 13-18. CVICK, L. B. (1980) The principle of alternation in problems of conjugation and contact of solid deformable bodies. Apllied Mechanics. Vol. 16, No. 1. p. 13-18.
18. Галанин, М. П., Глизнуцина П. В., Лукин В. В., Родин А. С. Исследование сходимости метода Шварца при решении плоской контактной задачи. — М.: РАН, 2017. — 40 c.
GALANIN, M. P., GLIZNUTSINA, P. V., LUKIN, V. V., RODIN, A. S. (2017) Investigation of the convergence of the Schwartz method for solving a flat contact problem. Moscow: RAS.
