Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью mortar-метода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика к Математическое

моделирование

( ет с

И (Гр: I Агга| Ьте I риЬ. г и

мое издашь

!55М 2412-5911

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. 2018. № 03. С. 26-44

Б01: 10.24108/шаШш.0318.0000112

Представлена в редакцию: 23.05.2018

© НП «НЕИКОН»

УДК 519.711.2

Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью шог1аг-метода

Станкевич И.В. , Аронов П.С.

1,*

агопсл'р &@таД-ги 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В статье рассмотрен алгоритм решения контактных задач теории упругости, основанный на классической формулировке метода конечных элементов и использовании тоАаг-метода для стыковки несогласованных сеток, что позволяет обеспечить непрерывность решения на линии контакта. Подробно обсуждается численное решение возникающей при дискретизации задачи системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой с помощью модифицированного метода симметричной последовательной верхней релаксации. Эффективность алгоритма демонстрируется на нескольких тестовых контактных задачах.

Ключевые слова: контактная задача теории упругости; метод конечных элементов; тойаг-метод; метод верхней релаксации

Введение

Расчет прочности и надежности различных ответственных элементов конструкций, функциональных узлов оборудования является обязательным этапом проектирования. Многие из этих элементов имеют выраженный контакт в пределах некоторой поверхности. Данные о напряженно-деформированном состоянии таких элементов и узлов можно получить, используя современный аппарат математического моделирования.

Лишь для сравнительно малого количество контактных задач теории упругости получены аналитические решения, поэтому наиболее перспективным способом исследования контактного взаимодействия тел являются численные методы. Ведущее место среди численных методов, используемых для решения контактных задач, занимает метод конечных элементов.

При контактном взаимодействии нескольких тел зачастую отсутствует возможность использовать согласованные сетки. Необходимость использования несогласованных сеток возникает, например, при расчетах, в которых используется метод декомпозиции областей, а также при построении локально сгущающихся сеток. Стыковку несогласованных конечных элементов на линиях контакта можно осуществлять с помощью итерационных

процедур, обеспечивающих непрерывность приближенного решения или нормальных компонент его производных и формирующих так называемые альтернирующие методы Шварца (см., например, [1, 2]). Также возможно использование прямых процедур, использующих метод множителей Лагранжа [3, 4], метода штрафа [5] и шоЛаг-метода [6-8].

В данной работе построен алгоритм реализации стыковки несогласованных сеток при решении контактных задач теории упругости с помощью mortar-метода. Среди его основных преимуществ можно отметить возможность независимого выбора различных типов конечных элементов и функций форм как на обеих границах двух тел на линии контакта, так и при интегрировании вдоль нее [6]. Важной составной частью алгоритма является процедура численного решения получаемой при минимизации функционала Лагран-жа системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой. Некоторые подходы к решению подобных систем описаны в работах [9, 10]. Результаты работы построенного алгоритма продемонстрированы на трех тестовых примерах.

1. Математическая постановка задачи

Рассмотрим в двумерном пространстве группу тел, занимающих область

С = и

( а — индекс, обозначающий номер тела) с кусочно-гладкой границей д С.

При решении контактной задачи на поверхностях контакта тел дополнительно должны быть выполнены условия контактного взаимодействия по перемещениям и напряжениям. Для построения алгоритма достаточно ограничиться случаем двух тел с одной парой контактных поверхностей. Рассмотрим два упругих контактирующих тела, занимающих в пространстве области и , ограниченных кусочно-гладкими границами и .

Математическая формулировка контактной задачи теории упругости включает в себя следующие соотношения [11] для каждого тела Са с!2, участвующего в контакте, (рис. 1):

• уравнения равновесия

(1)

• кинематические граничные условия

и(х) \52 = и0(х), ХЕБ^С два) (2)

• силовые граничные условия

°]Ч(и)^\51 = д 1(х), / ,] = 1,2, хЕБ^с дв а) (3)

• соотношения Коши

Ец(х) = \(ии(х) + ии 1(х)), / ,) = 1,2, х Е ва) (4)

• определяющие уравнения (закон Гука)

оц^ = Ст 1 ( Ек^ - е^Ю), / ,) = 1,2, х Е ва) (5)

Рис. 1. Схема контактного взаимодействия двух тел

• кинематическое контактное условие

ип(х) = ип(х), х е $ к' (6)

• силовое контактное условие

а^(х) = оП(х) < 0, х е 5к, (7)

где хI — координаты вектора х е <Оу — компоненты тензора напряжений; £кI — компоненты тензора деформации; — компоненты тензора начальной деформации; и £ — компоненты вектора перемещения; Сущ — компоненты тензора упругих постоянных; р ¿(х) — компоненты вектора объемных сил; д £ ( х) — компоненты вектора поверхностных сил; Пу — компоненты вектора внешней нормали к соответствующей поверхности Б ¿;

— проекции векторов перемещений граничных точек на направление внешней нормали к границе тела ; — проекции векторов напряжений на направления внешних нормалей п £.

Векторы напряжений а и перемещений и записываются следующим образом:

Уравнения (1)-(7) в матричном виде относительно неизвестных компонентов векторов а, и имеют вид:

'Ата(х) + р(х) = 0, х е ва, Аи(х) — .0_1<7(Х) = 0, л: £ А^а^х) = ¿/(я), л: £ 5Х с и(х) = и0(х), х £ 52 с: Щг (X)

С*), * е 5Л,

У(Тп(х) = 0"п(Х) * е $к>

где — матрица податливости для изотропного тела [12], обратная матрице Гука ; А — матричный оператор дифференцирования:

А =

0 7-

дх2 дхл)

\дх?

(10)

¿45 — матрица направляющих косинусов внешней нормали п к поверхности S„ [13]:

(11)

А? =

соб^.Х^) 0

0 СОБ(п,х2) ). ^СОБ (п,х2) С05(п,х1)/

Решение задачи (9) эквивалентно [14] минимизации функционала

П = ^с ете & С -¡ситрА С- /5 2 итд ¿Б + ^ А (и2 (х) - и* (х)) ¿Б (12)

при выполнении кинематических граничных условий (2), где ; ;

— вектор множителей Лагранжа, состоящий из проекций векторов напряжений на направления внешних нормалей.

2. Основные матричные соотношения метода конечных элементов

Для численного решения поставленной задачи использован метод конечных элементов. Рассмотрим квадратичный четырехугольный элемент (рис. 2), функции формы которого (записанные в локальной системе координат) выглядят так [15]:

Л^-±(1-0(1-77)^ + 77 + 1),

Ке)

JV4(e)=±( 1-772)(1 + 0,

Ке)

(13)

iV6Ce)=i(l-n(l + i7).

где e — идентификатор (номер) конечного элемента; — 1 < ^ <1; — 1 < f] < 1.

Компоненты Up вектора перемещения и внутри конечного элемента с номером e определяются с помощью зависимости

\и

и

Щ

где

[Щ^ =

N.

(е)

О N.

Ле)

(е)

О

О Л^ О N.

(е)

N

(е)

N

(е)

(15)

Рис. 2. Восьмиузловой конечный элемент в локальной системе координат

а {и} (е) — объединенный вектор компонент во всех узлах конечного элемента с номером :

{и}^ =

\и

{.и

(е) 2 \

\и

III

(е> (е)

2

(16)

Ке)]

Соотношения между деформациями и перемещениями в двумерном случае записываются так [16]:

{£} (е) = [5 ] (е){и} (е) , (17)

где матрица градиентов конечного элемента [5 ] ( е) выглядит следующим образом [15]:

[5 ] (е) = [АЛ^ А^2(е) . . . А ]У8(е) ] , (18)

Напряжения выражаются через деформации с помощью закона Гука:

{о} (е) = Ш (е){г} (е) , (19)

или с учетом (17)

{о} (е) = Ш (е) [5 ] (е) {и}(е). (20)

Подставляя в (12) выражения (14), (17) и (20) и суммируя по всем конечным элементам, получим развернутое выражение для потенциальной энергии:

1 V"1

....................................... +

е=1 С1

е=1 2

кг к2

-У[ас](е)Т [ {и}^Т№ -У[ас]^Т I {и}^Т{р2}^ АС-

е=1 С1 е=1 С2

е=1 "1 е=1

4

где [ас] се), [а5] се), [а5/с] — матрицы геометрических связей конечного элемента е; к 1 и к 2 — общее число конечных элементов, на которые разбиты тела С ! и С2 соответственно.

Выражение (21) перепишем так:

(22)

Рассмотрим последовательно слагаемые, входящие в правую часть выражения (22), вычислим производные по векторам узловых перемещений и введем в рассмотрение следующие матрицы и векторы:

щ = 2Ь 1 [ а с]се) 7 (/С1 [5 ] се) 7 [^ ] « [5 ] се) с! С ) [ас]се){и} (е) = И 1 1] {и} сЧ (23)

^ = 2 % 1 [ас] се) 7 ( /С2 [5 ] се) 7 [Я2се)] [5 ] се) (IV ) [ас] Се) {и Се) } = [Л 22 ] {и Се) }, (24)

Ц = {Й 1 1} = 2 Ь 1 [ ас] се) 7 ( /с [т] се) 7 ] се) с! V) , (25)

Ц = {Й 12 } = 2 % 1 [ас] се)7 (4 тсе) 7 [Р2 ] се) с! V ), (26)

^ = {Й2 1} = 2 Ь 1 М се) 7 ( 4 [т се) 7 [д? ) ] С5) , (27)

^ = { Й 2 2 } = 2 % 1 [ а5] се)7 ( 4 [т] се)7 [д?) ] с!5) , (28)

где — локальные матрицы упругости конечного элемента; и — ло-

кальные векторы объемных и поверхностных сил соответственно.

3. Применение шог1аг-метода для решения контактных задач

Mortar-метод решения контактных задач теории упругости основан на независимой конечно-элементной дискретизации непересекающихся подобластей. Сетки этих подобластей являются несогласованными на линии контакта, а непрерывность решения достигается за счет использования множителей Лагранжа [17].

Назовем тело Gг активным (master), тело G2 пассивным (slave) и введем обозначения Gm = G ь G s = G2. Рассмотрим квадратичные одномерные конечные элементы на линиях контакта Гт и Ts (рис. 3). Из узлов этих конечных элементов на линии контакта Гт опускаются нормали. В дальнейшем интегрирование ведется по образованным при пересечении проведенных нормалей с линией контакта конечным элементам.

Введем функции формы одномерных квадратичных конечных элементов с идентификаторами е^т\ е^ и e(m-s), записанные в локальной системе координат:

N.

(e)(m) _ 1

2

V"3

= 1-f2.

4WW=i »(»"I).

+1).

N.

(e)(s) _ 1

-f](f] + 1),

Jv3(e)(s) = 1-772.

iV.

(e)(m"s) _ 1

2

V"3

iv^(m-s) = 1 -

(29)

Рис. 3. Различные виды конечных элементов на линии контакта

Рассмотрим следующий интеграл [6]:

/г АТ (ит - и5) с! у = ££™ /„ АТи т с!у - £Й 1 /г АТи5 с! 7, (30)

1 1 ГП( 'Я;

где Г = Гт и Г5, к5 и кт — общее число конечных элементов, на которые разбиты линии контакта Гт и Г5 соответственно, векторы ит и и5 состоят из нормальных компонентов векторов перемещений узлов конечного элемента на линиях контакта Гт и Г5, а вектор А состоит из множителей Лагранжа, соответствующих проекциям векторов напряжений на направления внешних нормалей на линии контакта Г5. Внутри конечного элемента с номером ( е ) значения Я, щ и щт выражаются следующим образом:

Я =

щ = [лу<е>{«ЛСе),

(31)

(32)

(33)

где

г№е\

{!}(*) = {

{и

(е)}

52 )1

= ¡¡'„.У" = •!

А

=

Ке)(5) ]уСе)(5)

(34)

(35)

(36)

[лу(е) = = [я<в>(в) Я2

Тогда интегралы в формуле (30) можно переписать так:

2 £= ЛгЛЯ}(е)Т Ш(е)Т (е){щЛ (е) с! 7 = 21 (Я) (е )Т ( /Гв(№(е) т (е ) с! 7){щ} (е ) , (37)

2 & /гтш (е)Т т (е)Т [ад (е){щт) (е) с!7 = 2 & {я} (е) Т ( /Гт; т (е ) Т [ад (е) сС7 ) ы (е)- (38)

Используя выражения (37)—(38), введем в рассмотрение аналогично (23)—(24) следующие матрицы:

[а 1 3] = 2 ^ 1 [4е) ] Т (/Гв т (е)Т (е) с7) [4е) ] , (39)

[А2 3 ] = 2 [4е) ] Т ( /Гт т (е)Т [ад (е) ¿7 ) [4е) ] . (40)

Используя выражения (23)-(28) и (39)-(40), запишем систему линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

Ч1 О А13

о л22 а23

(41)

где , , вектор состоит из множителей Лагранжа на линии

контакта , векторы , состоят из компонент векторов перемещений конечных элементов тел и соответственно и записываются следующим образом:

иг

( ¡и1\ ^ ( ¡и1\ 1и2)1

Г1 \и2)2 \и2)2

Н ", Щ = ' н Ы2)3

Н Н

п 1 J Н 1 ык2 J

1 =

' {Я}х (Я}2 (Я)з

- Шь

(42)

4. Алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений

Блочные системы линейных алгебраических уравнений с нулевым блоком на главной диагонали будем называть системами с седловой точкой. Такие системы возникают при поиске стационарной точки некоторых функционалов (например, функционала Рейс-снера, см. [9, 10]). Плохая обусловленность подобных систем не позволяет использовать прямые численные методы решения, а наличие вырожденного диагонального блока на главной диагонали делает невозможным использование классических итерационных методов (например, релаксационных). Поэтому для решения системы (41) будем использовать модифицированный метод симметричной последовательной верхней релаксации [18]:

- м^ + Аг1и\ + А13Ак = иТ~2 - ик) + А22и\ + А23Ак = Я2,

а "'1/С + 1 _ _,_ ЛТ „,к+2 _,_ л т „к+2 _

2т 4

Ак)+А\Зих 2 + А23и2

О,

(43)

,к+1 11

-Лц | и;1' - и

'-А

22

и

к+1

к+-

+ А11и1 2 + А13Ак+1 =

к+

+ А22щ 2 + А23Ак+1 = Я2,

где к — номер итерации; а и т — итерационные параметры; В — матрица-предобуслав-ливатель. Ее выбор приводит к различным условиям сходимости метода. Например, для единичной матрицы достаточные условия сходимости получены в работах [16, 19]. В данной статье в качестве предобуславливателя выбрана следующая матрица:

/—0 0

п

В =АТ

13

1ц о

^ о

а 22

\

о о

о

а(п-1)(п-1)

о

1

апп

А

13'

(44)

/

Необходимые и достаточные условия сходимости модифицированного метода симметричной последовательной верхней релаксации в зависимости от выбора матрицы были получены в работах [20, 21].

Перед первой итерацией необходимо задать начальное (нулевое) значение вектору множителей Лагранжа А, а затем вычислить глобальный вектор перемещений и^ из первого уравнения (41):

Л ! ,и 1 = й (45)

Применение схемы (44) требует на каждой итерации решения пяти систем линейных алгебраических уравнений относительно глобальных векторов перемещений и и вектора множителей Лагранжа :

( к+-

ЛцДМ1 2 = т(Й! - - А13Лк);

к+-

А22Аи2 2 = т(Д2 - Л22и£ - Лгз^); < ВААк+1=^{А1зи1 2 + А23и2 2 );

ЛцДи^1 = т ^ - АцЩ*1 - А13Хк+^ ;

Л22Ди*+1 = т (я2 - А22и2+2 - А23Лк+1^,

11 1 где Ди?+2 = и? +2 - и ?; Ди?+1 = и?+1 - и? +2; А1+1 = А* + ДА1+1 .

5. Результаты численного моделирования

Для демонстрации эффективности работы алгоритма рассмотрим серию тестовых контактных задач по вычислению напряженно-деформированного состояния упругих тел. К ним приложены различные нагрузки с целью выяснить, достигается ли при использовании mortar-метода непрерывность решения на линии контакта.

Тестовая задача 1. В качестве первой тестовой рассмотрим следующую задачу: две двумерные пластины шарнирно закреплены и нагружены так, как показано на рис. 4, а. В этой и последующей тестовых задачах обе пластины выполнены из одинакового материала с модулем упругости и коэффициентом Пуассона , МПа.

Рис. 4. Тестовая задача 1: а — расчетная схема; б — деформированная конечно-элементная сетка

б

а

Для численного решения этой и последующих тестовых задач будем использовать несогласованную конечно-элементную сетку (рис. 4, б), состоящую из 85 восьмиузловых элементов, верхнее тело разбито на 49 элементов, нижнее — на 36 элементов. На рис. 4, а и б представлены распределения перемещений и 1 ( л) и и2( л) .

б

а

Рис. 5. Распределения перемещений в тестовой задаче 1: а — и 1 (л) ; б — и 2 (л)

Распределения перемещений, как и следовало ожидать, носят равномерный характер и линейны в направлениях х 1 и х2. Во всех узлах сетки напряжение <г2 равно 100 МПа, а <1 = Т12 = 0.

Тестовая задача 2. Формулировка второй тестовой задачи аналогична первой за исключением того, что равномерно распределенное напряжение приложено лишь на левой половине поверхности 53 (рис. 6).

а б

Рис. 6. Тестовая задача № 2: а — расчетная схема; б — деформированная конечно-элементная сетка

На рис. 7, а и б представлены распределения перемещений и 1 ( л) и и2( л) .

Рис. 7. Распределения перемещений в тестовой задаче 2: а — и 1 (л) ; б — и 2 (л)

На рис. 8, а и б представлены распределения напряжений <г1( л) и <г2( л) .

Рис. 8. Распределения напряжений в тестовой задаче 2: а — ст1 (л) ; б — <г2 (л)

Тестовая задача 3. Формулировка третьей тестовой задачи аналогична второй за исключением того, что в каждом узле, принадлежащем поверхности , в направлении задано начальное перемещение и0 1 = 7 • 1 0 _ 5 м (рис. 9).

б

а

б

а

Рис. 9. Тестовая задача 3: а — расчетная схема; б — деформированная конечно-элементная сетка

На рис. 10, а и б представлены распределения перемещений и 1( л) и и2( л) .

а б

Рис. 10. Распределения перемещений в тестовой задаче 3: а — и 1 (л) ; б — и 2 (л)

На рис. 11, а и б представлены распределения напряжений о^ ( л) и <2( л) .

б

а

Jfj.H Jtji.M

Рис. 11. Распределения напряжений в тестовой задаче 3: а — о^ (х) ; б — сг2 (х)

Рассмотренные примеры демонстрируют, что при различных видах нагрузки (в том числе, при совместном приложении напряжений и перемещений в узлах контактирующих тел) вблизи линии контакта обеспечивается непрерывность решения.

Заключение

В статье разработан алгоритм решения двумерных контактных задач теории упругости с помощью mortar-метода, позволяющего обеспечить непрерывность решения на линии контакта при использовании несогласованных сеток. Совокупное применение классической формулировки метода конечных элементов на основе функционала Лагранжа и mortar-метода приводит к формированию системы линейных алгебраических уравнений с седловой точкой, которая решается численно с помощью модифицированного метода симметричной последовательной верхней релаксации. Выполнено численное моделирование нескольких тестовых двумерных контактных задач теории упругости с использованием полученного алгоритма, которое демонстрирует результаты применения mortar-метода для стыковки сеток.

Список литературы

1. Галанин М.П., Крупкин А.В., Кузнецов В.И., Лукин В.В., Новиков В.В., Родин А.С., Станкевич И.В. Моделирование контактного взаимодействия системы термоупругих тел методом Шварца для многомерного случая // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2016. № 12. С. 9-20.

2. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им.

Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Спец. вып. Прикладная математика. С. 134-141.

3. Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach // Mathematics of Computation. 1995. Vol. 64. Pp. 1367-1396. DOI: 10.1090/S0025-5718-1995-1308457-5

4. Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Лукин В.В., Родин А.С. Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2015. № 89. 27 с.

5. Babuska I. The finite element method with penalty // Mathematics of Computation. 1973. Vol. 27. Pp. 221-228.

6. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag, 2006. 520 p. DOI: 10.1007/978-3-540-32609-0

7. Lamichhane B.P. Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Lagrange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universität Stuttgart. 2006. 190 p.

8. Healey M. The Mortar Boundary Element Method. London: Brunel University, 2010. 160 p.

9. Аронов П.С. Численное решение задач теории упругости методом конечных элементов // Политехнический молодежный журнал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. №6. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-6-106

10. Аронов П.С. Численное решение контактной задачи теории упругости с односторонними связями с помощью смешанной схемы метода конечных элементов // Политехнический молодежный журнал. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. №10.

DOI: 10.18698/2541-8009-2017-10-175

11. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

12. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теории упругости методом конечных элементов: учеб. пособие. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 112 с.

13. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Строй-издат, 1977. 129 с.

14. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1978. 222 с.

15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с. [Zenkevich O., Morgan K. Finite elements and approximation. John Wiley & Sons, 1983. 352 p.]

16. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Применение МКЭ в смешанной формулировке для прочностных расчетов инженерных сооружений АПК // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. 2009. № 2. С. 123-129.

17. Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38, no. 3. Pp. 989-1012.

DOI: 10.1137/S0036142999350929

18. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ, 2010. 349 с.

19. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ: пер. с англ. М.: Мир, 1981. 408 с. [Temam R. Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. AMS Chelsea Publishing, 1977. 426 p.]

20. Чижонков Е.В. К сходимости метода искусственной сжимаемости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 1996. № 2. С. 13-20.

21. Чижонков Е.В. О сходимости модифицированного метода SSOR для алгебраической системы типа Стокса // В сб.: Численный анализ: методы и программы. М.: Изд-во Московского ун-та, 1998. С. 83-91.

Mathematics I Mathematical Modelling

Electronic burnul

lirrp/Arralhme I pLib.ru

ISSN 2412-591 i

Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 03, pp. 26-44.

DOI: 10.24108/mathm.0318.0000112

Received: 23.05.2018

© NP "NEICON"

Mathematical Modeling Mortar-method of Contact Interaction between Two Elastic Bodies

I.V. Stankevich1, P.S. Aronov1* aroncK'p [email protected]

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: contact problem of the elasticity theory; finite element method; mortar-method;

successive over-relaxation method

The article discusses an algorithm development to solve an elastic contact problem. Solving such problems is often associated with necessity to use mismatched grids. Their joining can be carried out both by the iterative procedures that form the so-called Schwarz alternating methods, and by the Lagrange multipliers method or the penalty method. The article proposes the algorithm that uses a mortar-method for matching the finite elements on the contact line. All these methods of joining the grids provide ensuring continuity of displacements and stresses near the contact line. However, one of the main mortar-method advantages is that it is possible to have an independent choice of different types of finite elements and functions of forms both on both boundaries of two bodies on the contact line, and when integrating along it. The application of this method in conjunction with the classical formulation of the finite element method based on the minimization of the Lagrange functional, leads to a system of linear algebraic equations with a saddle point. The article discusses in detail its numerical solution based on the modified method of symmetric successive upper relaxation.

Three test contact problems demonstrate the results of the algorithm constructed. They analyse the stress-strain state of differently loaded contacting two-dimensional plates. The examples considered show that near the contact line a continuity of distribution of displacements and stresses is retained. A versatility of the developed algorithm leaves the possibility to use different types of finite elements and form functions to conduct further analysis of the mortar-method effectiveness.

References

1. Galanin M.P., Krupkin A.V., Kuznetsov V.I., Lukin V.V., Novikov V.V., Rodin A.S., Stankevich I.V. Modelirovanie kontaktnogo vzaimodeistviya sistemy termouprugikh tel metodom Shvartsa dlya mnogomernogo sluchaya [Modeling of Contact Interaction of a Thermoelastic Body System using Schwartz Method for a Multidimensional Case]. Izvestiya

vysshikh uchebnykh zavedenii. Mashinostroenie [Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building], 2016, no. 12, pp. 9-20. DOI: 10.18698/0536-1044-2016-12-9-20 (in Russian)

2. Stankevich I.V., Yakovlev M.E., Si Tu Khtet. Razrabotka algoritma kontaktnogo vzai-modeistviya na osnove al'terniruyushchego metoda Shvartsa [Development of the algorithm of contact interaction based on the Schwarz alternative method]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences], 2011, spec. iss. Prikladnaya matematika [Applied Mathematics], pp. 134-141. (in Russian)

3. Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach. Mathematics of Computation, 1995, vol. 64, pp. 1367-1396. DOI: 10.1090/S0025-5718-1995-1308457-5

4. Galanin M.P., Gliznutsina P.V., Lukin V.V., Rodin A.S. Varianty realizatsii metoda mnozhitelei Lagranzha dlya resheniya dvumernykh kontaktnykh zadach [Variants of realization of the Lagrange multipliers method for solving two-dimensional contact problems]. Preprints of Keldysh Institute of Applied Mathematics, 2015, no. 89. 27 p. (in Russian)

5. Babuska I. The finite element method with penalty. Mathematics of Computation, 1973, vol. 27, pp. 221-228.

6. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Berlin-Heidelberg: Speinger-Verlag, 2006. 520 p. DOI: 10.1007/978-3-540-32609-0

7. Lamichhane B.P. Higher Order Mortar Finite Elements with Dual Lagrange Multiplier Spaces and Applications. Stuttgart: Universität Stuttgart, 2006. 190 p.

8. Healey M. The Mortar Boundary Element Method. London: Brunel University. 2010. 160 p.

9. Aronov P.S. Chislennoe reshenie zadach teorii uprugosti metodom konechnykh elementov [Numerical solution of the problems of the theory of elasticity by the finite element method]. Politekhnicheskii molodezhnyi zhurnalMGTU im. N.E. Baumana [Polytechnic student journal of BMSTU], 2017, №6. DOI: 10.18698/2541-8009-2017-6-106 (in Russian)

10. Aronov P.S. Chislennoe reshenie kontaktnoi zadachi teorii uprugosti s odnostoronnimi svyazyami s pomoshch'yu smeshannoi skhemy metoda konechnykh elementov [Computational solution of the elasticity theory contact problem with the unilateral constraints by means of the finite elements method mixed network]. Politekhnicheskii molodezhnyi zhurnal MGTU im. N.E. Baumana [Polytechnic student journal of BMSTU], 2017, №10.

DOI: 10.18698/2541-8009-2017-10-175 (in Russian)

11. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [Mathematical models of continuum mechanics and electrodynamics]. Moscow: BMSTU Publ., 2008. 512 p. (in Russian)

12. Kotovich A.V., Stankevich I.V. Reshenie zadach teorii uprugosti metodom konechnykh elementov [Solution of the problems of the elasticity theory by the finite element method]. Moscow: BMSTU Publ., 2012. 112 p. (in Russian)

13. Rozin L.A. Metod konechnykh elementov v primenenii k uprugim sistemam [The finite element method applied to elastic systems]. Moscow: Stroiizdat Publ.,, 1977. 129 p. (in Russian)

14. Rozin L.A. Variatsionnye postanovki zadach dlya uprugikh sistem [Variational formulations of problems for elastic systems]. Leningrad: Leningrad University Publ., 1978. 222 p. (in Russian)

15. Zenkevich O., Morgan K. Finite elements and approximation. John Wiley & Sons, 1983. 352 p.

16. Gureeva N.A., Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P. Primenenie MKE v smeshannoi formulirovke dlya prochnostnykh raschetov inzhenernykh sooruzhenii APK [Application of MCE in a mixed formulation for strength calculations of engineering structures of the agroindustrial complex], Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie [Proceedings of Nizhnevolzhskiy agrouniversity complex: science and higher vocational education], 2009, № 2, pp. 123-129. (in Russian)

17. Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier. SIAM Journal on Numerical Analysis, 2000, vol. 38, no. 3, pp. 989-1012.

DOI: 10.1137/S0036142999350929

18. Bychenkov Yu.V., Chizhonkov E.V. Iteratsionnye metody resheniya sedlovykh zadach [Iterative methods for solving saddle problems]. Moscow: BINOM, 2010. 349 p. (in Russian)

19. Temam R. Navier - Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. AMS Chelsea Publishing, 1977. 426 p.

20. Chizhonkov E.V. K skhodimosti metoda iskusstvennoi szhimaemosti [On convergence of artificial compressibility method]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika [Moscow University Bulletin. Ser. 1 Mathematics. Mechanics], 1996, no. 2, pp. 13-20. (in Russian)

21. Chizhonkov E.V. O skhodimosti modifitsirovannogo metoda SSOR dlya algebraicheskoi sistemy tipa Stoksa [On the convergence of the modified SSOR method for an algebraic system of the Stokes type]. In: Chislennyi analiz: metody i programmy [Numerical analysis: methods and programs]. Moscow: Moscow University Publ., 1998. Pp. 83-91.