CC BY
49
Научный руководитель: Е.В. Бунтова Доцент кафедры высшей математики, к.пед.н, доцент, Самарский государственный экономический университет
Supervisor: E. V. Buntova
Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, Candidate of Pedagogical Sciences,
Associate Professor, Samara State University of Economics Е. С. Копылова, Д. С. Николаева Студенты, Самарский государственный экономический университет
E.S. Kopilova, D.S. Nikolaeva
Students of Samara State University of Economics (kopylowa.elizaveta@yandex.ru 89277342524)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЁРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ
Аннотация. В статье рассматривается возможность снижения логистических затрат на транспортировку продукции посредством поиска наиболее выгодного пути перемещения. Это обуславливает необходимость решения задачи коммивояжера (посредника). Различные части алгоритма были рассмотрены и усовершенствованы рядом исследователей. Однако полный современный вариант решения задачи представлен ранее не был. С учетом данного обстоятельства приведено усовершенствованное алгоритмическое отображение метода и его применение. Полученные в ходе экспериментов результаты показали, что с помощью метода ветвей и границ поиск решений осуществляется качественно и эффективно.
Annotation. The article discusses the possibility of reducing the logistics costs of transportation of products by finding the most profitable way to move. This leads to the necessity of solving the travelling salesman problem (an intermediary). Various parts of the algorithm have been reviewed and improved by a number of researchers. However, the full modern version of the solution of the problem has not been presented before. Taking into account this circumstance, the improved algorithmic display of the method and its application are given. The results obtained in the course of experiments showed that the branch and boundary method is used to find solutions efficiently and effectively. Ключевые слова: проблема коммивояжера, метод ветвей и границ, путь Гамильтона, цикл Гамильтона. Key words: the problem of a salesman, a method of branches and borders, path Hamilton, cycle Hamilton.
В жизни современных предприятий самого разного рода существенное место занимают транспортные потоки. Для осуществления своевременной доставки товара потребителям в кратчайшие сроки руководство компании занимается решением задачи кольцевого маршрута, иначе задачи коммивояжера.
Эта задача является упрощенной моделью для многих других задач дискретной оптимизации. В области оптимизации дискретных задач задача коммивояжёра служит катализатором, стимулирующим разработку наиболее эффективных методов, алгоритмов и способов их машинной реализации.
Целый ряд практических задач в области логистики сводится к классической задаче коммивояжера. Обилие эвристических методов её решения не означает отказа от возможности получения точных решений этой задачи. Классический алгоритм, реализующий метод ветвей и границ для решения задачи коммивояжёра, предложенный в 1963 году Дж. Литтлом [1], К. Мурти [2], Д. Суини [3] и К. Кэролом [4] и в настоящее время остаётся востребованным алгоритмом точного решения задачи нахождения гамильтонового цикла минимальной стоимости в полном взвешенном графе. Не смотря на достаточно детальное описание алгоритма в различных источниках, некоторым моментам не уделяется должного внимания.
Формулировка задачи следующая: курьер должен пройти через несколько городов и вернуться к отправной точке своего путешествия, что делает возможным нахождение кратчайшего пути, который в свою очередь обеспечит наибольший поток информации, наибольшую полезность и т.д.
По своей природе задача коммивояжёра относится к категории NP-полных проблем, т.е. не имеет алгоритма, который обеспечил бы решение проблемы в терминах полиномиального времени.
Цель исследования - проиллюстрировать алгоритма современного метода ветвей и границ и его применение при расчете возможных путей доставки продукции компании Coca-Cola курьером по фактическим адресам России.
Применение математических методов в решении проблемы коммивояжера предполагает использование теории графов.
Определение 1.1. Граф, или ориентированный граф G — это упорядоченная пара G = (V,R), где V — это непустое множество вершин или узлов, а R — множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.
Определение 1.2. Гамильтонов цикл в графе GG - это путь (цикл), который содержит все вершины графа. Граф называется графом Гамильтона в том случае, если он содержит цикл Гамильтона.
Определение 1.3. Гамильтонов путь - простой путь (путь без петель), проходящий через каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь отличается от цикла тем, что у пути начальные и конечные точки могут не совпадать, в отличие от цикла.
Определение 1.4. Взвешенным графом называют такой граф, в котором каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число , называемое весом ребра [5].
Согласно вышеприведенным определениям делается вывод, что решение проблемы коммивояжёра эквивалентно поиску цикла Гамильтона с наименьшим весом в матрице.
Таким образом, задача коммивояжёра рассматривается в виде задачи бинарного линейного программирования.
Целевая функция имеет вид:
т п
р = ^ ^ ^ ШШ, (1)
1=1 ]=1
I
¿=1
п
Хи = 1;У = 1,...,П, (2)
., т, (3)
= { о.1
— ь —
7 = 1 _ _
Ху > 0 {[ = 1, т;;' = 1, п]. (4) где - расстояние между городами i и у, а х^ обозначает двоичные переменные. Двоичные переменные обозначаются следующим образом:
1, если коммивояжёр переправляется из города i в город ], 0, если коммивояжёр не переправляется из города I в город у.
Поскольку переменные х^ могут принимать только значение 0 или 1, эта проблема имеет конечное число решений.
Математическая формулировка задачи: найти переменные {[ = 1,т; у = 1,п], удовлетворяющие системе ограничений (2), (3), условиям неотрицательности (4) и обеспечивающие минимум целевой функции (1).
Метод ветвей и границ основан на идее о том, что множества делятся на два непересекающихся подмножества на каждом шаге процесса - ветвления. Кроме того, одно подмножество содержит путь между двумя выбранными городами, а другой подмножество - нет. Для каждого из этих подмножеств нижнее ограничение рассчитывается по продолжительности или по командировочным расходам. Наконец, исключается подмножество, которое превышает оценочную нижнюю границу.
Процедура ветвления представлена деревом, где вершина отмечена точками ветвления множества решений, а ребра отмечают путь между двумя смежными вершинами графа, которые используются для моделирования проблемы, и внутри которой кратчайший цикл Гамильтона [6].
Шаги алгоритма для проблемы командирующего коммивояжера с использованием метода ветвей и границ следующие:
Шаг 1: Составление таблицы.
Представлена таблица расстояния между заданными вершинами. Расстояние между вершинами i и у отмечено dij. Если две вершины не смежны, они отмечены значком = = ет. Также = = ет знак вводится для обозначения и предотвращения выбора пути который уже был использован.
Шаг 2: Редукция (уменьшение) таблицы.
Из каждой строки вычитается её наименьший элемент, в результате приводит к образованию в каждой строке одного или более нулей. Затем из каждого столбца вычитается его наименьший элемент. Это преобразование основано на том факте, что при вычитании константы из любого столбца или строки в матрице стоимость оптимального маршрута уменьшается на величину этой константы, а маршрут остается тем же. Сумма всех вычтенных при этом величин и будет оценкой снизу для всех вариантов маршрута, построенных из данной матрице.
В каждой строке таблицы располагается самый маленький элемент и помечен как ^:
^ = тт7-йу,у = 1, ...,п.
Наименьшие элементы в столбцах рассчитываются формулой:
с, = тт^у - = тт(^0 - .
Редукция таблицы проводится в соответствии с формулой:
А/ = ¿ч -й1- сг
Шаг 3: Расчет нижней границы.
Вычисление нижней границы продолжительности путешествия имеет вид:
ь=
Шаг 4: Ветвление.
Далее производится выбор некоторого ребра графа, при котором все возможные варианты маршрута делятся на две группы: те, которые включают выбранное ребро, и те, в которых оно отсутствует. Для обеих групп создается отдельная матрица расстояний. Эти матрицы подвергаются аналогичному преобразованию с выбором ребра. Строящееся при этом дерево решений получается двоичным [7].
Выбор ребра на каждом шаге производится таким образом, чтобы оптимальный вариант маршрута содержал выбранное ребро с наибольшей вероятностью. С этой целью просматриваются строки матрицы и среди них выделяется та, в которой второе минимальное ребро имеет наибольший вес. Затем в той же после-
довательности просматриваются столбцы. Окончательно выбирается такое ребро с нулевым весом, для которого вес второго минимального ребра в строке или столбце максимальный. Выбранное ребро включается в маршрут для вариантов маршрута первой группы и исключается из всех вариантов маршрута второй группы. В результате оценка снизу для всех вариантов маршрута второй группы увеличивается на вес второго минимального ребра в строке или столбце.
Шаг 5: Вычисление оценок.
Вычисляется оценка узла, смежного с краем, который имеет вес ((,]'). В таблице расчетов = жй^ = ж вводится обозначение ограничения для коммивояжёра, которые не позволяют ему вернуться из города / в город j. Кроме того, все возможности закрытия цикла перед прохождением всех вершин графа должны быть заблокированы. Следующий шаг - удалить столбец / и] из этой таблицы и повторить шаги 2 и 3.
Шаг 6: Чертится дерево ветвления. В ветвящемся дереве назначается Ь этикет узлу, с которого началось ветвление. Края, выходящие из этого узла, присваиваются «весами» ([,]') и поп(1,]').
Алгоритм завершается, когда в таблице остаются только те маршруты, которые, если не используются, приводят к решению, являющемуся траекторией бесконечной продолжительности.
Далее предлагается более подробное рассмотрение алгоритма решения задачи. На вход алгоритма подается квадратная матрица расстояний размером п*п, где все > 0, причём диагональные элементы ¿и = ж.
Метод ветвей и границ используется для оптимизации доставки продукции по следующим городам: Самара (1), Истра (Московская область) (2), Щёлково Мултон (Московская область) (3), Санкт-Петербург (4), Красноярск (5), Ростов-на-Дону (6), Владивосток (7), Новосибирск (8), Москва (9), Екатеринбург (10).
Расстояние между ними в километрах представлено в таблице 1. Таблица 1 - Расстояния между адресами компании
ч 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 да 1103 1078 1764 3217 1324 8108 2451 1086 956
2 1103 да 68 708 4196 1101 9077 3430 38 1821
3 1078 68 да 719 4127 1103 9018 3361 74 1775
4 1764 708 719 да 4606 1783 9497 3840 715 2231
5 3217 4196 4127 4606 да 4509 4906 802 4180 2409
6 1324 1101 1103 1783 4509 да 9395 3743 1081 2243
7 8108 9077 9018 9497 4906 9395 да 5694 9072 7301
8 2451 3430 3361 3840 802 3743 5694 да 3414 1644
9 1086 38 74 715 4180 1081 9072 3414 да 1827
10 956 1821 1775 2231 2409 2243 7301 1644 1827 да
В начале был взят в качестве произвольного маршрута:
Х0 = (1,2); (2,3); (3,4); (4,5); (5,6); (7,8); (8,9); (9,10); (10,1). Согласно алгоритму расчета, были найдены минимальные элементы. После операции вычитания минимальных элементов получается полностью редуцированная матрица, в которой величины d^ и dj называются константами приведения.
Длина маршрута определяется выражением:
Следующим действием определяется ребро ветвления и все множества маршрутов относительно этого ребра разбиваются на два подмножества (¿,у) и (1 *) и определяется сумма образовавшихся констант приведения, далее они приводятся в скобках.
После исключения ребра осуществляется очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества, в результате образовывается редуцированная матрица.
После нахождения нижней границы гамильтоновых циклов для каждого подмножества происходит включение ребра для исключения образования негамильтонова цикла.
По итогу была получена сокращенная матрица, которая подлежит операции приведения. При этом
оценка снизу оказалась меньше стоимости ранее найденного наилучшего маршрута.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид, приведенный в таблице 2. _Таблица 2 - Сокращенная матрица_
ч 2 6
3 0 0 0
9 да 0 0
0 0 0
Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
В соответствии с этой матрицей включаются в гамильтонов маршрут ребра (3,2) и (9,6). В результате по дереву ветвлений гамильтонов цикл образуют ребра: (8,5), (5,7), (7,10), (10,4), (4,3), (3,2), (2,9), (9,6), (6,1), (1,8). Длина маршрута равна F = 20921 км. Полное дерево ветвления представлено на рисунке 1.
Рисунок 1 - Дерево ветвления Таким образом, в данной статье показан способ решения проблемы коммивояжёра с использованием таблицы данных и усовершенствованного метода ветвей и границ, который доказал эффективность своего применения при сравнительно небольшом количестве данных. При решении конкретной проблемы доставки товаров в примере используются определенные адреса, расстояние между которыми точно известно.
В условиях конкурентного рынка важно рационализировать каждый бизнес-сегмент, используя математические методы, такие метод ветвей и границ. Рационализация путем расчета оптимальных маршрутов доставки очень проста в использовании и значительно снижает затраты на бизнес.
Проблема передвижного коммивояжера может широко использоваться во многих человеческих действиях. Одним из важнейших моментов могут быть организация производства и определение наиболее оптимальной последовательности операций и задач. Метод ветвей и границ подходит для работы с компьютерными приложениями и считается одним из возможных способов стимулирования дальнейшего изучения этой проблемы. Источники:
1 Литтл Дж., Мурти К., Суини Д., Кэрол К. Алгоритм задачи коммивояжера // Operat. Res., 11 (1963), p. 972-989.
2 Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. - М.: Мир, 1981. - 368 с.
3- Сигал И.Х., Иванова А.П. Введение в прикладное дискретное программирование: модели и вычислительные алгоритмы. -2-е изд. б испр и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. -304 с.
4 Ульянов М.В. Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы. Разработка и анализ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 304 с.
5 Новиков Ф.А. Дискретная математика: Учебник для вузов. 3-е изд. Стандарт третьего поколения. - СПб.: Питер, 2017. -
496 с.
6 Ромм Я.Е., Назарьянц Е.Г. Полиномиальная сложность параллельной формы метода ветвей и границ решения задачи ком-
мивояжёра / Я.Е. Ромм, Е.Г. Назарьянц / Известия ЮФУ. 2015. №4. С. 46-50. 7- Овезгельдыев А. О. Развитие метода ветвей и границ в задаче поиска оптимального кольцевого маршрута / А. О. Овез-гельдыев, А. В. Морозов // Кибернетика и системный анализ. - 2013. - Т. 49, № 5. - С. 112-119.
Sources:
1. Little J. D. C., Murty K. G., Sweeney D. W., Karel C. An algorithm for the traveling salesman problem // Operat. Res., 11 (1963),
P. 972-989.
2. Goodman S., Hedetniemi S. Introduction to the design and analysis of algorithms. - M.: World, 1981. - P. 368.
3. Segal I. H., Ivanova A. P. Introduction to applied discrete programming: models and computational algorithms. - 2nd ed. b the
Rev. and DOP. - M.: FIZMATLIT, 2007. - P. 304.
4. Ulyanov M. V. Resource-efficient computer algorithms. Development and analysis. - M.: FIZMATLIT, 2008. - P. 304.
5. Novikov F. A. Discrete mathematics: Textbook for universities. 3rd ed. The third generation standard. - SPb.: Peter, 2017. - P.
496.
6. Romm Ya. e, Nazaryan E. G. Polynomial complexity of parallel forms method the branch and bound solution to the traveling
salesman problem / J. E. Romm, E. G., Nazaryants / Izvestiya yufu. 2015. No. 4. P. 46-50.
7. Ovezgeldyev A. O. development of the branch and boundary method in the problem of finding the optimal ring route / A. O.
Ovezgeldyev, A. V. Morozov // Cybernetics and system analysis. - 2013. - Vol. 49, № 5. - P. 112-119.
Л.Л. Бунтовская
к.э.н., доцент, Донецкий национальный университет
L.L. Buntovska
associate professor of economics, Donetsk national University (8-989-212-42-95 buntovskiy(a)rambler.ru) С.Ю. Бунтовский
к.э.н., Кубанский государственный аграрный университет Buntovskiy S. Yu. associate professor of economics Kuban state agrarian University
З.Б. Хуажева
Студентка, Кубанский государственный аграрный университет
Z.B. Guajava student Kuban state agrarian University
КОНЦЕПЦИЯ ФОРМИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТРУДОВЫМИ КОНФЛИКТАМИ: ОПЫТ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
Аннотация. В статье обоснована научная концепция создания на базе методологии системно-целевого подхода комплексной системы управления трудовыми спорами (конфликтами) в Донецкой Народной Республике. Разработаны концептуальные подходы к формированию организационно-экономического механизма ее практической реализации. Сделан вывод о значимой роли экономического механизма комплексной системы управления трудовыми спорами (конфликтами) на производственном уровне для своевременного выявления причин возникновения конфликтогенной ситуации в трудовых коллективах, устранения причин трудовых конфликтов и их урегулирования на конструктивной основе. Также отмечено, что эффективность экономического механизма комплексной системы управления трудовыми спорами (конфликтами) на производственном уровне в значительной мере предопределяются разработкой действенной системы мотивации заинтересованности работников в инновационном развитии и повышении конкурентоспособности производства.
Annotation. The article substantiates the scientific concept of creation on the basis of the methodology of the systemtarget approach of an integrated system of labor dispute (conflict) management in the Donetsk people's Republic. Conceptual approaches to the formation of the organizational and economic mechanism of its practical implementation are developed. The conclusion is made about the significant role of the economic mechanism of the complex system of labor disputes (conflicts) management at the production level for the timely identification of the causes of the conflict situation in the workforce, the elimination of the causes of labor conflicts and their settlement on a constructive basis. It is also noted that the effectiveness of the economic mechanism of the integrated system of labor disputes (conflicts) management at the production level is largely determined by the development of an effective system of motivation of employees ' interest in innovative development and competitiveness of production.
Ключевые слова: трудовые споры, комплексная система управления конфликтами, организационно-экономический механизм управления трудовыми спорами (конфликтами), социально-психологические подходы к регулированию конфликтов, конфликтологическое обучение.
Key words: labor disputes, complex system of conflict management, organizational and economic mechanism of labor disputes (conflicts) management, social and psychological approaches to conflict management, conflict management training.
Социальные конфликты как реальное и объективное проявление противоречий, наблюдаемых в жизнедеятельности любого сообщества, являются неотъемлемой составляющей трудовых отношений. Различные аспекты согласования противоречий сторон социально-трудовых отношений издавна являлись предметом исследования многих отечественных и зарубежных авторов. Интерес отечественных ученых к проблемам социально-трудовых конфликтов резко усилился под влиянием забастовочного движения 80-90х гг. ХХ в., а также после 1991 года, когда разрушение экономических связей между бывшими союзными республиками, привело к деформации хозяйственных отношений, резкому ухудшению социально-экономического положения населения, росту безработицы, массовым нарушениям трудового законодательства в процессе проведения масштабной приватизации предприятий.
