Решение задачи геометрической стабильности анизотропных композитных корпусов антенных рефлекторов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.071:678.067

Н. А. Д а н г

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ СТАБИЛЬНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОРПУСОВ АНТЕННЫХ РЕФЛЕКТОРОВ

Исследовано влияние анизотропии на изменение геометрических параметров композитного корпуса антенного рефлектора при осе-симметричном тепловом воздействии. В качестве метода решения применен метод конечных элементов.

Рассмотрим оболочку вращения, представляющую собой поверхность, полученную вращением образующей вокруг оси. В качестве переменных величин, характеризующих геометрию оболочки вращения, выберем радиус Я1 кривизны дуги меридиана, радиус Я2 и угол 9 между нормалью к срединной поверхности и осью симметрии (рис. 1). Радиус Я2 равен растоянию от срединой поверхности по нормали до точки пересечения с осью симметрии. Все три введенные величины (Д1, Я2 и 9) являются функциями расположения точки А на поверхности.

Форма срединной поверхности оболочки после деформации называется упругой поверхностью оболочки. Она характеризуется тремя проекциями полного перемещения произвольно взятой точки А (рис. 2) на оси х, у и г; обозначим эти проекции соответственно через

и, V и V.

Рис. 1. Геометрические характеристи- Рис. 2. Связанная система координат

ки оболочки вращения

и перемещения

Рис.3. Координаты отсчета конечного элемента

Рис. 4. К определению связи нормальных и касательных перемещений с радиальными и осевыми перемещениями

Оболочки вращения будем набирать конечными элементами (КЭ) конических оболочек (рис. 3). Конические оболочки характеризуются начальным радиусом r0 параллели и углом в конусности, отсчитываемым от оси вращения до вектора n внешней нормали по ходу часовой стрелки (см. рис. 1 и 3).

Отдельный КЭ конической оболочки (см. рис. 3) определяется нормальными круговыми сечениями 1 и 2. В качестве аргумента в пределах КЭ принимается координата x, отсчитываемая вдоль образующей от первого сечения. Тогда для текущего сечения с аргументом x радиус параллели можно найти по формуле

r = r0 + (si + x) cos в,

где s1 — расстояние вдоль образующей от начальной параллели до параллели первого сечения КЭ.

Осесимметричное деформированное состояние тонкой конической оболочки можно описать полями перемещений, определенных либо в локальной системе координат (ЛСК), либо в глобальной системе координат (ГСК). В качестве перемещений в ЛСК принимаются касательные u, v и нормальные w перемещения (рис. 4).

В качестве перемещений в ГСК принимают радиальные ur и осевые uz перемещения (см. рис. 4). Касательные перемещения v (см. рис. 2) одинаковы в ЛСК и ГСК. Перемещения u, w можно вычислить как

u = ur cos в + uz sin в;

w = ur sin в — uz cos в, перемещения ur, uz можно вычислить по уравнениям

ur = u cos в + w sin в;

uz = u sin в — w cos в.

(1)

При решении линейной задачи деформации для слоя, отстоящего на расстояние Z от срединной поверхности, можно записать следующие уравнения [1]:

£x(z) £x + ZKx; £y(z) £y + Z Ky; Yxy(z) Yxy + ZXxy,

где

du dx'

Kx -

d2w cos 9 sin 9

—u + -

dx2 ; £y

-w;

'w sin2 9 u sin 9 cos 9 dw cos 9

Ky - — -^--1--^--h

2

2

r2 r2 dx r

v cos 9 dv v sin 9 cos 9 sin 9 dv

7xy — ~ Ь dx; Xxy — — 2 ö Ь

(2)

г ах г2 г йх

В окончательном виде полученные выражения (2) можно представить в матричной форме

е = ЬИ, (3)

или в развернутом виде

£i d/dx

£2 Cr

Yi2 0

Kl 0

K2 Sr Cr

. Xl2 . 0

0 0

d2 2 2

d

0 0

Cr + /da

/dx

s2 Cr /d;

x

0 0

0

2 Sr Cr I 2sr //d^^

u w v

cos в sin в

где Cr — ; Sr — .

Для приближенного описания свойств зададим аппроксимацию полей перемещений — касательные перемещения аппроксимируем линейными полиномами, нормальные перемещения — полиномом третьей степени:

2 3

w — a3 + a4x + a5x + a6x ;

или

u — a1 + a2x; + a4x + a5x2 -v — a7 + a8x,

U — Фа,

(4)

что при стыковке отдельных КЭ (рис. 5) обеспечивает непрерывность касательных, нормальных перемещений и углов поворота нормальных сечений. В развернутом виде уравнение (4) выглядит следующим

Рис. 5. Конечный элемент с распределенными силами

образом:

u ■ 1 x 0 0 0 0 0 0

w = 0 0 1 x x2 x3 0 0 a;

v 0 0 0 0 0 0 1 x

а = [ах, а2, аз, а4, а^, а6, аг, ав]т,

где а — матрица коэффициентов аппроксимации. Эти коэффициенты не имеют наглядного геометрического представления и в дальнейшем от этих коэффициентов перейдем к глобальным степеням свободы узлов.

Согласно соотношениям (3), аппроксимируя перемещения (4), получаем

в = ЪИ = ЪФа = Ва, (5)

где В = ЬФ =

d/dx

О О

S r Cr

О

О

о

—d /dX

— Sr — Cr /dx

О

Cr + d/dx

2sipCip ++ 2sr /d

1 x ООО

О ОО

~3 n n

О О О О О О 1 X

О 1 О О О О О О

cr Cr X sr srx sx2 s x3 О О

О О О О О О — Cr —Crx + 1

О О О О —2 —6x О О

srCr S r Cr X -sr 2 srx Cr Q 2 /у> 2 О у"» /V» с r^ ^ C^r «Л-* 232 С r^ ^ Or«-*-' О О

О О О О О О 2srCr — 2Sr Cr 1 2Sr

Рис. 6. Система координат и напряжения

Запишем физические соотношения упругости, учитывая температурные и начальные деформации. В системе координат отдельного слоя ж'2) (рис. 6) эти соотношения имеют следующий вид: 1

Е ^12

Е

0

4

Y1 2

^ о

^21

E2 1 2

E2

о

0

1

G

12

Г 1 Г Г' 1 " «0ДТ "

— г20 + a^AT

Т' 2 7l 20 о

(6)

где е'10, е'20, 2о — начальные продольные, поперечные и сдвиговые деформации, заданные в системе координат слоя; а°, а° — коэффициенты линейного температурного расширения (индекс слоя здесь опущен).

Соотношения, обратные (6), т.е. напряжения, выраженные через деформации в координатах слоя, представляем следующим образом:

а' = Е'е' + Е'е° - Е'еТ, (7)

где

E' =

E1 ^дЕ 1 0

Е 22

^12Е 2 о

о

о

G12

E1

E1

1 ^'12^21

Если перевести соотношения (7) в систему координат оболочки, используя преобразование компонент тензора деформаций при повороте системы координат [1, 2], то получаем выражение

а = Ее + Ее° - Еет, (8)

где а = [а1, а2, т12]т; е = [е1,е2,712]; Е — матрица коэффициентов упругости, имеющая вид

E11 E12 Е'з

E21 E22 Е21 = E = втЕ'в; = втЕ'е'т;

E31 E32 E33

в =

2

cos2 (

2

sin (

2

sin (

2

cos2 (

— sin2( sin2f

sinfcosf sinfcosf

cos 2(

£0 = [^10,^20, 0]т — начальные деформации, заданные в системе координат оболочки.

Приведем описание КЭ, нагруженного внешними силами и подвергнутого тепловому воздействию. Считаем тепловое воздействие стационарным, осесимметричным и полагаем, что для такого теплового воздействия решена задача теплопроводности и температурные поля определены. В этом случае погонные силы и моменты следует вычислять, пользуясь соотношениями упругости (учитывая начальные и температурные деформации), далее на основе уравнений (8) можно записать

N = Бе + N - N, (9)

или в развернутом виде

В11 В12 В13 С11 С12 С13

В21 В22 В23 С21 С22 С23

В31 В32 В33 С31 В32 В33

С11 С12 С13 #11 #12 #13

С21 С22 С23 #21 #22 #23

С31 С32 С33 #31 #32 #33

здесь N — погонные меридиональная и кольцевая силы; М1, М2 — соответственно погонный изгибающий момент в меридиональной плоскости и погонный окружной изгибающий момент:

Н/2 Н/2

N = J М» = J а^гдл, г = 1, 2,

-Н/2 -Н/2

Н/2 Н/2

= J г12д,г — погонная сила сдвига; М12 = J г12гд,г — по-

-Н/2 -Н/2

гонный момент крутки; В^, С^, — коэффициенты мембранных, смешанных и изгибных погонных жесткостей соответственно.

Если в качестве координатной поверхности выбрать срединную поверхность оболочки, то для однородного ортотропного материала оболочки смешанные жесткости С^ = 0, а мембранные и изгибные жесткости определяются как

Г N11

N to

N12

M1

M to

_M12_

" N10 " " N1T '

£2 N20 N2T

712 + N120 N12T

K1 M10 M1T

K2 M20 M2T

.X12. M120 M12T

Бп =

Б22 =

Б33 = Gi2.h

12

1 — ^12^21 1 — ^12 ^21 Б12 = М12Б11 = Б21 = ^21Б11; Б13 = Б13 = Б23 = Б32 = 0;

Du =

Ei h3 _ = E2h3 _ = G^ _

12(1 - ^12^21)' 22 12(1 - ^12^21)' 33 12 '

^12 = ^12^11 = Д21 = ^21^11; ^13 = А31 = 0; ^23 = ^32 = 0;

Е^21 = Е2^12; Еь Е2 — модули упругости в направлении меридиана и окружном направлениях; ^12, ^21 — коэффициенты поперечных деформаций (аналогичные коэффициенту Пуассона для изотропного материала).

Если стенка оболочки состоит из п различных ортотропных слоев (см. рис. 5), то коэффициенты погонных жесткостей вычисляются следующим образом:

К=1

- ^2 Eif|(ZK+1 - zk); с%3 - 2 Elf](ZK+1 - Z

К =1

K2 )'

DijEif(ZK+1 - ZK), i,j-1, 2, 3,

3 k=1

где Е1К] =

е1К]м2Г] = е2К|^121; п — число слоев; — нормальные коор-

динаты К-го слоя.

В случае равномерного распределения по толщине пакета е10, е20 можно записать

E1

[К|

, [К | [К|' -^22 1 ^12 ^21

[K| [K|

Е [Kl = Eqq —

Е

[К]

1 „М-.М' 12

1 Р12 ^21

е!К - EiK|-[K|-

j11 ^21;

N10 - (Е|К|е10 + E [К|£20 )(ZK+1 — ZK) - B11£10 + B12£20'

[K|

K=1

M10 - C11 £10 + C12£20' N120 - M120 - 0,

или

N0 - Бё0' M0 - Cf0' N0 - [N10, N20, N120]' M0 - [M10, M20, M120]

B -

В случае равномерного распределения по толщине многослойного пакета перепада температуры ДТ получаем (индекс К указывает на принадлежность к К-му слою):

B11 B21 B31 ■ C11 C21 C31

B12 B22 B32 ' C - C12 C22 C32

B13 B23 B33 C13 C23 C33

Nt - £ 4К| (ZK+1 - ZK)' MT - 1 äTK| (ZK+1 - ZK),

K=1

[K] 2 2 )

K=1

где AK] _ вт E' F> ■ -[K] где ат _ P[K]ekв

' [K]T' aT

_ [agUj^, 0]; ^r _ K[k] AT «0[K] AT

в[К] _ /^[K]

еоэ2 ^к й1П 2^к э1п (рк еоэ рк

81П2 р

2

cos2

sin cos — sin 2^K sin 2^K cos 2^K

E[K] _

E1k] M2K]E1k] ^2K]e[k] E1k]

0

0

0

0

G[K] G12

Для равновесного состояния отдельного КЭ запишем формулировку принципа возможных перемещений:

i

2п J (¿ETN — ¿UTp)rdx — 2^qTR _ 0,

(10)

где I — длина КЭ вдоль образующей; £Е = [^е^ 5е2, $712, 5к1, 6к2, ^х12]т — вектор обобщенных возможных деформаций;

= [5и,5ы,5р]т — вектор возможных перемещений; N = N, М2>М12, М1, М2, М12]т — вектор внутренних силовых факторов; р = [ри,рш,'Р'ю]т — вектор распределенных поверхностных касательных и нормальных сил;

= [5иг1,5иг1,5у1,5ш1,5иг2,5иг2,5у2,5ш1]т — глобальные узловые степени свободы;

И = ,Т1И12 ,Г1Мш1,Г2^г2,Г2^г2,Г2^12,Г2Мш2]т — вектор

обобщенных узловых реакцией.

Запишем уравнение (10) в развернутом виде с учетом соотношений упругости (9) и аппроксимации деформаций (5):

¿aT(Kaa + P0a — Рта — Pa) — ^R _ 0,

(11)

i

где Ka _ / BaDBardx; Poa _ / BaNordx; Рта _ / ваNrrdx;

'-а I а а1

0

i

Ра _ Фар^.

Выполним в уравнении (11) две замены неизвестных. Сначала перейдем от коэффициентов аппроксимации а к локальным узловым степеням свободы

Я = [иг1,иг1,Ь1,Ш1,иг2, иг2, У2, Ш2, ]т,

где ш1 = у/(х = 0); ш2 = = I).

Для этого воспользуемся аппроксимацией (4) и составляем уравнение

Та = ял , (12)

которое в матричной форме будет иметь вид

1 0 0 0 0 0 0 0 a1 u1

0 0 1 0 0 0 0 0 Ö2 w1

0 0 0 0 0 0 1 0 03 V1

0 0 0 1 0 0 0 0 a4

1 l 0 0 0 0 0 0 ß5 U2

0 0 1 l l2 l3 0 0 ae W2

0 0 0 0 0 0 1 l a7 V2

0 0 0 1 2l 3l2 0 0 . as _ Ш2

Решением уравнений (12) будет выражение a = T-1 qл.

Аналогичным образо м определим связь £а = T-i£q

новесное состояние для КЭ можно определить по уравнению

+ (Т-1)тРТа - Т-1)тРл) - ¿ятИ = 0,

iq^{(T-1)TKaT-1-(T-1)TPca

или

+ Рол - Ртл - Рл) - iqTR = 0, -1 т -1 -1

(13)

где К = (Т-1)тКаТ-1; Рол = (Т-1)тРоа; Ртл = (Т-1)тРТа; Рл = (Т-1)т Рл.

Теперь перейдем к степеням свободы в ГСК. Для этого, согласно уравнению (1), выразим степени свободы qл в ЛСК через степени свободы q в ГСК

qл = ^

или

u1 cos в sin в 0 0 0 0 0 0 Ur1

w1 sin в - cos в 0 0 0 0 0 0

V1 0 0 1 0 0 0 0 0 V1

0 0 0 1 0 0 0 0

U2 0 0 0 0 cos в sin в 0 0 Ur2

W2 0 0 0 0 sin в - cos в 0 0 Uz2

V2 0 0 0 0 0 0 1 0 V2

Ш2 0 0 0 0 0 0 0 1 Ш2

Аналогично получаем = Тогда равновесное состояние

для КЭ (13) запишем через степени свободы в ГСК:

ад^ + Ро - Рт - Р - И) = 0, (14)

где К = 8тКл8; Ро = БтРол; Рт = ВтРтл; Р = ВтРл.

Из уравнения (14) в силу произвольности следует искомое уравнение

И = ^ - РЕ,

где Р^ = -Р0 + Рт + Р — вектор приведенных узловых сил, учитывающий начальные температурные деформации и внешние распределен-

ные поверхностные силы. Матрицу К называют матрицей жесткости КЭ в ГСК.

После решения задачи для каждого КЭ будут определены степени свободы я в ГСК. Для того чтобы вычислить перемещения в ЛСК, в центре КЭ нужно выполнить следующие операции:

и(х = 1/2) = Ф(х = 1/2)а = Ф(х = //2)Т-1Бя = Ф*я, где матрицу

Ф* = Ф(Х = //2)Т-1Б

следует подготовить при обработке КЭ.

Для того чтобы вычислить обобщенные деформации в центре КЭ, нужно выполнить следующие операции:

Е(х = 1/2) = В(х = 1/2)а = В(х = //2)Т-1Бя = В*я, (15) где матрицу

В* = В(х = //2)Т-1Б

следует подготовить при обработке КЭ.

Для вычисления погонных силовых факторов в центре КЭ нужно обобщенные деформации (15) умножить на матрицу коэффициентов приведенных жесткостей:

^х = 1/2) = БЕ(х = 1/2) = БВ*я.

Достоверность разработанной модели проверялась аналогично данным работы [3] на экспериментальных образцах трехслойных параболических оболочек, полученных склеиванием несущих слоев (НС) со слоями заполнителя при нагреве. Оболочки имели диаметр 649 мм, при этом каждую из обшивок рефлектора формовали из четырех монослоев углепластика со следующей структурой укладки: [0о/ - 90°/90°/0°]; [0о/ - 700/700/00]; [0о/ - 45°/45°/о°]. Толщина НС после формования составляла 0,45... 0,48 мм. Толщина монослоя к = 0,12 мм. Заполнитель — алюминиевые соты высотой Н = 10 мм. Оправка аппроксимируется сферическим сегментом с внутренним радиусом (совпадающим с радиусом оправки) Лопр = 1100 мм и углом полураствора в = 16°.

Поскольку формование обшивок и последующее склеивание слоев оболочки рефлектора происходит при повышенной температуре, в расчетах учитываются зависимости свойств углепластика от температуры. Так, например, при температуре 175 °С были приняты следующие свойства углепластика: Е1 = 128,8 ГПа; Е2 = 2,8 ГПа; С12 = 0; в13 = в23 = в12; и12 = 0,33; а? = -2,125 • 10-6 град-1; = 63 х х 10-6 град-1. Результаты расчетов и экспериментальных исследований приведены на рис. 7, 8.

Рис. 7. Отклонение профиля поверхности оболочки (схема армирования НС [0°/ - 90°/ + 90°/0°]) после склеивания с нагревом:

1 — поверхность рефлектора; 2 — поверхность оправки

Рис. 8. Экспериментальные (1) и расчетные (2) отклонения аппликат Д^ профиля поверхности рефлектора (схема армирования НС [0°/90°/90°/0°]) после склеивания с нагревом (1, 2 как на рис. 7)

Для оценки точности соответствия геометрии полученной поверхности заданной теоретической форме рассчитывали среднеквадрати-ческое отклонение (СКО) поверхности в нормальном к идеальному контуру направлении, используя полученные значения нормальных перемещений гш. СКО двух функций /(х) и ^(х) на множестве п точек х\, х2,...,хп определяли по уравнению

An =

\

n

(Xi) - F(x)]2.

n

i=1

В нашем случае одна из этих функций, характеризующая идеальный контур, тождественно равна нулю, в качестве второй функции следует взять перемещение гш, т.е. СКО определяется по формуле

An =

\

n

n

£

г=1

[w (6i )]

где п — число точек вдоль меридиана, в которых определялись перемещения.

Расчетные и экспериментальные СКО для схемы армирования [0о/ — 90о/90о/0о] соответственно равны: 5,42 и 5,2 мм; для схемы

[0о/ — 70о/70о/0о] — 0,075 и 0,08 мм; для схемы [0о/ — 45о/45о/0о] — 16,65 и 16,3 мм.

Для выявления рациональных схем армирования НС были рассчитаны обобщенные зависимости нормальных максимальных (^тах), минимальных (мтт) перемещений и значения СКО для всех схем армирования в диапазоне от 0о до 90о с интервалом в 1о. При ^зап = 10 мм, Лопр = 1100 мм, структуре НС [0о/ — ^/^/0°] (^ —

1

2

Рис.9. Расчетные обобщенные зависимости максимальных ютах (кривая 1), минимальных ю,„|„ (кривая 2) нормальных перемещений, СКО (кривая 3) поверхности и максимальных касательных перемещений и„ах (кривая 4) при различных углах армирования для Ьо = 5; = 5 (а) и Н,р = 35 (б)

угол армирования), толщины композитных слоев следующие: Н0 = 5; Н^ = 5; 5 = 0,12 мм. Результаты расчетов показаны на рис. 9, а.

Для Нзап = 10мм, Допр = 1100мм, структуры НС [0°/ — толщины композитных слоев равны: Н0 = 5; Н^ = 35; 5 = 0,12 мм. Результаты расчетов показаны на рис. 9, б. Как видно из рисунка, для схемы армирования [0°/ — 67°/67°/0°] в этом случае удается получить минимальные значения нормальных перемещений и СКО. При данной схеме реализации технологического процесса можно получить необходимую точность геометрических характеристик изделия, применяя следующую схему укладки монослоев в НС: [0°/ — 67°/67°/0°]. Для других толщин композитных слоев оптимальный угол укладки может быть иным, например р = 62° (см. рис. 9, б).

На основе полученных зависимостей при необходимости можно корректировать (дорабатывать) кривизну оснастки в целях получения изделия нужной геометрии при различных схемах армирования. С помощью данных расчетов на этапе проектирования и выбора конструкторско-технологических параметров изделия можно выявить, какую кривизну (фокусное растояние, диаметр, высоту прогиба и др.) после изготовления будет иметь конструкция.

Если выбрать структуру НС рефлектора в виде [90°/2/ — + + <^/90°], то при h90° = hу = 0,12 мм для всех р значение СКО будет больше нуля и конструкция не будет отвечать техническим требованиям качества поверхности для конкретного рефлектора. Как видно из графиков (см. рис. 9), учет анизотропии многослойного пакета и касательных перемещений v для оптимальных узлов укладки ф не оказывает существенного влияния.

Сравнение профилей оболочки, рассчитанных с помощью разработанной на ЭВМ модели, с полученными экспериментальными данными показало их хорошее соответствие. Максимальная ошибка результатов, полученных по разработанной методике расчета, по сравнению с экспериментальными данными не превышает 7 %.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.

2. П о п о в Б. Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. - 294 с.

Статья поступила в редакцию 12.03.2007

Данг Нгок Ань родился в 1976 г., окончил Вьетнамский технический университет им. Ле Куй Дона в 2000 г. Аспирант кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Dang Ngok An (b.1976) graduated from the Vietnam Technical University n. a. Le Qui Don in 2000. Post-graduate of "Applied Mechanics" department of the Bauman Moscow State Technical University.