Решение задачи анализа и синтеза продольно-крутильного ультразвукового волновода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.9.048.6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ПРОДОЛЬНО-КРУТИЛЬНОГО УЛЬТРАЗВУКОВОГО ВОЛНОВОДА

Кудряшев С. Б.

Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Российская Федерация

skudryshev@yandex.ru

Рассматривается решение задачи аналитического определения коэффициентов жесткости при кручении продольно-крутильных ультразвуковых волноводов, используемых в процессе электроакустического нанесения износостойких покрытий. Определение коэффициентов жесткости для продольно-крутильных каналов распространения волн позволяет решить проблему анализа и синтеза такого типа волноводов.

Ключевые слова: продольно-крутильный волновод, ультразвуковые колебания, коэффициенты жесткости, трансформация ультразвуковых колебаний.

UDC 621.9.048.6

SOLUTION TO THE PROBLEM OF ANALYSIS AND SYNTHESIS OF LONGITUDINAL-TORSION ULTRASONIC

WAVEGUIDE Kudryashev S. B.

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation

skudryshev@yandex.ru

The article is devoted to the solution to the problem of analytical determination of stiffness coefficients for torsion of longitudinal-torsion ultrasonic waveguides used for electroacoustic application of wear-resistant coatings. The analytical determination of the stiffness coefficients of this type of waveguide allows solving the problems of analysis and synthesis of naturally twisted longitudinally twisting waveguides.

Keywords: longitudinal-torsion waveguide, ultrasonic vibrations, stiffness coefficients, transformation of ultrasonic vibrations.

Введение. Рассмотрим решение задач анализа и синтеза продольно-крутильного ультразвукового волновода. При этом будем исходить из основ теории динамики трансформации ультразвуковых колебаний [1]. Чтобы аналитически определить коэффициенты жесткости продольно-крутильного ультразвукового волновода, рассмотрим кручение стержня, имеющего закрученную форму. Жесткость такого типа стержня при кручении определяется по формуле [2]

С = 20 Л и (г, фуёЫф, (1)

□

где □ — площадь сечения волновода.

Основная часть. При определении функции напряжения и(г,ф) исходим из того, что она удовлетворяет уравнению (2) в области сечения волновода и обращается в нуль на его контуре.

д 2и 1 ди 1 д 2и

V 2U = ■

= -2.

(2)

д г2 г д г г дф2

Симметрия области поперечного сечения волновода позволяет рассматривать одну четверть его сечения (рис. 1).

Рис. 1. Четверть поперечного сечения волновода

При этом нормальные производные функции ЦТ, ф) на линии ОА и ОВ приравняем к нулю. Рассмотрим полученную область и разделим ее на сектора I, II и III. Допустим, что в этих секторах функция Цг,ф) равна ^(г, ф), Ц (г, ф) и и3(г, ф) соответственно. Введем новые переменные * и г:

1 Ь *

* = 1п—, г = а • е . (3)

а

Жесткость при кручении будет определяться по формуле (4):

с = 4 -п-в и (г, ф) -а2- е2^ • йф, (4)

*

где О — площадь четверти сечения, п — количество выточек волновода. Представим функцию Ц (г,ф) (г = 1, 2, 3) в виде:

2 2*

и. =[г (* ),ф] = - + Ф. (* ,ф).

Для определения функции Фг (*, ф) получим дифференциальное уравнение

д2Ф д2Ф

д *2 д ф2

= 0

и условия

д Ф1 д ф

д Ф3

Тф"

=Ф1 (о, ф)-а2=

2 (

Л=<к

д Ф 2 д ф

= о

ф=-ф2

ф=-ф2

=Ф з (* ,о)-^=Фз (*1,ф)-ь22=о

Ф1 (*, о) = Ф 2 (* ,о);

д Ф1

Л

{д Ф

п

п

Ф2 (о, ф) = Фз (о, ф); (^

1

=о V

'г=о

д ф ,

^д Ф 3 , д г

(5)

(6)

(7)

где ф1 =-; ф2 = — • I 1--I; а — постоянное число, характеризующее ширину выточки.

2•а 2 V а)

Результаты вычислений позволяют утверждать, что жесткость при кручении круглого волновода с продольными винтовыми пазами определяется по формуле (8):

с = G • а4 • к | —

V а.

(8)

где:

Ь

КI-! = - + V а) 2 2

п п-ф2 (Ь4 Л п•ф (Ь2 ^

V а 4

2 • г

V а 2

4 • п • [

С

•I

п

ф2 • а2 к=1 К •(4 + К) - 4 II (Рк -ф2)

1 + сгН(Кк • г1 )--

е2г1 Л

Н (Кк•о

1+(-1)

к+1

па

к=1 Рк •( 4 + Р2 )

1 X ( 7 )•( *Н ( 7 Л ) + *Н ( 7 ^ )) }-г.—^--^7].

■( 4 + 72)

Приведенное решение задачи о кручении стало основой для разработки алгоритма и программы аналитического определения жесткости при кручении волновода с естественно закрученным сечением.

Для волновода с поперечным сечением (см. рис. 1) площадь определяется по формуле [3]:

п а2-^ + п Ь2-^

2п

2п

= 2-а2 • ф1 + 2-Ь2 • ф2.

0 = 4-

Момент инерции сечения:

Ь ф2 а ф

J0 = | Я2ёО = 4| г 2ёт • | ёф + + 4| г 2ёт • | ёф = Ь4 • ф2 + а4 • ф1.

О 0 0 0 0

Из формул (3) и (4) получаем:

Следовательно,

2•иг + Я2 = 2Ф, (г,ф) . J{l -тг0 = 4 • | [2 • Фг (г, ф)]2 • а2 • в21 • ёгёф.

О/ 4

(10)

(11)

(12)

(13)

Рассмотрев каждую область поперечного сечения и выполнив необходимые преобразования, получим:

ад ф

ад ф2

J0r -т0 = 16 • а • [|ёг| Ф2 (-г, ф) • в-2гёф ёг| Ф2 (-г, -ф) • в^ёф -

0 0

0 0

ф2

(14)

+| ёг |ф2 (г, -ф)• в2гё ф].

Расчет производится по квадратурной формуле Гаусса для 32 узлов и весов [4].

Заключение. Чтобы определить коэффициенты жесткости, следует в формулу для их вычисления подставить разность J0r - Т°, рассчитанную по (14).

Реализация практической задачи определения коэффициентов жесткости аналитическим методом позволяет решить задачу анализа и синтеза естественно закрученных продольно-крутильных волноводов.

Библиографический список

1. Минаков, В. С. К вопросу динамики продольно-крутильных волноводов / В. С. Минаков, Г. Г. Щепкин, Е. И. Бабинцев // Известия СКНЦВШ. — 1987. — № 6 С. 71-76. — (Технические науки).

2. Арутюнян, Н. Х. Кручение упругих тел / Н. Х. Арутюнян, Б. Л. Абрамян. — Москва : Физматгиз, 1963. — 688 с.

3. Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — Москва : Советская Энциклопедия, 1988. — 847 с.

4. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. — Москва : Наука, 1979. — 711 с.