CC BY
86
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 18 Выпуск 3
УДК 519:63; 532:5; 533:6 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-3-28-43
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЖИДКОСТИ И КОНСТРУКЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ FLOWVISION И CAE
FIDESYS1
А. А. Аксёнов2, С. В. Жлуктов3, Э. Е. Сон4, А. А. Токарь5, В. С.
Карпенко6
Аннотация
В работе обсуждается численный метод решения задач сильного взаимодействия между жидкостью (газом) и деформируемым твердым телом: жидкость осуществляет силовое воздействие на тело, тело меняет форму, изменённая форма тела меняет течение. Разработанный метод демонстрируется на тестовой задаче обтекания клапана воздухом. Задача решается в трёхмерной постановке. Деформируемое тело обтекается неограниченным потоком воздуха под прямым углом. Рассматривается зависимость деформации тела при наличии в нём дефекта (отверстия), расположенном в различных положениях. Течение воздуха рассчитывается в программном комплексе Flow Vision. Flow Vision основан на конечно-объемном подходе к аппроксимации основных уравнений движения жидкости. В нём реализованы явный и неявный методы интегрирования этих уравнений. Flow Vision позволяет решать междисциплинарные задачи: моделировать многофазные течения с помощью метода VOF, задавать движение тел (перемещение непроницаемых границ) по неподвижной расчетной сетке, моделировать течения во вращающихся машинах с использованием метода скользящей сетки, решать задачи взаимодействия жидкости и конструкции методом двухстороннего сопряжения Flow Vision с конечно-элементными ПК. Деформация тела рассчитывается в программном комплексе CAE Fidesvs.
1Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант № 14-50-00124.
2 Аксенов Андрей Александрович, заведующий лабораторией Объединенного института высоких температур РАН, [email protected]
3 Жлуктов Сергей Васильевич, старший научный сотрудник Объединенный институт высоких температур РАН
4 Сон Эдуард Евгеньевич, академик Российской академии наук, заместитель директора по научной работе Объединенного института высоких температур РАН, [email protected]
5Токарь Антон Александрович, аспирант МГУ имени М.В. Ломоносова, [email protected]
6 Карпенко Виталий Сергеевич, ведущий-программист ООО "Фидесис", [email protected]
CAE Fidesvs позволяет проводить различные виды прочностного инженерного анализа полного цикла от построения расчетной сетки до визуализации результатов расчета. Для численного решения задач механики деформируемого твердого тела CAE Fidesvs использует в своей основе метод конечных элементов и метод спектральных элементов. CAE Fidesvs позволяет производить расчёт как линейных, так и нелинейных задач, статических и динамических задач прочности. Для обеспечения проведения совместного расчёта была разработана технология двухстороннего сопряжения, осуществляющая двустороннее взаимодействие между комплексами CAE Fidesvs и Flow Vision. С использованием данной технологии проведено численное исследование в задаче об обтекании клапана. Приводится сравнение поведения клапана при различных вариациях расположения эллиптического отверстия в нем. Результаты проведенного исследования демонстрируют, что сопряжённый программный комплекс FlowVision-CAE Fidesvs позволяет рассчитывать характеристики клапана на относительно небольших расчетных сетках.
Ключевые слова: сильное взаимодействие жидкости и конструкции (FSI), метод конечных объёмов, метод конечных элементов, уравнения Навье-Стокса, клапан в канале, прочностной анализ, напряженно-деформированное состояние.
Библиография: 17 названий.
SOLVING FLUID-STRUCTURE
INTERACTION PROBLEMS USING THE FLOWVISION AND CAE FIDESYS SOFTWARE PACKAGES
A. A. Aksenov, S. V. Zhluktov, E. E. Son, A. A. Tokar', V. S.
Karpenko
Abstract
The paper considers the numerical method of solving problems of strong interaction between a liquid (gas) and a deformed body: the fluid exerts a force on the body, the body changes its shape, the altered shape of the body changes the flow. The developed method is demonstrated on the test problem of air flow around the valve. The problem is solved in a three-dimensional formulation. The deformable body flows around an unlimited airflow at right angles. The authors consider the body deformation dependence in the presence of a defect (hole) in it located in different positions. The air flow is calculated in the FlowVision software package. FlowVision uses the finite volume method for approximation of the fluid motion equations. It implements an explicit and implicit methods of integrating these equations. FlowVision can solve interdisciplinary problems: simulate multiphase flows using the VOF
method, set the motion of bodies (movement of impermeable boundaries) along a fixed computational grid, simulate flows in rotating machines using the sliding grid method, solve fluid-body interaction problems using two-way coupling between FlowVision and FEM software. The body deformation is calculated in the CAE Fidesvs software package. CAE Fidesvs allows to conduct various types of full-cycle strength engineering analysis from the construction of a mesh to the visualization of calculation results. For the numerical solution of solid mechanics problems CAE Fidesvs uses the finite element method and the spectral elements method. CAE Fidesvs allows to solve both linear and non-linear, static and dynamic strength problems. For joint calculation, a two-way coupling technology was developed that performs two-way communication between the CAE Fidesvs and FlowVision systems. With the use of this technology, a numerical investigation of the problem of flow past a valve carried out. The behavior of the valve is compared with various variations in the location of the elliptical hole in it. The results lead to the conclusion that the associated Flow Vision-CAE Fidesvs software package calculates valve characteristics on meshes of moderate dimension with reasonable accuracy.
Keywords: strong fluid-structure interaction (FSI), finite volume method, finite element method, Navier-Stokes equations, valve in the channel, strength analysis, stress-strain state.
Bibliography: 17 titles.
1. Введение
Задачи, в которых форма тела меняется в результате силового воздействия жидкости (газа), возникают в различных областях человеческой деятельности и в природе. Примеры таких задач: движение шины по дороге, покрытой слоем воды, течение масла в зазоре между штоком и уплотнителем, движение крови в сердце, флаттер крыла самолёта или крылатой ракеты. В данной статье рассматривается задача обтекания воздухом деформируемого клапана. Задача решается в трёхмерной постановке. Для численного решения задачи был разработан алгоритм решения связанных задач взаимодействия жидкости и конструкции (FSI). Алгоритм предполагает двухстороннее сопряжение гидродинамического программного комплекса (ПК) FlowVision [1-3] и прочностного ПК CAE Fidesvs [4-9]. Течение воздуха рассчитывается в ПК FlowVision. Деформация клапана рассчитывается в ПК Fidesvs. ПК FlowVision основан на методе конечных объёмов. ПК CAE Fidesvs основан на методе конечных элементов. В статье описывается процедура сопряжения двух ПК. Приводятся результаты расчетов. Рассматривается деформации клапана при наличии в нём дефекта (отверстия). Исследуется зависимость деформации клапана от положения дефекта.
2. Программный комплекс Flow Vision
Программный комплекс (ПК) FlowVision [1] используется для решения различных прикладных задач в различных областях промышленности. Его популярность основана на том, что он позволяет решать сложные нетрадиционные задачи, находящиеся на стыке различных дисциплин, а также на парадигме полной автоматизации таких трудоемких для инженера процессов, как построение расчетной сетки. FlowVision - это программный комплекс, полностью отчуждаемый от разработчиков. Он имеет развитый графический интерфейс, систему задания расчетного проекта и систему визуализации течений различными методами. Кроме этого, ПК FlowVision предоставляет пользователю возможность вычислять интегральные характеристики течения на различных поверхностях и в объёмах различных объектов.
ПК FlowVision основан на конечно-объемном подходе к аппроксимации основных уравнений движения жидкости. В нём реализованы явный и неявный методы интегрирования этих уравнений. ПК имеет автоматический построитель неструктурированной сетки с возможностью её локальной динамической адаптации. В ПК реализован двухуровневый параллелизм, позволяющий эффективно проводить расчёты на компьютерах, имеющих распределенную и общую память одновременно. FlowVision обладает широким спектром физико-математических моделей - турбулентности (URANS, LES, ILES), горения, массопереноса с учётом химических превращений и радиоактивного распада, электрогидродинамики. FlowVision моделирует несжимаемые (плотность не зависит от давления) и сжимаемые течения. FlowVision позволяет рассчитывать течения, в которых присутствуют гиперзвуковые зоны, застойные области и зоны рециркуляции. Это достигается использованием все-скоростного метода расщепления по физическим переменным для решения уравнений Навье-Стокса [2].
FlowVision позволяет решать междисциплинарные задачи: моделировать многофазные течения с помощью метода VOF, задавать движение тел (перемещение непроницаемых границ) по неподвижной расчетной сетке, моделировать течения во вращающихся машинах с использованием метода скользящей сетки, решать задачи взаимодействия жидкости и конструкции методом двухстороннего сопряжения FlowVision с конечно-элементными ПК.
3. Программный комплекс CAE Fidesys
Программный комплекс CAE Fidesys позволяет проводить различные виды прочностного инженерного анализа полного цикла от построения расчетной сетки до визуализации результатов расчета. Для численного решения задач механики деформируемого твердого тела CAE Fidesys использует в своей основе метод конечных элементов и метод спектральных элементов.
CAE Fidesys позволяет производить расчёт как линейных, так и нелинейных задач [6], статических [8] и динамических [7] задач прочности:
1. Задачи при плоских напряжениях и плоских деформациях
2. Расчет панряжешю-деформировашюго состояния при статическом и динамическом пагружепии
3. Расчет собственных частот и форм колебаний трехмерных тол
4. Расчет критических нагрузок и форм потери устойчивости
5. Задачи дня моделей, содержащих элементы различных типов: баночные. оболочечные, твердотельные
6. Упругоилаетичеекое деформирование но моделям Мизеса и Друкера-Прагера
7. Геометрически нелинейные задачи
8. Физически нелинейные задачи
9. Контактные задачи
10. Решение задач теплопроводности и термоунругости
4. Взаимодействие CAE Fidesys и Flow Vision
Дня обеспечения проведения совместного расчёта, двум программным комплексам необходимо осуществлять обмен актуальной информацией. Дня этого был разработан программный модуль, осуществляющий двустороннее взаимодействие между комплексом CAE Fidesys и Flow Vision. Дня обмена информацией с Flow Vision используется Direct Coupling Co-Simulation протокол, совместимый с КЭ кодом Abaqus, Принципиальную схему можно изобразить следующим образом:
г 1 Fidesys г Ч Модуль- I^HI Г Л Flow Vision
посредник я ^
Дня определения панряжёппо-деформироваппого состояния и соответствующего ему распределения потока используется итерационный процесс. Предварительно происходит расчёт обтекания педоформироваппого тола. Рассчитанное воздействие в виде поверхностных сил передаётся в САЕ Р1с1е8у8 дня расчёта деформированного состояния твёрдого тона. Затем, опять проводится расчёт течения, по уже с учётом деформированного состояния. Подобные шаги повторяются пока дополнительные перемещения не станут нулевыми, что является индикатором того, что итерационный процесс сошёлся. Этот алгоритм можно записать в виде блок-схемы:
При наличии решения для конкретного момента времени, выполняется шаг но времени с использованием неявной схемы. Внутри этой схема также выполняется серия итераций пока не будет достигнута сходимость. После этого решение на следующем шаге но времени полагается найденным.
5. Математическая модель
При моделировании течения воздуха в ПК FlowVision решаются следующие уравнения.
Уравнение неразрывности:
^ + V {pV) = 0. (1)
Здесь t - время, р - плотность, V - скорость потока. Уравнение импульсов:
дрУ + V {pV 0 V) = -Vр + V ■ fe// + pg, (2)
dt
fe// = {p + S - 2{V- V ) /)
Здесь р - статической давление, д - ускорение свободного падения, те // - эффективный тензор вязких напряжений, р, - динамический коэффициент вязкости, ^ - динамический коэффициент турбулентной вязкости, Б - тензор скоростей деформации.
Уравнение энергии, записанное через полную энтальпию Н:
+ V (рУН) = ^ + рУ + V- (ге// • V), (3)
Н = К + V2/2.
или через термодинамическую энтальпию К
+ V (рУК) = § + У • VР ^•Ъ + ^ +ре, (4)
i, 3 = 1
h = h0 (298.15)+/ Ср (Т) dT.
'298.15
Здесь h0 (298.15) - энтальпия образования газа при 298,15 К, Ср (Т) - его
Т
ческая температура. Уравнение (3) решается при моделировании транс- и сверхзвуковых течений газа. Уравнение (4) решается при моделировании течений без ударных волн, В уравнениях (3) и (4) Jq - эффективный тепловой поток:
Jq = -(а + *р£) v т.
Здесь А - коэффициент теплопроводности газа, Prt - турбулентное число Прандтля,
Система (1), (2), (3) или (1), (2), (4) дополняется уравнением состояния газа и уравнениями используемой модели турбулентности,
В ПК Flow Vision реализовано 7 моделей турбулентности: алгебраическая модель Смагоринского (см, [10]), модель Сиаларта-Аллмареса (см, [10] и [11]), модель Shear Stress Transport к-? (см, [12]) и четыре к-? модели - 'Стандартная' (см, [11]), AKN [13], квадратичная [14] и к-? модель турбулентности Flow Vision (KEFV) [15, 16], Константы моделей турбулентности и пристеночных функций выведены в интерфейс Flow Vision, Значения констант по умолчанию обеспечивают высокую точность вычисления характеристик различных турбулентных течений, В общем случае, варьируя константы, пользователь может настроить ту или иную модель на конкретный класс задач, В обсуждаемых расчётах использовалась модель турбулентности KEFV [15, 16]: "
^ + V (pVk) = V ( (' + Vk) + Pk + Pk,gen + Gk- , - pe(1+i (max ( M? M?0) - M?)) - Dpp ,
9 (P g) dt
fV (pVe) = V
. Vt
V +--
Os
V
^Ji + ^L k
r(Ceih ( Pk + Gk) -C£2f2pe)
Де4
Vt = pC^k2/e, Pk = »t[S - 2(V^V)2) - 2p(V^V)k
(
Pk,gen — V^qenS exp ^
(t У
G
к
D
pp
{
Prt
0
У > L • y*pp
CppP [n •V (к | V |)} y^L • y*pp
ft = 1 + Ci exp < -
(t):
Pk
fi = 1 - C£a + C£a —,
2 =
УКо!т\
1 + Cm^^ - ^^ C4 !
1 - exP -
УК olm
(£ • p)i/4y
Ее*
p k
2
M2 = =2 , ye a2
1 - C3 exp < -
2k
S = 2 Y,SHSH ,Sv + '
г,] \ J /
í Щ \
\dxj dxi J
w =2 £wtiwti ,wti = 2
Значения констант по умолчанию:
ok = 1, O = 1.3, Cpp = 0.003 , y*pp = 1020,
Cei = 1.44 , C£2 = 1.92 , C£3 = 0.05 ,
Ci = 5, C2 = 50, C3 = 0.335, C4 = 3.4, C5 = 5.8,
Ce = 10000, =0, = 0, С = 1.5, Mto = 0.25.
(6) (7)
(8)
(9)
{- (t У
(10)
Здесь Хг - декартова координата, к - турбулентная энергия, е - скорость диссипации турбулентной энергии, у - динамический коэффициент вязкости, у -расстояние до стенки, 3 - коэффициент теплового расширения, а - скорость звука, Ср = 0.09 - фиксированная модельная константа, у*р - расстояние от стенки, определяющее зону действия члена Врр, Ь - линейный масштаб задачи (характерный размер обтекаемого объекта), п - нормаль к стенке. Точное значение константы у*р ~ 1 определяется решаемой задачей. Значение
1
2
по умолчанию у*р = 1020 означает, что член Орр действует во всей расчётной области. Константа Сдгс^ в выражении (10) позволяет "включать" учёт кривизны линий тока. Константы £ и М40 определяют модель учёта сжимаемости, Задание ненулевого значения константы р+еп в некоторой области инициирует генерацию турбулентности.
Поскольку расчёты проводятся при высоких числах Рейпольдса, используется модель пристеночных функций ИойА^юп [17].
6. Расчёты
Рассматривается трёхмерное течение воздуха около клапана. Деформируемое тело обтекается неограниченным потоком воздуха под прямым углом. Проводится два расчёта для тела с различно расположенными отверстиями (дефектами),
Геометрические свойства лопатки:
Длина (ось V) 0.05
Ширина (ось ) 0.005
Толщина (ось ) 0.02
Первое отверстие расположено по центру и имеет следующую эллиптическую форму:
Главная полуось 0.003
Малая полуось 0.0025
Второе отверстие расположено ассиметричпо и близко к краю. Имеет круглую форму с диаметром 0,004, Первая модель показана на Рисунке 1, Вторая модель показана на рисунке 2,
Рис. 1: Кланах: с дефектом, расположенным в центре.
Рис. 2: Клапан с дефектом, смещённым к краю. Параметры твёрдого материала лопатки:
Модуль Юнга 5е—9
Коэффициент Пуассона 0.3
Плотность 3500
На Рисунке 3 приведены значения напряжения но Мизесу в точке, pacxio.no-
жешюй по центру вблизи места закрепления.
Рис. 3: Напряжение но Мизееу,
Напряжённо-деформированное состояние каждой из моделей в одном и том же потоке воздуха показано па Рисунке 4.
ЛЯ
Напряжения (Мизес) 3,04е+08 =3,03"е+08
:2,2772е+8
:1,5181е+8
=7,5907е+7
1,05е+05 1,045е+05
Рис. 4: Напряжённо-деформированные состояния двух моделей.
Деталь примыкает к одной из боковых сторон расчетной области. На этой стороне установлено граничное условие "симметрия", на клапане - условие "стенка", на остальных границах установлено "неотражающие" граничное условие со скоростью набегающего потока V,n, статическим давлением pin и статической температурой Tin. Тело обтекается воздухом.
Расчетная сетка получена путем автоматической адаптации начальной сетки. Количество ячеек но каждому направлению начальной сетки равно N^=90, Ny=36, N¿=46, По направлению х (по направлению потока) начальная сетка сгущается около тела. Адаптация проводится в объеме большого окружающего тело цилиндра до 1-го уровня, в объеме малого окружающего клапан цилиндра до 2-го уровня и но поверхности - до 3-го уровня (8 слоев). Общее количество ячеек в сетке Х=700 ООО ячеек. Данная расчетная сетка была выбрана в результате предварительного исследования сеточной сходимости результатов в ПК Flow Vision.
7. Заключение
Разработана технология двухстороннего сопряжения программного комплекса вычислительной гидродинамики Flow Vision, основанного на методе конечных объёмов, с конечно-элементным программным комплексом Fidesvs, С использованием этой технологии проведено численное исследование обтекание клапана. Исследование показало, что сопряжённый программный комплекс FlowVision+Fidesvs с удовлетворительной точностью рассчитывает характеристики сопряжённой задачи на сетках умеренной размерности,
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аксёнов A, A, FlowVision: индустриальная вычислительная гидродинамика // Компьютерные исследования и моделирование, —2017. — Т. 9,
-
2. Aksenov A.A., Zhluktov S.V., Savitskiv D.V., Bartenev G.Y., Pokhilko V.I. Simulation of 3D flows past hypersonic vehicles in FlowVision software // Journal of Physics: Conference Series, Volume 653, No. 012072, 2015, http://iopscience.iop.org/1742-6596/Y2015.
3. Markova Т. V., Aksenov A. A., Zhluktov S. V., Savitskv D. V., Gavrilov A. D,, Son E. E. Prokhorov A. N. Simulating flow around scaled model of a hypersonic vehicle in wind tunnel // Journal of Physics: Conference Series. - Vol. 774, No. 1 (012095). - 2016. - 9 p. http://iopscience.iop.Org/article/10.1088/1742-6596/774/l/012095
4. B.A. Левин, А.В. Вершинин "Численные методы. Параллельные вычисления на ЭВМ ". 2й том пятитомного цикла монографий "Нелинейная вычислительная механика прочности". М,: ФИЗМАТ ЛИТ. 2015.
5. Е.М. Морозов, В.А. Левин, А.В. Вершинин "Прочностной анализ. Фиде-сис в руках инженера". М,: UESS, 2015. - 408 с.
6. Zingerman К. М,, Vershinin А. V., Levin V. A. An approach for verification of finite-element analysis in nonlinear elasticity under large strains // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2016. — Vol. 158. — P. 012104.
7. Vladimir A. Levin, Anatolv V. Vershinin, and Konstantin M. Zingerman. Numerical analysis of propagation of nonlinear waves in prestressed solids. Modern Applied Science, 10(4): 158-167, 2016
8. Numerical analysis of the stress concentration near holes originating in previously loaded viseoelastie bodies at finite strains. Vladimir A. Levin, Konstantin M. Zingerman, Anatolv V. Vershinin, Eugene I. Freiman, Anastasia V. Yangirova. International Journal of Solids and Structures. 10/2013; 50(20-21):3119-3135. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2013.05.019
9. Вершинин А.В., Левин В.А., Комолова Е.В., Кукушкин А.В., Улькин Д.А. "Об использовании полнофункциональной CAE Fidesys при разработке инновационных изделий ОПК", Научно-методический журнал Межотраслевая Информационная Служба ФГУП "BUMII". 38-41 с. Выпуск 4 (165). Москва 2013
10. Гарбарук А. В., Стрелец М. X., Шур М. Л. Моделирование турбулентности в расчётах сложных течений // Учебное пособие, Санкт-Петербург, Издательство Политехнического Университета, 2012, 88 с.
11. Wilcox D. С. Turbulence modeling for CFD // DCW Industries, Inc., 1994, 460 p.
12. Menter F. R., Kuntz M,, Langtrv R. Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model // Turbulence, Heat and Mass Transfer 4, ed: K. Hanjalic, Y. Nagano, and M. Tummers, Begell House, Inc., 2003, pp. 625 -632.
13. Abe K,, Kondoh Т., CityplaeeNagano Y. A New Turbulence Model for Predicting Fluid Flow and Heat Transfer in Separating and Reattaching flows-I, Flow Field Calculation // Int. Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 37, No. 1, 1994, pp. 139-151.
14. Lien F.S., Chen W.L., Leschziner M.A. Low Reynolds-Number Eddy-Viscosity Modelling Based on Non-Linear Stress-Strain/Vortieitv Relations // Engineering Turbulence Modelling and Measurements 3, Elsevier, 1996, pp. 91-100.
15. Жлуктов С. В., Аксёнов А. А., Карасёв П. И. "Моделирование ламинарно-турбулентного перехода в рамках k-epsilon подхода" Компьютерные исследования и моделирование, 2014, Том 6, JV2 6, с. 879-888.
16. Жлуктов С.В., Аксёнов А.А., Карасёв П.И. Моделирование отрывного течения с использованием двухпараметричеекой модели турбулентности // Компьютерные исследования и моделирование. — 2016. — Т. 8, JV21. — С. 79-88.
17. Жлуктов С.В, Аксёнов А.А. Пристеночные функции для высокорей-
нольдеовых расчетов в программном комплексе Flow Vision / / Компью-
— — —
1239.
REFERENCES
1. Aksenov А.А. 2017, "FlowVision: Industrial computational fluid dynamics", Computer Research and Modeling, Vol. 9, no. 1, pp. 5-20
2. Aksenov, A,A,, Zhluktov, S.\'.. Savitskiv, DA7,, Bartenev, G.Y, & Pokhilko V.I. 2015, "Simulation of 3D flows past hypersonic vehicles in FlowVision software", Journal of Physics: Conference Series, Vol. 653, no. 012072, Available at: http://iopscience.iop.org/
3. Markova, T.V., Aksenov, A.A., Zhluktov, S.V., Savitskv, D.V., Gavrilov, A.D., Son, E.E. & Prokhorov, A.N. 2016, "Simulating flow around scaled model of a hypersonic vehicle in wind tunnel", Journal of Physics: Conference Series, Vol. 774, no. 012095, p. 9, Available at http://iopscience.iop.org/
4. Levin, V.A. & Vershinin, A.V. 2015, "Nelinejnaja vychislitel'naja mehanika prochnosti. V 5 tomah. Tom 2. Chislennve metodv. Parallel'nye vvehislenija na JeVM" ["Computational structural mechanics. Volume 2. Numerical methods. Parallel computing"], FIZMATLIT Moskva
5. Morozov, E.M., Levin, V.A. & Vershinin, A.V. 2015 "Proehnostnoj analiz. Fidesvs v rukah inzhenera" ["Strength analysis. Fidesvs in the hands of an engineer"]. URSS, p. 408
6. Zingerman, K.M., Vershinin, A.V. & Levin V.A. 2016 "An approach for verification of finite-element analysis in nonlinear elasticity under large strains", IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, Vol. 158, no. 012104
7. Levin, V.A,, Vershinin, A.V. & Zingerman, K.M. "Numerical analysis of propagation of nonlinear waves in prestressed solids", Modern Applied Science, Vol. 10, no. 4, pp. 158-167
8. Levin, V.A,, Zingerman, K.M., Vershinin, A.V,, Freiman, E.I. & Yangirova A.V. 2013 "Numerical analysis of the stress concentration near holes originating in previously loaded viseoelastie bodies at finite strains", International Journal of Solids and Structures, Vol, 10, no, 50(20-21), pp. 3119-3135, doi: 10.1016/j.ijsolstr.2013.05.019
9. Vershinin A.V,, Levin V.A,, Komolova E.V., Kukushkin A.V. & Ulkin D.A. 2013 "Use of the CAE Fidesvs in the development of innovative industrial products", Nauchno-metodicheskij zhurnal Mezhotraslevaja Informacionnaja Sluzhba FGUP "VIMI", Vol. 4, no. 165, pp. 38-41
10. Garbaruk, A.V., Strelets, M.Kh. & Shur, M.L. 2012, "Modelirovanie turbulentnosti v raschjotah slozhnvh teehenij" ["Turbulence modeling in calculations of complex flows"], p. 88
11. Wilcox, D.C. 1994, "Turbulence modeling for CFD", DCW Industries, Inc., p. 460
12. Menter, F.E., Kuntz, M. & Langtrv, E. 2003 "Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model", Turbulence, Heat and Mass
Transfer 4, ed: К. Hanjalie, Y. Nagano, and M. Tummers, Begell House, Inc., pp. 625-632.
13. Abe, K,, Kondoh, T. & CitvplaeeNagano, Y. "A New Turbulence Model for Predicting Fluid Flow and Heat Transfer in Separating and Reattaching flows-I, Flow Field Calculation", Int. Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 37, no. 1, pp. 139-151
14. Lien, F.S., Chen, W.L. & Leschziner, M.A. 1996 "Low Reynolds-Number Eddy-Viscosity Modelling Based on Non-Linear Stress-Strain/Vortieity Relations", Engineering Turbulence Modelling and Measurements 3, Elsevier, pp. 91-100
15. Zhluktov, S.V., Aksenov, A.A. & Karasev, P.I. 2014 "Modeling of the laminarturbulent transition in the Modeling of the laminar-turbulent transition in the framework of the k-epsilon approach", Computer Research and Modeling, Vol. 6, no. 6, pp. 879-888
16. Zhluktov, S.V., Aksenov & A.A., Karasev, P.I. 2016, "Modeling separated flow with use of two-equation turbulence model", Computer Research and Modeling, Vol. 8, no. 1, pp. 79-88
17. Zhluktov, S.V. & Aksenov, A.A. 2015, "Wall functions for high-Reynolds calculations in FlowVision software", Computer Research and Modeling, Vol. 7, no. 6, pp. 1221-1239
получено 22.05.2017
принято в печать 14.09.2017
