CC BY
47
УДК 681.3
Т.М. Брагин, А.М. Степанов, М.Ф. Степанов РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В СИСТЕМЕ ГАММА-3
Рассматриваются вопросы организации параллельных вычислений при решении задач параметрической идентификации генетическим алгоритмом в многофункциональной системе ГАММА-3. Предложен модифицированный генетический алгоритм параметрической идентификации. Исследованы его свойства. Выполнен сравнительный анализ с классическим алгоритмом. Решена задача параметрической идентификации сложного технического объекта.
Автоматизация решения задач управления, параллельные вычисления, генетические алгоритмы, параметрическая идентификация
T.M. Bragin, A.M. Stepanov, M.F. Stepanov TASKS SOLVING OF PARAMETRIC IDENTIFICATION WITH USAGE OF PARALLEL CALCULATIONS IN THE SYSTEM THE GAMMA-3
Questions of organization of parallel computations at solving of tasks of parametric identification by genetic algorithm in the multifunctional system the GAMMA-3 are considered. The modified genetic algorithm of parametric identification is offered. Its properties are researched. The comparative analysis with classical algorithm is fulfilled. The task of parametric identification of the complex technical plant is solved.
Automation of tasks solving of control, parallel computations, genetic algorithms, parametric identification
Введение
Огромное разнообразие методов параметрической идентификации свидетельствует об отсутствии универсальных алгоритмов [1]. К числу наиболее популярных относятся алгоритмы, основанные на методе наименьших квадратов [1]. Большую группу составляют градиентные методы, эффективно работающие в пространствах небольшой размерности. Все большую популярность набирают искусственные нейронные сети, обладающие способностью аппроксимировать сложные зависимости с любой наперед заданной точностью [2]. Однако известные трудности определения адекватной решаемой задаче структуры нейронной сети, сложностью и, главное, часто неприемлемо большой длительностью процесса обучения сети, существенно ограничивают области их применения [2]. Другую группу методов составляют эволюционные алгоритмы [3]. Однако классические эволюционные алгоритмы оказались также не эффективны для задач большой размерности. Выход может быть найден применением параллельных вычислений при наличии достаточных вычислительных ресурсов. Эффективность распараллеливания обычно характеризуют ускорением вычислений, определяемым отношением затрат времени при последовательной и параллельной обработке. Следует учитывать, что 100% распараллеливания достигнуть практически невозможно [4]. Кроме того, наличие накладных расходов на сетевое взаимодействие между вычислительными узлами снижает общий эффект от распараллеливания [4].
1. Исследование особенностей применения генетических алгоритмов для решения задачи идентификации
Рассмотрим использование генетического алгоритма для решения задачи идентификации сложным объектом в условиях недостаточной априорной информации с применением параллельных вычислений. В задачах параметрической идентификации структура математической модели исследуемого объекта известна или задана. В качестве объекта управления далее рассматривается система дизель-генератор, состоящая из следующих функциональных частей (рис. 1): 1) дизельный двигатель; 2) турбокомпрессор; 3) впускной коллектор; 4) выпускной коллектор; 5) электрический генератор постоянного тока (имеет механическую и электрическую части).. Уравнение механической части электрического генератора должно быть записано с учётом наличия упругой муфты между коленчатым валом двигателя и ротором генератора. Математические модели составных частей объекта в виде дифференциальных уравнений:
й—Д
двигатель: Тд&~+ к Д— = Ъкр +врр~вДМта , (1)
турбокомпрессор: ТК + кК—К = к£ + &кНкр - вкрР’ (2)
йр
впускной коллектор: ТВ--------+ кВр = кВК—К - 0ВД—Д, (3)
йг
выпускной коллектор: Тг~^ + кгЕ = кгД—Д + 0грр-0ккНр, (4)
муфта Мти = Ст (Фд -9г ) + Кт (—д - Юг ) ,
механическая часть генератора: Тш й—г + кгм—г = Мти - Мта, (5)
йг
йи
электрическая часть генератора: Тг — + к гии г = кг—г, (6)
йг
Совокупность уравнений (1)-(6) представим в матричной форме:
х = Ах + Ви + И/, у = Сх, х е Я", и е Ят, / е Ям, у е Яг, (7)
где х = со1оп(Фд, —д,—К,фг,—г,иг, Е, Р, ) - вектор переменных состояния объекта,
и = Ьр - управление; / = Мта - возмущение; у = со1оп(—д , —К, иг, р) - вектор измеряемых переменных объекта; —Д - относительная угловая скорость коленчатого вала двигателя, —К - относительная угловая скорость ротора турбокомпрессора; р - относительное изменение давления наддува; Е - относительное давление газа у газотурбины; —г - относительная угловая скорость ротора генератора; иг - напряжение, получаемое на генераторе; Нр - перемещение рейки топливного насоса; - коэффициент изменения нагрузки.
В качестве исходных данных в задаче идентификации заданы экспериментальные данные 1) скорость вращения коленвала двигателя —Д ; 2) скорость вращения вала турбокомпрессора
—К; 3) давление турбонаддува на выходе компрессора р ; 4) напряжение на выходе генератора иг, при подаче и снятии внешнего возмущения и управляющего воздействия: и = {0,0 < г < 25;и0,25 < г < 37,5;0,37,5 < г < 50}, / = {/0,0 < г < 25; 0, 25 < г < 50}. Экспериментальные данные нормализованы и приведены к относительной форме в отклонениях от номинального значения.
В качестве критерия качества решения задачи идентификации примем оценку близости переходных процессов исследуемого объекта и построенной математической модели (разновидность взвешенного критерия наименьших квадратов)
N,1=11=12
уЭ (;,)
где уМ (г-), у^ (г]) - значения в момент времени г - г-го выхода модели и объекта соответственно. На рис. 2 приведены графики, иллюстрирующие нормализованные значения экспериментальных данных.
Рис. 1. Схема силовой установки двигатель-генератор: ТК - турбокомпрессор; 1 - компрессор; 2 - турбина; 3 - выпускной коллектор; 4 - впускной коллектор; РЧВ - регулятор частоты вращения
Рис. 2. Нормализованные экспериментальные данные: рІапЦІ] - относительное изменение скорости вращения вала двигателя; рІап^2] - относительное изменение скорости вращения ротора турбокомпрессора; рІап^З] - относительное изменение давления на выходе турбокомпрессора; рІапЦ4] - относительное изменение напряжение на выходе генераторе
При решении задачи идентификации с использованием генетического алгоритма обнаружены следующие недостатки: 1) лучшее значение критерия неизменно на протяжении нескольких поколений (для ряда последовательных итераций алгоритма) и не соответствует заданным требованиям; 2) значение критерия у каждой новой особи в течение ряда поколений хуже, чем у лучшей ранее отобранной; 3) увеличение максимально допустимого количества поколений не приводит к улучшению значения критерия качества идентификации.
На рис. 3, 4 приведены график изменения критерия идентификации при решении задачи идентификации классическим генетическим алгоритмом, сравнение переходных процессов модели и экспериментальных данных (скорость вращения коленвала двигателя (шоёе1[1] и р1ат[1]) и напряжение на выходе генератора (шоёе1[4] и р1ат[4])). В течение целого ряда поколений не улучшается значение критерия (поколения с 12 по 20). Это свидетельствует о недостаточной эффективности алгоритма, поскольку вычислительные затраты на построение соответствующих поколений оказались бесполезными. Следовательно, необходимо разработать новый модифицированный алгоритм.
2. Модифицированный генетический алгоритм
Алгоритм 1.
1. Генерация начального приближения.
2. Сортировка популяции по возрастанию критерия близости модели и исходных данных.
3. Запомнить значение критерия для лучшей особи.
4. Выделение элитных особей с наименьшим значением критерия.
5. Построение нового поколения посредством скрещивания лучших особей.
6. Если значение критерия для лучшей особи из нового поколения не меньше сохраненного значения критерия, то выполнение мутации особей текущего поколения.
7. Объединение в одном наборе элитных особей и особей нового поколения, а также мутированных особей текущего поколения при их наличии.
8. Сортировка объединенного набора особей по возрастанию критерия качества.
9. Выделение из объединенного набора заданного количества лучших по значению критерия качества особей с отбрасыванием худших.
10. Если значение критерия для лучшей особи из нового поколения меньше заданного, то завершить работу.
11. Если количество итераций алгоритма меньше максимально допустимого, то идти к п. 3, иначе завершить работу.
Новизну предлагаемого алгоритма составляет п. 6, обеспечивающему дополнительную вариацию «генофонда» при отсутствии улучшения значения критерия качества после генерации нового поколения.
Рис. 3. График изменения критерия идентификации при решении задачи идентификации классическим генетическим алгоритмом
Рис. 4. Сравнительные графики переходных процессов модели (model) и экспериментальных данных (plant)
Теорема 1. Модифицированный генетический алгоритм 1 является разрешимым.
Доказательство. Г енетический алгоритм, рассматриваемый алгоритм 1 относится к классу переборных алгоритмов. Пространство поиска ограничено заданными границами изменения значений искомых параметров. В качестве хромосомы (набора генов) каждой отдельной особи популяции выступает набор значений параметров идентифицируемой математической модели объекта управления. Оператор скрещивания (кроссинговер) на каждом шаге алгоритма порождает «потомков» (особи нового поколения), хромосомы которых образуются случайным комбинированием хромосом «предков» (особей текущего поколения). Последующая мутация позволяет внести небольшие изменения в гены особей популяции. В совокупности скрещивание и мутация позволяют осуществить генерацию комбинаций вариантов значений параметров идентифицируемой модели. При достаточном количестве вариантов, теоретически, можно осуществить перебор всех возможных комбинаций. Однако требуемые для этого затраты времени значительно превышают все разумные пределы, т.к. каждый ген хромосомы - значение одного из идентифицируемых параметров модели объекта -представляет вещественное число, количество возможных значений которого в заданном для исследования диапазоне конечно, но очень велико и может изменяться с шагом, не менее, чем точность представления вещественного числа в разрядной сетки используемой вычислительной системы. Отбор лучших особей по значению критерия качества (отклонение поведения идентифицируемой модели от исходных экспериментальных данных) направляет перебор вариантов в область искомых параметров. Задание ограничения на количество поколений и допустимое значение отклонения поведения идентифицируемой модели от заданных исходных данных обеспечивает конечность шагов работы алгоритма и как следствие - его разрешимость.
Теорема 2. Вычислительная сложность модифицированного генетического алгоритма 1 составляет О (и2).
Доказательство. Вычислительная сложность алгоритма оценивается приращением количества выполняемых действий при линейном увеличении размерности исходных данных (параметров алгоритма). К параметрам генетического алгоритма относится размер популяции - n . Детальный анализ алгоритма позволяет установить, что:
Для шага 1. При генерации начального приближения для каждой особи вычисляется значение каждого гена хромосомы с использованием одной операции умножения (У), операции сложения (С) и операции вычитания (В). Тогда общие вычислительные затраты составят: п(У + С + В), что обеспечивает сложность шага 1 равной O(n).
Для шага 2. Сортировка. Вычислительная сложность сортировки зависит от используемого алгоритма и в худшем случае составляет O(n2 ) .
Дальнейший анализ показывает, что остальные шаги алгоритма, кроме шага 6, имеют сложность O(n), а шаг 6 - сортировка. Таким образом, сложность алгоритма 1 - O(n2).
3. Решение задачи идентификации модифицированным генетическим алгоритмом
Рассмотрим решение задачи параметрической идентификации модели дизель-генератора модифицированным генетическим алгоритмом. На рис. 5 приведен график изменения критерия идентификации при решении задачи идентификации модифицированным генетическим алгоритмом. На рис. 6 приведены сравнительные графики переходных процессов модели и экспериментальных данных (скорость вращения коленвала двигателя (model[1] и plant[1]) и напряжение на выходе генератора (model[4] и plant[4])).
Приведенный протокол показывает, что модифицированный алгоритм обладает лучшей сходимостью, что позволило также уменьшить значение критерия близости модели и исходных экспериментальных данных и наибольшей ошибки идентификации параметров (уменьшение составляет около 10%).
4. Модифицированный генетический алгоритм идентификации параметров динамической системы с использованием параллельных вычислений
Наиболее важным при настройке ГА и создании их модификаций является соблюдение баланса между достаточной шириной области поиска (т.е. вероятностью найти очень “хорошее решение”) и быстрой сходимостью (т.е. приемлемым временем вычислений) [5]. Разработку параллельного ГА в стандарте MPI можно свести к следующей последовательности действий: 1) написание “обычного” последовательного ГА, 2) приведение структуры программы к требованиям MPI (инициализация, завершение), 3) добавление операции миграции в программный код. С учетом указанного одна итерация параллельного ГА включает: 1) скрещивание (кроссинговер); 2) мутация; 3) селекция; 4) миграция. [3].
Опробован следующий метод: выбираются несколько особей, последовательно хранящихся в стандартном контейнере С++ std:: vector и отсылаются в следующий по номеру процесс, и так далее. Как показали эксперименты, при малом, по сравнению с количеством особей в популяции, количестве мигрируемых особей эффективность параллельного ГА падает пропорционально количеству используемых процессов. Это означает, что миграция в таких количествах не отражается на переносе генетического материала. Однако, значительное повышение производительности наблюдается, если миграции подвергаются наиболее жизнеспособные особи. Подобный эффект достигается, если количество мигрируемых особей примерно равно половине размера части популяции, находящейся в одном процессе.
Если судить об эффективности параллельного ГА по коэффициенту использования, то результаты будут схожими с решением систем алгебраических уравнений. Однако параллельная реализация влияет на параметры ГА, в частности, на размер популяции. При значительном увеличении размера популяции число итераций не изменяется или изменяется незначительно. Это объясняется тем, что в популяции набралось достаточное для эволюции количество особей. "Лишние" особи, которые не влияют на сходимость ГА, занимают ресурсы вычислительной системы, снижая эффективность.
Рис. 6. График изменения критерия Рис. 7. Сравнительные графики переходных
идентификации процессов модели и экспериментальных данных
Таким образом, переход к параллельным алгоритмам привел к необходимости более тонкой настройки параметров собственно генетического алгоритма. Г енерацию новых членов популяции, вычисление критерия качества для них можно выполнять параллельно с последующим объединением их на одном вычислительном узле (процессе) для выполнения сортировки и отбора наиболее приспособленных «особей» по значению критерию качества. Тогда алгоритм 1 с применением параллельных вычислений примет следующий вид.
Алгоритм 2. Модифицированный генетический параметрической алгоритм идентификации с использованием параллельных вычислений.
1. Головной процесс: Рассылка исходных данных дочерним процессам.
2. Все процессы: получение исходных данных.
3. Все процессы: Генерация начального приближения с вычислением критерия качества для каждой особи подмножества популяции, обрабатываемого данным процессом.
4. Все процессы: Передача головному процессу генотипа порожденного подмножества популяции.
5. Головной процесс: Получение и сбор подмножеств генотипа популяции от всех процессов.
6. Головной процесс: Сортировка особей популяции по возрастанию критерия близости модели и исходных данных.
7. Головной процесс: Рассылка отсортированного генотипа популяции.
8. Все процессы: Получение отсортированного генотипа популяции.
9. Головной процесс: Сохранение значения критерия качества для лучшей особи.
10. Головной процесс: Выделение особей с наименьшим значением критерия.
11. Все процессы: Порождение особей нового поколения путем скрещивания генов выделенного для данного процесса подмножества лучших особей популяции.
12. Все процессы: Передача головному процессу генотипа порожденного подмножества нового поколения популяции.
13. Головной процесс: Получение и сбор генотипа нового поколения популяции.
14. Головной процесс: Объединение в одном наборе элитных особей текущего поколения и особей нового поколения.
15. Головной процесс: Сортировка набора особей по возрастанию критерия качества
16. Головной процесс: Если значение критерия для лучшей особи из объединенного набора меньше сохраненного лучшего значения критерия, то сохранить новое значение критерия как лучшее. Идти к п. 20.
17. Головной процесс: Выполнить мутацию особей текущего поколения.
18. Головной процесс: Объединение в одном наборе элитных особей текущего поколения, особей нового поколения и мутированных особей текущего поколения.
19. Головной процесс: Сортировка набора особей по возрастанию критерия качества.
20. Головной процесс: Выделение из объединенного набора заданного количества лучших по значению критерия особей с отбрасыванием худших.
21. Головной процесс: Миграция - рассылка отсортированного генотипа популяции.
22. Все процессы: Получение отсортированного генотипа популяции.
23. Все процессы: Если номер популяции меньше максимально допустимого идти к п.
10. Иначе завершить работу.
24. Головной процесс: Вывод результатов работы.
5. Сравнительный анализ решения задачи идентификации генетическими алгоритмами с использованием параллельных вычислений
Для решения задач с использованием параллельных вычислений применялся MPI [5]. Программа решения задачи идентификации с использованием параллельных вычислений на основе MPI составлена на языке С++ в Visual Studio 2005 Express Edition и реализует как классический генетический алгоритм, так и предложенные алгоритмы 1 и 2. Проведем их сравнительный анализ с использованием параллельных вычислений. Для этого осуществим вычислительный эксперимент по решению задачи идентификации математической модели системы двигатель-генератор при различных параметрах генетического алгоритма на различном количестве вычислительных узлов.
В задаче идентификации определим границы интервала вариации искомых параметров [Рн /2 2Рн ], где Рн в - номинальное значение параметра, известное на основе априорной информации. Параметры генетического алгоритма будем изменять следующим образом: максимально количество поколений - от 8 до 120, количество «взрослых» особей - от 32 до 496, «дочерних» особей - от 16 до 248, «элитных» особей - от 2 до 31. Результаты исследования представлены для классического алгоритма на рис. 8, для модифицированного алгоритма- на рис. 9.
ЕЕНВ^ -|g|xl '=JaJ'21
neaiu^/м- nsoi u^ / so- '
Рис. 6. Зависимости критерия идентификации от параметров алгоритма: а - классический; б - модифицированный алгоритмы
Приведенные результаты иллюстрируют более равномерную сходимость модифицированного алгоритма, что, в свою очередь, привело к улучшению значения критерия качества идентификации, т.е. повышению точности идентификации.
Выводы
Предложенный модифицированный генетический алгоритм параметрической идентификации обладает временными характеристиками, допускающими его использование в системе автоматизации решения задач проектирования и исследования систем управления в
интерактичном режиме. Алгоритм реализован в рамках пакета идентификации многофункциональной системы ГАММА-3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Льюинг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 432 с.
2. Сигеру Омату. Нейроуправление и его приложения / Сигеру Омату, Марзуки Халид, Рубия Юсоф; Пер. с англ. Н.В.Батина; Под ред. А.И. Галушкина, В.А. Птичкина. М.: ИПРЖР, 2000.
3. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI: Учебное пособие. М.: Изд-во МГУ, 2004. 71 с.
4. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия - Телеком, 2006. 452 с.
5. Argonne National Laboratory. URL: http://www.mcs.anl.gov/mpi
Брагин Тимофей М ихайлович -
аспирант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Степанов Андрей Михайлович -
аспирант кафедры «Системы искусственного интеллекта» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Степанов Михаил Федорович -
доктор технических систем, профессор кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 15.02.12, принята к опубликованию 12.03.12
