CC BY
14Т.В. Труфанова, Е.М. Веселова
РЕШЕНИЕ ВТОРОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ МЕТОДОМ ЕРУГИНА
In article the decision of the second equation of Penleve is in detail resulted by a method of Erugina.
С помощью метода Еругина построим решение второго уравнения Пенлеве: У " = 2 y3 + xy + a, (1)
где a - константа. Условимся считать ее большей нуля. Перепишем уравнение (1) в виде системы: dy dz „ 3
— = z, — = 2 y + xy + a. (2)
dx dx
Тогда согласно теореме Еругина эта система в окрестности особой точки x0 имеет решение, обладающее свойством
y(x) , z(x) при x ® x0. (3)
Построим такое решение и докажем его существование. Как и ранее, из системы (2) имеем
dz 2 y3 + xy + a
или
zdz = 2yidy + xydy + ady . (4)
Проинтегрируем равенство (4). Получим
у
-2 = у4 +12xydy + ау + С , (5)
где С - некоторая произвольная постоянная.
Согласно первому уравнению системы (2) dy = zdx . Тогда (5) можно переписать в виде
z2 = y4 + J xyzdx + ay + C . (6)
x0
Рассмотрим интеграл, стоящий в правой части выражения (6). Обозначим
x
a(x) = y-4 Jxyzdx . (7)
x0
Покажем, что a(x) = O(xy~2). Согласно правилу Лопиталя найдем
x
J xyzdx
lim x—4— = lim —XyZ = lim ^^ = li^n —= lim-T" = lim-= 0 .
yy y04y3 dy у4yz y4y ygydy у®¥ 8yz
dx dx
Отсюда вытекает, что
x
a( x) = y-4 J xyzdx = O( xy ~2). (8)
x0
Введем еще величину
z
Ьп (у) = )0(у) dy, п > 1.
Ранее было показано, что рп (у) при х ® х0 есть малая ограниченная величина порядка
у , т.е. можно записать
10(у~п)dy = 0(у1~п), п > 1.
На основании (8) и (9) равенство (6) перепишем в виде 7 2 = У 4[1 + 0( у-2)],
(9)
(10)
откуда легко получить, что
7 = у 2[1 + 0( у-2)]. (11)
Из (11) очевидно, что все решения системы (2) на плоскости (у, 7) асимптотически
приближаются к кривой 7 = у2.
Далее для системы (2) на основании равенства (11) имеем
1 + 0( у "2К.
dx = — = -
7
у
Проинтегрировав (12) слева от х0 до х, а справа от ¥ до у , найдем
1 1
= - - + Г у - 20( у -2) dy = - - + Г 0( у-4) dy
у * у •>
у
или с учетом равенства (9)
1 -3
х - Хо =--+ 0(у ).
у
Выразим отсюда х и подставим в (4). Тогда
( 1 >
7d7 = 2 y3dy + х0---+ 0( у3) ydy + ady.
у
Проинтегрируем:
у
72 = у4 + х0у2 - 2у + 2Г0(у"2)оу + ау + С,
где С - произвольная постоянная.
Воспользовавшись далее равенством (9), перепишем (17) в виде
72 = у4 + х0у2 - 2у + 0(у-1) + ау + С .
После вынесения в правой части общего множителя получим
72 = у4[1 + х0у"2 - 2у-3 + 0(у-5) + ау"3 + Су"4]. Извлекая из этого выражения квадратный корень, получим:
7 = у
1+
- у"3 +ау"3 + Су"4 + 0(у"5)
(12)
(13)
(14)
(15)
Здесь, как и ранее, была использована известная формула (1 + а)12 = 1 + ~ а +.
Из первого уравнения системы (2) видим, что dx = — .
7
Тогда, подставив сюда вместо 7 разложение (16) и воспользовавшись формулой (1 + а)-п = 1 - па +..., найдем:
1 - х°у-2 + у "3 +ау-3 + С у-4 + 0( у-5)
dx =-2---2-dy ,
у2
или
dx =
Л - ^ + у"5 -ау"5 -1 Су-6 + 0(у-7)
у 2 2
(17)
Проинтегрируем слева от х0 до х, справа - от ¥ до у . Тогда
х - х0 = - - + х° у-3 -1 у-4 +а у-4 + Су-5 + 0(у-6). (18)
0 у 6 4 410
Заметим, что если нам удастся доказать существование решения системы (2), обладающего свойством (3), то равенства (11), (14) и (16), (18) во всяком случае доставляют асимптотическое разложение этого решения. Итак, положим:
и = 7у-2. (19)
Тогда из (11) видно, что и ® 1 при х ® х0. Продифференцируем введенную замену по у, тогда
du d7 -2 -3
-Т = -Т у - 2 ту . (20)
dy dy
Далее согласно системе (2) и замене (19) имеем:
du 2 у3 + ху + а -2 „ -3 — = —---у - 2 7у ,
или
^ = 2у3 + ху + а у-4 - 2иу-1. (21)
dy и
Первое уравнение системы (2) на основании замены (19) перепишем как
^ -1 -2
— = и у . (22)
dy
Пусть теперь
V = у". (23)
Тогда
dy = —2 dv ,
V3
и уравнения (21), (22) примут вид
vdu = 4и2 -4 dx = 2v (24)
dv и dv и
Введем еще одну замену по формулам
и = 1 + т, х - х0 =в . (25)
7
Очевидно, что 1® 0, в® 0 при V ® 0.
Из (25) найдем, что du = d1, dx = dв . С учетом этого из уравнений (24) получаем:
4(1 + 21) _ 2(в + х0)у4 + 2ov6 (26)
dv 1 + 1 1 + 1 ' dv 1 + 1
На основании равенства (11) и замены (23) легко показать, что 1 = О^4). Поэтому
положим
1 = v4w. (27)
Продифференцируем эту замену:
d1 . 4 dа .,оч
— = + V4-. (28)
dv dv
Подставим (27) и (28) в уравнения (26), тогда: = 4а_ 2(в + х0) _ 20 dв = 2v
dv 1 + V4 а ' dv 1 + V4 а
Наконец, положим:
^ ^^ ^ ^ =--. (29)
44
Х = в + V2, ] = (30)
Как и прежде, продифференцируем эти замены и подставим все в уравнения (29):
3 = {* + хт) _ 2(Х_ V' + х0) _ 0 X_ ^ = __ 2V
dv л 4( х0 ) dv л 4|
1 + V41 ] + у I 1 + V41 ] + 2
откуда после преобразования получим
2v6 \п +
dh 4]_2Х + 2v2 _2а2 dX | 2 ,
^ =-7-л—, ^ =-V-\. (31)
"V л 4 ( х0 ) а^ л 4 ( х0
1 + V + 1 + V41 ^ +
Преобразование (30) имело целью уничтожить справа первые степени V и привести линейные члены относительно неизвестных к каноническому виду.
Как и в случае первого уравнения Пенлеве, представим знаменатели в правых частях уравнений (31) в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е.: 1 2
= 1 _ д + д2 _..., (32)
1 + V4! 7] + ^°
где
д = v4\h + ^LJ , | д |< 1.
Тогда уравнения (31) можно переписать в виде
v— = 4] _ 2Х + 2v2 _ 2о2 + а5 (V, ], X),
^ (33)
Vа] = У5(v, ], X).
иу Здесь
I гт X. л п к I гт
ак1^ Г] X , У5 = Л X - сходящиеся в окрестности точки
к+1+т>5 к+1+т>5
V = 0, ] = 0, Х = 0 степенные ряды, начинающиеся с пятых степеней (ак1т, /к1т - константы). Интерес представляет решение уравнений (33), определенное условиями л ® 0, X ® 0 при V ® 0 . Такое решение будем искать для уравнений
vddЛ = 4] + аХ + 2v2 -2оу2 + ^а^УГ,
^ к+1+т>5 (34)
v§- = ,
^ к+1+т>5
где ряды справа сходятся в окрестности точки V = л = X = 0 . Покажем, что система (34) имеет голоморфное решение
л = Х = ^ХУ (35)
к=1 к=1
с постоянными ]к, Хк . Тогда, очевидно, и система (33) имеет такое решение. Подставляя ряды (35) в уравнения (34) и сравнивая коэффициенты при всех степенях V слева и справа, находим: л1 = 0, ]2 =а-1, Лз = 0, Л4 = С, ....
XX =Х2 =Хз =?4 = 0,....
Докажем сходимость рядов (35). С этой целью рассмотрим систему уравнений
ак1т\чкл1хт
к+1+т>5
(36)
т I
к+1+т>5
Ряды справа являются мажорантными для правых частей уравнений (34), так как здесь коэффициенты положительные и представляют собой модули коэффициентов рядов (34). Уравнения (36) определяют голоморфные функции в окрестности точки V = 0:
л=\а-IV + \С^3 + ^\ак1т\^л1Хт,
Х= В/кш^кл1Хт.
Л = ^лУ, Х = ЕХУ. (37)
/, Х = ^ -к
к=1 к=1
Коэффициенты рядов (37) находим, подставляя их в уравнения (36) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях V :
лх = 0, л 2 =1 а-1|, л 3 = 0, л4 =|С |, ....
= ?2 =__3 =Х_4 = 0, ....
Очевидно, что лт £ лт, Хт £ Xт (т = 1, 2 ,...) . Следовательно, из сходимости рядов (37) следует сходимость рядов (35).
Таким образом, мы доказали существование решения уравнений (34) в виде
л = (а-2 + С^4 + ^лУ,
к>5 (38)
£=, ( )
к >5
где С - произвольная постоянная.
Осуществляя обратные замены по формулам (19), (23), (25), (27) и (30), найдем, что
"0 -V"4
2
X = х _ х0 + V2.
Подставим (39) в разложения (38). Тогда
2 х0б 18 О 8 С 10 х = х0 _ V +— V--V + — V +— V + ...,
6
4
4
10
_4 х0 2 2 С 4 г = V 4 + — _V +о +— V +..., 22
V = у"
(40)
Выше получены разложения типа (16) и (18), которые доставляли асимптотическое представление решений системы (2), определенных свойством (3), и содержали все такие решения.
Теперь с помощью иных рассуждений получено некоторое семейство подобных решений в виде сходящихся рядов по степеням величины V = у12, зависящее от произвольной постоянной С .
Построенные семейства совпадают, содержат все решения, определенные свойством (2), и представимы сходящимися рядами.
Возвращаясь в (40) к старым переменным х, у, г, получим следующие разложения для
искомого решения: 1
У =
хп
1
_ 1 + х _ х0) (х _ х0)3 +0( х _ х0)3 + ... х _ хп | 6 4 4
1
г = -
(х _ х0)
или, в общем виде 1
У :
2 \ 1 + х_х0)2 _(х_х0)3 +0(х_х0)3 + ... | ,
(41)
(х _ х0) 1
г = -
(х _ хг)
1 + 2 У к (х _ х0)
к=1
_ 1 + 2 гк (х _ х0)
к=1
(42)
где гк и ук - постоянные; ряды, стоящие в числителях, сходятся в области | х _ х0 |< г, г > 0. Следовательно, в точке х0 решение у(х) , определенное свойством (3), имеет полюс, и такие решения образуют семейство, содержащее одну произвольную постоянную.
к
1. Еругин, Н.П. Проблема Римана. - Минск: Наука и техника, 1982. - 336 с.
2. Итс, А.Р. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана / А.Р. Итс, А. А. Капаев, В.Ю. Новокшенов, А.С. Фокас. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 728 с.
