Решение в пространстве l 2 интегрального уравнения, соответствующего задаче теплопроводности в однородном прямом цилиндре на временной полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

Иванов Д.Ю. ©

К. ф.-м. н., доцент, кафедра "Математический анализ", Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)

РЕШЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ L2 ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ,

СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ОДНОРОДНОМ ПРЯМОМ ЦИЛИНДРЕ НА ВРЕМЕННОЙ ПОЛУОСИ

Аннотация

Рассматриваются граничные интегральные уравнения второго рода, возникающие при решении начально-краевых задач для однородного уравнения теплопроводности в однородном прямом цилиндре на полубесконечном интервале времени (начальные условия и граничные условия на основаниях цилиндра нулевые, граничные условия на боковой поверхности цилиндра неоднородные) в случае, когда решение задачи ищется в виде векторного потенциала. Доказана однозначная разрешимость таких интегральных уравнений в пространстве Ь2. С помощью рядов по неотрицательным степеням полугруппового оператора получены приближенные решения интегральных уравнений.

Ключевые слова: векторный потенциал, граничное интегральное уравнение, линейная теплопроводность, полугруппа операторов, прямой цилиндр.

Keywords: boundary integral equation, direct cylinder, linear heat conduction, semigroup of operators, vector potential.

Введение

В работах [1-3] исследовались начально-краевые задачи для однородного уравнения теплопроводности в однородном прямом цилиндре Qx Y (Q = Q+ или Q = Q , Q+ — плоская ограниченная односвязная область, Y = [0, b], Q" = R2 \ Q+, R = (—го, +го) ) с

нулевыми начальными условиями, неоднородными граничными условия первого или второго рода на боковой поверхности цилиндра и нулевыми граничными условия первого, второго или третьего рода на основаниях цилиндра. Были получены решения в виде векторных потенциалов со значениями в пространстве L (Y x IT ) ( /г = [0, T]),

определенных на области Q. С этой целью была доказана ограниченная обратимость операторов соответствующих интегральных уравнений второго рода в пространстве

L = L (dQx Y x IT ) (dQ — граница Q).

Для получения аналогичного решения на полубесконечном временном интервале достаточно доказать однозначную обратимость таких операторов в пространстве

L,= L (cQx Y x R+) (R+ = (0, го)), что и сделано в настоящей работе. Сложность в данном случае заключается в том, что интегральные операторы некомпактны, а именно: вдоль временной переменной t они являются причинными интегральными операторами Винера-Хопфа. Поэтому к таким интегральным уравнениям неприменима теория Фредгольма. С другой стороны, неприменима и классическая теория символа, разработанная для решения интегральных уравнений Винера-Хопфа со скалярным и матричным ядром [4; 5, 63, 283], так как вдоль пространственных переменных x = (x, x2) eQ и y eY

рассматриваемые уравнения являются интегральными уравнениями Фредгольма.

С помощью рядов по неотрицательным степеням полугруппового оператора в пространстве L = L (Y x R+) получены приближенные решения интегральных уравнений.

© Иванов Д.Ю., 2013 г.

Аналогичная аппроксимация была получена для решения начально-краевой задачи теплопроводности на прямоугольной пластине с нулевыми условиями на одной паре противоположных сторон и неоднородными на другой [6], но там коэффициенты ряда были скалярные, тогда как здесь они являются операторами в (дО).

Доказательство основано на возможности представления оператора интегрального уравнения в виде аналитической функции, операторные значения которой ограниченно обратимы в совокупности в открытой правой полуплоскости, от оператора со спектром в этой полуплоскости. Заметим, что единственность решений интегральных уравнений в

7®

пространстве Ь2 , помимо представленного здесь доказательства, непосредственно вытекает

тт

из однозначной разрешимости таких уравнений в пространстве Ь2 при переходе к пределу

T ^ да, но принадлежность полученного в результате такого предельного перехода

да 2

решения пространству L неочевидна.

Основные определения и предварительные замечания

Пусть дО — кривая класса C2. Будем рассматривать четыре интегральные уравнения:

+2-1 (-1)' vf + К, vf = wf (1)

(i = 1,2 ), при этом v~ = v~ (x, y, t) и wf = W (x, y, t) — элементы пространства L™ , К — операторы в L2 , определяемые криволинейными интегралами первого рода:

( К f ) (x) = Jdn К(r) f (x') ds'. (2)

дО

В свою очередь, здесь r = |x — x'|, n и n2 — нормали к кривой дО, проходящие через точки x' и x, соответственно, и направленные внутрь области О+ ; дифференцирование д и д осуществляется по точкам x' и x, соответственно; К(r) — операторнозначная функция в пространстве L2 , определяемая при r > 0 равенствами:

да

К (r) f = J a(r ,t)U (t) f dz,

0

где a(r,z) = (\лт) exp r2j(4t)J , U(t) — C0 -полугруппа, порождаемая оператором D в пространстве L : Df = lim z_1(f — U(t)f).

r->+0

Операторы D, U(г) и K(r) допускают расширения D, U(г) и K(r), соответственно, в пространство L2 = L2(Yx R) так, что подпространство L2 а L2 инвариантно относительно операторов D, U(t) и K(r) (DczD, U(t) czU(t) и К(г) а K(r)). Операторы U(г) допускают спектральное разложение:

Ü(r)f = lexp(-c7T)dPJ, (3)

S

при этом {Ра j- — разложение единицы для оператора D, X — множество значений су= ßj — 'Л (Ле R, 0 <^<^2<..., ¡и,^да при j ^да, i2 =—1). Согласно [1]

функция К (г) может быть продифференцирована произвольное число раз в равномерной операторной топологии, и ее производные допускают спектральное разложение:

= \д\к{г (/ = ОД,...), (4)

Е

где k(г,ст) = (2я) К0 (р) (р = ^ = 1, K (Р) — функция Макдональда), причем справедлива формула:

81к(г,а) = (-1)'^/ + Р) (' = 0,1,...). (5)

яг 0 „¡п2 + 2р

Обозначим через В банахову алгебру ограниченных операторов в пространстве (дО) . Введем в рассмотрение множество Р однозначных функций Р(ст) со значениями в В, всюду определенных и ограниченных на множестве Е ( Р(ст) е В(Е) ) и непрерывных в равномерной операторной топологии по Л е К при каждом фиксированном / (Р(ст) е С(Е) ). Функции Р(ст) е Р образуют коммутативную алгебру над полем комплексного чисел С с единицей Е(ст) = I (I — тождественный оператор в (дО) ) и нормой ||Р(ст)||р = шах||Р(ст)||.

Пусть .Р(сг)еР. Определим интеграл вида Р(1У)£ = F(<7)dPaf

V Е

(Г е /у2 = /у2(<ЭГ2х Ух К) ). Для этого введем в рассмотрение множества значений

ст = г Л при Ле[-Л, Л] (Л> 0), у = 1,3 и функции (ст) = Рст(Ем ) Р (ст) (Р (Е^) Г = I dp Г ). Разобьем множество Е^ на конечное число К измеримых по

мере |р | подмножеств Екм (к = 1, К ). На каждом из подмножеств выберем по точке стк, и введем в рассмотрение простые функции РК (ст) : РК (ст) = Р(стк) при ст еЕ^,. Интеграл /^(/3) определим как конечную сумму ^^ /' (<Т/. ) (Е'х/), и тогда интеграл }'х/(73) определим как предел: /'^(/3) —> /'х/(/3), при условии, что /\7(сг) —> /'х/(сг) равномерно на . И, наконец, интеграл определим как предел:

Р^ (П) { —» Р(Р>) f, при условии, что А. —^ оо, 3 —» 00 .

Операторы Р{£У) ограничены: < ^((т)]^, и для любых /'¡(сг), /^(сг) из

алгебры Г имеет место равенство:

= (6) Операторы вида Р{Р)) образуют коммутативную алгебру над полем С с единицей Л (I)).

Символ интегрального оператора

На основании формул:

(0+;(^)(х) = +2"1 (-1)' /(х) + | дщк{г,&)/{*!)(К,

дО

зададим четыре функции С * (ст), значения которых — операторы в Х2 (дО) .

Покажем, что G± (<) е F. Начнем с того, что заметим, что функции дп ln r 1 могут быть доопределены при x = x' е дО до непрерывных на дО х дО, поскольку дО — кривая класса C [7, 307]. Тогда с учетом формулы (5) функции дп k(r,<) = — r дгk(r,<) дп ln r_1 также можно доопределить при x = x' едО до

непрерывных на дОхдОхC. Следовательно, G±(<) е B при се C и функции G±(<)f непрерывны на C .

Далее, при r Ф 0, с Ф 0 имеем: д^дД^с) = (2л) 1 рК0(р) . Функция да дгk(r, с) может быть доопределена при r = 0 до непрерывной на дО х дО х C0 (C0 = C \ {0}). Следовательно, функции G± (с) голоморфны в области C0, и G± (с) е C(2) .

Остается доказать, что G±(с) е B(2). Функция дп k(r,<) ^0 при Ц^да

равномерно по r >s (s > 0) и argуеA (А = (— л/2, л/2)), поэтому из ее непрерывности на множестве дО х дО х C вытекает ее ограниченность на замкнутом множестве дОхдОхC (множество C+ определяется неравенством Reo 0). Учитывая

также оценку I ds' < 4s, где e — часть кривой Ляпунова дО, вырезаемая кругом с

Je

центром в точке x е дО и радиусом s, получаем: G ± (с) ^ G ± (да ) равномерно по arg с еА, при этом G± (да) = +2 1 (—1) I. Последнее в силу непрерывности функций G± (с) на C обусловливает ограниченность G± (<) на C+. Следовательно, G ± (с) е B (2), и мы доказали, что G± (с) е F.

Уравнения вида G± (с) v± = w±, где v±, w± — элементы пространства L2 (дО),

являются граничными интегральными уравнениями, определяющими с помощью потенциалов решения задач Дирихле и Неймана для скалярного уравнения

А 2 u± (x) = <ru~ (x) в пространстве C (О±) . Вследствие компактности операторов G (<) и сильной аккретивности порождающих их операторов <I при с е C+ доказательство однозначной разрешимости таких интегральных уравнений при любых w± е L2 (дО) и с е C+ аналогично ее доказательству для уравнений (1) в пространстве L2 [1]. Таким образом, операторы G± (с) имеют ограниченные обратные G± 1 (с) при у е C+.

Покажем, что функции G± 1 (с) е F. На основании теоремы об устойчивости ограниченной обратимости [8, 262] и в силу голоморфности G± (с) в области C0 можно сделать вывод о голоморфности функций G± 1(<) в области C+. Следовательно, G±_1(с) е C(2). Поскольку G±(с) ^ G±(да) при |<| ^ да равномерно по arge е А, то в силу той же теоремы G± 1(с) ^G± 1(да) при <| ^да равномерно по argуеA. Поэтому при любом СХ > 0 функции G± 1 (с) ограничены при Re <7>а, в частности, в

замкнутой полуплоскости C , определяемой неравенством Re с > Mi. Следовательно,

G±" V) е B (2), и G± —V) е F.

Подставляя выражение (4) для К'{г) в формулу (2) вместо К\г) и изменяя порядок интегрирования по dP^ и ds' на основании конечности этих мер и ограниченности функций dn k(r, с) на множестве 5Q х 5Q х 2, приходим к следующим равенствам

G* ф) f = +2"1 (-1)' f + К, f, (7)

где Ki —расширения операторов Ki в пространство /Д (Кt а К{).

Операторы С±ф) ограниченно обратимы: 0±ф)~1 = G±_1(Z)) в силу равенства

(6). В следующем параграфе мы покажем, что подпространство /Д с /Д инвариантно

относительно операторов G1 '(/3). В силу равенств (7) это будет означать однозначную

разрешимость уравнений (1) при любой правой части w± е L .

Заметим, что операторнозначная функция G* (с), аналитическая и не имеющая

нулей в полуплоскости С+, содержащей спектр 2 расширенного оператора I), может рассматриваться как символ оператора соответствующего интегрального уравнения (1).

Решение интегральных уравнений

Как и в [4], введем в рассмотрение функции рн (с) = H 1 — e Hc^, зависящие от

H > 0 как от параметра. Функции С = рн (с) голоморфны в C и их значения принадлежат C+ при с е C+. Поэтому с учетом голоморфности функций G± 1 (С) в C+ функции R± (с) = G± 1 (рн (с)), зависящие от H > 0 как от параметра, голоморфны в C+ и, как следствие, принадлежат пространству C(2). Значения функций рн (с) при с е C

образуют круг с центром в точке H 1 и радиусом H 1e Нм, полностью находящийся в полуплоскости Re£>pH(м) > 0. Следовательно, функции R±(с) ограничены в полуплоскости C ^, а значит, и на множестве 2. Получили, что функции R± (с)

принадлежат алгебре F .

Функции рн (с) ^ с при H ^ +0 равномерно на каждом компакте в C+. Отсюда

вытекает, что R± (с) ^ G± 1(с) при H ^+0 равномерно на любом множестве 2и . Поэтому имеем предельные равенства:

\хтРа{Ъ^нф) = Ра{Ъм)0^ф) (8)

при фиксированных действительных Л > 0 и натуральных J .

Пусть р0(с) = с. Нетрудно заметить, что Re((с) > рн (м) > 0 при H е [0,H0]

и се C . Поэтому функции R± (с) равномерно по H е [0, H0 ] ограничены в

полуплоскости CM, а значит, и на множестве 2. Такая ограниченность в силу конечности

меры { P } позволяет сделать дополнительный предельный переход Y ^ да, J ^ да в обеих частях равенства (8) и получить следующие пределы

Нт^ф^а^фК. (9)

н ^+0 '

Функции Е^ (ст) при Н > 0 и ст е С могут быть представлены в виде сходящихся в норме В рядов:

да

ЕН (ст) = Х пНст, (10)

п=0

при этом Л~Нп — коэффициенты разложения в ряд Тейлора соответствующих функций СН 1(Н 1(1 — Л)) в круге |Л| < 1. Используя неравенства Коши для коэффициентов

степенного ряда, получаем следующие оценки

■||Лнп е~пНст

п=0

да -- —1

XЛНн^е-^ Сн (1 — е-/ , (11)

имеющие место при Н > 0 и сте С . Здесь Сн = шах Еш (ст) . Подставляя выражения

л

-,Н

(10) в соответствующие интегралы Е1И {1)), можно изменить порядок интегрирования по

dP и суммирования по п на основании оценок (11). В результате с учетом формулы (3)

приходим к представлению операторов Н^{ГУ) (Н > 0) в виде рядов:

00

ЕнФ) = ^4нпЩпН), (12)

п=0

сходящихся в равномерной операторной топологии.

В силу равенств (12) и включений [/(г)с[/(т) подпространство с:

инвариантно относительно действия операторов Е^ (/3). Поэтому, полагая в предельных

равенствах (9) £ Е , получаем, что С± ' Е 1Т2 • Итак, доказана теорема:

Теорема. Пусть wН е . Тогда каждое из уравнений (1) имеет единственное

Н тда „ Н тда

решение V. е , непрерывно зависящее от правой части w i в норме Ь2 и вычисляемое на

основании формулы:

да

V Н= ^ X ЛНпи (пН) w Н.

п=0

Литература

1. Иванов Д.Ю. - Решение двумерных краевых задач, соответствующих начально-краевым задачам на прямом цилиндре // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 8. - С. 1094-1103.

2. Иванов Д.Ю. - О решении задачи теплопроводности на прямом цилиндре с нулевыми граничными условиями на основаниях и ненулевыми на боковой поверхности методом граничных интегральных уравнений // Тр. Ин-та системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - Т. 29(1). - С. 141-168.

3. Иванов Д.Ю. - О единственности решения первой краевой задачи на плоской области в пространстве , описывающей линейную теплопроводность на прямом цилиндре // Тр. Ин-та системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - Т. 32(1). -С. 137-139.

4. Крейн М.Г. - Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. - 1958. - Т. 13. - № 5. - С. 3-120.

5. Гохберг И.Ц. , Фельдман И.А. - Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. - М.: Наука, 1971. - 352 с.

6. Иванов Д.Ю. - Обоснование одного алгоритма численного решения обратных граничных задач теплопроводности, построенного с учетом полугрупповой симметрии таких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1998. - Т. 38. - № 12. - С. 2028-2042.

7. Смирнов В.И. - Курс высшей математики. - М.: Наука, 1981. - Т. 4. - Ч. 2. - 550 с.

8. Като Т. - Теория возмущения линейных операторов - М.: Мир, 1972. - 740 с.