Использование векторных потенциалов для решения двумерной задачи Робена, описывающей теплопроводность в прямом цилиндре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Иванов Д.Ю.

Доцент, к. ф.-м. н., кафедра высшей математики, Московская государственная академия водного транспорта

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ РОБЕНА, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПРЯМОМ

ЦИЛИНДРЕ

Аннотация

С помощью векторных потенциалов получено решение двумерных задач Робена, соответствующих начально-краевым задачам теплопроводности в однородном прямом цилиндре. Задачи теплопроводности характеризуются неоднородными граничными условиями третьего рода на боковой поверхности цилиндра, нулевыми граничными условиями первого, второго и третьего рода на основаниях цилиндра и нулевым начальным условием. Ранее такое решение было получено для аналогичных задач Дирихле и Неймана.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, краевая задача, задача Робена, граничное интегральное уравнение, единственность, существование.

Keywords: heat equation, boundary problem, Robin problem, boundary integral equation, uniqueness, existence.

Введение. В настоящей работе рассматриваются векторные краевые задачи Робена

в плоской ограниченной односвязной области Q+ или ее внешности Q = R2 \ Q+ , соответствующие начально-краевым задачам теплопроводности в однородном прямом цилиндре Q+х IY или Q x IY (IY = [0, Y]) на конечном временном промежутке IT = [0, T] с неоднородными граничными условиями третьего рода на боковой поверхности цилиндра, нулевыми граничными условиями первого, второго или третьего рода на основаниях цилиндра и нулевым начальным условием. В работе [1] исследованы аналогичные краевые задачи Дирихле и Неймана: доказаны теоремы единственности и получены решения в виде векторных потенциалов со значениями в пространстве L2 (IY х IT ), однозначно определяемых граничными интегральными уравнениями (ГИУ) с операторным ядром, выраженным через пространственно-временную С0-полугруппу. Преимуществом таких двумерных ГИУ по сравнению с обычными состоит в возможности экономного вычисления разрешающих их сеточных операторов в алгебре полиномов, образованных степенями полугруппового оператора [2, 3]. В настоящей работе соответствующие теоремы доказаны для

векторных краевых задач Робена.

1. Постановки задач и теорема единственности. Пусть дО - граница области О+. Далее везде считаем, что дО е С2. Рассмотрим четыре краевые задачи (/ = 1,2 ):

а2А2И7 = Бит (х = (х1,х2) еО2 ), (11)

и2 = —2 ( х е дО ), (2а)

дпИ2"Л И2= —2 ( Х едО ), (2Ь)

решения которых - функции ит(х) со значениями в пространстве Ь2 = Ь2(1Г х 1Т), определенные на О2 . Здесь —2 (х) - функции со значениями в Ь2, заданные на дО; п - нормаль к кривой дО в точке х, направленная внутрь области О+; А2 = д^ 1 + д^ , дп - сильные производные векторных функций; а > 0 - коэффициент температуропроводности, ^ > 0 -коэффициент теплообмена на боковой поверхности цилиндра.

Оператор Б определен в пространстве Ь2 как Б = Бг + Бу + р Е на множестве

0(Б() п 0(Бу) - пересечении областей определения операторов Бг и Бу. Здесь Е - тождественный оператор; оператор Бг: (БгГ)(у, г) = д(/(у, г), задан на абсолютно непрерывных по г функциях /(у, г) е Ь2, таких, что дг/ е Ь2 и / |г=0 = 0 при почти всех у е 1Г ; оператор Б : (Б Г)(у, г) = -а2 д^/(у, г), задан на абсолютно непрерывно дифференцируемых

по у функциях /(y, г) е L2, таких, что д1/ е ¿2 и (ду/- ) 1 у=0 = (ду/ + Хт/) 1 у=г = 0 (0 <^0, Хг ) при почти всех г е 1Т ; р > -||, где | > 0 - наименьшее собственное значение оператора Бу (| = 0 лишь при =ХГ = 0 ). Оператор Б замкнут как сумма двух замкнутых операторов в пространстве ¿2, порождающих С0 -полугруппы и действующих вдоль различных переменных [4]. Оператор Б порождает экспоненциально убывающую С0-полугруппу и(т) : ||и(т)|| < ехр[-(р + |)т], следствием чего является оценка:

Яе(Б^^ > (р + |1)(Г,f)L2 (Г е ДБ)). (3)

Кроме того, и(т) - нулевые операторы при т > Т.

Будем считать, что если по условию значения векторной функции принадлежат банахову пространству, то предельные операции над этими значениями по умолчанию осуществляются в норме этого пространства. Обозначим через С (О') и Ск (О') пространства непрерывных и к раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в ¿2, определенных на множестве О' е Я2.

Определение 1. Решением уравнения (1+) будем называть функцию и1 (х) е С 2(0±) со значениями в О(Б) (области определения оператора В), обращающую уравнение (1 ± ) в истинное равенство.

Определение 2. Решением задачи {Р±} будем называть функцию и± е С(0±), являющуюся решением уравнения (1 ±) и удовлетворяющую граничному условию (2а). В

случае задачи {Р } будем требовать также выполнения условия:

и,

^ 0 при х ^да.

Определение 3. Решением задачи {Р2±} (л> 0) будем называть функцию и± е С(0±), являющуюся решением уравнения (1 ± ) и имеющую с внутренней (внешней) стороны 50 правильную нормальную производную 5±и± (5пи± (х ±£п) ^ 5±и± (х) при ^^+0 равномерно относительно х е 50), определяемую равенством (2Ь): 5±и±= w±+ли±. В случае задачи {Р2-} будем требовать также выполнение условия

х

и

Уи¡|^ ^ 0 при (|Ли ь ).

Задача Дирихле {Р± } и задача Неймана: {Р2± } при л = 0, исследованы в работе [1]. Проведем аналогичное исследование для задачи {Р2±} в общем случае л> 0, частным случаем которого при л> 0 является задача Робена.

Теорема 1. Задача {Р2± } имеет не более одного решения.

Доказательство (ср. [5, с. 166]). Пусть и ± - решение задачи {Р2±} с нулевым условием (2). На достаточно малом расстоянии к от 50 построим кривую 50± ^ 0±, параллельную 50 [6, с. 263]. В области 0- построим также кривую 50Я - окружность радиуса Я, охватывающую 50-. Обозначим через 0+ область, ограниченную кривой 50+, а через 0Й Я - область, ограниченную кривыми 50- и 50Я .

Поскольку и + е С (0+) (и е С (0-Я) ), то в силу формулы Грина справедливо равенство

- | (5пи±,и±),2ds = Ц Г(Ди±,и±+||уи±|[2]ао,

50+ (50-и50я) 0+ ( 0-,я ) 2

на основании которого, переходя к пределам к ^ 0 , Я ^да и используя равенство (1 ± ) и нулевое условие (2Ь), имеем

0±

{Па -2(Ви ±, и ± ) £

уи ±

¿2

а о+л |

и

ds = 0.

50

ь

2

Отсюда, с учетом оценок (3) и p + ^ > 0, получаем равенство (i2 = 0 на множестве Q2 . Теорема доказана.

2. Решение задач Неймана и Робена с помощью векторных потенциалов. Зададим на множестве R2 \ SQ векторную функцию p(х) со значениями в пространстве L2 с помощью криволинейного интеграла первого рода:

p(х) - J K(r) v(х') ds', (4)

3Q

где r = |х - х'| , v(х) - векторная функция со значениями в L2, заданная на SQ; K(r) -функция со значениями в пространстве ограниченных операторов, действующих в L2, определяемая равенствами:

K(r)f -Ja(r,x)U(x)f dx (f eL2), a(r,x) - (4лх)-1 exp[-r2/(4a2x)].

It

Согласно работе [1] при условии v e C(SQ) функция p суть векторный аналог потенциала простого слоя, а именно: она может быть определена с помощью формулы (4) также в точках х e SQ, является непрерывной функцией во всех точках х e R2, является решением уравнений (1 2 ), а при х e SQ имеет правильные нормальные производные:

S 2p = +2-1 v + dnp. (5)

Поэтому в силу теоремы 1 справедливо следующее утверждение:

Следствие 1. Если v e C(SQ), то функция p является единственным решением

задачи {P22 } с граничным условием Snu2-ли2 1,^^ = S2 p(х) -лp(х).

Будем искать решение задачи {P22} в виде функции p с неизвестной v2. В силу приведенного следствия и формулы (5) функция v2 e C(SQ) должна удовлетворять соответствующему ГИУ:

+2-1 v 2+ Gv 2= w2, (62 )

при этом

G - G1 -лGо, (Gоf)(х) -J K(r)f(х')ds', (G1 f)(х) - J SnK(r)f(х')ds'

SQ SQ

(х eSQ; дифференцирование Sn осуществляется по переменной х ).

Обозначим через e часть кривой SQ, вырезаемую кругом с центром в точке х e SQ и радиусом s< d, где d - радиус круга Ляпунова.

Теорема 2. Оператор G в пространстве Lx2 - L2 (SQ х IY х IT ) компактен.

Доказательство. Компактность оператора G1 в пространстве Lx2 доказана в теоре-

ме 9 [1]. Поэтому остается доказать компактность в Е2 оператора G0. Для этого представим его в виде суммы J е + H е, где

(JЕf)(х) = |K(г)f(х')СЫ, (HЕf)(х) = | K(г)f(х')Ж' (е>0).

е ЭО\е

Пусть ае(0,1). Учитывая ограниченность функции га2K(г) при х, х'еЭО (см. следствие 1 работы [1]) и выполняющееся на кривой Ляпунова неравенство

\т-а4(1 -а)"181-а, (7)

имеем оценку

ЦГв ^ < /Г/||г а/2К(г)||2 г-а&'1&Ц^х')^ М < 4(1 -а)-181-аса (8)

3Q V e J

за

где са = тах га2К(г) , Ь - длина кривой ЭО. Согласно оценке (8) Не ^ G0 при

(х, х' )еЭОхЭа11 I

8 ^ 0 по операторной норме. Это означает, что достаточно установить компактность операторов Н8 при 8 > 0 .

С этой целью используем скалярное представление Н8:

(Н f)(х, У, г) = 111 Ке (х, х', У, У', г, г') /(х', у, г') ф'Сг'СЪ',

ЭО1Т 1Т

КЕ (х, х', У, У ', г, г') = 9(г -8) 0(г - г' ) а(г, г - г') е->(г-г ') И(у, у', г - г'),

ад

у ', ^ = 1( у) ^ ]( У ' ) ехр(-^т),

1=1

где 0(£) — функция Хевисайда, 0 <д2 <... - собственные значения оператора В , у^ - соответствующие собственные функции, ортонормированные в пространстве Ь2 (1Г).

Учитывая, что

Д А = O( j2), имеем оценку:

i.

T t

12 < се2L2 Ц 2 exp[-2(|ij + p)(t -1')]dt' dt < 2-1 cE2L2 T £ (ц; + p)-1 < qo ,

0 0 j= j=!

где cs = max a(r, x), I - норма функции Ks в пространстве L2 (3Q x I2y x IT ) . Таким обра-

r >s,x>0

зом, операторы He являются операторами Фредгольма. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть w1 е C(3Q). Тогда решения уравнений (6±), принадлежащие классу II2, принадлежат также и классу C (3Q).

Доказательство проводится по схеме [6, с. 187]. Пусть 0 <s<d . Представим оператор G в виде G S + G S, где

(С' Г)(х) - /Л(г) К (х, х') Г (х') Ж', (С'' ГХх) - | [1-л(г)1 К (х, х') Г(Х) Ж',

За за

Кд(х, х') -3ПК(г) -дК(г); л(г) - непрерывная при г > 0 вещественная функция: л(г) = 1, 0 <г < :/2, л(г) = 0, г >:. С учетом непрерывности по операторной норме функции К д (х, х') при х ^ х' и условий V2 е Ьх2, w2 е С (За) имеем И2 - +2^2 - С' V2 ) е С (За) .

Пусть ае(0,1). Обозначим са = шах га/2Кд (х, х') , где функция га/2Кд (х, х') до-

х, х'еЗа I

определена по непрерывности при х = х' на основании теорем 3 и 6 работы [1]. Полагая :1-а <(1 -а)(8саЬ) 1, имеем с учетом оценки (7) неравенство:

И2 < |за и|га/2Кд (х, х')|2 г-аds'ds < 2-1, в силу которого к уравнению V2 + 2С' V2 = И2, эквивалентному (6 2 ), применима теорема Банаха: функция у2 представима в виде ряда: V2 ^ ( ^ = (+2С')пИ2 ), сходящегося

гх

в норме Ь2 .

Наконец, пусть :1-а <(1 -а)(8са) 1 . Тогда справедливы оценки:

|[(+2С')пg2](х)[2 < дп шшах!|§2(х)[2 (п = 1,2,...), д = 8(1 -а)-1:1-а Са<1, вследствие которых ряд ^ п 0 ^ (х) сходится равномерно на множестве За . Поскольку функция га 2К д (х, х') непрерывна на ЗахЗа по операторной норме и И2 е С (За), то ^ е С (За). Тогда V2 е С (За). Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть w2 е Ь2. Тогда уравнение (62) имеет единственное решение

2 гх

V е Ь2 .

Доказательство (ср. [6, с. 386]). В силу теоремы 2 и альтернативы Фредгольма достаточно доказать, что соответствующее однородное уравнение

22-1 V2 (х) + | [-ЗПК (г) + л К (г )]V2 (х') ds' = 0 (92)

За

2х

не имеет ненулевого решения V е Ь2.

На основании теоремы 3 имеем V2 е С (За). Это позволяет применить к функции вида р2 (х) - [ К(г) V2 (х') ds' (х е Я2) следствие 4 работы [1] и следствие 1 настоящей

Л За

работы, согласно которым функция р2 (х) является единственным решением задачи } с граничным условием и+ |хеЗа= р2 (х) и задачи {Р2} с граничным условием

Зпи2-ли2 |хеЗа= З2рР2(х)-лр2(х) (обозначим их {Д+} и {Р22}). С учетом равенств (5) и (92 ) имеем равенство З2р2 - л р2= 0 ( х е За ). Таким образом, граничное условие задачи {Р22} нулевое, следовательно, р2 (х) = 0 при х е а2 (см. теорему 1). Тогда граничное условие задачи {Д+} также нулевое, и р2 (х) = 0 при х еа- (см. теорему 1 работы [1]). В результате р2 (х) = 0 при х е Я2, поэтому в силу равенств (5) имеем V2 = Зпр2 -З2р2 = 0 .

Теорема доказана.

На основании теорем 3 и 4 получаем следующее утверждение:

Следствие 2. Пусть w2 е С (За). Тогда уравнение (62) имеет единственное решение V2 е (За).

Заключение. Следствия 1, 2 и теорема 1 позволяют сделать основной вывод настоящей работы:

Пусть Зае С2 и w2 е С (За). Тогда задача {Р22} имеет единственное решение, которое представимо в виде функции р с неизвестной V2 е С (За), однозначно определяемой уравнением ( 62 ).

Класс задач, для которых справедливы полученные результаты, можно расширить. С учетом работы [1] для их получения к оператору В достаточно предъявить следующие требования: (1) оператор В порождает экспоненциально убывающую С0-полугруппу и может быть расширен до оператора, допускающего спектральное разложение и также порождающего экспоненциально убывающую С0 -полугруппу; (п) оператор С должен быть

компактным. Таким требованиям, кроме оператора В = 2 В 2 р Е , удовлетворяют также операторы В = р Е и В = 2 р Е ( р > 0), в случае которых задачи {Д2 } представляют собой стационарные и нестационарные, соответственно, задачи теплопроводности в плоской области а2, а также оператор В = В 2 р Е (р > -д1), в случае которого задачи {Д2}

представляют собой стационарные задачи теплопроводности в цилиндре а2 х 1Г . Вместе с тем стоит отметить, что условие (и), используемое лишь для доказательства существования обратного оператора ГИУ (+21 Е 2 С) 1 в пространстве Ьх2, выполняется благодаря

ограниченности интервала 1Т. В работе [7] для задач Дирихле и Неймана {Д2} доказана ограниченная обратимость операторов ГИУ, когда Т = и оператор В фактически удовлетворяет одному условию (1). С учетом результатов настоящей работы результаты работы [7] справедливы и для задачи Робена. Поэтому в перспективе полученные в настоящей

работе и работе [1] результаты относительно задач [Ц+} и соответствующих им ГИУ могут быть распространены на достаточно большой класс абстрактных двумерных краевых задач для уравнений (1±), определяемый условием (1), внутри эллиптического случая [8, с. 304].

Литература

1. Иванов Д.Ю. Решение двумерных краевых задач, соответствующих начально-краевым задачам диффузии на прямом цилиндре // Дифференц. уравнения. - 2010. -Т. 46. - № 8. - С. 1094-1103.

2. Иванов Д.Ю. Экономичный метод вычисления операторов, разрешающих некоторые задачи теплопроводности в прямых цидиндрах // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - 2014. - № 9. - С. 16-32.

3. Иванов Д.Ю. Вычисление операторов, разрешающих задачи теплопроводности в прямых цилиндрах, с использованием полугрупповой симметрии // Известия Московского государственного технического университета МАМИ. 2014. - Т. 4. -№ 4(22). - С. 26-38.

4. Иванов Д.Ю. Замкнутость сумм дифференциальных операторов, возникающих в задачах теплопроводности в пространствах Ь 2 // Тр. Ин-та системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. - М.: КомКнига, 2005. - Вып. 9(1). - С. 111-123.

5. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. - М.: Высшая школа, 1964. -559 с.

6. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968. - 575 с.

7. Иванов Д.Ю. Решение в пространстве Ь2 интегрального уравнения, соответствующего задаче теплопроводности в однородном прямом цилиндре на временной полуоси // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. -2013. - № 11-1. -С. 20-25.

8. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1967. - 464 с.