Решение уравнений состояния в задаче о фазовых переходах второго рода в кристаллах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 53.548 С.В. Мисюль, В.А. Степаненко

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ В ЗАДАЧЕ О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ ВТОРОГО РОДА В КРИСТАЛЛАХ

В статье рассмотрен общий метод решения систем нелинейных уравнений состояния в задаче о фазовых переходах второго рода в кристаллах. В качестве примера разобрана простейшая термодинамическая модель с однокомпонентным параметром перехода.

При описании структурных фазовых переходов (ФП) в кристаллах для установления связи между изменениями структуры и особенностями термодинамических свойств обычно применяют теорию фазовых переходов второго рода Ландау [1]. Эта теория применима ко всем системам, испытывающим ФП, и содержит предположения, которые вытекают из самого факта существования ФП. Поведение различных систем вблизи ФП объясняется на основе введенного Ландау понятия параметра порядка, часто называемого параметром перехода (ПП). ПП п может характеризовать любое физическое свойство, которое отсутствует в одной (высокосимметричной) фазе и появляется в другой (низкосимметричной) в результате ФП. Если п изменяется непрерывно (что справедливо для ФП второго рода) и вблизи точки ФП оказывается малым, то термодинамический потенциал Ф можно разложить в ряд по инвариантным комбинациям компонентов п ■

Ф = Ф0 + +Т.вМпР + + , 5’./ 5’./ 5’./ (1)

где /г, /з... - квадратичные, кубические и т.д. полиномы инвариантных комбинаций компонентов г}*',

а Л, Вэ, Сэ и т.д. - коэффициенты, не зависящие от 77*". Равновесные значения ПП определяются из усло-

вия минимума Ф как функции

дФ п 0 И дг/^ (2)

д2Ф п б7;; д 77' " (3)

Уравнения (2)-(3) представляют собой систему нелинейных уравнений, решение которой находят

при достаточно сильных ограничениях на коэффициенты разложения (1) и при малых степенях 77*- ■. В свою

очередь 77*", определяют в виде разложения в ряд по какому-либо коэффициенту из (1) [2].

Сравнительно недавно одним из авторов этого сообщения предложен метод решения систем нелинейных уравнений любой степени [3].

Цель настоящей работы - проиллюстрировать этот метод на простейшей модели с однокомпонентным ПП.

И так, следуя работе [3], для решения систем алгебраических уравнений, приводим их к виду:

Л?1 + X! ■ ■ *1п "к ~1 = 0 ■ *' = 1,... , (4)

к=1

где р- число слагаемых в/-том уравнении (кроме первого и последнего); к-1,...,р1, «^-произвольные буквенные коэффициенты. Предложено выражение (5). При этом //-моном в (5) представлен довольно громоздким степенным рядом:

п рг п п Рл

у О----------------------------------------------------------------------------Р(£), (5)

71 /и 4—1 1А\ 1гп I п п Р, Р, 4 ’

1 1 к1\ к" I ” я Рл -

к?>0,...,к* >0 j=\ Л=1 5=1 г=1

ВестникЖрасГЯУ- 2006. №11

где Р(к) - полином по кб, степени п-1 вида:

п п п р) п _ _ _

(ГК‘)<ПЕн)'!-!

Рц Р‘д

к=\ 3=1

А=1 5=1

д=1 1< ^<..< ^<п л=\ 1

т!1.. т!1.

!1Л у 1

тУ . . тУ

V д гд]д

п Рл

(м+Е1Х^)

Л=1 5=1

(6)

П Ра

л*»

/1=1 «=1

В том случае, когда система состоит из одного уравнения

г/"1 +а1г/щ + ... + арг!тр -1 = 0 , (7)

решение его задается формулой Меллина [4], являющейся частным видом выражения (5), и которая дает разложение по степеням параметров ах,...,а :

(-1)^ +"'+кр Г{— (ц + тхкх +... + т к )) • а*1.. .а

1

т

*1 „кр

т

1

(8)

к'-°’ ’кр-°к1\..к \Г(—(/1 + тхкх + ... + т к )-кх - ...-к +1) т

Если же уравнение (7) представить в виде

а0 +а17) + а27)2 + ..латгГ =0, (9)

где малым параметром выступает а0, то от (8) переходим к формуле Сильвестра [6], дающей кроме того обращение степенного ряда

«о = (-«1)7 + (~а2)Л2 + • • • + {-ост)гГ + {-ат+х)^т+1 +...

по степеням а,

о ■

СО 1

ч = Т(—!— У

й «!(-«,) „ч.м.Г'.й-ц/,,

(п + к2 +... + кп -1)! «г

(10)

кп \ „,п

к2\.-кп\

а.

Обратимся теперь к конкретной термодинамической модели. Рассмотрим ее наиболее простой вариант, который разбирается в теории фазовых переходов второго рода в кристаллах [7]. В такой модели разложение термодинамического потенциала Ф по степеням ПП ц выбирается в виде:

Ф = а0г]2 + а^ + а2г]6 + аъг^ . (11)

От (11) переходим к уравнению состояния:

—- = 2 г/(а0 + 2ахг/2 + 3 а2г/4 + 4а3г}6) = 0, (12)

ёг]

которое распадается на два уравнения: ц = 0 и

а0 + 2 ахг]2 + 3 а2г/4 + 4 а3г]в = 0. (13)

Решение п = 0 соответствует высокосимметричной фазе. Другие решения уравнения состояния (12) находим, используя выражение (10). Для этого введем новую переменную I = п2 . С введением переменной I уравнение (13) принимает вид (9), и его решение легче представить по формуле (10). Если а1 Ф 0, то решение (13) с точностью до третьей степени по ао будет:

2 1 3 2 1 9а1-4а,а^

V ~------ао------\'ао---------1—Н-1'

2ах 8 а\ 16 а.

(14)

Согласно [1], вблизи температуры фазового перехода То ( Т < То) со стороны низкосимметричной фазы ао можно представить в виде:

а0=а0(Т-Т0),

(15)

где а'п >0. Теперь, если в (14) оставить только линейный по ао член, то при Т< То вблизи То, с учетом (15) получим температурную зависимость ПП:

1 х1/2

2ах

(T0 - T)

1/2

Из приведенных кратких рассмотрений можно сделать выводы:

1) В том случае, когда термодинамический потенциал Ф является функцией нескольких многокомпонентных ПП 77*-', решение системы (2) необходимо находить с использованием формулы (5).

2) Когда термодинамический потенциал Ф является функцией одного однокомпонентного ПП п (13), а коэффициенты разложения Ф таковы, что а0 мал вблизи температуры ФП, и а Ф 0, то решение уравнения состояния легче находить по формуле (10).

3) Если физическая задача требует знания каких-либо степеней ПП п^, то более рациональней использовать выражение (8).

Литература

1. Ландау, Л.Д. Статистическая физика. Ч.1 / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1976. - 584 с.

2. Гуфан, Ю.М. Структурные фазовые переходы / Ю.М. Гуфан. - М.: Наука, 1982. - 304 с.

3. Степаненко, В.А. О решении системы n алгебраических уравнений от n неизвестных с помощью гипер-геометрических функций / В.А. Степаненко // Вестн. КрасГУ. - 2003. - № 2. - С. 35-48.

4. Mellin, H.J. Resolution de I'equations algebrique general a I'aide de la fonction / H.J. Mellin // C.R. Acad.Sc., 1921. - T.172. - P. 658-661.

5. Sylvester, J.J. On the change of systems of independent variablees / J.J. Sylvester // Quart.J.Pure Appl.Math., 1857. - P. 126-134.

6. Егорычев, Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм / Г.П. Егорычев. - Новосибирск: Наука, 1977. - 286 с.

7. Изюмов, Ю.А Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю.А. Изюмов, В.Н. Сыромятников. - М.: Наука, 1984. - 248 с.

■ “о

УДК 633.88 Г.И. Цугленок, Е.Г. Худоногова

КОЭФФИЦИЕНТ ВЫХОДА АКТИВНО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВЕЩЕСТВ ЛЕКАРСТВЕННЫХ РАСТЕНИЯХ

Установлена математическая зависимость между влажностью лекарственных растений и выходом активно действующих веществ на примере медуницы. Определён коэффициент, показывающий отношение массы йода к массе абсолютно сухого вещества растения.

Активные вещества образуются и накапливаются в растениях в определенные периоды их развития, поэтому их заготовка проводится в строго определенное время. Главное значение в накоплении активно действующих веществ в лекарственных растениях имеет определенная фаза вегетации или фаза развития растений. В типовой методике по заготовке лекарственных растений и переработке их в естественных условиях рекомендуется сбор растений осуществлять в фазе цветения, с целью получения наибольшего выхода по активно действующим веществам.

Нами проведены исследования по определению коэффициента выхода активно действующих веществ в лекарственных растениях на примере медуницы мягенькой.

В надземной части медуницы содержатся йод, цинк, кальций, магний, натрий, фосфор, селен и другие активно действующие вещества (табл. 1).