Решение тригонометрических задач геометрическими методами Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

The decision trigonometrical tasks with geometrical methods Rahimov N. (Republic of Uzbekistan) Решение тригонометрических задач геометрическими методами Рахимов Н. Н. (Республика Узбекистан)

Рахимов Насриддин Номозович /Rahimov Nasriddin - заведующий кафедрой, кафедра математики и информатики, Академический лицей № 2 при Самаркандском государственном университете, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье указан метод решения некоторых тригонометрических задач с помощью геометрии.

Abstract: the article specifies a method for solving some trigonometric problems using geometry.

Ключевые слова: тригонометрия, прямоугольный треугольник, корень, аркфункции и тождество. Keywords: trigonometry, rectangular triangle, root and identity.

Некоторые тригонометрические задачи не решаются привычными для нас методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического метода дает короткое и красивое решение.

. 1

1-задача. Выразить через все остальные аркфункции arcsin .

• 1 л -1

Решение. Так как 0 < arcsin .— < —, то arcsin .— можно рассматривать как радианную

л/65 2 V 65

меру острого угла прямоугольного треугольника, в котором противолежащий этому углу катет, b = 1, гипотенуза с = л/б5 . По теореме Пифагора можно найти другой катет равный

,2 т.2

a = л/с2 - Ь2 =л/65 -1 = 8 (1)

Угол ОС можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс соответствующих чисел (рис. 1).

b 1 a 8 8

а = arctg— = arctg-, а = arcctg— = - = 8 и а = acrcos .— a 8 b 1 V65

(2)

f

2-задача. Вычислить cos

1 ^

arcctg —

Решение. Построим следующий прямоугольный треугольник ABC (рис. 2):

111 1 X

Из этого верно равенство a = arcctg-, ctga =—, cosa = , a = arceos —¡= . Тогда,

3 3 V1o Vio

f 1 1 f 1 1 1 cosí arcctg - I = cosí arceos —¡= I = ^=

l 3J ^ Vio) V!o

3-задача. Вычислить.

3 3 arctg— + arceos (3)

4 5

Решение. Рисуем следующий прямоугольный треугольник АВМ и BCN (рис. 3).

Пусть a и b -острый угол прямоугольного треугольника.

3 3,3, 3

На это tga = - ^ a = arctg — , cosb = - ^ b = arcco^, а также

очевидно из рисунка a+b=900 . 4-задача. Найдите значение

3sin a . ~

-—-3-—-—, если tga = 3 (4)

5sin a +10 eos a

Решение. Из следующего прямоугольного треугольника и tga = 3, мы найдем

3 1

sin a = ^= и cosa = ^= (рис. 4)

V1Q V1Q

Тогда, ответ:

3 з

3sin a _ Vl0 _ 9 _ 18

5sin3 a + 10cos3 a ( 3 A3 ( 1 A3 27 29

5 Ы +10Ы 27+1

5-задача. Вычислить

arctg2+arctg3+arctg1 (5) Решение. Выполним следующее построение: arctg3 = A ACM, arctg2= A BCN (рис. 5).

м с 5-рис.

Тогда arctg1= Z ВАС, так как Z ВСА - острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника

ABC с прямым углом B (ВС= AB= S ,AC = л/lO по теореме Пифагора, см чертеж), а по теореме, обратной теореме Пифагора, AC2 = AB2+BC2 то есть 10=5+5, (следовательно Z СВА = 90°, а Z ВСА = 45°).

Таким образом, arctg2+arctg3+arctg1= ZВCN+ ZACM+ ZBCA= ZMCN= 180° = п. Ответ: п. 6-задача. Доказать тождество

sin 2а = 2 sin а • cos а, (6)

Решение. Построим равнобедренный треугольник, с боковой стороны равен 1 и угол вершины 2а . Этот треугольник с опущенной высотой AD и BE (рис. 6).

/а (Л

у

AD

!L.— 1

Е

6-рис.

Очевидно, AD — Sin 2а, AE — EC — Sin^. Кроме этого из подобных треугольников

1 cos«

AABErnCAD , будет -—-. От этого равенство можно записать

2 sin а sin 2а

AC AD Тогда sin 2а — 2sin а • cos а.

7-задача. Доказать тождество:

1 - cos 2а — 2 sin2 а, (7)

Решение. Из рисунка 6-задачи мы найдем BD — COs 2а, AE — EC — síO«,

CD — 1 - cos 2а. Кроме этого из подобных треугольников AABE kCAD , будет

AB BE 1

-—-. Т огда, -

AC AD 2sina

sin а

■. Значит 1 - cos 2а — 2 sin2 а

1 - cos 2а

8-задача. Вычислить:

cos (2arctg2), (8) Решение. Используем следующие треугольники (рис. 7):

Из этого равнобедренного треугольника BAC, верно ABAC = 2arctg2. Этот треугольник

л

тупоугольный, будет arctg2 > arctgl = — . Значит, c0s(2arctg2) = — 008 A.BAM . От этого

AM д

равенство можно записать со8 ABAM = . В прямоугольных треугольниках А ВАМ используем

из теоремы Пифагора AM = "\1 AB2 — 2 из треугольника А АВБ найдем AB = л/5 . Тогда

высота треугольника. Теперь найдем отрезок АМ,

3

2S 4

BM = r^AABc = , здесь ВМ

AC V5

AM = VAB2-M = тогда будет cos (2arctg 2) = - -. Ответ: \5 55

Литература

1. Генкин Г. 3. Геометрические решения негеометрических задач: кн. для учителя. М.: Просвещение, 2007. С. 79.

2. Исраилов И., Пашаев З. Геометрия 1-часть. Учебник академический лицей. Ташкент, Издательство «Учитель». 2004.

3. Научный журнал «Физика, математика и информатика». Ташкент. 2015/2.

Spacetime in the theory of temporal spaces Gibadullin A. (Russian Federation) Пространство-время в теории временных пространств Гибадуллин А. А. (Российская Федерация)

Гибадуллин Артур Амирзянович / Gibadullin Artur — студент, кафедра физико-математического образования, факультет информационных технологий и математики, Нижневартовский государственный университет, г. Нижневартовск

Аннотация: статья посвящена модели пространства-времени в теории временных пространств. Abstract: the article is devoted to model of spacetime in the theory of temporal spaces.

Ключевые слова: хронообмен, временное пространство, аксиомы времени, геометрия времени, пространство-время, прямая, время.

Keywords: chronoexchange, temporal space, axioms of time, geometry of time, spacetime, line, time.

Концепция временных пространств рассматривает пространство как множество одномерных и однонаправленных времен, представляемых в виде моментов, удовлетворяющих аксиомам порядкового отношения [3][5]. На рисунке изображена прямая в виде временного пространства. Как