CC BY
47
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Решение терминальных задач для аффинных систем
# 10, октябрь 2013
Б01:10.7463/1013.0604151
Фетисов Д. А.
УДК 519.71
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана dfetisov@yandex.ru
Введение
В самой общей постановке терминальная задача состоит в нахождении таких управлений, которые за некоторый интервал времени переведут систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Для линейных стационарных систем методы решения терминальных задач известны (см., например, [1, 2]). Остается открытым вопрос о подходах к решению терминальных задач для нелинейных систем. Современные исследования в этой области сосредоточены в основном на разработке методов решения терминальных задач для аффинных систем. При этом преимущественно используется дифференциально-геометрический подход, основанный на преобразовании системы к тому или иному специальному виду, для которого решать терминальную задачу проще, чем для исходной системы. В разных постановках и при разных предположениях терминальные задачи для аффинных систем рассматривались в работах [3, 4, 5, 6, 7, 8].
В [3, 4] на основе концепции обратных задач динамики предложен метод решения терминальной задачи для аффинных систем, линеаризуемых обратной связью. Рассматриваемая система преобразуется к каноническому виду, затем в фазовом пространстве преобразованной системы строится фазовый график любой функции, соединяющий начальное и конечное состояния системы. После этого управление, реализующее построенную кривую в качестве траектории системы, легко находится из уравнений движения.
В работах [6, 7] предложен метод решения терминальных задач для аффинных систем со скалярным управлением, не линеаризуемых обратной связью. При этом предполагалось, что рассматриваемая система эквивалентна регулярной системе квазиканонического вида [9], причем размерность подсистемы канонического вида на единицу меньше размерности системы. С помощью предложенного метода получены достаточные условия управляемости аффинных систем.
В [8] рассматривались аффинные системы с векторным управлением, эквивалентные системам квазиканонического вида. При этом предполагалось, что подсистемы канонического вида двумерны, суммарная размерность подсистем канонического вида на единицу меньше размерности системы, интервал времени управления изначально не задан и также подлежит определению. Именно к системам с двумерными подсистемами канонического вида приводят многие прикладные задачи, поэтому разработка методов решения терминальных задач для таких систем представляется особенно важной. В [8] предложен метод решения терминальной задачи для данного класса систем в предположении, что правая часть последнего уравнения системы положительна на всем пространстве состояний.
В данной работе рассматриваются те же системы, что и в [8], и в тех же предположениях, но требование положительности правой части последнего уравнения в системе квазиканонического вида заменяется требованием, чтобы начальное и конечное состояния системы принадлежали полупространству, где положительна правая часть первого уравнения одной из подсистем канонического вида. В п. 2 предлагается метод решения терминальной задачи для указанного класса систем, в п. 3 доказывается достаточное условие существования решения терминальной задачи. В п. 4 предлагается численная процедура и приводится пример решения терминальной задачи для системы третьего порядка. Показано, что для системы из примера терминальная задача не может быть решена методом, предложенным в [8], но решается методом, предлагаемым в данной работе.
1. Преобразование системы к квазиканоническому виду
Для аффинной системы
х = Л(х) + ^^ С3- (х)и3-, 3=1
(1)
где
1 1 х = (хг,...,хп) Е Еп, и =(щ,...,ит) Е
Т Т
Л (х) = (Л (х),..., ад) , С (х) = (С1з (х), ..., Спз (х)) ,
Л(х), С3(х) Е С™(Жп), г = 1 ,п, 2 = 1, т,
рассмотрим следующую терминальную задачу. Заданы хо, х* Е Еп. Требуется найти такой момент времени и такие управления и = и\(Ь), ..., ит = ит(£), £ Е [0, £*], что решение х(£) задачи Коши
х = Л(х) + ^^ С3(х)щ(£), х(0) = х0
3 = 1
удовлетворяет условию х(£*) = х*.
Системе (1) на пространстве состояний Мп взаимно однозначно соответствуют векторные поля
п я п я
Г = Е ВД ^ О = Е С*(*) 3 = 17^.
¿=1 г г=1 г
Обозначим коммутатор векторных полей X и V через [X, У], и пусть ааХ V = У, а^ V = [X, аЛ£-1 У], к = 1, 2, ....
Следующая теорема [9] устанавливает необходимые и достаточные условия, при выполнении которых система (1) на открытом подмножестве П пространства состояний Мп с помощью гладкой замены переменных (¿, п) = Ф(ж), где Ф: П ^ Ф(П) С Мп, преобразуется к квазиканоническому виду
т _
¿1 = 4, ..., ¿Г.— = 4., ¿;. = /¿(г, п) + Е 9гз^ пК, г = ^ т
(2)
п1 = ^^п^ ..., пр = ^^п^
где
г = (г1, ..., ¿11, ..., ¿m, ..., ¿тт), П = (Пъ ..., np),
/¿, 9г], ® е С~(Ф(П)), г,3 = 17^, I = Т,^,
Г1 + ... + Гт + Р = П.
Теорема 1. Для того чтобы аффинная система (1) на множестве П С Мп приводилась к квазиканоническому виду (2), необходимо и достаточно, чтобы:
1) существовали функции рг(ж) е Сте(П), г = 1, т, удовлетворяющие в П системе уравнений в частных производных первого порядка
а^р О]рг(ж) = 0, к = 0, Гг—2, г, 3 = 1, т, ж е П;
2) существовали такие функции ^п-р+г(ж) е Сте(П), I = 1, р, что для всех ж е П
О]Рп-р+г(ж) = 0, 3 = 1, т, I = 1, р, и отображение Ф : П ^ Ф(П), задаваемое системой функций
¿] = р]-1^.(ж), 3 = 1, Гг, г = 1, т, П1 = ^п-р+г(ж), I = 1, р,
являлось диффеоморфизмом.
Если система (1) удовлетворяет условиям теоремы 1, то исходная терминальная задача эквивалентна терминальной задаче для системы (2) с граничными состояниями (¿0,По) = = Ф(ж0), (¿*,п*) = Ф(ж*). Эквивалентность понимается в том смысле, что управления
и^), . .., ит(£), являющиеся решением одной из этих задач, являются одновременно и решением другой задачи.
Далее будем полагать, что система (1) удовлетворяет условиям теоремы 1, причем г1 = 2,
г = 1, т, р =1.
2. Решение терминальной задачи для системы квазиканонического вида
При сделанных предположениях система (1) заменой переменных преобразуется в систему квазиканонического вида, которая с использованием обозначений
*1 = (¿1,..., ¿1), ¿2 = ( /(^1,^2,П) = (/1 (^¿1, ¿2, П) ,
~1
¿о , . . . , ¿О
, /т(^1,г2,П))
может быть записана в следующем виде
¿2^ /
¿1 = ¿2,
¿2 = /(¿1, ¿2, п) + #(¿1, ¿2, п)и,
7) = ^(¿1,^2,П),
(3)
где /, д, д € Сте(Ф(П)), г, = 1, т. Вместо терминальной задачи для системы (1) получаем эквивалентную терминальную задачу для системы (3) с граничными условиями
¿1(0) = ¿10, ¿2(0) = ¿20, п(0) = По,
¿1(£*) = ¿1*, ¿2 (г*) = ¿2*, п(£*) = п*
(4)
(5)
где
¿10 = (¿10, . . . , ¿10) , ¿20 = (
20
^20 ) , ¿1* = (¿1*, . . . , ¿1*) ; ¿2* = (
Далее будем полагать, что (¿10, ¿20, П0), (¿1*, ¿2*, п*) € В, где
В = {(¿1, ¿2, п) € Ф(П): ¿1 > 0} ,
и при этом ¿1<0 < ¿^.
11
¿2 , . . . , ¿
2
Пусть вектор-функция Ь^) = (61 (¿^),..., ^(¿1)) € С2[¿^0, ¿1*] удовлетворяет условиям Ь 1(¿ {) = ¿ а функции Ь^{), г = 2, т, —условиям
Ь.Ю = ¿гю, Ь^Н , ^(¿1*) = ¿1 *, = ¿2*.
¿2
20
(6)
1
Считаем также, что функция с^) € С2^0, ¿^ удовлетворяет условиям
Ф^) = с 1 0) =-1-, Ф1 *) = П*, с Ы =-1-. (7)
¿20 ¿2*
Для произвольного о € К обозначим
Еа = {(¿ь ¿2, п) € ¿1 € [¿^ ¿1*], ¿1 = 6(^1), ¿1 > о, п = Ф1)} .
Теорема 2. Пусть:
1) (¿10, ¿20, П0), (¿1*, ¿2*, п*) € Б;
2) ¿Ю < ¿1*;
3) Е С Б;
4) для любого € [¿10, ¿1*] уравнение
¿(¿^ = ^(6(^1), б'^)^, Ф1)), (8)
относительно ¿1 имеет на множестве У = {¿1 € К: ¿1 > 0} единственное решение ¿2 = = ф1), причем ф1) € С1 [¿10, 4*];
5) матрица , ¿2, п) невырождена на множестве Е0. Тогда терминальная задача (3)-(5) имеет решение.
Доказательство. Пусть ¿1(^), ¿2(г), п(г) — произвольное решение системы (3) и Т — некоторый промежуток в К. Если (¿1(^), ¿2(г), п(£)) € Б при всех г € Т, то ¿^г) > 0, г € Т. Из первого уравнения системы (3) следует, что функция ¿1 = ¿1(г) на промежутке Т возрастает. Следовательно, каждому значению ¿1 соответствуют единственные значения ¿1 = ¿1 (¿), ¿2 = ¿2(г), п = п(^), т.е. на множестве Б можно рассматривать ¿ь ¿2, п как функции ¿^ Граничные условия на ¿1, ¿2, п тогда примут вид
¿1(4)) = ¿10, ¿2(4)) = ¿20, n(¿20) = (9)
¿1 (¿1*) = ¿1*, ¿2^*) = ¿2*, п(¿2*) = п*. (10)
Положим ¿1 = 6^) и подставим в подсистему ¿1 = ¿2 системы (3). Получим равенство
¿2 = ^¿М.
Положим п = c(¿1) и подставим соотношения ¿1 = 6^), ¿2 = 6'(¿^¿^ п = c(¿1) в последнее уравнение системы (3). Получим уравнение (8) относительно ¿^ Согласно условию 4 теоремы, для любого ¿1 € [¿^, ¿1*] уравнение (8) имеет единственное решение ¿1 = ф1) на множестве У = {¿2 € К: ¿1 > 0}, причем ф1) € С^¿^ ¿1*].
Из равенств (6), (7) следует, что вектор-функции ¿1 = 6^), ¿2 = и функция
п = Ф1) удовлетворяют граничным условиям (9), (10).
Подставим функцию ¿2 = ^(¿^ в первое уравнение системы (3). Получим уравнение ¿1 = ^(¿1). Проинтегрируем его с начальным условием ¿1(0) = ¿^ В результате получим равенство
Х1 Х1
[ ¿¿1
Ф1У
(11)
г
X
которое неявно задает решение г { = г {(£) этого уравнения, удовлетворяющее условию г {(0) = г Момент времени £ = ¿*, в который выполнено равенство г {(£*) = г^, определяется соотношением
71
/ = 1
о± -
г1 г10
Ф!)'
Положительность и непрерывность функции ¿(г \) на отрезке [г {0, г гарантирует существование момента времени ¿*, а также существование и непрерывную дифференцируемость на отрезке [0, ¿*] функций г \ = определяемых равенством (11).
Функции Ъ(г 1 (£)), Ъ' (г{(¿))¿(г{(£)) и с(г {(£)) задают в пространстве состояний системы (3) непрерывно дифференцируемую ¿-параметрическую кривую, £ € [0,£*], которая соединяет состояния (4), (5) и при всех £ € [0,£*] не выходит из множества Е0, а следовательно, в силу условия 3 и из множества Д Чтобы найти управление и(£), реализующее эту кривую в качестве траектории системы (3), подставим в подсистему 42 = f (21, г2, п) + г2, п)и системы (3) вместо г1, г2 вектор-функции Ъ(г{), ^(^¿(г!), а вместо п функцию с(г{). Учитывая, что
Н
^Л^ Ъ'(г{)^(г{) = (Ъ''(г{)й(г1) + ЪЧ^ОД)*11 = (г^ф!) + Ь^К^М^1),
получим квадратную систему линейных алгебраических уравнений
(Ъ''(г 1)ф }) + Ъ'(г ^'(г^ф }) =
= f ^^'(^ф^ф!)) + ф^1), Ъ'(г1)^(г1), с(ф)« (12)
относительно управления и. Чтобы найти значение управления в момент времени ¿, надо, используя (11), найти соответствующее значение а затем решить систему (12). Из условия 5 теоремы следует, что матрица ф(ф, Ъ^ф^ф, с(ф) системы (12) невырождена при всех € [ф,^!*], поэтому для каждого € [ф, ф] система (12) имеет единственное решение. Теорема доказана.
3. Достаточное условие существования решения
Основная проблема, возникающая при применении предложенного подхода к решению терминальной задачи, состоит в выполнении условия 4 теоремы 2. Докажем достаточное условие существования, положительности и непрерывной дифференцируемости на отрезке г 1 „] функций г1 = ф 1)
[Ф, Ф] функций = ). Предварительно введем следующие обозначения:
М = шт с'(ф, ( ^ь22 ,п) ,...,дд(г1, 22,п) \ I = 1, 2,
Ф(21,22,П) = -54--Ъ (ф.
Теорема 3. Пусть:
1) 9(6(^1), О,^1)) > 0, е
2) Ф(^1,^2,п) < М на Ео;
3) существуют такие а ^ 0 и е > 0, что на множестве Ест выполнено неравенство
Ф(г1,г2,п) ^ М - е.
Тогда для любого е [2^, 2^] уравнение (8) имеет единственное решение = на
^10,21*]
множестве У = {21 е М: > 0}, причем ¿(2 {) е С 1[2110, *].
Доказательство. Зафиксируем в уравнении (8) произвольное = 2^ е [2^, 2 1. Получим уравнение Л^1) = 0, где
Ь(2!) = о'(21)22 - 9(6(21), 6'(21)22,0(21)).
Покажем, что это уравнение на множестве У имеет единственное решение . Из условия 1 теоремы следует, что
Л(0) = -9(6(2-1), 0,о(21)) < 0. Если Л(а) = 0, то = а. Если Л(а) > 0, то 2! е (0, а). Если же Л(а) < 0, то из оценки
Ь'(2!) = о'(21) - Ц(б(211),6'(211)221 ,о(21)) ■ 6'(21) =
= о'(21) - Ф(6(21),6'(21)2!,о(21)) ^ о'(21) - М + е ^ е,
справедливой при 21 > а, следует, что при 21 > а
Л,(2!) = у Л'(2^21 + Л(а) ^ у еа21 + Л(а) = е(2! - а) + Л(а).
ст ст
Поэтому ^(2!) > 0, как только 21 > а - Л(а)/е, а это означает, что существует 21 > 0, для которого Л (2^ = 0. Из условия 2 теоремы следует, что на множестве У выполнено неравенство
Л'(21) = о'(21) - Ф^^ад^о^1)) > о'(21) - М ^ 0.
Отсюда вытекает, что ) возрастает на У и, следовательно, 21 — ее единственный нуль в У. Таким образом, на отрезке [2^, 21*] определена функция ^(21), которая каждому 21 е [210, 2^] ставит в соответствие единственное решение уравнения (8) на множестве У. Осталось показать, что ^(2^ е С 1[210, 2^]. Введем обозначение
Н (21,2!) = о'(21)21 - 9(6(21), б'(21)2! ,о(*1)).
1
1
2
2
Тогда уравнение (8) запишется в виде Н(г ) = 0. Поскольку
Я^и1) = ¿(г,1) - Ф(Ь(г11),6'(г11)г2,ф1)),
из условия 2 теоремы следует, что на множестве {(г2,^2): г \ Е [г 20, г {*], г2 > 0} справедлива оценка
Н^^) >^1) - М ^ 0,
поэтому по теореме о неявной функции г1 = Е С 1 [г ^ г {*]. Теорема доказана.
При выполнении условий теоремы 3 производную функции ¿(г^) на отрезке [г 10,г {*] можно найти по известной формуле
Н1 (г 1,г2)
' = - нот • (13)
где
Н'4(г 1, ) = с"^1 - Ц (Ь(г 1), 6'(г1)г2,ф2)) ■ 2) -
- (6(г 1),Ь'(г^,с(г2)) ■ 6''(г ^ - (6(* 1),Ь'(г2^,с(г 2)) ■ с'(г 1).
Формулу (13) удобно применять для вычисления ^'(г 1) при составлении системы (12).
4. Численная процедура
Предложим численную процедуру построения решения терминальной задачи (3)-(5). Будем полагать, что выполнены условия теоремы 3. Пусть т — шаг изменения времени. Для к = 0, 1, 2, ... введем обозначения
¿к = кт, г\к = ¿1 (¿к), г = 1, т, = (г^, ..., г^), 4к = 4(¿к), г = 1, т, ^к = (^к, ..., ^гк), Пк = ^(¿к), ик = и(£к).
Значения г 10, г20, п0 известны из начальных условий. Решив систему
(6''(210)220 + Ь'(2110)^'(2110^ г20 = /(г 1 0, г20, П0) + 10, ^ П0К
найдем и0.
Далее для к =1, 2, 3, ... нужно:
1) найти г \кпо формуле г \к = г 1к- 1 + тг22 ,к-1;
2) определить г|к = ЬДг^), г = 2, т ;
3) найти Пк = с(г^);
4) определить г2к, решив уравнение ^ = 2 к, ^'(г^^, пк);
5) найти 4fc = b'i(zJfc, г = 2, m;
6) найти uk, решив систему
(b"(zlfc)z2fc + b'(zlfc)d'(zifcЙ Z2fc = /(z1 к, z2fc, Пк) + g(zlk, z2k, Пк)u
При всех k = 0, 1, 2, ... производная функции d(z2) в точках z^ вычисляется по формуле (13):
i (z 1 k, z-> k) d'(zi ) = _ zi 1 2
d (Z 1 k)= H (zi zi ).
Hzl(Z 1 fc, Z2fc)
Вычисления по описанной схеме продолжаются до k = N, где номер N определяется из условия |z2N — z 2*| < 8, а 8 > 0 — заданная точность. При этом полагаем t* = tN. Результатом работы алгоритма будут массивы значений {uk}, {z2k}, {z2k}, {nk} вектор-функций u(t), z 2(t), z2(t) и функции n(t) в моменты времени tk, k = 0, N. Пример 1. Рассмотрим систему
¿1 = z2,
z2 = U, zi, z2, u G R,
n = n3 — z| + 3,
со следующими граничными условиями:
zi (0) = 0, z2(0) = 1, n(0) = 0, zi (t*) = 1, z2 (t*) = 2, n(t*) = 1.
Для данной системы q(z2,z2,n) = n3 — z2 +3. В конечной точке q(1, 2,1) = 0, поэтому метод решения терминальных задач, предложенный в [8], для данной системы неприменим.
Выберем в качестве функции c(z i), удовлетворяющей согласно (7) условиям c(0) = 0, c'(0) = 2, c(1) = 1, d(1) = 0, функцию c(zl) = —z2 + 2zi. Тогда
c'(zi) = — 2zi + 2, M = min c'(z i) = 0, Ф^i,z2,n) = ^ = —2z2,
zie[0, i] \ и dz2
E = {(zbz2,n) G R3: zi G [0,1], z2 > a, n = —z2 + 2zi} .
Проверим выполнение достаточного условия существования решения из теоремы 3. Поскольку q(z , 0,c(zi)) = z3(2 — z2)3 + 3 > 0 при всех z :l G [0,1], а функция Ф^2^2,п) удовлетворяет неравенству Ф^2, z2, n) < 0 на множестве E0 и неравенству Ф^2, z2, n) ^ —2 на множестве E2, то условия теоремы 3 выполнены.
Расчеты показали, что если выбрать т = 0,0001, 8 = 0,001, то условие |z2 N — 1| <8 выполняется при N = 7238. Таким образом, момент времени t* = tN = 0, 7238. Графики функций z 2(t), z2(t), n(t), u(t) на отрезке [0, t*], построенные в результате работы алгоритма, приведены на рис. 1-4.
Рис. 1. График функции 21(£)
Рис. 2. График функции
Заключение
Предложен метод решения терминальной задачи для аффинных систем, эквивалентных регулярным системам квазиканонического вида. Предполагалось, что в системе квазиканонического вида подсистемы канонического вида двумерны, суммарная размерность подсистем канонического вида на единицу меньше размерности системы, интервал времени управления не задан и подлежит определению. Доказано достаточное условие существования решения терминальной задачи в указанной постановке для данного класса систем. Предложена численная процедура построения решения терминальной задачи. Приведен пример, иллюстрирующий применение численной процедуры к построению решения терминальной задачи для системы третьего порядка.
Работа выполнена при финансовой поддержке программы ведущих научных школ (проект НШ-3659.2012.1) и РФФИ (грант 12-01-31303).
Список литературы
1. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.
2. Андреев Ю.Н. Управление линейными конечномерными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.
3. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.
4. Жевнин A.A., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. № 4. С. 805-809.
5. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход. М.: Наука, 1997. 320 с.
6. Фетисов Д.А. Исследование управляемости регулярных систем квазиканонического вида // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. № 3. С. 12-30.
7. Емельянов С.В., Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Исследование управляемости аффинных систем // Доклады АН. 2013. Т. 449. № 1. С. 15-18.
8. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Преобразование аффинных систем и решение задач терминального управления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2013. №2. С. 3-16.
9. Крищенко А.П., Клинковский М.Г. Преобразование аффинных систем с управлением и задача стабилизации // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 11. С. 1945-1952.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Solving terminal control problems for affine systems
# 10, October 2013
DOI: 10.7463/1013.0604151
Fetisov D. A.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation dfetisov@yandex.ru
The new approach is proposed to solve terminal control problems for affine systems. The approach is based on the transformation of the system considered to the system of the quasicanonical form. Moreover, when considering the system of the quasicanonical form the subsystems of the canonical form are supposed to be two-dimensional. The sufficient condition of the solution existence for terminal control problem is proved. The numerical procedure is proposed to construct the solution of the terminal control problem for affine systems which are equivalent to systems of the quasicanonical form with two-dimensional subsytems of the canonical form. The example is given to illustrate the approach proposed.
References
1. Fel'dbaum A.A., Butkovskiy A.G. Metody teorii avtomaticheskogo upravleniya [Methods of automatic control theory]. Moscow, Nauka, 1971. 744 p.
2. Andreev Yu.N. Upravlenie lineynymi konechnomernymi ob"ektami [Control for linear finite-dimensional objects]. Moscow, Nauka, 1976. 424 p.
3. Krasnoshchechenko V.I., Krishchenko A.P. Nelineinye sistemy: geometricheskie metody analiza i sinteza [Nonlinear systems: geometric methods for analysis and synthesis]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2005. 520 p.
4. Zhevnin A.A., Krishchenko A.P. Upravliaemost' nelineinykh sistem i sintez algoritmov up-ravleniia [Controllability of nonlinear systems and synthesis of control algorithms]. DAN SSSR [Reports of Academy of Sciences of the USSR], 1981, vol. 258, no. 4, pp. 805-809.
5. Elkin V.I. Reduktsiya nelineynykh upravlyaemykh sistem: differentsial'no-geometricheskiypod-khod [Reduction of nonlinear control systems: differential geometric approach]. Moscow, Nauka, 1997. 320 p.
6. Fetisov D.A. Issledovanie upravliaemosti reguliarnykh sistem kvazikanonicheskogo vida [Study of controllability of regular systems of quasicanonical type]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science], 2006, no. 3, pp. 12-30.
7. Emel'yanov S.V., Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Issledovanie upravlyaemosti affinnykh sistem [Controllability research on affine systems]. Doklady AN [Reports of Academy of Sciences], 2013, vol.449, no. 1, pp. 15-18. (English Translation: Doklady Mathematics, March 2013, vol. 87, iss.2, pp. 245-248. DOI: 10.1134/S1064562413020026).
8. Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Preobrazovanie affinnykh sistem i reshenie zadach termi-nal'nogo upravleniya [Transformation of affine systems and solving of terminal control problems]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science], 2013, no. 2, pp. 3-16.
9. Krishchenko A.P., Klinkovskii M.G. Preobrazovanie affinnykh sistem s upravleniem i zadacha stabilizatsii [The transformation of affine systems with control and stabilization problem]. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1992, vol. 28, no. 1, pp. 1945-1952.
