Достаточное условие управляемости аффинной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Достаточное условие управляемости аффинной системы

# 08, август 2012

Б01:10.7463/0812.0445546

Фетисов Д. А.

УДК 519.71

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

Введение

Задача изучения свойств управляемости нелинейных динамических систем явлется одной из основных задач теории управления. Одно из направлений исследований состоит в преобразовании исходной системы в некоторую эквивалентную систему специального вида, для которого рассматриваемая задача может быть решена с помощью известных методов. Эта идея использована для исследования управляемости систем в работах [1, 2, 3, 4, 5]. В данной работе рассматриваются аффинные системы, эквивалентные регулярным системам квазиканонического вида. Исследование управляемости проводится на основе проверки существования решений терминальных задач. Ранее в статьях [4, 5] получены условия управляемости таких систем. В данной работе предложено еще одно условие управляемости для указанного класса систем.

1. Об управляемости аффинных систем

Рассмотрим аффинную систему со скалярным управлением

х = С1(х) + 02(х)п, X е Кп, и е К, (1)

т

где Сг = (Сг1, ..., Сгп(х)) е С^(Кп), % =1, 2. Задача — найти непрерывное управление и = и(Ь), Ь е [0,Ьк], которое за время Ьк переводит эту систему из начального состояния в конечное:

х(0) = хо, х(Ьк )= хк. (2)

Основное предположение: система (1) эквивалентна в Кп регулярной системе квазиканонического вида

¿1 = ¿2,

¿п-1 = / (¿,п) + д^пК (3)

П = д(г, п),

л

где z =(zi, Z2, ..., z,n-i) e Rn-1, n e R, f, g e C~(Rra), g(z, n) = 0 в Rra.

Отображение эквивалентности Ф: Rn ^ Rn позволяет сформулировать для системы (3) эквивалентную терминальную задачу: найти непрерывное управление u = u(t), t Е [0, ], переводящее систему (3) за тот же интервал времени из начального состояния

т

Ф(хо) = (zio, Z20, ... , Zn-1,0, По) (4)

в конечное состояние

т

Ф(Жй) = (zik, Z2k, . . . , Zn-1,k, nk) . (5)

Решение этой терминальной задачи одновременно является и решением исходной задачи (1), (2). В работе [4] доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы существовало непрерывное управление u = u(t), t Е [0, tk], являющееся решением терминальной задачи (4), (5) для системы (3), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция B(t) Е Cn-i([0, tk]), удовлетворяющая условиям

B (0) = zio, B(0) = Z20, ..., B (n-2)(0) = Zn-i,o,

(6)

B (tk) = Zik, B(tk ) = Z2k, ..., B (n-2)(tk ) = Zn-i,k и такая, что задача Коши

П = q(B(t),n), n(0) = По, (7)

__. т

где B(t) = (B(t), B(t), ..., B(n-2)(t)) , имеет решение n(t), определенное при t Е [0, tk] и удовлетворяющее условию

n(tk) = nk. (8)

Согласно теореме 1, чтобы убедиться в том, что терминальная задача (4), (5) для системы (3) имеет решение, достаточно найти функцию B (t), удовлетворяющую указанным в теореме условиям. В [4] предложено искать B (t) в виде

B(t) = b(t) + cd(t), (9)

где c Е R пока неизвестно, функция d Е Cn-i([0, tk]) удовлетворяет условиям

d(0) = 0, d(0) = 0, ..., d(n-2) (0) = 0, d(tk) = 0, dd(tk) = 0, ..., d(n-2)(tk) = 0, (10) а функция b Е Cn-i([0,tk]) —условиям

b(0) = Zio, b(0) = Z20, ..., b(n-2)(0) = Z„-i,o, b(tk ) = Zik, b(tk ) = Z2k, ..., b(n-2)(tk ) = Zn-i,k. В качестве d(t) можно взять многочлен

d(t) = tn-i(tk - t)n-i, (12)

в качестве b(t) — интерполяционный многочлен степени 2n — 3.

При любых значениях c функция B(t) вида (9) удовлетворяет условиям (6). Обозначим

__т __т

b(t) = (b(t), b(t), ..., b(n-2) (t)) , d(t) = (d(t), dd(t), ..., d(n-2) (t)) ,

(11)

так что В (Ь) = 6(£) + Ы(Ь). Тогда задача Коши (7) с учетом условия (8) преобразуется к граничной задаче

п = д(Ь(ь) + с5(*),п), п(0) = по, ) = ^. (13)

Если удастся найти с = с*, для которого существует решение граничной задачи (13), то получим функцию В*(Ь) = Ь(Ь) + с*^(Ь), которая удовлетворяет условиям теоремы 1 и, следовательно, терминальная задача (4), (5) для системы (3) будет иметь решение.

Если терминальная задача (4), (5) для системы (3) имеет решение при любых начальном и конечном состояниях, то система (3) управляема за интервал времени [0, ]. С использованием такого подхода в работе [5] доказано следующее условие управляемости системы (3). Теорема 2. Пусть функция ^(¿) является многочленом нечетной степени:

ом

£

¿1,..., ¿п — 1:

-¿1 ~ ¿2 »п—1

_1 ¿1 ¿2 ... ¿га-1 ,

(14)

а слагаемые старшей степени имеют вид

21+1

+

£

¿1, ...,»п—1:

¿1+...+»п-1=21+1

¿¿1,..., ¿п—1 1 ^2

21+1

-¿1 ~ ¿2 »п —1

¿1 ¿0 . . . ¿„

1

(15)

причем в этой сумме, за исключением слагаемого ¿1 1 , присутствуют лишь слагаемые, в которых сумма показателей степеней переменных с четными индексами нечетна, т.е.

«¿1,...^—1 =0 ^ ¿2 + ¿4 + ¿6 + ... = 25 + 1. Пусть также функция Я(п) положительна и ограничена в М. Тогда система

¿1 = ¿2,

(16)

¿п-1 = / ^^ + д^пК

управляема в за любой интервал времени [0, ].

(17)

2. Условие существования решения терминальной задачи

Теорема 3. Пусть в системе (3) функция 5(2, п) определена в Мп, локально липшицева по П, имеет непрерывные частные производные по переменным ¿^ и удовлетворяет условиям

51 (¿) ^ ф, п) ^ 52(¿), * е Мп-1, П е М, (18)

где функции ^), д^) е С(Ега-1) таковы, что терминальная задача (4), (5) для каждой из

систем

¿1 = ¿2,

¿п-1 = / (¿,п) + д^пК

»7 = ^¿^

1, 2,

(19)

а

п

1

имеет решение с соответствующей этому решению функцией Bi(t) = b(t) + Cid(t), i = 1, 2 (см. теорему 1). Тогда терминальная задача (4), (5) для системы (3) имеет решение, которому соответствует функция B*(t) = b(t) + c* d(t), где minjci, c2} ^ c* ^ max{c1, c2}.

M Покажем сначала, что для любого значения c решение n(t,c) задачи Коши

П = q (b(t) + ccd(t) ,n), n(0) = По (20)

определено при всех t e [0,tk]. Из (18) следует, что при всех t e [0,tk] и n e R выполнены неравенства

qi(b(t) + cd(t)) ^ q(b(t) + cd(t),n) ^ q2(b(t) + cd(t)). (21)

Функции q1(b(t) + cd(t)), q2(b(t) + cd(t)) достигают на отрезке [0,tk] своих наибольших и

наименьших значений. Обозначим q1 min = min q1{b(t) + cd(t)), q2 max = max q2 (b(t) + cd(t)).

Тогда при всех t e [0,tk] и n e R справедливы неравенства q1min ^ q(b(t) + cd(t), n) ^ q2max и, следовательно, \q(b(t) + cd(t),n)\ ^ M, где M = max{|q2max|, |q1min|}.

Рассмотрим отрезок [n° — a, n° + а]. Согласно теореме Коши [6], решение n(t, c) задачи Коши (20) определено на отрезке [0,h], где h = min{tk,a/M}. Выберем a так, чтобы выполнялось неравенство a ^ Mtk. Тогда h = tk и функция n(t,c) определена при всех t e [0,tk].

Покажем теперь, что существует значение c = c*, для которого n(t, c*) = nk. Согласно условию теоремы, терминальная задача (4), (5) для каждой из систем (19) имеет решение, которому соответствует функция Bi (t) = b(t) + cid(t), i = 1, 2. По теореме 1 функция Bi(t) обладает тем свойством, что решение ni(t, ci) задачи Коши

n = qj(b(t) + cd(t)), n(0) = n°, i =1, 2. (22)

удовлетворяет условию ni(tk, ci) = nk, i = 1, 2.

Рассмотрим задачу Коши (20) при c = c1. Составим разность

dn1 (t,c1) dn(t,c{)

q1 (b(t) + c1d(t)) — q(b(t) + c1 d(t),n(t, d))

сИ <И

и проинтегрируем ее в пределах от 0 до Ьк:

- сь = 1 [91 т + 011(г)) - дЩг) + сШпЬъ))] сг.

оо Значения функций п1(г,с1), п(Ь,с1) при г = 0 совпадают и равны п0, щ(гк, с1) = Пк. Из (21) следует, что интеграл в правой части равенства неположителен, поэтому выполнено неравенство

п(Ьк,С1) ^ Пк. (23)

Аналогичное соотношение можно получить, рассмотрев разность

<П2 (г,с2) <п(г, с2)

dt dt

q2 ( b(t) + ad(t)) — q (b(t) + c2 d(t) ,n(t,c2))

и проинтегрировав ее в пределах от 0 до tk. Учитывая (21) и начальные условия в рассматриваемых задачах Коши, получим неравенство

n(ífc,С2) ^ Пк. (24)

Будем для определенности считать, что ci ^ c2. Пусть

D = {(t, c): 0 ^ t ^ tk, c1 ^ c ^ c2} .

Обозначим Птах = max ^(c, t), nmin = min(í>c)eD ni(c, t). Функция q(6(t) + cd(t),n) при всех c G [c1, c2] непрерывна на множестве

Di = {(t, П): 0 ^ t ^ tfc, nmin ^ П ^ Птах} и удовлетворяет на нем условию Липшица по п. Производная этой функции по параметру c

dq(b(t) + cd(t),n) = у^ dq(b(t) + cd(t),n) d(j_i)(t) 5c ^ d¿7-

при всех c G [ci, c2] непрерывна в Di. Это означает [7], что решение n(t, c) задачи Коши (20) на [0, tk] непрерывно зависит от параметра c G [ci, c2]. Из неравенств (23) и (24) следует, что существует значение c = c* G [ci, c2], для которого n(tk, c*) = . ►

3. Достаточное условие управляемости

Теорема 4. Пусть функции qi(z), q2(¿) удовлетворяют условиям на функцию Q(¿) из теоремы 2. Если функция q(¿, п) удовлетворяет условиям теоремы 3, то система (3) управляема в Rn за любой интервал [0, tk].

Л Согласно теореме 2 каждая из систем (19) в условиях теоремы 4 управляема в Rn за любой интервал времени [0,tk]. Следовательно, каковы бы ни были интервал [0,tk], начальное и конечное состояния системы (19), существует решение соответствующей терминальной задачи, при этом функция B(t) имеет вид B(t) = b(t) + cd(t). Из утверждения теоремы 3 следует, что в этом случае для любого интервала [0,tk] и любых начального и конечного состояний системы (3) существует решение соответствующей терминальной задачи. Это означает, что система (3) управляема в Rn за любой интервал времени [0, tk]. ►

Пример. Покажем, что система

¿i = ¿2,

¿2 = / (¿,n) + g(¿,nK П = ¿i + ¿2 + Sin П,

где g(¿, n) = 0 в R3, управляема в R3 за любой интервал времени s[0, tk].

Функция q(¿, n) = ¿3 + ¿2 + sin П при всех ¿ G R2, n G R удовлетворяет неравенствам

¿3 + ¿23 - 1 ^ q(¿, n) ^ ¿3 + ¿2 + 1.

Обозначим q1(z) = z{ + z| — 1, q2 (z) = z\ + z| + 1 и рассмотрим системы

z1 = z2,

z^2 = f (z,n)+ g(z,n)u, i =1, 2. n = qi(z),

Правая часть последнего уравнения каждой из этих систем удовлетворяет условиям теоремы 2. Действительно, функции qi(z) являются многочленами третьей степени, для которых выполнено условие (16), функция R(n) = 1. Следовательно, эти системы управляемы в R3 за любой интервал [0, tk]. В соответствии с утверждением теоремы 4 это означает, что рассматриваемая система также управляема в R3 за любой интервал времени [0, tk].

Заключение

Рассмотрена задача исследования управляемости аффинной системы. За основу взято предположение, что рассматриваемая система эквивалентна регулярной системе квазиканонического вида с одномерной нулевой динамикой. Доказано достаточное условие существования решения терминальной задачи для такой системы. С его помощью показано, что при выполнении некоторых условий на правую часть последнего уравнения системы терминальная задача для системы имеет решение при любых начальном и конечном состояниях. Тем самым получено достаточное условие управляемости для рассматриваемого класса систем.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ N11-01-00733 и Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-3659.2012.1).

Список литературы

1. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.

2. Крищенко А.П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1984. № 6. С. 30-36.

3. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // ДАН СССР. 1981. Т. 258, №4. С. 805-809.

4. Фетисов Д.А. Исследование управляемости регулярных систем квазиканонического вида // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. № 3. С. 12-30.

5. Фетисов Д.А. Условие управляемости аффинной системы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. №10. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/236936.html (дата обращения 02.07.2012).

6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950. 468 с.

7. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Sufficient Condition of Affine System Controllability

# 08, August 2012 DOI: 10.7463/0812.0445546 Fetisov D A.

Russia, Bauman Moscow State Technical University

[email protected]

This note deals with a controllability condition for affine systems with scalar control. The main assumption - the considered system is equivalent to system of a quasicanonical form, regular on all space of states. For regular system of a quasicanonical form the solution existence sufficient condition of a terminal task is received. By means of this condition it is shown that under some conditions the terminal task for regular system of a quasicanonical form has the decision for any initial and final conditions of system on any final interval of time. Thereby the sufficient condition of controllability for a considered class of systems is proved. A possible scope of the received results is the solution of technical systems control problems.

References

1. Krasnoshchechenko V.I., Krishchenko A.P. Nelineinye sistemy: geometricheskie metody analiza isinteza [Nonlinear systems: geometrical methods of analysis and synthesis]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2005. 520 p.

2. Krishchenko A.P. Issledovanie upravliaemosti i mnozhestv dostizhimosti nelineinykh sistem up-ravleniia [The study of the controllability and sets of attainability of nonlinear control systems]. Avtomatika i telemekhanika[Automatics and telemechanics], 1984, no. 6, pp. 30-36.

3. Zhevnin A.A., Krishchenko A.P. Upravliaemost' nelineinykh sistem i sintez algoritmov up-ravleniia [Controllability of nonlinear systems and synthesis of control algorithms]. DAN SSSR [Reports of Academy of Sciences of the USSR], 1981, vol. 258, no. 4, pp. 805-809.

4. Fetisov D.A. Issledovanie upravliaemosti reguliarnykh sistem kvazikanonicheskogo vida [Study of controllability of regular systems of quasicanonical type]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science], 2006, no. 3, pp. 12-30.

5. FetisovD.A. Uslovieupravliaemosti affinnoi sistemy [Affine System Controllability Condition]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011, no. 10. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/236936.html, accessed 02.07.2012.

6. Stepanov V.V. Kurs differentsial'nykh uravnenii [Course of differential equations]. Moscow, GITTL, 1950. 468 p.

7. Filippov A.F. Vvedenie v teoriiu differentsial'nykh uravnenii [Introduction to the theory of differential equations]. Moscow, Editorial URSS, 2004. 240 p.