Решение теплофизических задач, возникающих при механической обработке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕПЛОФИЗИКА

УДК 621.787.4

Я.И.Барац, Л.Р.Милованова, И.Е.Будейкина

РЕШЕНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

В статье приведен пример использования теоремы академика Н.Н.Рыкалина о расщеплении пространственного процесса теплопроводности на ортогональные составляющие. Применение теоремы позволяет получить решения для пространственных процессов теплопроводности, описываемых линейными параболическими уравнениями, в телах, являющихся пересечением более простых геометрических образов, основываясь на известных решениях для составляющих процессов; обосновать принцип пространственно-временного соответствия, выведенный на основе метода источников тепла (метода Грина).

Ключевые слова. Тепловой источник, теплопроводность, метод источников тепла, принцип пространственно-временного соответствия, теорема о расщеплении пространственного процесса.

Введение. Научное направление, получившее название технологической теплофизики, создал академик Н.Н. Рыкалин. В основу этого научного направления были положены усовершенствования математической теории теплообмена и, главным образом, теории теплопроводности с использованием так называемого метода источников теплоты. Метод источников или в математической физике метод Грина состоит в том, что если известны законы изменения потенциала от точечного заряда, то можно построить картину распределения потенциала заряженного тела любой формы или произвольной системы тел. Задача, таким образом, состоит в определении функции Грина, удовлетворяющей данным граничным условиям [1].

Применительно к теплопроводности твердых тел наиболее универсальной функцией Грина является решение Кельвина- фундаментальное решение уравнения теплопроводности, описывающее распределение температуры в неограниченном твердом теле, происходящее после выделения конечного количества теплоты в виде мгновенного точечного источника.

Кроме того, академиком Н.Н. Рыкалиным были сформулированы основные положения теоремы о расщеплении пространственного (трехмерного) процесса теплопроводности на ортогональные составляющие, что позволило получать функцию Грина для ограниченных тел с достаточно сложными условиями теплообмена на граничных поверхностях [1].

В соответствии с теоремой о расщеплении, процесс теплопроводности в теле, описываемый линейным дифференциальным уравнением, расщепляется на независимые ортогональные составляющие при следующих условиях:

а) тело является результатом ортогонального пересечения более простых тел;

б) дифференциальный оператор в линейном уравнении, описывающем процесс в теле, распадается на сумму независимых операторов, представляющих соответствующие процессы в пересекающихся телах;

в) краевые условия для пространственного процесса распадаются на независимые условия для соответствующих составляющих процессов;

г) процесс задан источником теплоты, интенсивность которого выражается произведением ортогональных составляющих.

Если эти условия соблюдены, то решение дифференциального уравнения для пространственного процесса может быть представлено произведением решений уравнений, описывающих соответствующие составляющие процесса.

1. Процесс в неограниченном теле с мгновенным точечным источником тепла.

Как известно, для однородного изотропного твердого тела, у которого теплофизические свойства не зависят от температуры, уравнение теплопроводности имеет вид соотношения [2]

с — = Л °Р üí

(д2в

д2в +—т +

д2вЛ

дх2 ду dz2

где cp-объемная теплоемкость,

Дж _

,3 о

м

Л- коэффициент теплопроводности,

С' Вт

м°с

Если в какой-нибудь точке с координатами (х,у,2) существует источник теплоты д(х,у,г■), то уравнение теплопроводности принимает вид соотношения

дв

ср — = ЛА в + q4í,y,z dt

где Д = —г- н--г- + —г- - оператор Лапласа.

дх2 ду2 д!2 р р

Если тепловая мощность источника предельно сосредоточена в точке (0,0,0) и во времени, то уравнение теплопроводности с таким мгновенным точечным источником описывается соотношением

ср dt Я

(д2в д2в д2в\

дх1 ду1 dz2

(1)

при граничных условиях: дв п

— - 0 при х - ±сю; дх

О при у = ±оо;

дв_

ду

дв а

— = 0 при z = ±со;

dz

0-0 при t = 0, где - дельта-функции Дирака.

Для решения уравнения (1) применима теорема о расщеплении, поскольку:

а) однородное изотропное твердое тело можно представить пересечением неограниченных тел по трем пространственным координатам;

б) дифференциальный оператор в уравнении (1) распадается на три линейных оператора

А =

д2в

¿2 =

д2в

4 =

д2в

дх2'"2 Э/'"3 &2

в) начальные и граничные условия здесь распадаются на независимые условия;

г) мощность мгновенного точечного источника в виде произведения 5- функций Дирака определяется линейными процессами теплопроводности в неограниченном теле с мгновенными плоскими источниками единичной мощности (q=l) 5{х)ё{у), 5 ^ Ъ ^ , 3(х)3(г).

2

2

2

Температуры в неограниченном изотропном твердом теле с начальной температурой равной нулю, вызванные действием в момент времени t=0 единичных плоских источников в трех взаимоперпендикулярных плоскостях рассчитываются по формулам [2]:

2

00, о = вм = 00, о =

1

у1Лж!1 1

л/4 1

ехр

ехр

^¡Amt

ехр

х Ш

(2)

где а-

коэффициент температуропроводности, принятый для простоты изображения

2

процесса равным по трем координатам,

м

с

В соответствии с теоремой о расщеплении, температура в неограниченном изотропном теле с мгновенным точечным источником, действующим в точке х=у=2=0,

а

получим как произведение соотношений (2), полагая — Ф 1:

ср

9{х, у, г, () =

Я

ср 32

ехр

2 2 2 х2 + у + г

4а

(3)

Таким образом, применение теоремы о расщеплении Н.Н.Рыкалина позволяет получить решение дифференциального уравнения теплопроводности от действия в твердом теле мгновенного точечного источника, которое полностью соответствует известному решению Кельвина.

Процесс в неограниченном теле с мгновенным нормально-сферическим источником тепла. Если в теле возник мгновенный нормально-сферический источник тепла с распределением интенсивности по объему в виде нормального закона Гаусса, то его интенсивность описывается выражением [3]:

Я( Хи , У и , 7 и ) = ЯтахеХР

-к

2 2 2 х + у + г

и 7 и и

Я2

где Цтшт максимальная интенсивность тепловыделения, Вт/м ; Я- характерный размер источника тепла, м;

к- коэффициент сосредоточенности его интенсивности (оба параметра приняты для простоты изображения процесса равными по трем взаимоперпендикулярным координатам).

Тогда уравнение теплопроводности с мгновенным нормально-сферическим источником можно записать в виде соотношения:

дв . СП-= А

Ы

(д2в

д2в

д2вл

дх2 ду2 дг2

+ Ятах ехР

2 2 2 X У 7 _ и__У и__и

Я2 Я2 Я2

Все предыдущие условия, позволяющие применить для решения этого уравнения теорему о расщеплении, сохраняются. В том числе, мощность мгновенного нормально-сферического источника представлена в виде произведения экспоненциальных функций, не зависящих друг от друга.

Известно, что температура, от действия в неограниченном изотропном теле с начальной температурой равной нулю, в момент времени t=0 единичного источника с нормальным распределением интенсивности по оси х рассчитывается по формуле [2]:

в(х,Г) = -

1

]

4 ш

Я

2 Л

ехр

4ак

х..

4а

Я

2

4ак

Аналогичные решения и по двум другим координатам:

4 ш

Я

2 Л

ехр

4ак

Уи

4а

Я

2

4ак

1

4ш

Я

2

ехр

4ак

4а

г-

Я

2

4ак

Перемножая представленные решения, в соответствии с теоремой о расщеплении, получаем решение дифференциального уравнения теплопроводности, описывающего тепловой режим в неограниченном изотропном теле с мгновенным нормально-сферическим источником тепла:

0(х,Г) = -

Ч

ср

4т

Я

2

ехр

4ак

//

2 2 2 х + у + г

и у и и

2 Л

4а

Я

(4)

4ак

Сравнение выражений, описывающих температурные поля от действия в изотропном неограниченном теле мгновенного точечного (3) и мгновенного нормально-сферического (4) источников позволяют сделать вывод о том, что температурное поле от действия нормально-сферического источника в момент времени 1=0 равно температурному полю от действия мгновенного точечного источника в момент времени

1 = -

Я2 4 ак

Таким образом, используя теорему о расщеплении, удается прийти к пространственно-временному соответствию между точечным и объемным источниками. Принцип пространственно-временного соответствия был показан ранее с использованием метода источников тепла [4].

Полученное выражение позволяет переходить от мгновенных источников любой формы и конфигурации к соответствующим объемным источникам путем добавления к

Я2

координате времени / комплекса параметров t0 --.

4 ак

Процесс в неограниченном цилиндре с мгновенным кольцевым источником тепла. Неограниченный цилиндр с радиусом г0 и начальной температурой равной нулю нагревается мгновенным кольцевым источником мощностью 0 Дж, интенсивность которого равнораспределена по окружности на поверхности цилиндра, при этом происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой равна нулю.

Температура 0<г<г0; — оо<г< + оо; 0 < ? < оо осесимметричного

процесса теплопроводности с источником единичной мощности (я=1) в цилиндрической системе координат описывается уравнением [2]:

2

2

1

г

2

1

г

и

3

2

-а

д29 дг2

д29л

1 дв ---+ —-

г дг дг

(5)

при граничных условиях:

дв

-+ /70 = 0 при Г

дг

К

о >

дв

= О при г = ±со;

Вт

дг

9 = 0 при ¿ = 0. ]г~а 0 ■ а - ^ ■

Л' ср'

щ- коэффициент теплоотдачи,

м2 оС

Для решения уравнения (5) применима теорема о расщеплении, поскольку:

а) тело (неограниченный цилиндр) представляет собой ортогональное пересечение собственно неограниченного цилиндра и неограниченного тела;

б) дифференциальный оператор в уравнении (5) распадается на плоский оператор д29 1 д9

для неограниченного цилиндра

Лг

+ -

дг г дг

и линейный оператор

А д2в

А3 - —- для неограниченного тела; дг

в) начальные и граничные условия здесь распадаются на независимые условия для соответствующих составляющих процесса;

г) мощность мгновенного источника в виде произведения д- функций Дирака З^о — Г ^ ^ определяет плоско-радиальный процесс теплопроводности в неограниченном цилиндре с поверхностным мгновенным источником 8 ^ — Г и линейный процесс теплопроводности в неограниченном теле с мгновенным плоским источником 8 ^ ■

Температура в неограниченном цилиндре Г = Г0 с начальной температурой равной

нулю, охлаждаемом средой с нулевой температурой, вызванная действием в момент времени t=0 единичного мгновенного поверхностного цилиндрического источника рассчитывается по формуле [2]

1

#12 С*

Л

(6)

7ГГ0 и=1

где ап- положительные корни уравнения ск/1 ^ 0.

Если И=0 (нет теплоотдачи в окружающую среду), то к правой части решения (6)

надо прибавить член ^

лгп

Температура в неограниченном теле, вызванная плоским источником единичной мощности определяется соотношением [2]

1

2 4жй

ехр

2

4at

(7)

В соответствии с теоремой о расщеплении, температура в неограниченном цилиндре с мгновенным кольцевым источником единичной мощности, действующим в плоскости 2=0, получим как произведение соотношений (6) и (7):

Л ^О^и

#0 »о ~0 и ~0 и

Переходя к реальной мощности мгновенного кольцевого источника получим соотношение:

.2

С)ехр

z 4а?

у

7 I ^^^ 2 ^ ^ о ^

2псрг24тшХ п=1 ./0 С0

Чтобы получить решение для мгновенного нормально-тороидального источника, действующего в плоскости 2=0, нужно, в соответствии с принципом пространственно-временного соответствия [4], в выражении (8) к временной координате I прибавить

Я2

сочетание параметров t0 --:

4 ак

•Л> §

(8)

•А; €„«„ ехр

2 псрг{)

{ л2)

ш t +

у 4 ак )

И=1

— аа.

Я

2 Л

4а£

(9)

Соотношение (9) позволяет рассчитать температуру непосредственно в области действия источника теплоты. Действие нескольких мгновенных кольцевых импульсов можно учесть в виде процесса аккумуляции теплоты в цилиндре за любое число оборотов изделия, используя соотношения (8) и (9).

Выводы

1. Теорема о расщеплении пространственного процесса теплопроводности на ортогональные составляющие позволяет строить выражения пространственных процессов теплопроводности, описываемых линейными параболическими уравнениями, при действии источников в однородном неограниченном пространстве или в телах, являющихся пересечением более простых геометрических образов, исходя из известных выражений для составляющих процессов.

2. Показаны примеры применения теоремы о расщеплении пространственного процесса на ортогональные составляющие для мгновенного точечного, мгновенного нормально-сферического и мгновенного кольцевого источников.

3. Применение теоремы о расщеплении пространственного процесса на ортогональные составляющие позволяет подтвердить принцип пространственно-временного соответствия значительно упрощающий моделирование объемных источников тепла.

п

г

Библиографический список:

1. Рыкалин Н.Н. Об условии расщепления решений линейного параболического уравнения на ортогональные составляющие / Н.Н. Рыкалин //ДАН СССР, 1959.- Т.125.-№3.- С.519-522.

-\-

2. Барац Я.И. Математические модели технологической теплофизики и физических

взаимодействий/ Я.И.Барац, И.А.Маслякова, Ф.Я.Барац- Саратов: СГТУ, 2002.-92 с.

3. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер .- М.: Наука, 1964.488 с.

4. Барац Я.И. Применение принципа пространственно-временного соответствия в решении дифференциального уравнения теплопроводности для линейного источника теплоты / Я.И.Барац, Л.Р.Милованова / Актуальные проблемы конструкторско-технологического обеспечения машиностроительного производства: Матер. междунар.конф., Волгоград, 16-19 сент.2003г.-Волгоград, 2003.-Ч.1.-С.73-76.

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 15, 2009.

-\-

Y.I.Baratz, L.R.Milovanova, I.E. Budeykina

The decision of the thermophysic arising up at tooling

In article was cited an instance use the theorem of the academician N.N.RYKALIN about fission of the spatial process heat conduction on orthogonal components. Using the theorem allows to get the decisions for spatial processes of thermo-conduction, described by linear parabolic equations, at the bodies, being intersection more simple geometric image, founding on the known decisions for forming processes; motivate the principle space-temporary correspondence, found out on base of the method of the sources of the heat (the Grin's method). Keywords. Heat source, thermo-conduction, the method of the sources of the heat, the principle space-temporary correspondence, the theorem about fission of the spatial process.

Барац Яков Ильич (р. 1933) Профессор кафедры «Технология и оборудование электрофизических и электрохимических методов обработки» Энгельсского технологического института (филиала) ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» Доктор технических наук (1988). Окончил Саратовский политехнический институт (1962)

Область научных интересов: теплофизика процессов механической обработки деталей различными методами Автор более 120 публикаций

Милованова Людмила Руслановна (р. 1976) Доцент кафедры «Материаловедение» Энгельсского технологического института (филиала) ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет». Кандидат технических наук (2002). Окончила Энгельсский технологический институт Саратовского государственного технического университета (1998).

Область научных интересов: теплофизика процессов механической обработки деталей различными методами Автор более 30 публикаций sarmilovanova@mail.ru

Будейкина Ирина Евгеньевна (р. 1986) Аспирант ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет». Окончила Энгельсский технологический институт (филиал) ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» (2008)

Область научных интересов: теплофизика процессов механической обработки деталей различными методами Автор 4 научных публикаций