Метод расщепления уравнения теплопроводности при решении теплофизических задач, возникающих при механической обработке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.787.4

Я.И. Барац, Л.Р. Милованова МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

Приведен пример использования теоремы академика Н.Н. Рыкалина о расщеплении пространственного процесса теплопроводности на ортогональные составляющие. Применение теоремы позволяет получить решения для пространственных процессов теплопроводности, описываемых линейными параболическими уравнениями, в телах, являющихся пересечением более простых геометрических образов, основываясь на известных решениях для составляющих процессов; обосновать принцип пространственновременного соответствия, выведенный на основе метода источников тепла (метода Грина).

Тепловой источник, теплопроводность, метод источников тепла, принцип пространственно-временного соответствия, теорема о расщеплении пространственного процесса.

Ya.I. Baratz, L.R. Milovanova THERMO-CONDUCTION EQUATION FISSION METHOD AT THERMOPHYSIC TASK SOLUTIONS ARISING UP AT MECHANICAL TREATMENT

The use of the theorem of academician N.N. RYKALIN about fission of the spatial process heat conduction on orthogonal components is given here. The theorem's usage allows to get the decisions for spatial processes of thermoconduction, described by linear parabolic equations, at the bodies, being intersection more simple geometric image, founding on the known decisions for forming processes; motivate the principle space-temporary correspondence, found out on base of the method of the sources of the heat (the Grin’s method).

Heat source, thermo-conduction, heat sources method, principle space-temporary correspondence, spatial process fission theorem.

Введение

Научное направление, получившее название технологической теплофизики, создал академик Н.Н. Рыкалин. В основу этого научного направления были положены усовершенствования математической теории теплообмена и, главным образом, теории теплопроводности с использованием так называемого метода источников теплоты. Метод источников или в математической физике метод Г рина состоит в том, что если известны законы изменения потенциала от точечного заряда, то можно построить картину распределения потенциала заряженного тела любой формы или произвольной системы тел. Задача, таким образом, состоит в определении функции Грина, удовлетворяющей данным граничным условиям [1].

Применительно к теплопроводности твердых тел наиболее универсальной функцией Грина является решение Кельвина - фундаментальное решение уравнения теплопроводности, описывающее распределение температуры в неограниченном твердом теле, происходящее после выделения конечного количества теплоты в виде мгновенного точечного источника.

Кроме того, академиком Н.Н. Рыкалиным были сформулированы основные положения теоремы о расщеплении пространственного (трехмерного) процесса теплопроводности на ортогональные составляющие, что позволило получать функцию Грина для ограниченных тел с достаточно сложными условиями теплообмена на граничных поверхностях [1].

В соответствии с теоремой о расщеплении, процесс теплопроводности в теле, описываемый линейным дифференциальным уравнением, расщепляется на независимые ортогональные составляющие при следующих условиях:

а) тело является результатом ортогонального пересечения более простых тел;

б) дифференциальный оператор в линейном уравнении, описывающем процесс в теле, распадается на сумму независимых операторов, представляющих соответствующие процессы в пересекающихся телах;

в) краевые условия для пространственного процесса распадаются на независимые условия для соответствующих составляющих процессов;

г) процесс задан источником теплоты, интенсивность которого выражается произведением ортогональных составляющих.

Если эти условия соблюдены, то решение дифференциального уравнения для пространственного процесса может быть представлено произведением решений уравнений, описывающих соответствующие составляющие процесса.

1. Процесс в неограниченном теле с мгновенным точечным источником тепла.

Как известно, для однородного изотропного твердого тела, у которого теплофизические свойства не зависят от температуры, уравнение теплопроводности имеет вид соотношения [2]

Э0 -

ср— = Л д?

{д2е д2е д2ел

дх2 ду2 дг2

где ср - объемная теплоемкость, Дж/м3°С; X - коэффициент теплопроводности, Вт/м°С.

Если в какой-нибудь точке с координатами (х,у,г) существует источник теплоты q(x,y,г), то уравнение теплопроводности принимает вид соотношения

ср = ХЛе + q (х, у, г),

д?

л д2 д2 д2

где Л = —2 +----2 +-----2 - оператор Лапласа.

дх ду дг

Если тепловая мощность источника предельно сосредоточена в точке (0,0,0) и во времени, то уравнение теплопроводности с таким мгновенным точечным источником описывается соотношением

де .(д2е д2е д2е^ ч-/\

ср— = Х —т + —у + —у + q8(x)8( у )5(г )5(?) (1)

д?

при граничных условиях:

V дх2 ду2 дг2 у

де ± де ±

— = 0 при х = ±<^; — = 0 при у = ±го;

дх ду

де

— = 0 при г = ±то; е = 0 при ? = 0,

дг

где 5(х )5( у )5(г )5(?) - дельта-функции Дирака.

Для решения уравнения (1) применима теорема о расщеплении, поскольку:

а) однородное изотропное твердое тело можно представить пересечением неограниченных тел по трем пространственным координатам;

б) дифференциальный оператор в уравнении (1) распадается на три линейных оператора

А =

д 2е

. д2е

4 = э7,

А3 =

д2е

дх2 ’ 2 ду2 ’ 3 дг2 ’

в) начальные и граничные условия здесь распадаются на независимые условия;

г) мощность мгновенного точечного источника в виде произведения 8-функций Дирака определяется линейными процессами теплопроводности в неограниченном теле с мгновенными плоскими источниками единичной мощности (д = 1) 8(х)8(у), 8(у)8(г), 8(х)8(г).

Температуры в неограниченном изотропном твердом теле с начальной температурой, равной нулю, вызванные действием в момент времени £ = 0 единичных плоских источников в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях, рассчитываются по формулам [2]:

Є( х, ґ) =

1

лДП

аґ

-ехр

Є(У, ґ)

л/4п

аґ

ехр

(2)

Є( г, ґ) =

аґ

ехр

4аґ

где а - коэффициент температуропроводности, принятый для простоты изображения процесса равным по трем координатам, м2/с.

В соответствии с теоремой о расщеплении, температуру в неограниченном изотропном теле с мгновенным точечным источником, действующим в точке х = У = г = 0, получим

как произведение соотношений (2), полагая — Ф 1:

ср

Є( х, у, г, ґ) =■

—

ехр

х2 + у2 + г2

4аґ

(3)

ср(4па£ )7

Таким образом, применение теоремы о расщеплении Н.Н. Рыкалина позволяет получить решение дифференциального уравнения теплопроводности от действия в твердом теле мгновенного точечного источника, которое полностью соответствует известному решению Кельвина.

2. Процесс в неограниченном теле с мгновенным нормально-сферическим источником

тепла.

Если в теле возник мгновенный нормально-сферический источник тепла с распределением интенсивности по объему в виде нормального закона Гаусса, то его интенсивность описывается выражением [3]:

— ( хи , У и , ги ) = —тахеХР

- к

2 , 2 , 2 хи + Уи + ги

Я2

где дтах - максимальная интенсивность тепловыделения, Вт/м ; Я - характерный размер источника тепла, м; к - коэффициент сосредоточенности его интенсивности (оба параметра приняты для простоты изображения процесса равными по трем взаимно-перпендикулярным координатам).

2

1

У

2

1

г

Тогда уравнение теплопроводности с мгновенным нормально-сферическим источни-

ком можно записать в виде соотношения:

д0 .

ср~ = А ді

{^2

д 20 д20 д20

2гЛ

дх1 ду дг

+ ЧтахЄхР

2 2 2

кХ_________кУ___________к

^ лі к г) к г)

Я2

я2

я2

Все предыдущие условия, позволяющие применить для решения этого уравнения теорему о расщеплении, сохраняются. В том числе, мощность мгновенного нормальносферического источника представлена в виде произведения экспоненциальных функций, не зависящих друг от друга.

Известно, что температура в неограниченном изотропном теле с начальной температурой, равной нулю, в момент времени £ = 0 от действия единичного источника с нормальным распределением интенсивности по оси х рассчитывается по формуле [2]:

0( х, і) =

4па

і + -

Я

2 Л

ехр

4ак

х

4а

і + -

Я

2

4ак

Аналогичные решения и по двум другим координатам:

0(У, і)

4па

і +

Я

2

ехр

4ак

Уи

4а

і + -

Я

2

4ак

0( г, і)

4па

і + -

Я

2

ехр

4ак

4а

і +

Я

2

4ак

Перемножая представленные решения, в соответствии с теоремой о расщеплении, получаем решение дифференциального уравнения теплопроводности, описывающего тепловой режим в неограниченном изотропном теле с мгновенным нормально-сферическим источни-

ком тепла:

0( х, і) =

ср

Г ( 4па

V V

і + -

Я

—^ехр

2 Л у2

4ак

))

2 2 2 хи + Уи + ги

4а

і +

Я

2

4ак

(4)

Сравнение выражений, описывающих температурные поля от действия в изотропном неограниченном теле мгновенного точечного (3) и мгновенного нормально-сферического (4) источников позволяет сделать вывод о том, что температурное поле от действия нормальносферического источника в момент времени £ = 0 равно температурному полю от действия

Я2

мгновенного точечного источника в момент времени £ =-------.

4ик

Таким образом, используя теорему о расщеплении, удается прийти к пространственно-временному соответствию между точечным и объемным источниками. Принцип пространственно-временного соответствия был показан ранее с использованием метода источников тепла [4].

2

1

2

1

2

1

г

и

Полученное выражение позволяет переходить от мгновенных источников любой формы и конфигурации к соответствующим объемным источникам путем добавления к ко-

я2

ординате времени £ комплекса параметров t0 =-----.

4ак

3. Процесс в неограниченном цилиндре с мгновенным кольцевым источником тепла. Неограниченный цилиндр с радиусом г0 и начальной температурой, равной нулю, нагревается мгновенным кольцевым источником мощностью О Дж, интенсивность которого равно распределена по окружности на поверхности цилиндра, при этом происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой равна нулю.

Температура в(г, г, £); 0 < г < г0; -^ < г < +то; 0 < £ осесимметричного процесса теплопроводности с источником единичной мощности (д = 1) в цилиндрической системе координат описывается уравнением [2]:

дв (д 2в 1 дв д 2в ^

— = а дґ

дг2 г дг дг2

+ 5(г0 - г )5(г )5(ґ), (5)

А3 = —^ для неограниченного тела;

при граничных условиях:

^ + Нв = 0 при г = г0; ^ = 0 при г = ±то; в = 0 при £ = 0.

дг дг

а х

п = —-; а = —,

X ср

где а - коэффициент теплоотдачи, Вт/м °С.

Для решения уравнения (5) применима теорема о расщеплении, поскольку:

а) тело (неограниченный цилиндр) представляет собой ортогональное пересечение собственно неограниченного цилиндра и неограниченного тела;

б) дифференциальный оператор в уравнении (5) распадается на плоский оператор д 2в + 1 ВО

дг2 г дг и линейный оператор

дв

дг2

в) начальные и граничные условия здесь распадаются на независимые условия для соответствующих составляющих процесса;

г) мощность мгновенного источника в виде произведения 8-функций Дирака 8(г0 - г)8(г) определяет плоскорадиальный процесс теплопроводности в неограниченном цилиндре с поверхностным мгновенным источником 8(г0 - г) и линейный процесс теплопроводности в неограниченном теле с мгновенным плоским источником 8(г).

Температура в неограниченном цилиндре г = г0 с начальной температурой, равной нулю, охлаждаемом средой с нулевой температурой, вызванная действием в момент времени £ = 0 единичного мгновенного поверхностного цилиндрического источника, рассчитывается по формуле [2]

в12 (г, £ ) = -12 I ехр(- аап£) 2 ( ----) , (6)

Пг0 п=1 Jо Мп )+ ^ (Щп )

где ап - положительные корни уравнения а^(г0а)- М0 (г0а) = 0.

Если П = 0 (нет теплоотдачи в окружающую среду), то к правой части решения (6)

2 .

Пг0

надо прибавить член X

Температура в неограниченном теле, вызванная плоским источником единичной мощности, определяется соотношением [2]

0з(г,і)=

1

2л/П

аі

-ехр

4аі

(7)

В соответствии с теоремой о расщеплении, температура в неограниченном цилиндре с мгновенным кольцевым источником единичной мощности, действующим в плоскости 1=0, получим как произведение соотношений (6) и (7):

0(г, г, і ) =

2 г

ехр

4аі

2%т24шг п=1702 (г0аи) + 712 (г0аи)'

Переходя к реальной мощности мгновенного кольцевого источника, получим соотно-

шение:

0(г,г,і):

Оехр

г

4аі

2псрг02 л/

I-

3 02 (гоап Уаап

паі п=1 3о (гоап )+ 31 (гоап )

(8)

,0\1Ш1. „^^оУо™ п) ' •ЧУО^ п )

Чтобы получить решение для мгновенного нормально-тороидального источника, действующего в плоскости г = 0, нужно, в соответствии с принципом пространственновременного соответствия [4], в выражении (8) к временной координате і прибавить сочетание

параметров і0 =

Я2

4ак

0(г, г,і):

Оехр 2 г

4а ' Я2 ^ і + ч 4ак)

2'керг? па ( Я2 і + ч 4ак ,

3 о2 (гоа п )ехР

I-

аа.

і + -

Я

2

4ак

3о (гоап )+ 31 (гоап )

(9)

Соотношение (9) позволяет рассчитать температуру непосредственно в области действия источника теплоты. Действие нескольких мгновенных кольцевых импульсов можно учесть в виде процесса аккумуляции теплоты в цилиндре за любое число оборотов изделия, используя соотношения (8) и (9).

Выводы

1. Теорема о расщеплении пространственного процесса теплопроводности на ортогональные составляющие позволяет строить выражения пространственных процессов теплопроводности, описываемых линейными параболическими уравнениями, при действии источников в однородном неограниченном пространстве или в телах, являющихся пересечением более простых геометрических образов, исходя из известных выражений для составляющих процессов.

2. Показаны примеры применения теоремы о расщеплении пространственного процесса на ортогональные составляющие для мгновенного точечного, мгновенного нормальносферического и мгновенного кольцевого источников.

3. Применение теоремы о расщеплении пространственного процесса на ортогональные составляющие позволяет подтвердить принцип пространственно-временного соответствия, значительно упрощающий моделирование объемных источников тепла.

2

г

п

ЛИТЕРАТУРА

1. Рыкалин Н.Н. Об условии расщепления решений линейного параболического уравнения на ортогональные составляющие / Н.Н. Рыкалин // ДАН СССР. 1959. Т. 125. № 3. С. 519-522.

2. Барац Я.И. Математические модели технологической теплофизики и физических взаимодействий / Я.И. Барац, И. А. Маслякова, Ф.Я. Барац. Саратов: СГТУ, 2002. 92 с.

3. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М.: Наука, 1964.

488 с.

4. Барац Я.И. Применение принципа пространственно-временного соответствия в решении дифференциального уравнения теплопроводности для линейного источника теплоты / Я.И. Барац, Л.Р. Милованова // Актуальные проблемы конструкторско-технологического обеспечения машиностроительного производства: материалы Междунар. конф.: в 2 ч. Волгоград: ВГТУ, 2003. Ч. 1. С. 73-76.

Барац Яков Ильич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Технология и оборудование электрофизических и электрохимических методов обработки» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета

Baratz Yakov Ilyich -

Doctor of Technical Sciences,

Professor of the Department of «Technology and Equipment of Electro physical and Electrochemical Methods of Processing» of Engels Technological Institute (branch) of Saratov State Technical University

Милованова Людмила Руслановна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Материаловедение» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета

Milovanova Lyudmila Ruslanovna -

Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of the Department of «Material Sciences» of Engels Technological Institute (branch) of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 24.06.09, принята к опубликованию 14.01.10