CC BY
2
Владикавказский математический журнал 2024, Том 26, Выпуск 3, С. 24-32
УДК 514 + 517.926
DOI 10.46698/d7752-5993-6789-y
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННОЙ С АФФИННОЙ ГРУППОЙ
Р. А. Богданова1, В. А. Кыров1
1
i
Горно-Алтайский государственный университет, Россия, 649000, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1 E-mail: [email protected], [email protected]
Аннотация. Решение задачи вложения двуметрической феноменологически симметричной геометрии ранга (3, 2) с функцией g(x,y,C,n) = (g1,g2) = (xC + УД^п + yv) в аффинную двуметрическую феноменологически симметричную геометрию ранга (4,2) с функцией f (x,y,C,n^,v) = (f 1,f2) = (xC + уД + p,xn + yv + т) приводит к проблеме установления существования у соответствующей системы f (x, у, С, п, Д, т) = x(g(x,y, С, n), Д, v) двух функциональных уравнений невырожденных решений. Данная система решается исходя из того, что функции д и f ранее известны. В явном виде эта система записывается так: x£ + уд + p = х1(хС + УД, xn + yv, д, v), Х?? + ут + т = X (xC + уд, xn + yv, д, v). Основная задача данной работы — нахождение общего невырожденного решения этой системы. Чтобы решить проблему сначала дифференцируем по переменным x, у и С, П, Д, v, в результате получаем систему дифференциальных уравнений с матрицей коэффициентов A общего вида.Доказывается, что матрицу A можно привести к жордановому виду. Затем решается система дифференциальных уравнений с такой жордановой матрицей. Возвращаясь к исходной системе функциональных уравнений, находятся дополнительные ограничения. В итоге получается невырожденное решение исходной системы функциональных уравнений.
Ключевые слова: геометрия двух множеств, жорданова форма матрицы, система функциональных уравнений, система дифференциальных уравнений.
AMS Subject Classification: 51K99, 34K99.
Образец цитирования: Богданова Р. А., Кыров В. А. Решение системы функциональных уравнений, связанной с аффинной группой // Владикавк. мат. журн.—2024.—Т. 26, вып. 3.—С. 24-32. DOI: 10.46698/d7752-5993-6789-y.
Двуметрическая феноменологически симметричная геометрия двух множеств (ДФС ГДМ) ранга (п+1,2), где п € М, задается на двумерном и 2п-мерном дифференцируемых многообразиях М и N дифференцируемой функцией (двухкомпонентной функцией) / : М х N ^ Я2 с открытой и плотной областью определения в М х N, сопоставляющей паре точек два действительных числа [1, 2]. В координатной записи для этой функции
где (x,y) и ({1, ..., (2n) — локальные координаты в многообразиях M и N соответственно.
1. Введение
f = (f 1,f2) имеем
© 2024 Богданова Р. А., Кыров В. А.
Дополнительно выполняются две аксиомы:
Аксиома 1. Координатное представление функции f невырождено относительно двух координат ж, у и 2п координат £2,..., {2га.
Невырожденность функции f в ее координатном представлении выражается необращением в нуль якобианов:
д (xi
2 Л" гЛ fi(; гЛ f2/
/f К I I
/О,
д f 1(ii,a), f 2(ii,a),..., f 1(i„, a), f 2(i„, a))
д (ea ,ea )
a 2
где (хг, уг) — координаты точки i € M, а ^, ^a, • • •, ea™) — координаты точки a € N.
Аксиома 2. Для плотного и открытого множества точек (ii, ¿2 , ai, a2 ) €
M"+1 x N2 все 4(n+1) значений функции f связаны уравнением
Ф (f i(ii, ai), f2(ii, ai),..., f i(ira+i, a2), f2(i„+i, a2)) = 0,
где Ф = (Ф1, Ф2) — двухкомпонентная регулярная функция 4(n + 1) переменных.
Двуметрические феноменологически симметричные геометрии двух множеств появились в работах Ю. И. Кулакова и Г. Г. Михайличенко [3, 4]. Г. Г. Михайличенко получена классификация этих геометрий, которую можно найти в работах [1, 2, 5-7]. Эта классификация содержит две геометрии, которые с точностью до замены координат в многообразиях и преобразования x(f) ^ f задаются функциями:
для n = 2:
fi = x£i + ye2, f2 = xn1 + yn2;
для n = 3:
fi = xei+ye2+e3, f2 = xn1+yn2+n3.
Заметим, что вторая система функций задает аффинную группу преобразований, а первая — ее подгруппу.
Пусть функция g = (g1, g2) = g(x,y; e1 ,...,e2n ) задает ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2), а функция f = (f1, f2) = f (x', y'; n1,..., n2n, n2ra+1, n2n+2 ) задает ДФС ГДМ ранга (n + 2, 2), где n = 1, 2, 3.
Определение [5]. Будем говорить, что ДФС ГДМ 'ранга (n + 1,2) вложена в ДФС ГДМ ранга (n + 2, 2), если выполняется функциональное соотношение
f (x', y'; n1,..., n2n, n2n+1, n2n+2) = X (g (x, y ; e1,..., e2n ), e2n+1, e2n+2),
где x = X (g1,g2,e2ra+1, e2n+2), x' = A1 (x,y), y' = A2 (x,y), n1 =
Ti .ei....,e2n,e2n+i,e2n+2),..., n2™ = T2n(ei,..., e2™, e2™+i,e2™+2), =
T2n+i(ei,...,e2n,e2n+i,e2^+2), ^™+2 = T2n+2(ei,...,e2™,e2™+i, e2n+2) — дифференцируемые функции, причем выполняются неравенства:
В работе [5] доказано, что в каждую ДФС ГДМ 'ранга (n + 2, 2) вложена по крайней мере одна из ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2), где n = 1, 2, 3.
В данной статье ставится задача о нахождении всех возможных вложений ДФС ГДМ ранга (3,2) с двухкомпонентной функцией
g1 = xe + yu, g2 = xn + yv
в ДФС ГДМ ранга (4, 2) с двухкомпонентной функцией
/1 = хС + уд + р, /2 = хп + ДО + т.
Решение этой задачи сводится к решению системы функциональных уравнений.
В работе [8] была решена подобная задача о вложении аддитивной ДФС ГДМ ранга (2, 2) с двухкомпонентной функцией
в мультипликативную ДФС ГДМ ранга (3, 2) с двухкомпонентной функцией
/1 = хС + до, /2 = хп + ДО; в работе [7] решена задача вложения мультипликативной ДФС ГДМ ранга (2,2)
д1 = (х + С)у, д2 = (х + С)п
в мультипликативную ДФС ГДМ ранга (3, 2)
/1 = хС + до, /2 = хп + ДО,
а в работе [9] решена задача вложения ДФС ГДМ ранга (3,2), связанных с комплексными, двойными и дуальными числами
В последующем изложении используются более удобные обозначения для координат и функций.
Выше сформулированная задача нахождения всех вложений ДФС ГДМ ранга (3,2) с двухкомпонентной функцией д(х,у,С,п) = (д1 , д2) = (хС + до, хп + ДО) (эта запись означает, что д1 = хС + до, д2 = хп + ДО) в ДФС ГДМ ранга (4,2) с двухкомпонентной функцией /(ж, у, С, п, Д, V, р, т) = (/1, /2) = (хС + до + р, хп + ДО + т) сводится к решению системы двух функциональных уравнений
хС + ДО + р = Х1(х{ + до, хп + ДО, р, т), хп + ДО + г = Х2(хС + до, хп + ДО, р, т),
где х = х(х, у), у = у(х, у), С = С(С, п, Д, V, р, т), г = Г(С, п, Д, V, р, т), Д = Д(С, п, Д, V, р, т), г = г (С, п, Д, V, р, т), р = р (С, п, Д, V, р, т), Г = Г (С, п, Д, V, р, т), х1 = хЧи^,р,т),
X2 = Х2(и, V, р, т) — дифференцируемые функции, и = хС + УД, V = хп + yv. Введем матричные обозначения, которые будут использоваться ниже:
д1 = х + С, д2 = У + п
д1 = хС + еуп + д, д2 = хп + уС + V, в = -1,1, о
в аффинную ДФС ГДМ ранга (4, 2)
/1 = хС + уд + р, /2 = хп + yv + т.
2. Постановка задачи
, X = Р), X = , X = , Q=
hj \y) \y) VX / Va21 a22
причем ajj = a^-(p, т), bj = bj(p, т) — дифференцируемые функции, = 1, 2. С учетом этих обозначений, исходная система функциональных уравнений принимает следующий вид:
Ё х + R = X. (1)
Вложение оказывается возможным, если система (1) имеет хотя бы одно невырожденное решение, удовлетворяющее следующим двум условиям:
Д = |МЬ0, □ _
d(x,y) д(С,п,Д,^р,т)
Далее находим невырожденные решения системы (1). Отметим, что матрица 5 невырождена, поскольку иначе £г/ — пД = 0, что противоречит неравенству □ = 0 в (2). Дифференцируем уравнения в системе (1) по переменным ж, у, С, п, Д, v:
ЁХх = Сх« + nXv, (3)
ЁХу = дх« + vXv, (4)
5?X + R? = жх«, Ёп X + Rn = xXv, 5MX + RM = ух«, 5v X + Rv = yXv • (5) Далее, исключая в полученных соотношениях производные x«,Xv, имеем:
5xXx = (£Ё? + пЁ^ X + £R? + nRn, 5yXx = (£Ё^ + пЁ^ X + £RM + nRv, (6) 5xXy = (дё? + v5n) X + + vRn, 5yXy = (ДЁм + v5v) X + + vRv, (7)
Основной результат этой статьи сформулируем в виде теоремы:
Теорема. Общее невырожденное решение системы (1) функциональных уравнений может быть представлено в следующем виде:
X = AX + A1, Ё = ОЁЛ-1, R = B1 — 05Л-1А1, х = ^5X + B1, (8)
причем Л = const, A1 = const.
< Рассмотрим сначала случай Xx = const.
Лемма. Xx = const тогда и только тогда, когда Xy = const.
< Действительно, если Xx = const, то дифференцируя по ж первое уравнение в (7), а затем фиксируя переменные С, П, Д, v, p, т, получаем Xy = const. Аналогично доказываем и в обратную сторону. Лемма доказана. >
Итак, согласно лемме Xx = const и Xy = const, следовательно X = ЛX + A1, Л = const, A1 = const, причем по первому неравенству из (2) матрица Л невырождена. Из равенств (3) и (4) тогда вытекает
х = (an\ = /а11(Р,т Л и х = fa12\ = /а12(Р,т) х« \a2v Va21(p,T)) Xv \a22J ^22(р,т)
следовательно
х = fi( V) + B1 = Q5X + B1,
причем, как несложно установить, матрица Q невырождена. С найденным возвращаясь в (3) и (4), получаем 2 = 02Л-1. Из (1) тогда получим R = B1 — 02Л-1А1. Таким образом, получено решение (8) исходной системы функциональных уравнений.
Далее доказываем теорему, когда Xx = const.
Первое равенство в (6) можно разрешить относительно xXx. Фиксируя затем переменные п, Д, v, р, т, получаем систему дифференциальных уравнений для функций X = X(x,y), y = y (x,y):
xXx=(a d) x+(a)=ax+(a). (9)
Заметим, что A = ^ 1 + n^n) •
7-1
Произведем допустимое структурой функциональных уравнений системы (1) преобразование
X' = их ^ X = и-1Х', XX = иХх = иАХ + и ^ = иАи-1Х' + и = А'Х' + ^
с невырожденной матрицей и второго порядка.
Система дифференциальных уравнений (9) в прежних обозначениях принимает следующий вид:
хХх = иАи-1Х +
Лу
Хорошо известно (см. [10, с. 485],), что матрица A второго порядка с вещественными элементами преобразованием A ^ UAU-1 может быть приведена к одной из пяти вещественных форм:
D (0 0) ■ 2) (а 0), з) (а 0), 4) (а 0), г» (- а). (10)
где в том же порядке: 2) а = 0, 3) а — любое, 4) а = d, 5) b = 0. Решения системы уравнений (9), связанные с формулами (10), будут следующими:
1) x = a ln x + x(y), y = y ln x + y(y), a2 + y2 = 0; (11)
a y
2)x = x(y)xa--, y = y(y)xa~^ (12)
a y a
3.1) ж = x{y)xa - -, у = (x(y) 1пж + у(у))жа - - + —; (13)
а а а
a(ln x)2
3.2) ж = x(y) + а:1пж, у =----h jlnx + In ж + (14)
а й y
4.1)ж = ж(у)жа--, y = y(y)xd-j; (15)
а ^
4.2) х = х{у)ха--, у = + у(у)~, (16)
- d Y
4.3) х = а\пх + х(у), у = у(у)х---; (17)
d
^ {х = (x(y)sm(blnx) +y(y)cos(blnx))xa -= (х(у) cos(6 In ж) -у(у) sin(6 In ж))жа -
Далее функции (11)-(18) подставляем в уравнения из (6) и (7). Случай 1). В матричном виде систему (11) записываем так:
X=ln xlJ + mj
Тогда второе уравнение из (6) принимает следующий вид:
| («) = - (Л + чв,) (Ц«) + (*>)) + й-№ + *>,
\y{y)J a \Yj
следовательно а = 7 = 0, что недопустимо, т. е. случай 1) не дает невырожденное решение исходной системы функциональных уравнений.
Случай 2). Рассуждаем как и выше. В матричном виде система (12) записывается так:
а \7У
Значит второе уравнение из (6) принимает следующий вид:
-- =+(*• Ш +
При а = 1 получаем ж(у) = у(у) = 0, что недопустимо ввиду первого неравенства из (2). При а = 1 имеем
5-1
(ÍH„ + П. V)(*y))=o,
следовательно последняя система принимает вид:
y(Z) = —Ё-1 (С Ё, + ПЁ v) ( а) + Ё-1№ + nRv )•
Фиксируя далее переменные г], ц, г/, р, т, получаем ж (у) = у (у) = следовательно для (12) имеем ж = /3^ — а, у = — 7. В таком случае легко заметить, что первое неравество в (2) не выполняется. Противоречие.
Аналогичными рассуждениями получаем противоречия в случаях 3.1), 3.2), 4.1), 4.2), 4.3).
Осталось проверить случай 5). (18) записываем в матричном виде
а (sin 6 In ж cos 6 In ж \ (х(у)\ 1 fa —Ъ\(а
X = х1 , 11^1
4cos b ln x — sin b ln x) \y(y)J a2 + b2 \ b a J y7
Значит второе уравнение из (6) принимает следующий вид:
a xa-i /sin bln x cos blnx \ /ж(у)\ + b xa-! Z' cos blnx — sin blnx\ /ж(у)
ayx ycos b ln x — sin b ln x) \y(y)J yx sin b ln x —cosb ln x) \y(y)
-1 / ~ ,=, \ ( a /sin 6 ln ж cos b ln ж \ /x(y)\ 1 /с + v-v) ^ b ь ж _ gin b ln xj j - a2 ^
! иш^ш*, \ (х(у)\ 1 /а —¿Л /а
Шу)/ а2 + 62\Ь + Ё-1(^ + ).
Легко заметить, что ж(у) = Ж(у) = 0, что недопустимо ввиду первого неравенства из (2). Противоречие.
Теорема доказана полностью. >
3. Заключение
Сформулированная выше задача вложения полностью решена. Можно также сформулировать и решить задачу вложения и для других вариантов геометрий двух множеств, например, для ДФС ГДМ ранга (3,2) с двухкомпонентной функцией
/1 = хС1 + С2, /2 = хп1 + у(С1)с + п2, с = 0
в ДФС ГДМ ранга (4,2) с двухкомпонентной функцией
/1 = хС1 + уС2 + С3, /2 = хп1 + уп2 + п3.
Литература
1. Михайличенко Г. Г. Групповая симметрия физических структур.—Барнаул: Барн. гос. пед. ун-т, 2003.-203 с.
2. Михайличенко Г. Г. Двуметрические феноменологические структуры ранга (п+1,2) // Сиб. матем. журн.—1993.—Т. 34, № 3.—С. 132-143.
3. Кулаков Ю. И. Математическая формулировка теории физических структур // Сиб. матем. журн.—1971.—Т. 12, № 5.—С. 1142-1145.
4. Михайличенко Г. Г. Решение функциональных уравнений в теории физических структур // Докл. АН СССР.—1972.—Т. 206, № 5.—С. 1056-1058.
5. Кыров В. А. О вложении двуметрических феноменологически симметричных геометрий // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех.—2018.—№ 56.—С. 5-16. Б01: 10.17223/19988621/56/1.
6. Богданова Р. А., Михайличенко Г. Г., Мурадов Р. М. Последовательное по рангу (п + 1, 2) вложение двуметрических феноменологически симметричных геометрий двух множеств // Изв. вузов. Матем.—2020.—№ 6.—С. 9-14. Б01: 10.26907/0021-3446-2020-6-9-14.
7. Кыров В. А. Невырожденные канонические решения некоторой системы функциональных уравнений // Владикавк. матем. журн.—2022.—Т. 24, № 1.—С. 44-53. Б01: 10.46698/и7680-5193-0172-а.
8. Кыров В. А., Михайличенко Г. Г. Невырожденные канонические решения одной системы функциональных уравнений // Изв. вузов. Матем.—2021.—№ 8.—С. 46-55. Б01: 10.26907/0021-3446-20216-46-55.
9. Кыров В. А., Михайличенко Г. Г. Решение трех систем функциональных уравнений, связанных с комплексными, двойными и дуальными числами // Изв. вузов. Матем.—2023.—№ 7.—С. 42-51. Б01: 10.26907/0021-3446-2023-7-42-51.
10. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.—495 с.
Статья поступила 25 декабря 2023 г.
Богданова Рада Александровна Горно-Алтайский государственный университет, доцент кафедры математики, физики и информатики РОССИЯ, 649000, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1 E-mail: [email protected] https://orcid.org/0000-0002-1306-6426
Кыров Владимир Александрович Горно-Алтайский государственный университет, доцент кафедры математики, физики и информатики РОССИЯ, 649000, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1 E-mail: kyrovVA@yandex. ru https://orcid.org/0000-0001-5925-7706
Vladikavkaz Mathematical Journal 2024, Volume 26, Issue 3, P. 24-32
SOLUTION OF A SYSTEM OF FUNCTIONAL EQUATIONS ASSOCIATED WITH AN AFFINE GROUP
Bogdanova, R. A.1 and Kyrov, V. A.1
1 Gorno-Altaisk State University, 1 Lenkin St., Gorno-Altaisk 649000, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. Solution of the embedding problem for a two-metric phenomenologically symmetric geometry of rank (3, 2) with the function g(x,y,£,n) = (g^g2) = (x£ + y mu,xn + yv) into an affine two-metric phenomenologically symmetric geometry of rank (4,2) with the function f (x,y,£,n,M, v) = (f 1,f2) = (x£ + yM + p,xn + yv + t) leads to the problem of establishing the existence of non-degenerate solutions to the corresponding system f (x, y, £, n, M, r) = x(g(x, y, C, n), M, v) of two functional equations. This system is solved based on the fact that the functions g and f are previously known. This system is written explicitly as follows: + y7M + P = X1(xC + yM, ®n + yv, M, v), + y r + r = X2(®£ + yM, xn + yv, M, v). The main goal of this work is to find a general non-degenerate solution to this system. To solve the problem, we first differentiate with respect to the variables x, y and £, n, M, v, as a result we obtain a system of differential equations with a matrix of coefficients A of the general form. It is proved that the matrix A can be reduced to Jordan form. Then a system of differential equations with such a Jordan matrix is solved. Returning to the original original system of functional equations, we find the additional restrictions. As a result, we arrive at a non-degenerate solution to the original system of functional equations.
Keywords: geometry of two sets, Jordan form of a matrix, system of functional equations, system of differential equations.
AMS Subject Classification: 51K99, 34K99.
For citation: Bogdanova, R. A. and Kyrov, V. A. Solution of a System of Functional Equations Associated with an Affine Group, Vladikavkaz Math. J., 2024, vol. 26, no. 3, pp. 24-32. (in Russian). DOI: 10.46698/d7752-5993-6789-y.
References
1. Mikhailichenko, G. G. Gruppovaya simmetriya fizicheskih struktur [Group Symmetry of Physical Structures], Barnaul, 2003. 203 p. (in Russian).
2. Mikhailichenko, G. G. Bimetric Physical Structures of Rank (n + 1, 2), Siberian Mathematical Journal, 1993, vol. 34, no. 3, pp. 513-522. DOI: 10.1007/BF00971227.
3. Kulakov, Yu. I. A Mathematical Formulation of the Theory of Physical Structures, Siberian Mathematical Journal, 1971, vol. 12, no. 5, pp. 822-824. D0I:10.1007/BF00966522.
4. Mikhailichenko, G. G. The Solution of Functional Equations in the Theory of Physical Structures, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1972, vol. 206, no. 5, pp. 1056-1058 (in Russian).
5. Kyrov, V. A. On the Embedding of Two-Dimetric Phenomenologically Symmetric Geometries, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika i Mekhanika, 2018, no. 56, pp. 5-16 (in Russian). DOI 10.17223/19988621/56/1.
6. Bogdanova, R. A., Mikhailichenko, G. G. and Muradov R. M. Successive in Rank (n+1, 2) Embedding of Dimetric Phenomenologically Symmetric Geometries of Two Sets, Russian Mathematics, 2020, vol. 64, no. 6, pp. 6-10. DOI: 10.3103/S1066369X2006002X.
7. Kyrov, V. A. Nondegenerate Canonical Solutions of Some System of Functional Equations, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2022, vol. 24, no. 1, pp. 44-53 (in Russian). DOI: 10.46698/u7680-5193-0172-d.
8. Kyrov, V. A. and Mikhailichenko, G. G. Nondegenerate Canonical Solutions of one System of Functional Equations, Russian Mathematics, 2021, vol. 65, no. 8, pp. 40-48. DOI: 10.3103/S1066369X21080053.
9. Kyrov, V. A. and Mikhailichenko, G. G. Solving Three Systems of Functional Equations Associated with Complex, Double, and Dual Numbers, Russian Mathematics, 2023, vol. 67, no. 7, pp. 34-42. DOI: 10.3103/S1066369X23070058. 10. Kostrikin, A. I. Vvedenie v algebru [Introduction to Algebra], Moscow, Nauka, 1977, 495 p. (in Russian).
Received December 25, 2023
RADA A. BOGDANOVA
Gorno-Altaisk State University,
1 Lenkin St., Gorno-Altaisk 649000, Russia,
Associate Professor of the Department of Mathematics,
Physics and Informatics
E-mail: [email protected]
https://orcid.org/0000-0002-1306-6426
Vladimir A. Kyrov
Gorno-Altaisk State University,
1 Lenkin St., Gorno-Altaisk 649000, Russia,
Associate Professor of the Department of Mathematics,
Physics and Informatics
E-mail: kyrovVA@yandex. ru
https://orcid.org/0000-0001-5925-7706
