CC BY
1
Владикавказский математический журнал 2024, Том 26, Выпуск 2, С. 54-69
УДК 512.816.3
DOI 10.46698/a9077-8757-4946-m
О ЛОКАЛЬНОМ РАСШИРЕНИИ ГРУППЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЕРЕНОСОВ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II
В. А. Кыров1
1 Горно-Алтайский государственный университет, Россия, 649000, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1 E-mail: kyrovVA@yandex. ru
Посвящается 80-летию профессора Георгия Георгиевича Магарил-Ильяева
Аннотация. В данной статье решается проблема локального расширения группы параллельных переносов трехмерного пространства до локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований того же пространства. Локально ограниченно точная дважды транзитность означает существование единственного преобразования, которое переводит произвольную пару несовпадающих точек из некоторой открытой окрестности почти в любую пару точек из той же окрестности. Поставленная задача решается для четырех случаев, связанных с жордановыми формами матриц третьего порядка. С помощью этих жордановых матриц записываются системы линейных дифференциальных уравнений, решения которых приводят к базисным операторам шестимерного линейные пространства. Требуя замкнутости коммутаторов базисных операторов, находим алгебры Ли. Проверяя условие ограниченно точной дважды транзитивности, получаем алгебры Ли искомых групп Ли преобразований. В конце работы доказывается, что эти алгебры Ли либо разрешимы, либо пред-ставимы в виде прямой суммы разрешимого идеала и подалгебры, изоморфной sl(2,R). При этом разрешимые алгебры Ли разлагаются в прямую суммы нильпотентного идеала и разрешимой подалгебры. В конце устанавливается изоморфизм некоторых алгебр Ли из числа найденных выше.
Ключевые слова: группа Ли преобразований, локально ограниченно точно дважды транзитивная группа Ли преобразований, алгебра Ли, жорданова форма матрицы. AMS Subject Classification: 22F99.
Образец цитирования: Кыров В. А. О локальном расширении группы параллельных переносов в трехмерном пространстве. II // Владикавк. мат. журн.—2024.—Т. 26, вып. 2.—С. 54-69. DOI: 10.46698/a9077-8757-4946-m.
1. Введение
Данная статья является продолжением работы [1], в которой были найдены алгебры Ли некоторых локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований пространства Я3, являющимися расширениями группы параллельных переносов этого пространства. Базис таких алгебр Ли состоит из операторов вида: Х\ = дх, Х2 = ду, Хз = дг, Уг = Аг(х, у, г]дх + Бг(х, у, г)ду + Ог(х, у, г)дг, г = 1,2,3. Для нахождения явных выражений операторов У\, У2, Уз сначала по условию замкнутости коммутаторов [Хг,У^] = (аг)кХк + (вг)кУк, = 1, 2, 3, записываются три системы дифференциальных уравнений (0.1) из [1], решая которые, находим ограничения на компоненты этих
2024 Кыров В. А.
операторов. Исследуя на замкнутость остальные коммутаторы, получаем окончательные выражения для У2, 13
В работе [2] доказано, что матрицы Т1, Т2, Т3 коэффициентов системы (0.1) из [1] взаимно коммутативны и матрица Т1 в подходящем базисе алгебры Ли приводится к жордановой форме. Далее вычисляя коммутаторы [Т1,Т2], [Т1, Т3] и [Т2, Т3] и приравнивая их к нулю, получаем следующие выражения ненулевых матриц Т1, Т2, Т3:
/Л1 0 0\ /^1 0 0\ /^1 0 0\
1. 0 Л2 0 , 0 ^2 0 , 0 ^2 0 ;
\0 0 Л3/ \0 0 \0 0 ^3/
/% Л3 0\ М V 0\ М ^3 0\
2. 0 Л1 0 Л 0 0 , 0 V! 0 , Л3 + ^3 + VI = 0;
\0 0 Л2/ \0 0 \0 0 V2/
/% Л2 ЛД /^1 ^2 М V2 Vз^
3. 0 Л1 Л2 Л 0 ^2 , 0 V1 vЛ , Л2 + V + V! = 0;
\0 0 Л1/ \0 0 ^1/ \0 0 Vl/
Л1 Л2 0 / ^2 0 (V, V2 0
— Л2 Л1 0, —V 0, — V2 Vl 0
0 0 Л3 0 0 0 0 Vз
Л2 + V + V22 = 0;
4
/Л 1 0\
5. 0 Л 0 , 0
0 0 Л 0
0 ^Л /V Vl V2^ V 0 , 0 V 0 , ^2 = 0; 0 V / \0 0 V)
/Л 1 0\ /V 0 ^Л /V Vl 6. 0 Л Л , 0 V 0 , 0 V 0 .
\0 0 Л/ \0 1 V/ \0 1 V)
В данной статье рассматривается случай с матрицами 1-4 (случай с матрицами 5 и 6 был рассмотрен в [1]).
В последнее время актуальной является задача расширения транзитивного действия группы Ли. Так в работе [3] приводится определение расширения транзитивной группы Ли О, действующей в многообразии М: расширением транзитивной группы Ли О называется группа Ли О1, содержащая О в виде подгруппы Ли и тоже транзитивная на М, причем ограничение этого транзитивного действия на О дает исходное транзитивное действие группы Ли О. Классическим примером расширения группы параллельных переносов пространства Кп является группа аффинных преобразований этого же пространства.
Следуя монографии Г. Г. Михайличенко [4], можно говорить, что локально точно транзитивная группа Ли преобразований пространства Л3 задает феноменологически симметричную геометрию двух множеств ранга (2, 2), а локально ограниченно точно дважды транзитивная группа Ли преобразований пространства Л3 задает феноменологически симметричную геометрию двух множеств ранга (3, 2). Первым множеством является пространство Л3, а вторым — группа Ли О.
Результаты, получаемые в данной работе, можно применить для классификации ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований пространства Я3 (феноменологически симметричных геометрий двух множеств [4]), поэтому требуется поиск всех алгебр Ли групп преобразований, о которых говорилось вначале. Применяемый в этой работе метод исследования апробирован в статьях [1] и [5].
Основные определения. Определения 1, 2 и 3 из статьи [1] полностью переносятся в данную работу, поэтому их формулировки здесь не приводятся.
Теорема 1 [1, 2]. Локальное действие п: Я3 х С ^ Я3 с операторами ее алгебры Ли (1.2) из [1] локально ограниченно точно дважды транзитивно тогда и только тогда, когда матрица
К (Ь) - К (а)
невырождена, где
'А1 (ха,уа, ха) Б\(ха,уа,га) Ох(ха,уа,га) К (а) = | А2 (ха, у а, ¿а) Б2(ха ,уа,*а) О2(ха ,уа,Ха)
(ха, у а ,Ха ) Б3(ха ,уа,Ха ) О3(х а ,уа,ха)
причем а = (ха, уа, ха) € и (а) С Ш С Я3.
Следствие. Действие п: Я3 х С ^ Я3 с операторами алгебры Ли вида
IХ1 = дх, Х2 = ду, Х3 = д)х, У = А1(х,у,г)дх + Б1(х,у,х)ду, У2 = Б2(х,у,г)дх + Б2(х,у,г)ду, У3 = А3(х,у,х)дх + Б3(х,у,х)ду
не является локально ограниченно точно дважды транзитивным.
Алгебра Ли обладает важным свойством — замкнутость относительно коммутационных соотношений, т. е. коммутаторы [Х^ ,Ук ], где j,k = 1, 2, 3, принадлежат этой же алгебре Ли [6]. Тогда, учитывая (1.2) из [1], приходим к системе дифференциальных уравнений (0.1) из [1] на коэффициенты Аг, Бг, Ог. Везде ниже используются обозначения:
(\1 ,г) = \1х + /1у + Р1Х, (\2 ,г) = \2х + №у + V2 X, (\3,т) = Х3 х + ^ + ^Х,
(91, г) = дзх + р3у + (92,г)= д3х + р\у + д\х, (д3,г) = д3х + р^у + д3^х, (р1,г)= д¡х + р\у + д^х, (р2, г) = д%х + р2у + д(р3,г) = д3х + р^у + д3х, (Я1,г)= д\х + р1 у + д{х, (д2,г)= д2гх + р\у + д^х, (д3 ,г) = д3 х + р3^у + д\х, = (1,0,0)т, ^ = (0,1,0)т, = (0,0,1)т, ~А = А А2 А3)т, ~ББ = В Б2 Б3)т , с! = О О2 О3)Т.
2. Алгебры Ли, определяемые матрицами 1
Предложение 1. Система дифференциальных уравнений (0.1) из [1] с одновременно ненулевыми матрицами Т1, Т2 и Т3, принимающих вид 1 из введения, в подходящем базисе и с точностью до переобозначения координат имеет три решения: при XI + /2 + VI = 0, \2 + /2 + =0 и \2 + /2 + V?2 = 0:
~АА = (с1е(Х1 г + а1)~^ + (е2е(Х2'г) + а1^ + (с1^е(Хз'г) + а1^, = (с21е(х1г + а+ (с2е(х2'г) + а2)~$ + (с2е(х*<г) + а2^,
~О = (4е(Х1 г + а1)~1 + (с3е(Х2'г) + а3)~$ + (с3е(Хз>г) + а3)~?;
при л} + + V2 = 0, л2 + + = о и л2 + ^2 + = 0:
" = (с}е(Л1 >г) + а})"? + (с2е(Л2'г) + а2)" + ((£}, г) + " = (с2е(Л1 >г) + а})"? + (с2е(Л2'г) + а2)" + ((52, г) + с3)" " = (с}е(Л1 >г) + а})"? + (с3е(Л2'г) + а3)" + ((5э, г) + с|)"?
при л} + ^2 + V? = 0, л2 + ^2 + ^2 =0 и л2 + ^2 + = 0:
" = (с}е(Л1'г> + а})"? + ((Р1, г) + с})" + ((51, г) + с3)"?, " = (с2е(Л1'г) + а})"? + ((Р2, г) + с2)" + ((52, г) + сЭ)"^, " = (с?е(Л1>г) + а})"? + ((рэ, г) + с2)"" + ((5э, г) + с3)"
где с], , 9], р], а* — постоянные, г, ^ = 1, 2, 3.
< Доказательство сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (0.1) из [1] с матрицами коэффициентов 1 из введения. >
Из решений, содержащихся в предложении 1, ниже будут выделены алгебры Ли. По решениям, найденным в предложении 1, запишем базисные операторы (1.2) из [1] шестимерных линейных пространств, при этом операторы У}, У2 и Уэ комбинируем с операторами X}, Х2 и Хэ так, чтобы исчезли свободные члены:
X} = дх, Х2 = ду, Хэ = дг, У} = е(Л1 >г) (с}дх + с2ду + с?д*), У2 = е(Л2,г) (с2дх + с2ду + с2дг) , Уэ = е(Лз'г) (сЭдж + с2ду + сЭд^) ;
(1)
X} = дх, Х2 = ду, Хэ = дг, У} = е(Л1 >г) (с}дх + с}ду + сЭд^ , У2 = е(Л2,г) (с}дх + с2ду + с2дг) , Уэ = (5},г)дл + (52,г)ду + (5э,г)д;
(2)
= е(Л1 'г) (с}дх + с}ду + с?д^ ,
Х} = дх Х2 = ду, Хэ = дг, У} = с-- + ь цуу
У2 = (р}, г)дх + (Р2, г)ду + (рэ, г)дг, Уэ = (5}, г)дх + (52, г)ду + (#э, г)дг
(3)
Запишем определитель матрицы К (Ь) — К (а) из теоремы 1 для базисных операторов (1), (2), (3):
|К (Ь) — К (а)| = (е1
= (р(Л1,гЬ) — е(Л1 ,Га)
е(Л2 ,ГЬ) — е(Л2 ,га)
е(Л3,гЬ) — е(Л3 ,га)
с2 с}
с2 с2
сэ с}
сэ с2
сс
; (4)
|К (Ь) — К (а)| = (е
= (р(Л1,гЬ) — е(Л1 ,га)
е(Л2,ГЬ) — е(Л2 ,Га)
} -| } 2 22э ээ
+ р}уЬа + 9} ^Ь« + рэ^Ь« + 92 ¿6« ^Жь« + рэ^Ь« + 9э^«
(5)
|К (Ь) — К (а)| = (е1
= I е(Л1 ,гЬ) — е(Л1 ,га)
с} с} с}
5}ХЬа + р}УЬа + 52ЖЬа + р2Уба + <?2^а 52ЖЬа + р2Уба + <?2^а
} } } 2 22э ээ
5}ХЬа + р}УЬа + 9} ¿6« 52X6« + рэУЬа + 9з^« 52X6« + рэУЬа + 9э^а
}
}
}
2
}
э
}
2
э
с
с
с
}
}
}
}
2
э
X
с
с
с
2
2
2
где хьа = хь — ха, уьа = уь — уа, хьа = хь — ха. В силу теоремы 1 матрицы коэффициентов
'с1 с2 с3\ /с1 ¿2 ¿1 \ с21 с22 с2 , с11 с12 с1 , с11 с12 с1
с13 с32 с33 с2 с2 с2
соответственно в операторах (1), (2) и (3) имеют ранги равные 3, 2, 1. Поэтому в этих операторах вводим такую линейную замену координат, чтобы
с^дх + с^ду + ¿{дх = дх', с^дх + с2ду + с2 дх = ду', с^дх + с3ду + с3дх = дг',
после чего комбинируем Х1, Х2 и Х3, затем возвращаемся к прежним обозначениям координат, операторов и постоянных (в новых обозначениях неравенства на коэффициенты сохраняются). Записываем только операторы У1, У2 и У3, помня, что в каждой системе Х1 = дх, Х2 = ду и Х3 = дх:
У1 = е(Х1'г)дх, У2 = е(Х2'г)ду, У3 = е(Хз 'г)дг; (7)
У1 = е(Х1 'г)дх, У2 = е(Х2 ,г)ду, У3 = (д1 ,г)дх + (д2,г)ду + (д3,г)дх; (8)
У1 = е(Х1,г)дх, У2 = (р1, г)дх + (р2, г)ду + (р3, т)дх,
У3 = (д1,г)дх + (д2 ,г)ду + (д3, г)дх,
где х2 + /2 + V2 = 0, х2 + /2 + V2 = 0, х2 + /3 + VI = 0.
Далее воспользуемся условием замкнутости коммутаторов алгебры Ли, согласно которому любой коммутатор является линейной комбинацией базисных операторов Х1, Х2, Х3, У1, У2, У3. Очевидна замкнутость коммутаторов [Х^У^, [Х^У^, [Х^У^, [Х^У^, [Х2, У2], [Х2, У3], [Х3,У1], [Х3, У2], [Х3, У3].
В системе операторов (7) вычисляем коммутаторы [У^У^], [У1,У3] и [У2,У3]:
[У1,У2] = \2е{Х1+Х2)х+{Ц1+№)у+^1+и2)х ду — /1е(Х1+Х2)х+(^1 +№)у+{^1+"2)х дх,
[У1,У3] = \3е(Х1+Хз)х+(т+^з)у+(^1+из)г дх — ^е(Х1+Хз)х+(р1+рз)у+(»1+из)г дх, [У2,У3] = л^+^+^+^у+^ф дх — V2e{Х2+Х3)x+{m+V3)У+{v2+V3)Z ду.
(9)
Замкнутость этих коммутаторов означает либо равенство нулю коэффициентов перед экспонентами, либо равенство нулю показателей этих экспонент. Поэтому возможны следующие случаи:
1) Все три коммутатора не равны нулю, поэтому ^ + Х2)х + (/1 + /2)у + + v2)х = 0, (\1 + \3)х + (л1 + л3)у + (V1 + Vз)х = 0, (Х2 + \3)х + (/2 + л3)у + (V2 + Vз)х = 0, откуда следует Х1 = Х2 = Х3 = /1 = /2 = /3 = v1 = v2 = V3 = 0, что невозможно, поскольку тогда базисные операторы У1, У2, У3 линейно выражаются через Х1, Х2, Х3.
2) Все три коммутатора равны нулю, тогда Х2 = Х3 = /1 = /3 = v1 = v2 = 0 и поэтому получаем систему операторов
У1 = еХ1хдх, У2 = е^у ду, У3 = еизх дг. (10)
3) Два коммутатора равны нулю, например, [У1,У2] = [У1,У3] = 0. Тогда Х2 = Х3 = /1 = v1 = 0, (/2 + /3)у + (V2 + v3)х = 0, т. е. /2 = —/3, v2 = —v3, поэтому получаем
У1 = еХ1хдх, У2 = е-^зу-узх ду, У3 = ё"зу+узх дх. (11)
Заметим, что равенство нулю остальных пар коммутаторов приводит, с точностью до переобозначения координат и операторов, к этим же выражениям.
4) Остается рассмотреть случай равенства нулю одного, например, первого коммутатора, тогда Л2 = ^ = 0, (Л} + Лэ)х + ^эу + ^ + Vэ)z = 0, Лэх + (^2 + ^э)у + ^2 + Vэ)z = 0, т. е. V} = ^ = — Л} = Л2 = Лэ = = = = 0, в результате получаем операторы
У} = е-^ дх, У2 = е-^ ду, Уэ = дг. (12)
Как и выше, равенство нулю остальных коммутаторов приводит, с точностью до переобозначения координат и операторов, к таким же выражениям.
Теперь приступаем к исследованию системы (8). Вычисляем коммутатор [У}, У2]:
[У},У2] = Л2е(Л1+Л2)х+(М1+М2)У+(.1+.2). ду — ^}е(Л1+Л2)х+(М1 +М2)у+(^1+^2> дх.
Сначала рассмотрим случай равенства его нулю, т. е. Л2 = ^ = 0. Вычисляя остальные коммутаторы, получаем
[У}, Уэ] = еЛ1х+^ (5}дх + 52ду + ^д*
— Л}(5}х + р}у + 9}г)дх — V} (53 х + рЦу + 9э^)дх) = а} У} + 0^2,
[У2,Уэ] = (р}дх + р2ду + рэд^
— ^2 (5 2х + р2у + 9 з^)ду — V2 (53 х + рэу + 9э^)ду) = в} У} + в2У2-
Сравнивая коэффициенты слева и справа, получаем соотношения
5э = 0, рэ = 0, Л}^} =0, Л}р} = 0,
1 о Л С\ Г) О
Л}9э + Vl9з = 0, ^25Э = 0, ^рэ = 0, ^29э + V29з = 0.
Из полученной системы следует, что если Л} = 0, то V} = 0 и поэтому 93 = 0, что невозможно ввиду следствия из теоремы 1. Аналогичный вывод справедлив и при ^2 = 0. Тогда Л} =0 и ^2 = 0, поэтому = р} = д\ = р\ = 0, 9} = —Vl93/Лl, р\ = —V293/^2, следовательно получаем операторы
У1 = еХ1Х+и1Хдх, У2 = е^+^ду, У3 = (^-дх + —ду - дЛ , (13)
\Л} ^2 )
где Л} = 0, ^2 = 0. Теперь рассмотрим случай отличия от нуля коммутатора [У}, У2], т. е. Л2 + = 0, поэтому Л2 = —Л}, = — v2 = — V}. Вычисляя остальные коммутаторы, имеем
-,2а , \ / }
[У}, Уэ ] = еЛ1 + 52 ду + — Л} (^х + р}у + 93}^дх
— № (5з х + р2У + 9 з*) дх — V} (^х + р эу + 9 ^ д: [У2, Уэ ] = е-Л1х-^1у-^ ^р}дх + р2 ду + рэд^ + Л} (5}х + р}у + 9}^)ду
+ ^ (5 2х + р2У + 9з*) ду + ^ (5зх + р эу + 9 ду) • Из условия замкнутости этих коммутаторов получаем соотношения
О о 1 о 1 О 10 4
5э = рэ = Р} = 52 =0, Л}5} =0, ^}р2 = 0, Л} 9} + ^^ + Vl9э = 0.
Полагая ^ = 0, находим операторы
Yi = eAl y2 = e-Aix-^i y-viz dy,
Уз = {g\x + q\z)dx - (—q\ + zdy + <z33xd,, ф 0, /л ф 0. ^
Заметим, что если Ai = 0 в предыдущих равенствах, то с точностью до переобозначения координат и коэффициентов, получаем эти же операторы.
Наконец, исследуем систему операторов (9). Для этого вычисляем коммутаторы [Yi, Y2] и [Yi, Y3], а затем учитывая их замкнутость и отличие от нуля определителя (6), получаем
Vi = ех^У+^дх, Y2 = (ply + qjz) + Эу) + (vlv + dfr) + '
Уз = Ш + + ду) + (РзУ + ф) + &
Далее вводим линейную замену координат: х' = А1Ж + ^у + ^х, у' = у, х' = г, в результате предыдущая система в прежних обозначениях координат принимает вид:
У1 = ехдж, Y2 = (р|у + ^2х) ду + (р^У + ^ х) дг, Yз = (р^у + ^х) ду + (р ^у + д дг.
Исследуя на замкнутость коммутатор [У2, Yз] и применяя результаты статьи [5], получаем операторы
П = ехдх, Y2 = уду, Yз = хдг, (15)
П = ехдх, Y2 = уду + гхд^, Yз = хду, г = 0, (16)
П = ехдх, Y2 = уду + хдг, Yз = хду - удг, (17)
Yl = ехдх, Y2 = уду, Yз = удг. (18)
В системах (10)—(18) делаем подходящую замену координат, переходя к новым координатам х', у', х', после чего линейно комбинируем базисные операторы и возвращаемся к прежним обозначениям координат. При этом через Х1, Х2, Хз обозначаем либо операторы дифференцирования дх, ду, дг (если в системе они присутствуют), либо три взаимно коммутативных оператора (если хотя бы один из операторов дифференцирования в системе отсутствует). Остальные операторы обозначим через Yl, У2, Уз. Также учитываем теорему 1, т. е. для этих операторов вычисляем определители (4)—(6).
Для системы (10) вводим замену координат х' = е-Л1Ж, у' = е-№у, х' = , после чего линейно комбинируя операторы, в прежних обозначениях координат и операторов получаем
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дх, п = хдх, Y2 = уду, Yз = хдг. (19)
Для (12) вводим замену координат х' = х, у' = у, х' = , затем линейно комбинируя операторы, в прежних обозначениях координат и операторов получаем
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дх, Yl = хдх, Y2 = хду, Yз = хдг. (20)
Для системы (11) осуществляем замену координат х' = е-Л1Ж, у' = емзу, х' = , после чего линейно комбинируя операторы, в прежних обозначениях координат и операторов имеем
Х1 = дх, Х2 = уду, Хз = хдг, Yl = хдх, Y2 = хду, Yз = удг. (21)
Для системы (13) вводим замену координат х' = е-Х1Х-и1Х, у' = е-№у-^22:, х' = г, получаем (19).
Для системы (14) вводим замену координат у' = еЛ1х+^1у+^12:, х' = х, х' = х', после чего оператор Уз делим на ненулевой множитель д^, затем переобозначаем коэффициенты, в результате, в прежних обозначениях координат, операторов и коэффициентов будем иметь
У1 = удх, У2 = уду, Уз = (^х + ^з^дх + Аз^худу + хдг.
Вычисляя коммутаторы и исследуя их на замкнутость, получаем Аз^ = 0, следовательно, с точностью до переобозначения коэффициентов, имеем систему
Хз = дх, Х2 = ду, Хз = дг, Уз = удх, У2 = уду, Уз = (ах + Ьх)дх + хдг. (22)
В системах (15)-(18) вводим замену координат х' = е-х, у' = у, х' = у, затем переобозначая координаты и операторы, получаем
Хз = дх, Х2 = ду, Хз = дх, Уз = хдх, У2 = уду + гхд^, Уз = хду, г = 0; (23)
Хз = дх, Х2 = ду, Хз = дх, Уз = хдх, У2 = уду + хдг, Уз = хду - удг; (24) Хз = дх, Х2 = ду, Хз = дг, Уз = хдх, У2 = уду, Уз = удг, (25)
причем система (15) совпадает с (19). Нами доказана теорема 1.
Теорема 2. Алгебра Ли, определяемая матрицами 1, локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований пространства Яз, полученной расширением группы параллельных переносов этого же пространства, изоморфна одной из алгебр Ли из списка (19)—(25).
3. Алгебры Ли, определяемые матрицами 2
Предложение 2. Система дифференциальных уравнений (0.1) из [1] с одновременно ненулевыми матрицами Тз, Т2 и Тз, принимающих вид 2 из введения, в подходящем базисе имеет четыре решения:
при аз + ^2 + ^з =0, А2 + ^2 + =0 и А2 + ^2 + = 0:
? = ((с! + Сз(Аз,г))е(Л1 >г) + аО"? + (с2е(Л1>г) + а2)"? + (С|е(Л2'г) + аз)"?, "? = ((с2 + с2(Аз,г))е(Л1 >г) + а?)"? + (с2е(Льг) + а2) "? + (с2е(Л2>г) + а2)"?, "? = (сз + с2(Аз, г)) е(Л1'г) + аз"? + (с2е(Л1>г) + аз) + (сзе(Л2>г) + аз) "?;
при аз + ^2 + V? = 0, А2 + ^2 + =0 и А2 + ^2 + = 0 :
"? = ((сз + с2(Аз,г))е(Л1 >г) + аз)"? + (сзе(Л1>г) + а2)"? + ((#ъг) + сз)"?, = ((сз + с2(Аз,г))е(Л1 >г) + аз)"? + (с2е(Л1'г) + а2)"? + ((#2,г) + сз)"?, "? = ((сз + сз(Аз,г))е(Л1 'г) + аз)"? + (с2е(Л1'г) + аз)"? + ((#з,г) + сз)"?;
при аз + ^2 + VI =0, А2 + ^2 + VI = 0 и А2 + ^2 + VI = 0:
"? = (Аз#зх2/2 + ^зр2у2/2 + vзqзz2/2 + ^з0зху + Vзg?xх + Vзp2yz
+ (9з, г) + сз)+ ((рь г) + с2) ? + (сзе(Л2 >г) + аз)"?, "? = (Аз^х2/2 + ^зр2у2/2 + vзq|z2/2 + ^^у + vзg|xх + Vзp2yz
+ (92, г) + сз) ? + ((^2, г) + с2)"? + (сзе(Л2 >г) + а2)"?, "? = (Аз^| х2/2 + №р2у2/2 + vзq3х2/2 + ^ ху + Vз03xх + Vзp2yх
+ (9з, г) + сз)"? + ((рз, г) + сз)"? + (сзе(Л2 >г) + аз)"?;
при аз + ^2 + V! = 0, А2 + ^2 + V| =0 и А2 + ^2 + v| = 0 :
"? = (Аз^зх2/2 + /)Рзу2/2 + vзq?х2/2 + ^з0зху + vзg? хх + Vзp2yх +(9з,г) + с^"? + ((ррьг) + с2)"? + ((0з,г) + сз)"?, = (Аз^х2^ + ^зР2У2/2 + vзg|z2/2 + ^ху + vзg| хх + Vзp2yх + (92, г) + сз) "? + ((Р2, г) + с2) "? + ((02, г) + сз) "?, "? = (Аз0|х2/2 + А)зРзУ2/2 + vзg|z2/2 + ^з^Зху + vзg| хх + Vзp2yх +(9з, г) + сз)"? + ((рз, г) + сз)"? + ((0з, г) + сз)"?,
где с^, 0}, 9}, р, а} — постоянные, г,; = 1,2,3, Аз^З = ^з0з, Аз9з = vз03, ^з9з = vзpз,
Азр2 = Аз92 = vзg|, ^з92 = vзp2, Азр2 = ^з02, Аз9г = vз02, ^з9г = vзP3.
Из решений, содержащихся в предложении 2, ниже будут выделены алгебры Ли. По найденным решениям запишем базисные операторы (1.2) из [1] шестимерных линейных пространств, при этом операторы Уз, У2 и Уз комбинируем с операторами Хз, Х2 и Хз так, чтобы исчезли свободные члены:
Хз = ^ Х2 = ду, Хз = дг, Уз = е(Л1>г> (сздх + сзду + с3дг + (Аз, г)(с3дх + с2ду + сзд^)) , (26)
У2 = е(Л1'г) (с2дх + с2ду + с2дг) , Уз = е(Л2'г) (сздх + с2ду + сзд^) ;
Хз = ^ Х2 = ду, Хз = дг, Уз = е(Л1,г) (сздх + сзду + сзд^ + (Аз, г)(4дх + с2ду + сзд^)) , (27)
У2 = е(Л1,г) (с2дх + с2ду + с2дг) , Уз = (0з,г)дх + (02,г)ду + (0з,г)дг;
Хз = дx, Х2 = ду, Хз = дг, Уз = ((Аз, г)(рз, г)/2 + (9з, г)) дх + ((Аз, г)(р2, г)/2 + (92, г)) ду + ((Аз,г)(рз,г)/2 + (9з,г)) дг,
(28)
У2 = (рз,г)дх + (рР2,г)ду + (ррз,г)дг, Уз = е(Лз'г) (сздх + с2ду + сзд^ ;
Хз = дx, Х2 = ду, Хз = дг, Уз = ((Аз, г)(рз, г)/2 + (9з, г))дх + ((Аз, г)(р2, г)/2 + (92, г))ду +((Аз,г)(рз,г)/2 + (9з,г))дг, У2 = (рз, г)дх + (р2, г)ду + (рз, г)дг, Уз = (0ъ г)дх + (02, г)ду + (0з, г)дг
Далее, как и в предыдущем случае, требование невырожденности матрицы К(Ь) — К (а) приводит к упрощению систем (26)—(27), которые запишем без операторов Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг:
У = е(Л1 (дх + (Лз,г)ду), У2 = е(Л1 'г)ду, У3 = е(Л2; (30)
У1 = в(Л1'г) (дх + (Лз, г)ду), У2 = в(Л1'г)ду, Уз = (51, г)дх + (52, г)ду + (53, г)дг; (31) У1 = (ж(рь г)/2 + (дь г)) дх + (ж(р2, г)/2 + (^2, г)) ду + (ж(р з, г)/2 + (дз, г)) дг, (32) У2 = (Р1, г)дх + (Р2, г)ду + (р з, г)дг, Уз = в(Л2'г) (с1дх + с2ду + Сздг) ;
У1 = (х(р1, г)/2 + г))дх + (ж(р2, г)/2 + (д2, г))ду + (ж(р з, г)/2 + (дз, г))д*, (33) У2 = (Р1, г)дх + (р2, г)ду + (рз, г)дг, Уз = (51, г)дх + (52, г)ду + (5з, г)дг,
где л2 + ^2 + V? = 0, л2 + ^2 + = о, л2 + ^2 + = о.
Потом воспользуемся условием замкнутости коммутаторов [Х1,У1], [Х2,У[], [Хз,У1], [У1,У2], [У1,Уз] и [У2,Уз] и теоремой 1 для выделения нужных шестимерных алгебр Ли, после чего переходим к подходящим координатам и линейно комбинируем оператора Х1, Х2, Хз, У1, У2, Уз. В результате в прежних обозначениях операторов, координат и подходящих обозначений для коэффициентов, будем иметь
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = ех (дх + (у + ах)ду), У2 = ехду, Уз = в-хдг; (34)
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = ех (дх + уду), У2 = ехду, Уз = гд*; (35) Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = ж2дх + жду, У2 = ждх, Уз = хд; (36)
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = ждх + (ж2 + ау)ду, У2 = жду, Уз = хд; (37)
^з — ^ 1 — ^ ^^^ ±2— О/ 1Уу,
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = (ж2 + ау)ду + (Ьж + сх)дг, У2 = жду,
Уз = ждх + 2уду + яд*;
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = (ж2 + ау + Ьг)ду + 2хдг, У2 = жду,
Уз = ждх + 2уду + 2хдг;
Х1 = дx, Х2 = ду, Хз = дг,
У1 = (ж2 + 2у + ах)ду + 2*дг, У2 = жду, Уз = ждх + (2у + Ьг)ду + 2*дг;
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = (ж2 + ау)ду + Ьгд^, У2 = жду, Уз = ждх + 2уду + схд^;
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = ждх + ((а + 1)у + Ьг)ду + ахд, У2 = жду,
Уз = ж2ду + ждг;
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = ждх + (ж2 + ау + Ьг)ду + схд^,
У2 = жду, Уз = ждг;
Х1 = дx, Х2 = ду, Хз = дг,
У1 = 2ждх + (ж2 + 2ау + Ьг)ду + (а + 1)хдг, У2 = жду, Уз = хду + ждг;
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = 2ждх + (ж2 + ау)ду + 2хдг, У2 = жду, Уз = (Ьж + х)дг;
Х1 = дx, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = 2ждх + (ж2 + ау + Ьг)ду + (у + сх)дг, У2 = жду, Уз = ждг
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
Нами доказана теорема 2.
Теорема 3. Алгебра Ли, определяемая матрицами 2, локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований пространства Яз, полученной расширением группы параллельных переносов этого же пространства, изоморфна одной из алгебр Ли из списка (34)-(46).
4. Алгебры Ли, определяемые матрицами 3
Предложение 3. Система дифференциальных уравнений (0.1) из [1] с одновременно ненулевыми матрицами Ть Т2 и Тз, принимающих вид 3 из введения, в подходящем базисе имеет два решения: при Л2 + ^2 + = 0 и Л2 + ^2 + = 0:
А = ((с1 + с2(Л2, г) + сз(Лз, г) + сз(Л2, г)2/2)е(Л1'г) + а1) — + ((с2 + сз(Л2, г))е(Л1'г) + а1) 1 + ^е^1 >г) + а£) 1,
1 = ((с? + с2(Л2, г) + с2(Лз, г) + с2(Л2, г)2/2)е(Л1'г) + а2) 11 + ((с2 + сз(Л2, г))е(Л1'г) + а2) 1 + (с2е(Л1 >г) + аз) 11,
1 = ((с1 + с2(Л2, г) + сз(Лз, г) + сз(Л2, г)2/2)е(Л1'г) + аз) 1
сзе(Л1 ,г)
с1 + с2(
+ ((сз + сз(Л2, г))е(Л1'г) + а2) —— + (сзе(Л1 >г) + аз) X;
при Л2 + ^2 + = 0 и Л2 + ^2 + = 0:
А = ((Л2,г)2(51,г)/6 + + ((Л2,г)(51,г
В = ((Л2,г)2(52,г)/6 +
+ ((Л2,г)(52,г
С = ((Л2,г)2(5з,г)/6 + + ((Л2,г)(5з,г
Л2, г)(р1, г)/2 + (Лз, г)(51, г)/2 + )дь г) + с1) С /2 + (р1, г) + с1) —— + ((51, г) + 4) —
Л2, г)(р2, г)/2 + (Лз, г)(52, г)/2 + (д— г) + с2) — /2 + (Р2, г) + с2) —— + ((52, г) + с2) —
Л2, г)(рз, г)/2 + (Лз, г)(5з, г)/2 + )дз, г) + сз) — /2 + (рз, г) + с2) —— + ((5з, г) + сз) —
где с}, 5}, 9}, Р}, а} — постоянные, г,; = 1, 2, 3, Лзр] = ^з52, Лзд| = "з5з, = "зр:].
Из решений, содержащихся в предложении 3, выделяются алгебры Ли, при этом используется метод, апробированный в предыдущих разделах. В итоге получаем
Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дг, У1 = ех (дх + уду + (* + у2/2)д^ ,
х;
г;
У2 = ех (ду + удг), Уз = ехд;
Х1 = дx, Х2 = ду, Хз = , У1 = 6ждх + (жз + ау + Ьг)ду + (3ж2 + сж + (а — 6)х)дг, У2 = ж2ду + 2ждг, Уз = жду;
Х1 = ^ Х2 = ду, Хз = , У1 = ждх + (жз/6 + вжх + (3 — 2в)у + Ьг)ду + (ж2/2 + сж + (2 — в)*)дг, У2 = (ж2/2 + вх)ду + ждг, Уз = жду;
Х1 = дx, Х2 = ду, Хз = , У1 = 6ж2дх + (жз + 6жу)ду + ждг, У2 = 4ждх + (ж2 + 2у)ду, Уз = жду;
(47)
(48)
(49)
Хз = ^ Х2 = ду, Хз = дг, Уз = —(3х2 + 18у)дх + (хз + 6ху)ду + (3х2 + 18у)дг, (51)
У2 = —2хдх + (х2 + 2у)ду + 2хдг, Уз = хду.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы
Теорема 4. Алгебра Ли, определяемая матрицами 3, локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований пространства Яз, полученной расширением группы параллельных переносов этого же пространства, изоморфна одной из алгебр Ли из списка (47)-(51).
5. Алгебры Ли, определяемые матрицами 4
Предложение 4. Система дифференциальных уравнений (0.1) из [1] с одновременно ненулевыми матрицами Тз, Т2 и Тз, принимающих вид 4 из введения, в подходящем базисе имеет два решения: при А2 + + V2 = 0 и А2 + ^ + V2 = 0 :
А = ((сз ео8(А2, г) + сз 8т(А2, г))е(Л1 >г) + аз) -+ ((—сз в1п(А2, г) + с2 ео8(А2, г))е(Л1 'г) + а2) — + (сзе(Лз'г) + а£) -
В = ((сз ео8(А2, г) + с2 в1п(А2, г))е(Л1 >г) + а2) -+ ((-сз 81п(А2, г) + с2 ео8(А2, г))е(Л1 >г) + а2) — + (сзе(Лз>г) + а2) -
С = ((сз ео8(А2, г) + сз 81п(А2, г))е(Л1 'г) + аз) — + ((-сз 81п(А2, г) + с2 ео8(А2, г))е(Л1 >г) + а2) — + (сзе(Лз>г) + аз)-;
при А2 + ^2 + v| = 0 и А2 + ^з + v| = 0:
А = ((сз ео8(А2, г) + с2 81п(А2, г))е(Л1 >г) + аз) -+ ((-сз 81п(А2, г) + с2 ео8(А2, г)) е(Л1,г) + аз)— + ((0Ь г) + сз) ,
В = ((сз ео8(А2, г) + с2 81п(А2, г))е(Л1 >г) + а2) -+ ((-с2 81п(А2, г) + с2 ео8(А2, г))е(Л1 >г) + а2) — + ((02, г) + с2) ,
С = ((сз ео8(А2, г) + сз 81п(А2, г))е(Л1 'г) + аз) -+ ((-сз 81п(А2, г) + с2 ео8(А2, г))е(Л1 >г) + аз) - + ((0з, г) + сз) ,
где с}, 0}, 9}, р}, а} — постоянные, г,; = 1, 2, 3.
Из решений, содержащихся в предложении 4, выделяются алгебры Ли. Для этого по найденным решениям запишем базисные операторы (0.2) из [1] шестимерных линейных пространств, причем операторы Уз, У2 и Уз комбинируем с операторами Хз, Х2 и Хз так, чтобы исчезли свободные члены (здесь и везде ниже записываем только операторы Уз, У2 и Уз помня, что системы операторов всегда содержат Хз = дх, Х2 = ду, Хз = дг), после чего исследуя на замкнутость коммутаторы этих операторов и учитывая следствие из теоремы 1, получаем
Уз = ео8(-^зх + Азу)дх + 8т(-^зх + Азу)ду, (52)
У2 = - 81п(-^зх + Азу)дх + ео8(-^зх + Азу)ду, Уз = дг;
Уз = еЛ1х+^1у (ео8(-^зх + Азу)дх + 8т(-^зх + Азу)ду), (53)
У2 = еЛ1х+ту (-81п(-^зх + Азу)дх + еов(-^зх + Азу)ду), Уз = е^дг; ( )
Y = cos(—^ж + Aiy + V2z)dx + sin(—^ж + Aiy + ^)ду, Y2 = - sin(-^ix + Aiy + V2z)dx + cos(-^ix + Aiy + ^)ду, (54)
Y3 = q^zdx + q^y + qfzdz, —^з + Aiq2 + qfv: = 0;
Yi = eAlx+^iy+v1z (cos(—^ж + Aiy + v2z)dx + sin(—^ж + Aiy + v2z)dy), Y2 = eAlx+^iy+v1z (- sin(—^ж + Aiy + V2z)dx + cos(—^ж + Aiy + ^)ду), (55) Y3 = q^zdx + q^zdy + q^z, Aiq¿ + ^iqf + qfvi = 0, + Aiq§ + qfv: = 0,
причем A"2 + = 0.
В системах (52) и (53) вводим замену ж' = ж, y' = y, z' = e-V3Z, в результате их включаем соответственно в (54) и (55).
Далее в (54) и (55) при Ai = 0 вводим замену координат ж' = Aix + ^iy, y' = —^ж + Aiy + —, z' = z, Ai = R cos —, = R sin —, затем линейно комбинируем базисные операторы:
Yi = cos (y + V2Z)dx + sin(y + V2Z)dy,
(56)
Y2 = — sin(y + V2z)dx + cos(y + V2z)dy, Y3 = — Vizdx — V2zdy + zdz;
Yi = ex+viz (cos(y + V2z)dx + sin(y + ^)ду), (57)
Y2 = ex+viz (— sin(y + V2z)dx + cos(y + V2z)dy), Y3 = —vizdx — V2zdy + zdz.
Если Ai = 0, то в (54) и (55) вводя замену ж' = ^iy, y' = —z' = z, получаем (56) и (57) соответственно.
И, наконец, вводя замену ж' = ж + viz, y' = y + v2z, z' = z, а затем в первом случае замену — ж = In у^тт, У = arctg 12ул, z' = z и еще одну — ж' = 1/ж, у' = у/ж, z' = z, а во втором случае другую замену — ж' = e-x cos y, y' = e-x sin y, после линейной комбинации операторов, в прежних обозначениях для координат, окончательно будем иметь
Xi = жду, X2 = ydx, X3 = dz, Yi = ждх, Y2 = ydy, Y3 = zdz; (58)
Xi = дх, X2 = ду, X3 = dz, Yi = ждх + ydy, Y2 = —ydx + жду, Y3 = zdz. (59)
Полученный результат сформулируем в виде теоремы
Теорема 5. Алгебра Ли, определяемая матрицами 4, локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований пространства R3, полученной расширением группы параллельных переносов этого же пространства, изоморфна одной из алгебр Ли из списка (58), (59).
6. Исследование найденных алгебр Ли
Сначала приводятся определения по работе [6]. Идеал Ь(1) = [Ь, Ь] называется первым коммутантом алгебры Ли Ь, Ь(2) = [Ь(1),Ь(1)] — вторым коммутантом алгебры Ли Ь, а Ь(к+1) = [Ь(к),Ь(к)] — (к + 1)-ым коммутантом алгебры Ли Ь. В итоге возникает ряд коммутатнов:
ь э ь(1) э ь(2) э---э ь(к) э---
Алгебра Ли Ь называется разрешимой, если ее ряд коммутатнов заканчивается нулевым идеалом. Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости теоремы:
Теорема 6. Алгебры Ли (19), (20), (22), (23), (24), (25), (34), (35), (37), (38), (39), (40), (41), (42), (43), (44), (45), (46), (47), (48), (49), (59) разрешимы, причем разлагаются
в прямую сумму идеала N и разрешимой подалгебры Б: Ь = N ф 5. При этом для (19), (20), (22), (23), (24), (25) N = {Хз, Х2,Хз} — коммутативный идеал, Б = {Уз, У2,Уз}; для (34), (35), (47), (59) N = {Уз, У2,Уз} — коммутативный идеал, Б = {Хз,Х2,Хз} — коммутативная подалгебра; для (37), (38), (39) N = {Хз, Х2 ,У2} —нильпотентный идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга, Б = {Хз, Уз, Уз}; для (40), (41) N = {Хз, Х2, Хз, У2} — нильпотентный идеал, Б = {Уз, Уз} — коммутативная подалгебра; для (42), (43), (44), (45), (46), (48), (49) N = {Хз, Х2,Хз,У2,Уз} — нильпотентный идеал, Б = {Уз}.
Отметим, что результат теоремы 6 можно получить и иначе, воспользовавшись полной классификацией шестимерных разрешимых вещественных алгебр Ли [7-10]. На практике это означает нахождение представлений векторными полями уже известных разрешимых алгебра Ли. Данная задача является технически сложной и долгой.
Несложно установить, что алгебры Ли (21), (36), (50), (51) и (58) не разрешимые и не полупростые. Следующая теорема описывает структуру этих алгебр Ли.
Теорема 7. Алгебры Ли (21), (36), (50), (51) и (58) представимы в виде прямой суммы разрешимого идеала N и подалгебры Б, изоморфной «1(2, Я): Ь = N ф Б, причем для алгебр (21), (50) и (58) идеал N коммутативен, для алгебры (36) — изоморфен алгебре Ли с образующими: ез, е2, ез, [ез, е2] = ез, для алгебры (51) — изоморфен алгебре Ли Гейзенберга и£(3,Я); для алгебр (21), (36) и (58) подалгебра Б является идеалом. Приэтомдля (21) N = {Хз,УьХз}, а Б = {У2, Уз, Хз - Х2};для (36) N = {Хз, Уз, 2Х2 -У2}, а Б = {Хз, Уз, 2У2 + Х2}; для (58) N = {Хз,Уз,Уз + У2}, а Б = {Хз,Х2,Уз -У2}; для (50) N = {Х2,Хз, Уз}, а Б = {УьХз + Уз/3,Хз + 3У2}; для (51) N = {Хз -Уз/3,Х2,Хз + 2Уз/3}, а Б = {Уз, У2, Уз}.
Заметим, что структура этих алгебр Ли описана в работе [11].
Следствие. Алгебры Ли (21) и (58) изоморфны.
Доказательство этих теорем сводится к анализу коммутаторов базисных векторных полей исследуемых алгебр Ли.
Заключение. В данной работе решена задача локального расширения группы параллельных переносов пространства Яз до локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований этого же пространства для случая, когда матрицы Тз, Т2, Тз одновременно ненулевые и принимают вид 1-4 из введения. Следующим этапом является нахождение действий групп Ли с выше найденными алгебрами Ли.
Литература
1. Кыров В. А. О локальном расширении группы параллельных переносов в трехмерном пространстве // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки.—2022.—Т. 32, № 1.—С. 62-80. DOI: 10.35634/vm220105.
2. Кы1ров В. А. К вопросу о локальном расширении группы параллельных переносов трехмерного пространства // Владикавк. матем. журн.—2021.—Т. 23, № 1.—С. 32-42. DOI: 10.46698/q6524-1245-2359-m.
3. Gorbatsevich V. V. Extension of transitive actions of Lie groups // Izv. Math.—2017.—Vol. 81, № 6.— С. 1143-1154. DOI: 10.4213/im8506.
4. Михайличенко Г. Г. Групповая симметрия физических структур.—Барнаул: Барн. гос. пед. ун-т, 2003.—203 с.
5. Кы1ров В. А., Михайличенко Г. Г. Вложение аддитивной двуметрической феноменологически симметричной геометрии двух множеств ранга (2,2) в двуметрические феноменологически симметричные геометрии двух множеств ранга (3,2) // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки.—2018.—Т. 28, № 3.—С. 305-327. DOI: 10.20537/vm180304.
6. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1978.—400 с.
7. Морозов В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли шестого порядка // Изв. вузов. Матем.— 1958.—№ 4.—С. 161-171.
8. Мубаракзянов Г. М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Матем.—1963.—№ 1.—С. 114-123.
9. Мубаракзянов Г. М. Классификация разрешимых алгебр Ли шестого порядка с одним ненильпо-тентным базисным элементом // Изв. вузов. Матем.—1963.—№ 4.—С. 104-116.
10. Turkowski P. Solvable Lie algebras of dimension six // J. Math. Phys.—1990.—Vol. 31, № 6.—P. 13441350. DOI: 10.1063/1.528721.
11. Turkowski P. Lowdimensional real Lie algebras // J. Math. Phys.—1988.—Vol. 29, № 10.—P. 2139-2144. DOI: 10.1063/1.528140.
Статья поступила 27 ноября 2023 г.
Кыров Владимир Александрович Горно-Алтайский государственный университет, доцент кафедры математики, физики и информатики РОССИЯ, 649000, Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1 E-mail: kyrovVA@yandex. ru https://orcid.org/0000-0001-5925-7706
Vladikavkaz Mathematical Journal 2024, Volume 26, Issue 2, P. 54-69
ON THE LOCAL EXTENSION OF THE GROUP OF PARALLEL TRANSLATIONS
IN THREE-DIMENSIONAL SPACE. II
Kyrov, V. A.1
1 Gorno-Altaisk State University, 1 Lenkina St., Gorno-Altaisk 649000, Russia E-mail: kyrovVA@yandex. ru
Abstract. This article solves the problem of local extension of the group of parallel translations of a three-dimensional space to a locally bounded exactly doubly transitive group of Lie transformations of the same space. Locally bounded exactly twice transitivity means the existence of a unique transformation that takes an arbitrary pair of non-coinciding points from some open neighborhood to almost any pair of points from the same neighborhood. The problem posed is solved for four cases related to Jordan forms of third-order matrices. Using these Jordan matrices, systems of linear differential equations are written, the solutions of which lead to the basis operators of a six-dimensional linear space. Requiring that the commutators of the basis operators be closed, we find Lie algebras. By checking the condition of bounded exactly twice transitivity, we obtain the Lie algebras of the required Lie transformation groups. At the end of the paper it is proved that these Lie algebras are either solvable or representable as a direct sum of a solvable ideal and a subalgebra isomorphic to sl(2,R). In this case, solvable Lie algebras are decomposed into the direct sum of a nilpotent ideal and a solvable subalgebra. Finally, the isomorphism of some above found Lie algebras is established.
Keywords: Lie group of transformations, locally bounded exactly doubly transitive Lie group of transformations, Lie algebra, Jordan form of a matrix.
AMS Subject Classification: 22F99.
For citation: Kyrov, V. A. On the Local Extension of the Group of Parallel Translations in Three-Dimensional Space. II, Vladikavkaz Math. J., 2024, vol. 26, no. 2, pp. 54-69 (in Russian). DOI: 10.46698/a9077-8757-4946-m.
References
1. Kyrov, V. A. On the Local Extension of the Group of Parallel Translations in Three-Dimensional Space, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Kompyuternye Nauki, 2022, vol. 32, no. 1, pp. 62-80 (in Russian). DOI: 10.35634/vm220105.
2. Kyrov, V. A. On the Question of Local Extension of the Group of Parallel Translations of Three-Dimensional Space, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2021, vol. 23, no. 1, pp. 32-42 (in Russian). DOI: 10.46698/q6524-1245-2359-m.
3. Gorbatsevich, V. V. Extension of Transitive Actions of Lie Groups, Izvestiya: Mathematics, 2017, vol. 81, no. 6, pp. 38-51. DOI: 10.1070/im8506.
4. Mikhailichenko, G. G. Group Symmetry of Physical Structures, Barnaul, BGPU, 2003, 203 p. (in Russian).
5. Kyrov, V. A. and Mikhailichenko, G. G. Embedding of the Additive Two-Metric Phenomenologically Symmetric Geometry of Two Sets of Rank (2,2) into the Two-Metric Phenomenologically Symmetric Geometries of Two Sets of Rank (3, 2), Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Kompyuternye Nauki, 2018, vol. 28, no. 1, pp. 305-327 (in Russian). DOI: 10.20537/vm180304.
6. Ovsyannikov, L. V. Group Analysis of Differential Equation, Moscow: Nauka, 1978, 400 p. (in Russian).
7. Morozov, V. V. Classification of Nilpotent Lie Algebras of the Sixth Order, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1958, no. 4, pp. 161-171 (in Russian).
8. Mubarakzyanov, G. M. On Solvable Lie Algebras, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1963, no. 1, pp. 114-123 (in Russian).
9. Mubarakzyanov, G. M. Classification of Sixth-Order Solvable Lie Algebras with one Non-Nilpotent Basis Element, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1963, no. 4, pp. 104-116 (in Russian).
10. Turkowski, P. Solvable Lie Algebras of Dimension Six, Journal of Mathematical Physics, 1990, vol. 31, no. 6, pp. 1344-1350 (in Russian). DOI: 10.1063/1.528721.
11. Turkowski P. Lowdimensional Real Lie Algebras, Journal of Mathematical Physics, 1988, vol. 29, no. 10, pp. 2139-2144 (in Russian). DOI: 10.1063/1.528140.
Received November 27, 2023
Vladimir A. Kyrov Gorno-Altaisk State University, Associate Professor
1 Lenkina St., Gorno-Altaisk 659700, Russia E-mail: kyrovVA@yandex. ru https://orcid.org/0000-0001-5925-7706
