CC BY
24
There are at least two set of applied problems for which the use of quantum computers will bring certain advantages.
1. Search algorithms.
The following problem is alleged to be known: given an unstructured list of items a 0, a ^,..., a N find a particular item a. The
common example is looking for a particular telephone number in the telephone directory, for someone whose name you do not know. The classical algorithm requires N /2 steps for a list of N items. The quantum algorithm found by Grover ([Gro]) requires only the number of
states of order VN.
2. Factorization of integers.
The classical problem of factorizing a given integer N into the product of its prime factors. By now the best algorithm requires a number of computational steps of order given by the formula
r_T 1/3 , 2/3
E = exp[2L (log L) ]
in which L= log N. From the estimate one may infer that factoring a number of 130 digits, that is L :
3,
; 300, amounts to E ~ 1018 . The
quantum algorithm found by Shor requires only O(L ~ ) steps.
Thus the Q-approach promises to solve problems difficult for the classical one. It is only natural to expect that quantum algorithms may turn out to be useful for problems outside search and arithmetics. As far as we can see, Grover’s algorithm can be very useful for CAD computations. For example, consider a well-known CAGD procedure called “Z-buffer”. There is an unsorted set consisting of N points in R
3
. A problem is to sort them along z-axis. Suppose, for example, that N=1000. Using quantum computation, we will fulfil the procedure approximately 16 times faster then using ordinary computer. Undoubtedly, we can solve CAD problems much more efficiently by means of quantum computations instead of classical algorithms.
Of course, quantum computations need specific devices, or quantum computers, to become a working tool for science and business. The research in this direction is gathering momentum, and one may expect that the Q-computer will be a feature of foreseeable future.
References
1. [Ben1] P.Benioff. “The computer as a physical system: A microscopic quantum mechanical Hamiltonian model of computers as represented by Turing machines.” // J. Stat.Phys., 22 (1980), 563-591.
2. [Ben2] P.Benioff. “Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing machines that dissipate no energy.” // Phys.Rev.Lett., 48 (1980), 1581-1585.
3. [BoL] D.Boneh, R.Lipton. “Quantum cryptoanalysis of hidden linear functions.” // Proc. of Advances in Cryptology - CRYPTO '95, Springer LN in Computer Science, vol. 963 (1995), 424-437.
4. [Bnt] Charles H. Bennett, IBM J.Res.Develop., 17, 525 (1973)
5. [CZ] J.Cirac, P.Zoller. “Quantum computation with cold trapped ions.” // Phys. Rev. Lett., 74:20 (1995), 4091--4094.
6. [Deu] D.Deutsch. “Quantum theory, the Church--Turing principle and the universal quantum computer”. // Proc. R. Soc. Lond. A 400 (1985), 97--117.
7. [Fe1] R.Feynman. “Simulating physics with computers.” // Int. J. of Theor. Phys., 21 (1982), 467-488.
8. [Fe2] R.Feynman. “Quantum mechanical computers.” // Found. Phys., 16 (1986), 507-531.
9. [Gri] D.Grigoriev. “Testing the shift-equivalence of polynomials using quantum mechanics.” // In: Manin's Festschrift, Journ. of Math. Sci., 82:1 (1996), 3184-3193.
10. [Gro] L.K.Grover. “Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack.” // Phys.Rev.Lett. 79 (1997), 325-328.
11. [Ha] S.Hagan, S.R.Hameroff, Tuszhynski J.A. “Quantum computations in brain microtubules? Decoherence and biological feasibility.” // Quant-ph/0005025, May 2000
12. [Ki1] A.Kitaev. “Quantum computations: algorithms and error correction.” // Russian Math. Surveys, 52:6 (1997), 53--112.
13. [Ki2] A.Kitaev. “Classical and quantum computations.” // Lecture notes, Independent University, Moscow, 1998.
14. [Ko] A.Kokin (Institute of Phisics and Technology, Russian Academy of Science) “A model for ensemble NMR quantum computer using antiferromagnetic structure.” // quant-ph/0002034, February 2000.
15. [La] R.Landauer, IBM J.Res.Develop., 3, 183 (1961)
16. [Ld1] S. Lloyd (MIT Mechanical Engineering) “A potentially realizable quantum computer.” // Science 261, pp.1569-1571, 1993
17. [Ld2] S. Lloyd (MIT Mechanical Engineering) “Envisioning a quantum supercomputer.” // Science 263, p. 695, 1994
18. [Ld3] S. Lloyd (MIT Mechanical Engineering) “Unconventional Quantum Computing Devices.” // Quant-ph/0003151, March 2000.
19. [Ma] Yu.Manin. “Computable and uncomputable” (in Russian). // Moscow, Sovetskoye Radio, 1980.
20. [Oh] Toshio Ohshima (Fujitsu Laboratories Ltd.) “All optical cellular quantum computer having ancilla bits for operations in each cell.” // Quant-ph/0002004, February 2000.
21. [Po] R.P.Poplavskii. “Thermodynamical models of information processing (in Russian).” // Uspekhi Fizicheskikh Nauk, 115:3 (1975), 465-501.
22. [RP] Eleanor G. Rieffel, Wolfgang Polak “An Introduction to Quantum Computing for Non-Physicists” // quant-ph/9809016, 1998
23. [Sh] P.W.Shor. “Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer.” // SIAM J. Comput., 26:5 (1997), 1484-1509.
24. [SW] T.Sleator , H.Weinfurther “Realizable universal quantum logic gates.” // Phys. Rev. Lett., 74, pp.4087-4090, 1995
25. [Te] W.G. Teigh, K.Obermayer, G.Mahler “Structural basis of multistationary quantum systems.” // Phys. Rev. B., 37, pp.81118121,1988
26. [Vi] DiVincenzo “Two-bit gates are universal for quantum computation.” // Phys.Rev. A, 51, pp. 1015-1022, 1996
27. [Yam] Y.Yamamoto, I.L. Chuang “A simple quantum computer” // Quant-ph/9505011, May 1995
Битюцкая Н.И.1, Руденко В.Г.2
1 Доцент, кандидат физико-математических наук, 2 доцент, кандидат физико-математических наук, Северо-Кавказский
федеральный университет, филиал в г. Пятигорске
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ РЕКУРРЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Аннотация
Предложены два метода решения систем рекуррентных мультипликативных уравнений первого порядка. Получено в явном виде решение для системы двух уравнений.
Ключевые слова: числовые последовательности, рекуррентные мультипликативные соотношения, системы рекуррентных уравнений.
Bityutskaya N.I.1, Rudenko V.G.2
1Candidate of physics and mathematics, associate professor, 2 candidate of physics and mathematics, associate professor, North-
Caucasian Federal University, Pyatigorsk branch
SOLUTION SYSTEMS OF RECURRENT MULTIPLICATIVE FIRST-ORDER EQUATION
12
Abstract
Proposed two methods for solving systems of recurrence multiplicative first-order equations. Obtained an explicit solution for a system of two equations.
Keywords: sequences of numbers, recurrence multiplicative relations, systems of recurrence equations.
В работах [1-4] было начато исследование решений рекуррентных мультипликативных соотношений (РМС) произвольного порядка к вида
'■n+k
g • Xn
■ • xk -1 n = 12
••• Лп+к -Г П
(1)
где xx = av x2 = a2,
** = ak.
(2)
В этом соотношении числа Op a2,..., On - начальные данные; показатели степеней 5■ , j = 0,1,2,..., к — 1 - произвольные действительные числа; g > 0- постоянная. Для РМС второго порядка были получены формулы, описывающие решения (1), т.е. задающие в явном виде числовые последовательности при различных значениях параметров S0 и 8^. Эти формулы позволяют
проследить поведение решений при изменении значений этих параметров, например, установить периодичность решения или периодичность с мультипликатором [2].
Получение решений Xn = x(n,80,81,...,8k-1, Op Q2,..., ak)уравнения (1) в явном виде и аналитическое исследование
свойств этих решений при изменении параметров 80,81,...,8к — этого соотношения основаны на следующем приеме. Если решение РМС (1) искать в виде
хп = g • ai • аг • ••• • ак , П = 1,2,..., (3)
то для нахождения k+1 введенных функций (Х0(п),а(п),...,ак (n) натурального аргумента получаются известные
линейные рекуррентные соотношения k-го порядка с постоянными коэффициентами со стандартной процедурой нахождения решений.
В данной работе ставится задача нахождения в явном виде решений системы k рекуррентных мультипликативных уравнений первого порядка вида
X(n +1) = Ai • xv1'i(n) • x2,2(n) •...• xVk (n), П = 1,2,..., (4)
где xi(1) = ai > 0, Ai > 0, vjk e R, i, j = 1,2,....k.
Систему двух таких уравнений удобно записать в виде
\xn+1 = AxVV yVn Jn+1 = Bxn yO2
где x1 = a > 0, yt = d > 0, A> 0, B > 0, д,jU2,vvv2 e R.
Системы (4) и (5) можно решить методом исключения, и тогда они сводятся к каноническим рекуррентным мультипликативным уравнениям k-го порядка вида (1).
Другой способ решения системы (4) сводится к введению функций натурального аргумента (числовых последовательностей) так, чтобы они удовлетворяли системе линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами. Такая линейная система может быть решена стандартными методами, например, методом Эйлера. Проиллюстрируем сказанное на примере системы (5).
Метод исключения
Следующая последовательность действий позволяет исключить yn в (5). Из первого равенства получаем
\l/v2
, n = 1,2,...,
(5)
n+2 __
х.
n+1
Xn+1 Уп+1 и V = J n xn+1
х„ V yn J Ax''}
V n У \ n /
Второе уравнение, с учетом выше приведенных формул, дает
1-M2
B • Л
Mi+-Ч1-Д2)
■x„
• x
M2 -1
n+1 .
Уп+1 Уп
Таким образом, система (5) сводится к рекуррентному соотношению второго порядка
л
Xn+2 = g • Xn° • Xn+1, П = I»2,...,
где S0 = щ/2 -v1B1, %1 =vi + M2, g = BVl • , b = Aav • dv.
Аналогично, исключая Xn в (5), получим для yn
yn+2 = q• ySn° • уП+1 , n = 1.2,...,
где yt = d, y2 = C = BaMl • d №, q = Aщ B'~Vl,
а S0 и S-i находятся по формулам (7).
Подробный анализ решений таких РМС второго порядка приведен в [1-4]. Метод сведения к системе линейных рекуррентных соотношений
Решение системы (5) с заданными начальными условиями будем искать в виде
ГX = A£l(n) • В£2(п) • аа(п) • dвп)
(6)
(8)
(7)
(9)
у = APl(n) • вРг{п) • аа2(п) • dв(п)'
(10)
13
Для введенных последовательностей - восьми функций натурального аргумента получаем четыре пары линейных систем и начальных условий для них.
\а1(п +1) = v1a1 (п)+v2a2 (п), а1 (1) = 1 \а2(п +1) = р1а1(п) + jU2a2(n), а2(1) = 0 Шп +1) = vA(n)+v2P2(n), Д(1) = 0 \в2(п +1) =M(n) + РгРгАХ в(1) = 1 Шп +1) =v1£1(n)+v2p1(n) +1, £1(1) = 0 [p (n +1) = p£ (n) + pp (n), Pi (1) = 0 £(n +1) = Vl£1 (n)+v2p2(n), £2(1) = 0 1a (n +1) = P£ (n) + p2p2 (n) +1, p2 (1) = 0
Первые две системы являются однородными, последние две - неоднородными системами линейных рекуррентных соотношений. Опишем решение первой системы. Пусть а = С1Я'1 и а2 = С2ЯП, где Я, С1, С2 - постоянные, тогда для cj и с2 получаем однородную алгебраическую систему
ic1(v1 -Я) + c2v2 = 0 {PC + С2СР -Я) = 0.
Условие существования нетривиального решения системы приводит к характеристическому уравнению для нахождения Я .
Я2 - (V +р2)Я-ру2 + vp = 0.
Пусть корни его различны, т.е. Я Ф Я , тогда для каждого из них находим нетривиальные решения для cj и с2 и соответствующие решения для СХ^ и ОС2:
Ai
: C11A1 , А2
: С12^2 , Ai
: C2lA , А
Л n
‘ с22^2 .
Из них составляем два частных решения первой пары систем (11) О n Л
Lin)-
Л On
ciA
c2An
L2(n)
n
C22A
Общее решение L( n) этой системы имеет вид
L(n) = rlLl (n) + r2 L (n),
где r и r2 - постоянные, или
\\(n) = ran(n) + r2al2 (n), 1A (n) = a (n) + ra22 (n).
Аналогичное общее решение будет и у второй пары систем (11).
Постоянные этих линейных комбинаций находятся из начальных условий. Две последние системы (11) являются линейными неоднородными и решаются стандартным способом.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть требуется найти решение системы
хп+1 = А , х = а
Уп (13)
, Уп+1 = ВХпУп > У1 = d ■
Для этой системы V1 = р = р2 = 1, V2 = —1. Решение ищем в виде
Гxn = A£l(n} • В£г(n} • aa(n} • dв(п}
' y = Api(n} • вРг(п} • аа2(п} • de(n}
Согласно (11) имеем
[ц(п +1) = а1(п)-а2(п), а1(1) = 1 \а2(п +1) = a1(n) + a2(n), а2(1) = 0 Шп +1) = PM)-p2(n), Д(1) = 0 [P2in +1) = Pi(n) + P2(n), P2(1) = 1 [e^n +1) = el(n)-pl(n) +1, e(1) = 0 Wn +1) = e1(n) + P1(n), P1(1) = 0 Ain +1) = £2in)-p2in), £2(V) = 0
+1) = £2(n) + p2(n) +1 p2(1) = 0
(14)
(15)
14
Полагая
а = с1Лп, а2 = с2Лп,
получим для нахождения Сг и С2 однородную систему
Г(1 -Л)с1 -с2 = 0 [с + (1 -Л) С2 = 0,
нетривиальное решение которой существует, если
1 -Я -1
= 0.
1 1 -Л
Получаем характеристическое уравнение
Л2 - 2Л+2 = 0,
решения которого имеют вид
Л1 = 1+i = yf2ein4, ^ = 1 - i = J2e~in4.
Для каждого из корней получаем следующие уравнения для С и С2
0
(16)
(17)
(18)
(19)
iC11 С21
[С11 iC21 0
^12 ^22
: 0
[C12 + iC22 0
C11 lC21’
^22 l ^12.
С учетом этих соотношений решения (12) запишутся в виде
\а1(н) = гЛ + г2л;, а (1) = 1 [а2 (n) = —Л + 1г2Л, а2 (1) = 0.
Для нахождения искомых у и У2 получаем систему
Mi + Г2Л = 1 \-щЛ + 1г2Л2 = 0.
Ее решения имеют вид
1 1
(20)
-in 14
in/4
1 2Л1 2V2
2V2
Получаем следующие формулы для первых двух последовательностей системы (15) n-1 _
П
a1(n) = 2 2 cos — (n-1)
n -1
(21)
П
a2(n) = 2 2 sin —(n-1).
Решая аналогично вторую пару уравнений системы (15), находим n-1 _
П
в1(п) = 2 2 cos —(п + 1)
n -1
(22)
П
в2(п) = 2 2 sin —(п + 1).
Найденные последовательности являются периодическими с мультипликатором [2]. Для них справедливы соотношения >4.
а; (n+8) = 2 а (n)
в(п+8) = 24Д(n), i = 1,2; n = 1,2,....
(23)
Две последние пары системы (15) являются линейными неоднородными рекуррентными уравнениями. Находя описанным выше способом решение соответствующей однородной системы и стандартным способом - частные решения, получаем общее решение этих систем:
\£l(n) = уЛ + гЛ, £i(1) = 0 [p(n) = -1(уЛ—Л) + 1, Р(1) = 0.
[£2 (n) = уЛ + гЛ -1, £2 (1) = 0
[р2(н) = -(уЛ—Л), Pi(1) = 0.
Начальные условия позволяют найти постоянные этих линейных комбинаций
15
п
£1(n) = -22 cos — (n + 1)
n -1
. п
p1(n) = 1 - 2 2 sin — (n +1)
n
£2(n) = -1 + 2 2 cos — (n-1)
n -1
p2(n) = 2 2 sinП(п-1).
(25)
(26)
Формулы (14), (21), (22), (25), (26) описывают решение системы (13).
Таким образом, предложенные методы позволяют находить в явном виде решения систем рекуррентных мультипликативных уравнений первого порядка вида (4) и изучать свойства таких решений.
Литература
1. Акопян Е.А., Руденко В.Г., Лопухов А.Ю. Автономные рекуррентные мультипликативные уравнения. Материалы международной молодежной научной конференции «Математическая физика и ее приложения» (МФП-2012), т. 1, стр. 70-78, Пятигорск, 2012.
2. Руденко В.Г., Битюцкая Н.И., Лопухов Ю.А. Периодические и почти периодические решения рекуррентных мультипликативных уравнений второго порядка. Научный журнал «Наука. Инновации. Технологии», СКФУ, Ставрополь-Пятигорск, 2013. Выпуск № 1, стр. 44-51.
3. Янковская Л.К., Руденко В.Г. Обобщение решения рекуррентных мультипликативных уравнений второго порядка. Научный журнал «Современная наука и инновации», СКФУ, Ставрополь-Пятигорск, 2013. Выпуск № 2, стр. 29-37.
4. Битюцкая Н.И., Руденко В.Г. Исследование свойств решений рекуррентных мультипликативных уравнений второго порядка. V международная научная конференции «Системный синтез и прикладная синергетика». Сборник научных трудов. Т. 2, стр. 147-154, Пятигорск, 2013.
Журов А. А.
Аспирант, Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимский научный центр Российской академии наук ОБРАЗОВАНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН В НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
Аннотация
Целью работы является определение связи физических свойств пористой среды и флюидов, насыщающих поровое пространство, с характеристиками проходящих и отраженных слабых ударных волн. Для проведения эксперимента использовалась установка типа «Ударная труба».
Для решения поставленной задачи ударная труба оснащается секцией насыпных сред. Для регистрации давления использовались пьезоэлектрические датчики и плата L-card состоящая из усилителя заряда и АЦП.
Ключевые слова: Ударные волны, водонасыщенность, пористые среды, амплитуда ударной волны.
Zhurov A.A.
Postgraduate student, The Institute of mechanics. RR Mavlyutov Ufa scientific center, Russian Academy of Sciences THE FORMATION AND PROPAGATION OF SHOCK WAVES IN SATURATED POROUS MEDIA
Abstract
The aim is to determine the relation of the physical properties of the porous medium and the fluid saturating the pore space, the characteristics of the transmitted and reflected weak shock waves. For the experiment used a setup like "shock tube".
To solve the problem of shock tube equipped with a section of bulk media. For pressure detecting used piezoelectric sensor and L-card board consisting of a charge amplifier and ADC.
Keywords: Shock waves, water saturation, the porous medium, the amplitude of the shock wave.
В настоящее время имеется достаточно большое количество работ, направленных на установление связи физических свойств флюидов, насыщающих поровое пространство горных пород, с характеристиками проходящих и отраженных ударных волн[1,2]. При изучении особенностей прохождения ударных волн через водогазонасыщенные структуры, была установлена немонотонная зависимость степени поглощения слабых ударных волн от концентрации водной фазы в песке в диапазоне от 0 до 100%[3]. В работе Ю. И. Колесникова [4] рассмотрено влияние поверхностного натяжения на формирование ударной волны во влажном ненагруженном песке. На участке 95-100% было установлено улучшение прохождения ударной волны при увеличении газовой фазы от 0 до 5%, что было неожиданностью. При увеличении насыщенности до 10% происходит уменьшение амплитуды упругой волны в 4 раза. Физическая сторона такого поведения ударной волны может быть связана с расклинивающим давлением при малых концентрациях воды, при больших концентрациях существенным уменьшением пузырьков газа. При увеличении до 97% амплитуда увеличивается на порядок. Затем падает в три раза до значений, полученных при прохождении волны в сухом песке (Рис. 1.а). Передо мной была поставлена задача проведения экспериментальных и теоретических исследований распространения слабых ударных волн в насыпных средах с объемным содержанием жидкости от 90 до 100%. Проверить полученные результаты и уточнить диапазон концентраций, при которых увеличение газовой фазы приводит к улучшению прохождения слабых ударных волн. Физико-химические и механические свойства этих сред зависят от свойств удерживаемой ими влаги. Эксперименты были проведены на вертикальной ударной трубе.
Установка оснащается секцией насыпных сред (СНС) длиной 34см, в которой имеется возможность закрепления пьезоэлектрических датчиков на разных уровнях. Имеются 2 донных датчика один для фильтрационной волны, а второй для непосредственной регистрации падающей ударной волны. В усилительной части пьезоэлектрического датчика использовалась 4-х канальная плата L-card состоящая из усилителя заряда и АЦП. Нами использовались датчики давления типа ЛХ-610. Первый в камере низкого давления на расстоянии 72 см от диафрагмы, второй датчик в СНС на расстоянии 5 см от ее поверхности, третий для регистрации фильтрационной волны и четвертый - для падающей волны на дне СНС (Рис.1.б). Предусилители двух первых датчиков были загрублены при помощи емкостного шунтирования.
16
