CC BY
55
УДК 534.222
«ЭКЗОТИЧЕСКИЕ» МОДЕЛИ ФИЗИКИ ИНТЕНСИВНЫХ ВОЛН: ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ, ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ И НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
О. В. Руденко
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Россия, 119991 Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 1, стр. 2 Институт общей физики имени А.М. Прохорова РАН Россия, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38 Институт физики Земли имени О.Ю. Шмидта РАН Россия, 123242 Москва, Б. Грузинская ул., 10, стр. 1 Blekinge Institute of Technology, Karlskrona, Sweden E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru Поступила в редакцию 1.05.2018
Тема и цель исследования. Представлен краткий обзор публикаций и обсуждение ряда математических моделей, которые, по мнению автора, знакомы только узкому кругу специалистов. Эти модели недостаточно изучены, несмотря на их универсальность и практическую значимость. Результаты, опубликованные в разное время и в разных журналах, обобщены в рамках одной статьи. Цель - сформировать у читателя общее представление о предмете и заинтересовать его математическими, физическими или прикладными деталями, подробно изложенными в цитируемой литературе. Исследуемые модели. Обсуждаются диссипативные модели высших порядков. Рассмотрены точно линеаризуемые уравнения, содержащие неаналитические нелинейности: квадратично-кубичную (РС) и модульную (М). Анализируются уравнения типа Бюргер-са, Кортевега-де Вриза, Хохлова-Заболотской, Островского-Вахненко, неоднородные и нелинейные интегро-дифференциальные уравнения. Результаты. Дано объяснение появлению диссипативных осцилляций вблизи ударного фронта. Описано формирование в рС-среде ударных волн сжатия и разрежения, устойчивых лишь при определенных параметрах «скачка», формирование периодических трапециевидных пилообразных волн и автомодельных импульсных сигналов ^типа. Рассмотрены столкновения одиночных импульсов в М-среде, обнаруживающие новые корпускулярные свойства (взаимное поглощение и аннигиляцию) и похожие на соударения сгустков химически реагирующих веществ, например, горючего и окислителя. Описаны особенности поведения «модульных» солитонов. Изучено явление нелинейного волнового резонанса в средах с РС-, Р- и М-нелинейностями. Использованы точно линеаризуемые неоднородные уравнения с источниками. Указан сдвиг максимума резонансных кривых относительно линейного положения, определяемого равенством скоростей собственной и вынужденной волн. Дан анализ упрощенных моделей для дифрагирующих пучков, полученных проецированием 3Б уравнений на ось пучка. Обсуждаются сильно нелинейные волны в системах с голономными связями. Рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения с ядрами релаксационного типа и возможности сведения их к дифференциальным и дифференциально-разностным уравнениям. Обсуждение. Материал изложен на популярном уровне. По-видимому, эти исследования могут быть продолжены, если читатели сочтут их достаточно интересными.
Ключевые слова: диссипативные модели, ударные фронты, линеаризуемые уравнения, РС-, р- и М-нелинейности.
001: 10.18500/0869-6632-2018-26-3-7-34
Образец цитирования: Руденко О.В. «Экзотические» модели физики интенсивных волн: Линеаризуемые уравнения, точно решаемые задачи и неаналитические нелинейности // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26, № 3. С. 7-34. Б01: 10.18500/0869-6632-2018-26-3-7-34
«EXOTIC» MODELS OF HIGH-INTENSITY WAVE PHYSICS: LINEARIZING EQUATIONS, EXACTLY SOLVABLE PROBLEMS AND NON-ANALYTIC NONLINEARITIES
O. V. Rudenko
Lomonosov Moscow State University, Physics Faculty 1-2, Leninskie Gory, 119991 Moscow, Russia Prokhorov General Physics Institute, Russian Academy of Sciences 38, Vavilov Str., 119991 Moscow, Russia Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences 10-1, Bolshaya Gruzinskaya str., 123242 Moscow, Russia Blekinge Institute of Technology Karlskrona 371 79, Sweden Received 1.05.2018
Topic and aim. A brief review of publications and discussion of some mathematical models are presented, which, in the author's opinion, are well-known only to a few specialists. These models are not well studied, despite their universality and practical significance. Since the results were published at different times and in different journals, it is useful to summarize them in one article. The goal is to form a general idea of the subject for the readers and to interest them with mathematical, physical or applied details described in the cited references. Investigated models. Higher-order dissipative models are discussed. Precisely linearizable equations containing nonanalytic nonlinearities - quadratically-cubic (QC) and modular (M) -are considered. Equations like Burgers, KdV, KZ, Ostrovsky-Vakhnenko, inhomogeneous and nonlinear integro-differential equations are analyzed. Results. The appearance of dissipative oscillations near the shock front is explained. The formation in the QC-medium of compression and rarefaction shocks, which are stable only for certain parameters of the «jump», as well as the formation of periodic trapezoidal sawtooth waves and self-similar N-pulse signals are described. Collisions of single pulses in the M-medium are discussed, revealing new corpuscular properties (mutual absorption and annihilation). Collisions are similar to interactions of clusters of chemically reacting substances, for example, fuel and oxidizer. The features of the behavior of «modular» solitons are described. The phenomenon of nonlinear wave resonance in media with QC-, Q- and M-nonlinearities is studied. Precisely linearizable inhomogeneous equations with external sources are used. The shift of maximum of resonance curves relative to the linear position, which is determined by the equality of velocities of freely propagating and forced waves, is indicated. Simplified models for diffracting beams obtained by projecting 3D equations onto the beam axis are analyzed. Strongly nonlinear waves in systems with holonomic constraints are discussed. Integro-differential equations with relaxation type kernel, and the possibility of reducing them to differential and differential-difference equations are considered. Discussion. The material is outlined on a popular level. Apparently, these studies can be continued if the readers find them interesting enough.
Key words: dissipative models, shock fronts, linearizing equations, QC-, Q- and M-non-linearities.
DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-3-7-34
References: Rudenko O.V. «Exotic» models of high-intensity wave physics: Linearizing equations, exactly solvable problems and non-analytic nonlinearities. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 26, no. 3, pp. 7-34. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-3-7-34
Введение
Дмитрий Иванович Трубецков известен не только как выдающийся ученый, но и как блестящий популяризатор науки, на книгах которого училось несколько поколений специалистов. Мне посчастливилось быть научным редактором учебного пособия Д.И. Трубецкова [1], написанного вместе с М.И. Рабиновичем в то время, когда «нелинейная» литература была остро востребована. Я и в последующие годы получал большое удовольствие от книг Дмитрия Ивановича и его лекций на школах по нелинейным волнам, которые организовал А.В. Гапонов-Грехов в Нижнем Новгороде.
Писать статью в специальный выпуск журнала, посвященный Д.И. Трубецко-ву, - большая ответственность. Трудно поддержать необходимый научный и учебно-методический уровень, заданный Юбиляром. Это тем более сложно сделать в ограниченный промежуток времени, отведенный Редакцией. С другой стороны, не откликнуться на Юбилей никак нельзя, пусть даже «неотлежавшимся» материалом. Очень надеюсь, что читатели и сам Дмитрий Иванович не будут судить слишком строго результат моих поспешных усилий.
Точно решаемые нелинейные задачи много лет привлекали мое внимание, наверное, потому, что я не владею компьютерными искусствами. Заниматься расчетами на ЭВМ меня «разубедили» академики Р.В. Хохлов (мой научный руководитель) и Н.С. Бахвалов, известный эксперт по численным методам. Они организовали в 1974 году группу физиков и математиков (см. [2]) для компьютерного решения нелинейных волновых задач. Много лет взаимодействуя с Н.С. Бахваловым и его сотрудниками, я понял, что развитие и применение численных методов - это самостоятельный род деятельности, требующий специфических навыков. Каждому лучше заниматься своим делом, а мое дело - аналитическая теория, ориентированная на эксперимент и приложения.
1. Уравнения типа Бюргерса с высшими производными
В этом разделе речь пойдет об эволюционных уравнениях вида
™ - V = ±г , (1)
дх де деп' у '
где Г - диссипативный параметр. В большинстве волновых задач использованные в (1) безразмерные переменные х, е имеют смысл «медленной» координаты вдоль направления распространения волны и «запаздывающего» времени в системе отсчета, движущейся со скоростью собственной волны в среде. При п = 1 из (1) получается уравнение типа Хопфа, при п = 2 - Бюргерса, при п = 3 - Кортевега-де Вриза. Все три относятся к числу наиболее известных и понятно, почему. Они не только обладают интересными математическими свойствами, но и правильно моделируют процессы разной физической природы. Уравнение второго порядка - уравнение Бюр-герса (которое придумал Бейтмен) - вообще уникально: оно допускает точную линеаризацию с помощью простого преобразования переменной (замены Хопфа-Коула, которую придумал Флорин).
Возникает вопрос: а что при п > 3? Востребованы ли эти уравнения или же их стоит рассматривать, лишь формально продолжая ряд п = 1, 2, 3,...? Примером интересной, но сложно устроенной модели, может служить одномерное уравнение Курамото-Сивашинского с производными второго, третьего и четвертого порядка. Вместе с тем, уравнение типа (1) с одной только четвертой производной почему-то внимания не привлекало. Однако оно, безусловно, интересно для приложений. Дело в том, что уравнение [3]
дУ „дУ ~д4У
(2)
--V— = - Г- „
dz дв дв4
соответствует закону дисперсии
, ® , • 4 k = —+ гуш , c
то есть описывает нелинейные волны в диссипативной среде, где затухание пропорционально четвертой степени частоты с некоторым коэффициентом %. Зависимость затухания упругих волн, пропорциональное хю4, наблюдается в средах с малоразмерными неоднородностями (горные породы [4], кости черепа [5]). Например, в жидкостях с пузырьками газа радиуса а, их объемной концентрацией п и собственной частотой ю* коэффициент равен х = 4ппа2/ю2 Такие же потери происходят вследствие рэлеевского рассеяния в средах с мелкомасштабными флуктуациями показателя преломления ц, радиус корреляции которых а, коэффициент х = 8 (ц2) а3/с4.
Нетрудно найти частное решение (2) в виде стационарной волны [3]
(I г) 7;
dt
(1 -12)2/3'
(3)
Точное решение (3) в квадратурах описывает ударную волну сжатия (рис. 1) с конечной шириной фронта, определяемой конкуренцией между нелинейностью и диссипацией, пропорциональной |3ю4. Кривые 1-5 отвечают значениям диссипативного параметра Г, равным соответственно: 2.2 • 10_4, 6.1 • 10_3, 2.8 • 10_2, 7.7 • 10_2, 2.2 • 10"1. С ростом диссипации фронт уширяется.
Значение У = 1 достигается за конечное время 9 = 9* ~ 3.4 • Г1/3. В точке 9 = 9 * первая и вторая производные обращаются в ноль.
Однако третья производная положительна, и рост У в области за точкой перегиба 9 > 9* продолжается. Таким образом, стационарная волна (3) формируется для возмущения, неограниченно растущего на бесконечности. В этом различие с уравнением Бюргерса, для которого стационарная волна У = tanh(9/2Г) — 1 при 9 — то. Отличие связано с тем, что более сильная частотная зависимость по-42
Рис. 1. Форма ударного фронта, описываемая решением (3) [3]
Fig. 1. Shape of the shock front, described by the solution (3) [3]
терь (ю4 вместо ю2) может быть скомпенсирована усиленным притоком энергии к фронту, который обеспечивается
в
ростом V при е — ж. Но ограниченное стационарное решение также существует. Численное решение уравнения (2) показало, что асимптотический рост V — 1 при е — ж происходит не монотонно, а с затухающими осцилля-циями [3].
В дальнейшем свойства симметрии модели (2) изучались методами теории групп Ли [6]. В работе [7] проведено детальное численное исследование уравнения (2), а также уравнения (1) шестого порядка. Компьютерный анализ подтвердил факт появления затуха-
Рис. 2. Один период гармонического (при г = 0) сигнала и диссипативное сглаживание осциллирующего ударного фронта [7]
Fig. 2. One period of a harmonic (at г = 0) signal and dissipative smoothing of an oscillating shock front [7]
ющих осцилляций вблизи ударного фронта, которые усиливаются с ростом порядка уравнения. Такие осцилляции возникают при распространении исходного сигнала произвольной формы после того, как в результате его эволюции возникает крутой ударный фронт. На рис. 2 [7] показан осциллирующий фронт для исходного гармонического сигнала в модели (1) с n = 6. Профили построены для значения числа Г = 2.45 • 10_6 и различных расстояний z, указанных при кривых.
Известно, что осцилляции у фронта появляются и в других случаях, например, в модели Кортевега-де Вриза-Бюргерса [8]. Однако там и здесь механизм различен. В диспергирующей среде осцилляции появляются из-за «разбегания» (расфазиров-ки) гармоник, формирующих фронт. В нашем же случае осцилляции есть следствие «явления Фурье». Затухание, пропорциональное ю2п, убирает высокие гармоники из спектра сигнала, в результате чего формирование «монотонного» фронта при его достаточно высокой крутизне оказывается невозможным. Последовательность ю2п при n ^ ж сходится неравномерно: в области 0 < ю < 1 - к нулю, а при ю > 1 -к бесконечности. Таким образом, в волне «выживают» только те низшие гармоники, которые попадают в область 0 < ю < 1; они-то и формируют осциллирующий сигнал.
2. Точно линеаризуемые уравнения с модульной, квадратичной и квадратично-кубичной нелинейностями
Нелинейные уравнения в частных производных второго порядка, допускающие линеаризацию, интересны как с точки зрения математической физики, так и для понимания нелинейных явлений. Особенно полезны уравнения, адекватные реальным системам. Рассмотрим такое уравнение
£ = + ^ + + г£. (4)
Коэффициенты а, в, у стоят при членах с нелинейностями, которые будем называть модульной (М), квадратичной (Р) и квадратично-кубичной (РС), соответственно. Нетрудно убедиться в том, что замена
7 = в2^ де1п и (5)
сводит (4) к линейному уравнению для вспомогательной функции U
dU dU _ d^U
dz = de + г де2 '
(6)
Рис. 3. Процесс формирования устойчивых ударных фронтов сжатия (правые кривые 1-7) и разрежения (левые кривые 1-7). Число Г = 0.03. Кривые 1-7 соответствуют расстояниям 2 = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 [11]
Fig. 3. The process of forming stable compression shock fronts (right-hand curves 1-7) and rarefaction shock fronts (left curves 1-7). Number Г = 0.03. Curves 1-7 correspond to distances 2 = 0,10, 20, 30, 40, 50, 60 [11]
Рис. 4. Процесс формирования периодической трапециевидной пилообразной волны в QC-среде. Число Г = = 0.01. Кривые 1-9 соответствуют расстояниям 2 = = 0,1, 4, 8,12,16, 24, 32, 40 [12]
Fig. 4. The process of forming a periodic trapezoidal sawtooth wave in a QC-medium. Number Г = = 0.01. Curves 1-9 correspond to distances 2 = = 0,1, 4, 8,12,16, 24, 32, 40 [12]
В формулах (5) и (6) верхние знаки берутся для У > 0, а нижние - для У < 0 . Факт линеаризации позволяет найти множество решений, описывающих реальные явления.
Если есть только квадратичная нелинейность (р-нелинейность, а = = у = 0, в = 0), получаем из (4) обычное уравнение Бюргерса.
Недавно были начаты исследования квадратично-кубичного уравнения (рС-уравнения) (4), в котором а = в = 0, у = 0 [9-13]. Оно также линеаризуется и имеет важный физический смысл. рС-уравнение описывает: ударные волны сжатия и разрежения, устойчивые лишь при определенных значениях параметров скачка (рис. 3); превращение гармонической волны в «пилу» с зубцами трапециевидной формы (рис. 4); эффекты самовоздействия, нелинейного затухания и другие.
На рис. 5 [13] изображено автомодельное решение рС-уравне-ния (4) в виде К-волны. В соответствии с одной из симметрий уравнения (4) подстановкой
-•(•=ж)
(7)
Рис. 5. Автомодельное решение QC-уравнения (4) в виде N-волны. Кривые 1-7 соответствуют точкам: (-x*) = 10"5, 10"2, 0.25, 1, 2, 4, 6 [13]
Fig. 5. A self-similar solution of the QC-equation (4) in the form of an N-wave. Curves 1-7 correspond to points:(-ж*) = 10"5, 10"2, 0.25,1, 2, 4, 6 [13]
оно сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. Положительные и отрицательные ветви решения сшиваются в точке х*. Заметим, что это решение обобщает автомодельное решение р-уравнения [14, 15] и переходит в него в случае однополярного импульса. Укажем на несколько приложений рС-модели.
Пример 1. Известно, что при высоких уровнях звука отверстие в пластинке обнаруживает нелинейный отклик. Экспериментально показано [16], что связь между акустическим давлением и скоростью имеет вид р = ди |и|. Аналогичный член появляется в интеграле Коши-Лагранжа при осциллирующем движении среды. Таблицы коэффициентов д для различных обтекаемых препятствий даны в справочнике [17]. Добавляя указанный нелинейный член в уравнение состояния системы уравнений гидродинамики, нетрудно с помощью стандартных процедур упрощения вывести рС-уравнение (4). Метаматериал с нелинейностью р = д и |и| можно изготовить, размещая обтекаемые элементы в объеме жидкости. Эффект такой нелинейности проявляется в горле резонаторов Гельмгольца с волокнистым наполнителем, которые используются для поглощения интенсивного звука [18].
Пример 2. Поскольку параметры сред обычно находят по данным точных спектральных измерений, обсудим разложение в ряд по гармоникам решения РС-уравнения (4) для монохроматического исходного сигнала. Вначале генерируется
низшая (третья) гармоника, которая на малых расстояниях пропорциональна квадра-
/2
ту амплитуды р 0 волны основной частоты и растет с расстоянием пропорционально г1. С другой стороны, в обычной Р-среде эти зависимости таковы: р'3 и г2, но часто наблюдаются отклонения от них. Например, в поликристаллах сплава алюминия отклонения от законов р'^ и г2 объяснялись нелинейным трением на межзеренных границах [19]. Поведение рС-модели описано также для сдвиговых волн (например, в мягких биотканях), симметрия которых не допускает квадратичных эффектов. В любом случае, зависимости третьей гармоники от расстояния (пропорциональная гт для 1 < т < 2) и от амплитуды (пропорциональная рдля 2 < к < 3) свидетельствуют о наличии рС-элементов в объеме среды. Другие приложения и эксперимент описаны в обзоре [10].
Исследования волн в средах с «модульной» нелинейностью (в = у = 0, а = 0) также были начаты сравнительно недавно [20-22]. М-среды, встречающиеся в механике, имеют различную упругость при деформациях растяжения и сжатия. Пример -армированные полимеры и бетоны [23, гл. 1, п. 10]. Здесь М-уравнение еще проще, чем два указанные выше линеаризуемые уравнения Р- и рС-типа. Оно линейно для функции, сохраняющей знак, то есть для 0 или 0. Нелинейные эффекты проявляются лишь для знакопеременных решений.
Примером может служить процесс столкновения двух [9] или трех [24] импульсов разной полярности (рис. 6). Вначале (кривая 1) один положительный и два отрицательных импульса разнесены и начинают сближаться, не взаимодействуя друг с другом. В результате столкновения положительного и ближайшего к нему отрицательного
О.В. Руденко
Изв. вузов «ПНД», т. 26, № 3, 2018
Рис. 6. Столкновение трех одиночных сигналов с нулевым суммарным количеством движения. Кривые 1-5 изображают последовательные моменты процессов взаимного поглощения и аннигиляции сигналов. Число Г = 0.003 [24]
Fig. 6. The collision of three single signals with zero total momentum. Curves 1-5 represent successive moments of processes of mutual absorption and annihilation of signals. Number Г = 0.003 [24]
Рис. 7. Процесс превращения периодической волны (кривая 1) в солитон (кривая 4), происходящий с ростом амплитуды волны [25]
импульса образуется связанное состояние с общим ударным фронтом (кривая 2). В этот момент «включается» нелинейное затухание (ср. кривые 2 и 3), которое продолжается до исчезновения отрицательного импульса. Сформировавшийся положительный импульс задержан по фазе и имеет меньшую амплитуду по сравнению с исходным. В дальнейшем он распространяется без изменения формы и сталкивается со вторым импульсом отрицательной полярности. Происходит их взаимное поглощение и аннигиляция (ср. кривые 4 и 5).
Fig. 7. The process of transformation of a periodic wave (curve 1) into a soliton (curve 4), which occurs with increasing wave amplitude [25]
Таким образом, взаимодействие уединенных волн в М-среде проявляет свойства, отличные от наблюдаемых при упругих столкновениях солитонов и неупругих слияниях ударных волн. Имеется аналогия с взаимодействием сгустков химически реагирующих веществ, например, горючего и окислителя. В результате реакции один (меньший) компонент исчезает, а масса второго (большего) уменьшается.
Интересные свойства демонстрируют решения М-уравнения КдВ [25]
dV - ди = ^.
dz дв 11 дв3
(8)
Заметим, что модульный солитон не может распространяться по невозмущенной среде, то есть иметь профиль, изображенный на рис. 7, для которого У (9) - 0, |9| — то. Причиной является тот факт, что солитоны формируются в результате конкуренции между нелинейным «укручением» и диперсионным «расплыванием» волны, а в М-модели один из конкурирующих факторов (нелинейность) для возмущения, сохраняющего знак, отсутствует. В этом основное отличие от солитонных решений обычного р-нелинейного уравнения КдВ; это отличие связано с исчезновением одной из симметрий для М-уравнения (8).
Эффекты модульной нелинейности наблюдались в экспериментах [26, 27]. Обнаружено, что зависимость амплитуды второй гармоники от амплитуды первой в структурно неоднородных твердых телах отличается от квадратичной зависимости Л2 = КЛ\. Она имеет форму Л 2 = К Лт, где показатель степени лежит в диапазоне 1 <т < 2. Разумно предположить, что помимо классической р-нелинейности среда имеет нелинейность второго типа, которая отвечает за отклонение от т = 2. Таковой может быть «модульная» нелинейность.
При наличии одновременно двух типов р- и М-нелинейности решение уравнения
до 1 д / . . в о2 \ п
дХ + 2С^ (*|о| + 8Ср) =0
методом возмущений для механического напряжения о имеет вид
(9)
, • / Л ® (4 .
о = —A2 sin (ют)--x — gA\ +
c \3л
8
2c2p
A2
sin (2ют).
(10)
Видим, что модульная нелинейность дает линейную зависимость амплитуды второй гармоники от амплитуды первой (А2 ~ А1), в то время как квадратичная нелинейность дает иную зависимость (А2 ~ А1). В общем случае, когда существенны обе нелинейности, показатель степени в формуле А2 = К Ат лежит в диапазоне 1 < т < 2. Проведя несколько измерений, можно решить обратную задачу [28] и восстановить модули д, 8. Нетрудно изготовить сосредоточенные М-нелинейные элементы искусственно [29], а затем включить их в матрицу метаматериала.
3. Неоднородные уравнения и волновой резонанс
Здесь обсуждается такое уравнение
^ - д (а|т ву + - Г= Р(в + 8г). (11)
дг дв V 1 2 2 '7 дв2
Наличие в правой части (11) «внешних источников», то есть заданной функции Р (в), означает, что это уравнение может описывать не только волны, свободно распространяющиеся по диссипативной среде с тройной нелинейностью, но и «вынужденные» волны, включая процесс их возбуждения. Как и однородное уравнение (Р (в) = 0), уравнение (11) удается линеаризовать. Модель (11) удобно использовать для упрощенного описания нелинейного волнового резонанса в системах различной физической природы. Вначале оно (при а = у = 0) было предложено как модель генерации интенсивного гиперзвука лазерным излучением и процесса вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна с учетом акустической нелинейности [30]. В дальнейшем (11) использовалось для описания возбуждения: подводных сигналов тепловым оптоакустическим способом; волн на морской поверхности бегущей волной давления; аэродинамических возмущений при трансзвуковом обтекании лазерного луча или твердого профиля и во многих других прикладных задачах (библиография приведена в [31]). Позднее появились математические работы, посвященные свойствам неоднородного уравнения Бюргерса и приближенным методам его анализа (см., например, [32-34]).
Напомним, что линейный волновой резонанс наступает при равенстве скорости с движения «внешней силы» (возбуждающего волну источника) и скорости со распространения собственной волны в среде. Условие с ^ со аналогично условию ю ^ юо, при котором реализуется простейший колебательный резонанс.
Решение (11) в пренебрежении диссипативным и нелинейными членами имеет
вид
V = 8 (в + 8г) - Р (в)] , V^ = г Г (в), (12)
здесь Ё - первообразная от Р. Решение (12) удовлетворяет условию V (г = 0, в) =0, то есть рост волны начинается от нулевого уровня. При 8 ^ 0, с ^ со в (12) возникает неопределенность. Это означает, что при точном линейном резонансе происходит неограниченный рост волны с расстоянием, пропорциональный г. При этом форма волны повторяет функцию Р (в). Когда имеется расстройка скоростей (8 = 0), энергия вносится источником в область его локализации (где Р = 0), а затем «вытекает» вправо или влево, поскольку возбуждаемая волна движется быстрее или медленнее
источников. В результате устанавливается стационарная форма волны. Например, для источника в виде «лоренцевского колокола» получается
A A nA
F (В) — Y+52Q2 > F— b arctan^) , |Vmax (0)^ — ^.
(13)
Диссипация устраняет особенность резонансной кривой |Vmax (6)| (13) при нулевой расстройке 6 ^ 0, как и в обычной колебательной системе. Например, для гармонического возбуждения F = A sin (9) получается
| Vmax | —
A
Г2Ш0 + Ô2
(14)
Резонансная кривая (14) имеет конечный максимум при 6 ^ 0, равный |Vmax| = = А/(Гю0). Очевидно, что при 6 = 0 и слабой диссипации (Г ^ 0) волна может вырасти до уровня, требующего нелинейного ограничения.
Стационарные резонансные профили (z ^ ж) при нулевой расстройке (6 = 0) удается рассчитать аналитически. Для М-нелинейности (а = 1, в = у = 0) и для источника F = A sin (9) в пределах одного периода —п < 9 < п получается
V—
A sgnВ "2 (l + Г2)
l — exp (— |В| /Г) l — exp (—п/Г)
+ cos В + Г |sin В| — l
(15)
Для Q-нелинейности (ß — l, а — у — О) и тех же условий решение выражается через функцию Матье
d /В A \ V — 2Г— ln ceo¡ 2, Г^) ' —п < В < п. (16)
dВ
Для QC-нелинейности результат получается более сложным, поскольку нечетная QC-нелинейность приводит к эффектам самовоздействия и дополнительному сдвигу резонансного условия [35].
На рис. 8 изображены профили одного периода решений (15) и (16) для M- и Q-сред, а также для QC-среды при Г ^ 0. В первых двух случаях (нелинейность четная) образуется ударный фронт сжатия. В третьем случае (нечетная нелинейность) в каждом периоде образуется ударная волна сжатия и ударная волна разрежения. Формируется пилообразная волна с трапециевидными «зубцами». Интересно, что отно-Рис. 8. Установившиеся профили одного периода шение меньшего и большего «скачков» волн в средах с М-, Q- и QC-нелинейностями при разного знака на разрывах относительно возбуждении гарм°ническими ист°чниками уровня V = 0 равно (V2 - 1); оно имеет
Fig. 8. The steady-state profiles of a one wave period in место и в волне, свободно распростра-media with M-, Q- and QC-nonlinearities for excitation „ Г1„п
, , няющейся по QC-среде [10].
by harmonic sources ^ * « l j
2
Процесс установления стационарного профиля волны происходит благодаря притоку энергии от источника, нелинейно-диссипативному поглощению и перераспределению ее по спектру и во времени (в пределах периода волны). Совместное влияние этих факторов можно изучить только путем численного моделирования.
На рис. 9 иллюстрирован процесс генерации периодического профиля в диссипативной среде с М-нелинейностью. При малых г профиль повторяет синусоиду, а при г = = 10 он близок к стационарной форме (см. рис. 8).
Заметим, что при построении кривых на рис. 9 расстройка 8 полагалась равной нулю. Такие же кривые, рассчитанные для Q-нелинейной среды, но при наличии расстройки, изображены на рис. 10. Расстройка приводит к тому, что новые порции энергии начинают поступать в бегущую волну в противофа-зе и гасить ее. Возникает процесс биений (зависимость максимума в профиле волны от расстояния), изображенный на рис. 11.
Профили волны, возбуждаемой в QC-среде, изображены на рис. 12 при нулевой расстройке (8 = 0) и тех же значениях параметров, что и на рис. 9 и 10. Сдвиг кривых по оси 0 влево означает, что волна в среде движется быстрее, чем с0; это результат самовоздействия на нечетной QC-нелинейности. При этом пространственные биения (см. рис. 11) будут возникать даже при 8 = 0.
На рис. 13 изображены резонансные кривые для абсолютного максимума «амплитуды» волны и средней за период интенсивности. Эти кривые построены для среды с QC-нелинейностью, но аналогичные кривые получаются и для нелинейностей Q- и M-типа. Общим является сдвиг
Рис. 9. Профили периодической волны, возбуждаемой синусоидальными бегущими источниками в М-нелинейной диссипативной среде при значениях чисел Г = 0.1, A =1, S = 0
Fig. 9. Profiles of aperiodic wave excited by sinusoidal running sources in an M-nonlinear dissipative medium at values of numbers Г = 0.1, A =1, S = 0
Рис. 10. Профили, возбуждаемые в Q-нелинейной среде при тех же значениях параметров, что и на рис. 9. Здесь учтена расстройка скоростей S = 0.1
Fig. 10. Profiles excited in a Q-nonlinear medium with the same values of the parameters as in Fig. 9. Here, the speed detuning is taken into account, S = 0.1
Рис. 11. Зависимости от расстояния максимальной «амплитуды» волны в Q-среде при Г = 0.1, A = 1. С ростом расстройки пространственная частота биений растет, а их «размах» уменьшается
Fig. 11. Dependences on the distance of the maximum «amplitude» of the wave in the Q-medium at Г = 0.1, A = 1. As the detuning increases, the spatial frequency of the beats increases, and their «swing» decreases
Рис. 12. Профили, возбуждаемые в QC-нелинейной среде при Г = 0.1, A = 1. Здесь расстройка скоростей S = 0
Fig. 12. Profiles excited medium at Г = 0.1, A = detuning S = 0
in a QC-nonlinear 1. Here the velocity
Рис. 13. Нелинейные резонансные кривые - зависимости от расстройки S абсолютного максимума «амплитуды» в QC-среде (сплошная линия). Штриховая линия - резонансная кривая для средней интенсивности
Fig. 13. Nonlinear resonance curves - the dependence on the detuning S of the absolute maximum of the «amplitude» in the QC-medium (solid line). The dashed line is a resonance curve for averaged intensity
максимума в область c ^ Co. Это явление хорошо известно в аэродинамике. Именно, в трансзвуковом полете самолет испытывает максимальное сопротивление излучения при небольшом превышении скорости звука. Этот эффект просто описывается моделью Хохлова-Заболотской (ХЗ) или Линя-Рейсснера-Цзяна [2, 36].
Модель неоднородного уравнения (11) широко используется для сильно искаженных профилей волн, возбуждаемых в акустических резонаторах. При этом многие типы резонансных кривых удается рассчитать аналитически (см. обзор [37] и [38, гл. 11]). Такие резонаторы встречаются в приложениях аэроакустики и применяются для неразрушающего контроля твердых тел [39]. Уравнение (11) используется также в модельном описании турбулентности Бюргерса (Burgulence), поскольку наряду с нелинейным переносом энергии по спектру и высокочастотной диссипацией учитывает третий принципиальный фактор - приток энергии в низкочастотную область спектра [40].
4. Упрощенные уравнения для волновых пучков
Прогресс в понимании физики нелинейных дифрагирующих пучков в Р-средах [41] стимулирован вышеупомянутой моделью ХЗ
д (др е др\ с (д2р 1 др дх \ дх с3рр дх ) 2 \ дг2 г дг
Здесь р - акустическое давление; х - аксиальная координата; г - радиальная полярная координата; х = £ — х/с - время в системе отсчета, сопровождающей волну; е -нелинейный параметр среды; р - плотность. История получения (17) и следующих из него результатов изложена в обзоре [2].
Физически интересных точных решений уравнения ХЗ не найдено, но большой объем информации получен путем численного интегрирования [42]. Эти данные помогли развить ряд приближенных аналитических методов.
■
(17)
Наиболее интересные нелинейные задачи связаны с получением предельно сильных полей в фокусе. При «острой» фокусировке волну до фокуса можно считать сферически сходящейся, а в фокальной области - плоской [43]. При этом область перетяжки имеет форму, близкую к цилиндрической. Для пучков, круглых в поперечном сечении, длина этого цилиндра равна ¡*, а радиус основания - а*
. 2В2 аК
I* = -— < В, а* = — < а. (18)
и и
В этой формуле ¡4 = юа2/(2с) - дифракционная длина, В - фокусное расстояние, а - исходный радиус пучка. Здесь и в дальнейшем фокусировка считается сильной, а дифракция - слабой. Именно в этом случае, когда ¡4 ^ В, можно сформировать наиболее интенсивные поля в фокусе.
На основе этих соображений в работе [44] сформулирована модель, описывающая волну в пределах перетяжки,
д {др е др\ 2с дх \ дх с3рР дх) а2
- Т"= —2Р- (19)
Уравнение (19) можно получить из уравнения ХЗ (17), если формально положить, что акустическое поле вблизи оси (г = 0) имеет параболическую зависимость от г
р(х, х, г) = (1 - р(х, х). (20)
а2
Подставляя (20) в (17) и ограничиваясь параксиальной областью (г ^ 0), придем к модели (19). Она радикально упрощает анализ. Очевидно, что одномерное уравнение (19) гораздо проще двумерного (17) как для аналитического, так и для численного исследования.
Для краткости уравнение (19) используется далее в безразмерной форме
д (дV - удУ) = (21)
дб V дх дб) 7 1 ;
Следует указать, что уравнение (21) - довольно общая модель в теории волн. Его называют уравнением Островского-Вахненко [45]. Оно получено также для задач океанологии (внутренние волны во вращающемся океане [46]) и математической физики (нахождение решений, похожих на солитоны [47]). Общность уравнения (21) очевидна: оно связано с универсальным законом низкочастотной дисперсии к = ю/с - х/ю и соответствует, например, эволюционной версии уравнения Клейна-Гордона. Стационарное решение уравнения (21) У = У (9 + |3х)
йУ /2 УУ3 - (3/2)У2 + (в3/2) (1 - С)
й9 = ±УУ 3-|р-У--(22)
выражается через эллиптические функции. Оно изображено на рис. 14, где обозначено
У = ви, Т = 9уУ273.
Как следует из решения (22), максимальное и минимальное акустические давления даются формулой [44]
Предельное значение интенсивности достигается в поле стационарной волны, которая имеет не только специальную форму профиля, но и определенную амплитуду (23), не зависящую от исходной амплитуды и частоты. Это «явление насыщения» впервые исследовано в работе [48]. Для сильно сфокусированной волны в воде и угла фокусировки 60° оценка (23) дает pmax & 100 MPa и интенсивность I & 50 kW/cm2. Предельное значение фокальной интенсивности 96 kW/cm2 найдено при численном моделировании, а значение 33 kW/cm2 измерено экспериментально [49]. Интенсивности, близкие к пределу, уже достигнуты в современных медицинских устройствах [50].
Заметим, что в фокальной области часто наблюдаются асимметричные профили (см. рис. 14), но с разрывами. Однако эти волны не стационарны и меняют форму из-за потерь энергии на ударных фронтах. Именно стационарные волны доставляют энергию с минимальными потерями «по пути» от излучателя к фокусу.
Нестационарные волны вблизи фокуса исследованы с помощью модифицированной модели (19)
Результаты расчета искажения формы при прохождении волны через фокальную область изображены на рис. 15 [51]. Использованы значения отношения фокусного расстояния к дифракционной длине Я/1а = 0.2 и к длине образования разрыва И/Ьн = 0.4. Кривые рис. 15, рассчитанные по модели (24), хорошо соответствуют результатам прямого расчета на основе модели ХЗ [42].
(23)
(24)
С=0.95
0.5
-3.0 -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 е
Рис. 14. Формы стационарных волн вблизи фокуса для различных значений С = 0.95, 0.75, 0.5, 0.25, 0.1, 0.02. С увеличением амплитуды (С ^ 0) профиль искажается и положительный пик становится острым [44]
Рис. 15. Профили одного периода гармонической (при х = 0) волны в окрестности фокуса. Кривые 1-7 построены для расстояний х/Я = = 0.8, 0.9, 0.95, 1.0, 1.05, 1.1, 1.2 [51]
Fig. 14. Forms of stationary waves near the focus for different values C = 0.95, 0.75, 0.5, 0.25, 0.1, 0.02. With increasing amplitude (C ^ 0) the profile is distorted and the positive peak becomes sharp [44]
Fig. 15. Profiles of one period of a harmonic (for x = 0) wave in a neighborhood of the focus. Curves 1-7 are constructed for distances x/R = = 0.8, 0.9, 0.95,1.0,1.05,1.1,1.2 [51]
Заметим, что уравнение (21) с переменными коэффициентами типа (24) много лет изучается как физиками, так и математиками [52]. Модели типа (21) обобщены недавно для сред с М-, кубичной и рС-нелинейностями в работах [53] и [54], соответственно.
Мы здесь не обсуждали модели нелинейной дифракции в неоднородных средах (см. обзор [55]). Такие модели еще более «экзотичны». Они очень сложны и почти всегда требуют численного анализа или существенных упрощений [56]. Исключение составляют системы уравнений, записанные в приближении нелинейной геометрической акустики. Эти 3Б модели допускают точные решения и, в этом смысле, являются уникальными, как и «рекордное» 3Б решение Ландау-Слезкина о затопленной струе [57] (см. исторический обзор [58]). Последнюю задачу тоже можно назвать «экзотической». Результат общеизвестен, но не стимулировал потока работ ввиду невозможности что-либо добавить.
5. Сильно нелинейные системы с голономными связями
Полезно различать сильно нелинейные волны и слабые волны с сильно выраженной нелинейностью [59]. В большинстве случаев мы имеем дело со слабыми волнами, для которых определяющие уравнения могут быть разложены в степенные или функциональные ряды. Пример - «акустическое разложение» адиабаты по степеням возмущений плотности и давления в окрестности равновесного состояния. Члены этого ряда соотносят с квадратичной, кубичной и нелинейностями высших порядков. В оптике вектор поляризации разлагают по степеням отношения электрического поля волны к внутриатомному полю. Однако такие разложения неудобно использовать, по крайней мере, в трех случаях: во-первых, когда определяющие соотношения содержат особенности; во-вторых, когда ряды расходятся в сильных полях; в-третьих, когда в разложениях отсутствует линейный член, зато доминируют высшие нелинейности.
Пример первого типа демонстрируют распределенные системы с М- и рС-нелинейностями. В них нет предельного перехода к линейным задачам даже для очень слабых сигналов. Обсуждаемые ниже системы с голономны-ми связями можно отнести к третьему типу сильно нелинейных систем.
Примером такой структуры служит модель кристаллической решетки, изображенная на рис. 16. Важно подчеркнуть, что движение происходит с ограничением: узлы решетки могут смещаться только вдоль оси х. Такие системы со связями (ограничениями) можно изготовить искусственно, но они могут иметь и естественное происхожде-
Рис. 16. Решетка из одинаковым масс, связанных с «ближайшими соседями» линейно деформируемыми ненатянутыми пружинами. Движение масс ограничено стержнями, параллельными оси x
Fig. 16. Lattice of the same masses, connected with the «nearest neighbors» by linearly deformed unstretched springs. The motion of the masses is limited by rods parallel to the x-axis
ние. Пример - пластинки слюды, которые легче сместить параллельно плоскостям, чем в ортогональном направлении.
Рассмотрим ячейку решетки, нумеруемую парой чисел (п, т). Частица массы М в этой ячейке связана с четырьмя ближайшими соседями одинаковыми линейно деформируемыми (гуковскими) пружинками с коэффициентом жесткости у. Обозначим смещение массы вдоль х из своего положения равновесия как 'п,т. Функция Лагранжа структуры (см. рис. 16), очевидно, равна
Ь = Е 1М ЪПт-2
п, т
+ ('п,т 'п,т— 1) - а ^ + ('„„„ - 1п.т+1)2 - а2 -
2 ('п,т 'п+1,т) ('п,т 'п— 1,т)
(25)
Если смещения масс малы по сравнению с периодом решетки, то есть ('п,т-'птт—1)2 ^ ^ 2а2, функция Лагранжа упрощается
Ь У ] "I 1 М%п,т 8а2 ('п,т 'п,т—1) ^2 ('п,т 'п,т+1)
п т
2 ±¿11ь/ 2
Цепочка уравнений движения для (26) получается такой
(26)
2 ('п,т 'п+1,т) 2 ('п,т 'п—1,т) •
У
(И2 2а2
('г,3 - '^—1)3 + ('г,3 - 'г,3+1)3 +У (2'г,3 - 'г+1,3 - 'г—1,3) • (27)
Как нетрудно видеть, соотношения (25)-(27) содержат сильную нелинейность. Например, если пружинки внутри вертикальных слоев (см. рис. 16) не деформируются, а соседи смещаются одинаково, но в противофазе ('г,3-—1 = 'гз+1 = ), из (27) получается уравнение, которое не содержит линейного члена ~ ,
(2'г ,3 + 8У '3
+ аМ г3 = 0 (28)
Периодические решения уравнения (28) выражаются через эллиптические интегралы. С ростом амплитуды период колебаний величины растет, а с уменьшением амплитуды до нуля период обращается в бесконечность и колебания исчезают.
Дискретные системы типа (25)-(28) рассмотрены в работах [60, 61]. Кроме того, в [60] поставлен эксперимент с крутильными колебаниями связанных дисков с ограничениями их движения. Однако работ в этом направлении мало, их желательно продолжить.
Теперь перейдем к континуальному пределу, чтобы вместо дифференциально-разностных уравнений (27) вывести уравнение в частных производных
2= с2д_53 + сОд45 = да 2 = то! (29)
дЬ2 С дх2 2 ду2 +12 дх4' 5 ду' С М • ()
Безразмерная величина д имеет смысл деформации вдоль оси у, а с2 - квадрат скорости волны, бегущей вдоль оси х.
Уравнение (29) учитывает нелинейность, дисперсию и анизотропные свойства структуры, изображенной на рис. 16. Если зависимость деформации от координаты х отсутствует, для чисто поперечных волн получаем уравнение
д2д 1 2 д 2д3
д2 = 2с ~зу2. (30)
Видно, что (30) является сильно нелинейным уравнением, поскольку в нем отсутствует предельный переход к линейной задаче при д ^ 0. Уравнение (30) использовал В. Гейзенберг в своем варианте нелинейной квантовой теории поля [62]. Для сильно нелинейных волн модель (30) анализировалась в работах [10, 60]. Было показано, что уравнению (30) можно сопоставить эволюционное уравнение первого порядка
I=±#4 (31)
Это уравнение содержит рС-нелинейность |д| д, рассмотренную в разделах 2-4.
Свойства анизотропии движений, описываемых уравнением (29), наглядно проявляются при наличии однородной статической деформации. Полагая в (29) д = = до + д' и сохраняя линейный по малому возмущению д' член, получим
д^ - с2 д^ =3 с2д2 + 1 с2а2
сЯ2 с дх2 =2с до ду2 +12 дх4. (32)
Отыскивая решение уравнения (32) в виде плоской бегущей волны, найдем закон дисперсии ( )
2 / Ь,2г,2
ю , 0 / _ к а
к2а2 3
^ = кг (1 - 2- сов2 И сов2 9 + 2д0к2 8т2 9. (33)
С \ 12 / 2
Здесь 9 - угол между волновым вектором к и осью х. При 9 = 0 или 9 = п/2 имеем чистые продольную или поперечную волны, бегущие со скоростями
1 3 2 2 2 1 22 2 3 2
си =с -12ю а' = 2 ?О. (34)
При малой статической деформации с2± ^ с2 ~ с2, то есть поперечная волна гораздо «медленнее» продольной. Если статической деформации нет и до = 0, поперечные колебания вообще не могут распространяться, то есть волновой процесс не реализуется. Именно такая ситуация типична для мышечной ткани, в которой скорость распространения сдвиговых волн составляет единицы м/с, в то время как продольные волны бегут со скоростью порядка 1.5 км/с, примерно равной скорости звука в воде. Кроме того, скорости зависят от направления распространения волны по отношению к ориентации мышечных волокон и от натяжения мышцы [63]. Эти свойства положены в основу работы современных медицинских эластографов, используемых для диагностики состояния и патологий в мышцах и других мягких тканях [64].
При произвольных углах 9 = 0, 9 = п/2 уравнения (29) и (32) описывают волны, не являющиеся ни чисто продольными, ни чисто поперечными. Уравнение (29) имеет солитонные и другие интересные решения.
6. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения
Уравнения вида [65]
те
д дУ дУ д2 д9 ~дх - - 092
/
К (в)У (9 - в) йв = А±У
о
имеют довольно общий смысл. Для вырожденных ядер К (в), представляющих собой дельта-функцию или комбинацию ее производных, из (35) получаются уравнения типа Хохлова-Заболотской (17), Кадомцева-Петвиашвили, Хохлова-Заболотс-кой-Кузнецова и другие подобные уравнения для пучков, а в случае одномерных волн - уравнения типа (1). Дифференциальные уравнения следуют из (35) и для некоторых других ядер [66]. Наиболее известны уравнения с экспоненциальным ядром, которое предсказывается релаксационной моделью Мандельштама-Леонтовича [57]. В этом случае для плоских волн из (35) получается
Уравнение в форме (36) выведено в работе [67], а в интегральной форме - в [68].
Разнообразные формы ядер, полезные для приложений, обсуждаются в работе [69]. В частности, степенные зависимости коэффициента затухания волны от частоты с дробными показателями степени, типичные для биологических тканей и геофизических структур, принципиально требуют интегро-дифференциального описания. То же относится к средам со сложной внутренней динамикой релаксационного типа.
Как находится ядро К (в) в каждом конкретном случае? Частотные зависимости дисперсии и поглощения (действительной и мнимой части волнового числа к' (ю), к'' (ю)) измеряются или определяются из физической модели типа Мандель-штама-Леонтовича. Затем решается обратная задача и ядро реконструируется стандартными методами, использующими принцип причинности и соотношения типа Крамерса-Кронига.
Например, показатель степени в частотной зависимости затухания в биотканях изменяется от 2.1 (кости черепа) и 1.7 (ткань яичка) до 1.1 (скелет) и 0.6 (кожа) [5]. Чаще всего в диапазоне единиц МГц (медицинский ультразвук) к'' ~ ю2-у, 0 < V < 1. Для такой зависимости нетрудно показать, что К (в) ~ в"'-1. Особенность при в = 0 часто оказывается несущественной, поскольку уравнение содержит «свертку» сингулярного ядра с осциллирующей функцией, описывающей поле волны.
Точных решений для уравнений (35) известно немного. Найдены стационарные решения для сред с р- [67] и рС-типов [70].
Если интересоваться не конкретной средой, а общими свойствами нелинейных волн, удобен прием, сводящий интегро-дифференциальное уравнение к дифференциально-разностному или даже к простому отображению. Этот переход [69, 70] эффективен для ядер, отличных от нуля на конечном интервале. Простейший случай соответствует среде с постоянной «памятью»: К (в) = 1, 0 < в < 1; К (в) = 0,
(36)
s > 1. Иными словами, до момента s = 1 среда «все помнит», а в этот момент «все забывает». Для такого ядра уравнение (36) принимает вид
f - V% = Die [V z 9 -1) -V (z>9)1 - (37)
Для стационарной волны (37) превращается в разностное соотношение
V (9 - 1) = V (e) + 2D [1 - V2 (9)] . (38)
Отображение (38) V (9) ^ V (9 - 1) описывает фронт ударной волны с шириной, растущей с увеличением числа D.
Физикам может показаться удивительным следующий факт. Согласно статистическим данным «Thomson Reuters», наиболее цитированными в области математики работами в 2013 году были статьи по нелинейным дифференциальным уравнениям с дробными производными. Это уравнения с интегральным членом, как в (35), но со специальным видом ядра. Дробная производная обычно понимается в смысле Римана-Лиувилля
t
(D0Vu) = = 1 дП u MJf > n - 1 < a <n> n e N. (39)
V 0+ ; та г (n - a) Qtn J (t - s)a+1-n' ' v '
0
Такие ядра, по-видимому, и есть «экзотика». Чаще встречаются осциллирующие ядра (например, в оптике) или ядра релаксационного типа (в акустике и механике наследственных сред).
Таким образом, грань между «экзотическими» и «популярными» моделями -условна, подвижна и зависит от «раскрутки», то есть от коллективной активности достаточно большой группы авторов и энергичного перекрестного цитирования.
Заключение
Итак, в этом кратком обзоре обсуждены некоторые уравнения, не очень известные «нелинейному сообществу», некоторые аналитические решения и физические результаты. Наши знания во многом формировались под влиянием классических работ в области нелинейной физики и математики. Сегодня, по-видимому, имеет смысл чаще обращаться к «экзотике», а также конструировать модели с новым физическим содержанием. При их анализе, конечно, очень важен опыт, наработанный в прошлом. С точки зрения математики, кажется, полезно развивать групповые методы нахождения симметрий для моделей, содержащих обобщенные функции и сингулярности. Было бы интересно применить метод обратной задачи рассеяния для консервативных систем, например, с РС- и М-нелинейностями. Для физики, кажется, первоочередной интерес представляет изучение сильно нелинейных волновых процессов, а также их нелинейно-корпускулярных свойств. Надеемся на читательских интерес и поддержку работ в этом направлении.
Работа поддержана грантом РНФ № 14-22-00042.
Библиографический список
1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.
2. Rudenko O.V. The 40th anniversary of the Khokhlov-Zabolotskaya equation // Acoust. Phys. 2010. Vol. 56, no. 4. Pp. 457-466. http://www.akzh.ru/pdf/2010_4_452-462.pdf
3. Руденко О.В., Робсман В.А. Уравнение нелинейных волн в рассеивающей среде // ДАН. 2002. Т. 384, № 6. С. 755-759.
4. Gueguen Y., Palciauskas V. Introduction to the Physics of Rocks. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.
5. Хилл К., Бэмбер Дж., Тер Хаар Г. Ультразвук в медицине. Физические основы применения. М.: Физматлит, 2009. 544 с.
6. Boldea A.L. Generalized and potential symmetries of the Rudenko-Robsman equation/Cent. Eur. J. Phys. 2010. Vol. 6, no. 6. Pp. 995-1000. https://www.degruyter.com/ downloadpdf/j/phys.2010.8.issue-6/s11534-010-0013-0/s11534-010-0013-0.pdf
7. Аверьянов М.В., Басова М.С., Хохлова В.А. Стационарные и квазистационарные волны в диссипативных системах четного порядка // Акуст. Журн. 2005. T. 51, № 5. С. 581-588. http://www.akzh.ru/pdf/2005_5_581-588.pdf
8. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и паро-жидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990. 248 с.
9. Rudenko O.V. Equation admitting linearization and describing waves in dissipative media with modular, quadratic, and quadratically cubic nonlinearities // Doklady Mathematics. 2016. Vol. 94, no. 3. Pp. 703-707.
10. Руденко О.В. Нелинейная динамика квадратично кубичных систем // УФН. 2013. Т. 183, № 7. С. 719-726. https://ufn.ru/ru/articles/2013/7/b/
11. Руденко О.В., Хедберг К.М. Квадратично кубичное уравнение Бюргерса - точно решаемая модель математической физики // ДАН. 2015. Т. 461, № 6. С. 640-643.
12. Rudenko O.V., Hedberg C.M. The quadratically cubic Burgers equation: an exactly solvable nonlinear model for shocks, pulses and periodic waves // Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 85, no. 2. Pp. 767-776. https://link.springer.com/article/10.1007/s11071-016-2721-5
13. Гусев В.А., Руденко О.В. Автомодельные решения уравнения типа Бюргерса с квадратично-кубичной нелинейностью // ДАН. 2016. Т. 466, № 1. С. 25-29.
14. Руденко О.В., Солуян С.И.Некоторые нестационарные задачи теории волн конечной амплитуды в диссипативных средах // ДАН. 1970. Т. 190, № 4. С. 815-818.
15. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998. C. 238.
16. Ingard U. Nonlinear distorsion of sound transmitted through an orifice // J. Acoust. Soc. Am. 1970. Vol. 48, no. 1. Pp. 32-33.
17. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Машиностроение, 1992. 672 c.
18. Руденко О.В., Хирных К.Л. Модель резонатора Гельмгольца для поглощения интенсивного звука // Акуст. Журн. 1990. Т. 36, № 3. С. 527-534. http://www.akzh.ru/pdf/1990_3_527-534.pdf
19. Коробов А.И., Изосимова М.Ю. Нелинейные волны Лэмба в металлической пластинке с дефектами // Акуст. Журн. 2006. Т. 52, № 5. С. 683-692. http://www.akzh.ru/pdf/2006_5_683-692.pdf
20. Назаров В.Е., Кияшко С.Б., Радостин А.В. Волновые процессы в микронеоднородных средах с разномодульной нелинейностью и релаксацией // Известия вузов. Радиофизика. 2016. Т. 59, № 3. С. 275-285.
21. Radostin A.V., Nazarov V.E., Kiyashko S.B. Propagation of nonlinear acoustic waves in bimodular media with linear dissipation // Wave Motion. 2013. Vol. 50, no. 2. Pp. 191-196.
22. Radostin A.V., Nazarov V.E., Kiyashko S.B. Propagation of nonlinear acoustic waves in bimodular media with linear dissipation // Wave Motion. 2013. Vol. 50, no. 2. Pp. 191-196.
23. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. 318 c.
24. Hedberg C.M., Rudenko O.V. Collisions, mutual losses and annihilation of pulses in a modular nonlinear medium // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 90, no. 3. Pp. 2083-2091. https://link.springer.com/article/10.1007
25. Rudenko O.V. Modular solitons // Doklady Mathematics. 2016. Vol. 94, no. 3. Pp. 708-711.
26. Коробов А.И., Прохоров В.М. Нелинейные акустические свойства алюминиевого сплава B95 и композита В95/наноалмаз // Акуст. Журн. 2016. Т. 62, № 6. С. 661-667. http://www.akzh.ru/pdf/2016_6_661-667.pdf
27. Korobov A.I., Kokshaiskii A.I., Prokhorov V.M., Evdokimov I.A., Perfilov S.A., Volkov A.D. Mechanical and nonlinear elastic characteristics of polycrystalline AMg6 aluminum alloy and n — AMg6/C60 nanocomposite // Phys. of Solid State. 2016. Vol. 58, no. 12. Pp. 2472-2480.
28. Грэй AM., Руденко О.В. Интенсивная волна в дефектных средах, содержащих одновременно квадратичную и модульную нелинейности: Ударные волны, гармоники и неразрушающий контроль // Акуст. Журн. 2018. Т. 64, № 4. С. 521-527.
29. Mikhailov S.G., Rudenko O.V. A simple nonlinear element model // Acoust. Phys. 2017. Vol. 63, no. 3. Pp. 270-274. http://www.akzh.ru/pdf/2017_3_246-250.pdf
30. Karabutov А.А., Lapshin E.A., Rudenko O.V. Interaction between light waves and sound under acoustic nonlinearity conditions // J. Exp.Theor. Physics. 1976. Vol. 44, no. 1. Pp. 58-63.
31. Rudenko O.V. Wave excitation in a dissipative medium with a double quadratically-modular nonlinearity: A generalization of the inhomogeneous Burgers equation // Doklady Mathematics. 2018. Vol. 97, no. 3. Pp. 721-724.
32. Sinai Ya.G. Asymptotic behavior of solutions of 1D-Burgers equation with quasipe-riodic forcing // Topol. Methods Nonlinear Anal. 1998. Vol. 11, no. 2. Pp. 219-226.
33. Kudryavtsev A. G., Sapozhnikov O. A. Determination of the exact solutions to the
inhomogeneous Burgers equation with the use of the Darboux transformation // Acoust. Phys. 2011. Vol. 57, no. 3. Pp. 311-319. http://www.akzh.ru/pdf/2011_3_313-322.pdf
34. Pasmanter R.A. Stability and Backlund transform of the forced Burgers equation // J. Math. Phys. 1986. Vol. 29. Pp. 2744-2746.
35. Rudenko O.V., Hedberg C.M. Wave resonance in media with modular, quadratic and quadratically-cubic nonlinearities described by inhomogeneous Burgers-type equations // Acoust. Phys. 2018. Vol. 64, no. 5. Pp. 645-657.
36. Карабутов А.А., Руденко О.В. Модифицированный метод Хохлова для исследования нестационарных трансзвуковых течений сжимаемого газа // ДАН. 1979. Т. 248, № 5. С. 1082-1085.
37. Rudenko O.V. Nonlinear standing waves, resonant phenomena and frequency characteristics of distributed systems // Acoust. Phys. 2009. Vol. 55, no. 1. Pp. 27-54.
38. Гурбатов С.Н., Руденко О.В., Саичев А.И. Волны и структуры в нелинейных средах без дисперсии. М.: Физматлит, 2008. 496 с.
39. Руденко О.В. Гигантские нелинейности структурно-неоднородных сред и основы методов нелинейной акустической диагностики // УФН. 2006. Т. 176, № 1. С. 77-95. https://ufn.ru/ru/articles/2006/1/e/
40. Frish U., Bec /.In: New Trends in Turbulence. Pp. 341-384. Springer, Berlin, Heidelberg, 2001.
41. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков // Акуст. Журн. 1969. Т. 15, № 1. С. 40-47. http://www.akzh.ru/pdf/1969_1_40-47.pdf
42. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982. 174 с.
43. Ostrovskii L.A., Sutin A.M. Focusing of acoustic waves of finite amplitude // Sov. Phys. Doklady. 1975. Vol. 221, no. 6. Pp. 1300-1303.
44. Руденко О.В., Хедберг К.М. Дифракция интенсивного поля в фокальной области как динамика нелинейной системы с низкочастотной дисперсией // Акуст. Журн. 2015. Т. 61, № 1. С. 30-39. http://www.akzh.ru/pdf/2015_1_30-39.pdf
45. Brunelli J.C., Sakovich S. Hamiltonian structures for the Ostrovsky-Vakhnenko equation // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2013. Vol. 18. Pp. 56-62.
46. Ostrovsky L.A. Nonlinear internal waves in a rotating ocean // Okeanologia. 1978. Vol. 18, no. 2. Pp. 181-191.
47. Vakhnenko V.A. Solitons in a nonlinear model medium // J. Phys. A. 1992. Vol. 25A. Pp. 4181-4187.
48. Naugol'nykh K.A., Romanenko E.V. Amplification factor of a focusing system as a function of sound intensity // Sov. Phys. Acoustics. 1959. Vol. 5, no. 2. Pp. 191-195. http://www.akzh.ru/pdf/1959_2_191-195.pdf
49. Bessonova O.V., Khokhlova V.A., Bailey M.R., Canney M.R., Crum L.A. //Focusing of high power ultrasound beams and limiting values of shock wave parameters // Acoust. Phys. 2009. Vol. 55, no. 4-5. Pp. 463-473. http://www.akzh.ru/pdf/2009_4_445-456.pdf
50. Wu F., Wang Z.B., Chen W.Z., et al. Extracorporeal focused ultrasound surgery for treatment of human solid carcinomas: Early Chinese clinical experience // Ultrasound Med. Biol. 2004. Vol. 30, no. 2. Pp. 245-260.
51. Васильева О.А., Лапшин Е.А., Руденко О.В. Проекция уравнения Хохлова-За-болотской на ось волнового пучка как модель нелинейной дифракции // ДАН. 2017. Т. 477, № 3. С. 282-286.
52. Ibragimov N.H., Rudenko O.V Principle of an A Priori use of symmetries in the theory of nonlinear waves // Acoust. Phys. 2004. Vol. 50, no. 4. Pp. 406-419. http://www.akzh.ru/pdf/2004_4_481-495.pdf
53. Rudenko O.V., Hedberg C.M. A new equation and exact solutions describing focal fields in media with modular nonlinearity // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 89, no. 3. Pp. 1905-1913. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007
54. Руденко О.В. Одномерная модель типа Хохлова-Заболотской для волн в фокальной области кубичной и квадратично-кубичной нелинейных сред // ДАН. 2017. Т. 475, № 5. С. 503-507.
55. Руденко О.В. Нелинейные пилообразные волны // УФН. 1995. Т. 165, № 9. С. 1011-1036. https://ufn.ru/ru/articles/1995/9/b/
56. Panasenko G.P., Lapshin E.A. Homogenization of high frequency nonlinear acoustics equations // Applicable Analysis. 2013. Vol. 74, no. 3. Pp. 311-331.
57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.МГидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
58. Г.И. Броман, О.В.Руденко. Затопленная струя Ландау: Точные решения, их смысл и приложения // УФН. 2010. Т. 180, № 1. С. 97-104. https://ufn.ru/ru/articles/2010/1/f/
59. Руденко О.В. О сильно нелинейных волнах и волнах с сильно выраженной слабой нелинейностью. В кн.: «Нелинейные волны - 2012» / Под ред. А.В. Га-понова-Грехова и В.И. Некоркина. C. 83-97. Нижний Новгород: Изд-во ИПФ РАН, 2013.
60. Rudenko O.V., Solodov E.V. Strongly nonlinear shear perturbations in discrete and continuous cubic nonlinear systems // Acoust. Phys. 2011. Vol. 57, no. 1. Pp. 51-58. http://www.akzh.ru/pdf/2011_1_56-64.pdf
61. Nikitenkova S.P., Pelinovskii E.N.Analysis of the Rudenko-Solodov equation in the theory of highly nonlinear shear vibrations // Acoust. Phys. 2014. Vol. 60, no. 3. Pp. 258-260. http://www.akzh.ru/pdf/2014_3_240-242.pdf
62. Heisenberg W. Zur Quantisierung nichtlinearer Gleichungen. Nachr. Acad. Wiss. Goettingen. IIa. 1953. Pp. 111-127.
63. Rudenko O.V., Tsyuryupa S.N., Sarvazyan A.P. Velocity and attenuation of shear waves in the phantom of a muscle-soft tissue matrix with embedded stretched fibers //Acoust. Phys. 2016. Vol. 62, no. 5. Pp. 608-614.
64. Sarvazyan A.P., Rudenko O.V. United States Patent: 5,810,731. Date of Patent: Sep. 22, 1998. Method and apparatus for elasticity imaging using remotely induced shear wave.
65. Руденко О.В., Солуян С.И., Хохлов Р.В. Проблемы теории нелинейной акустики // Акуст. Журн. 1974. Т. 20, № 3. С. 871-876. http://www.akzh.ru/pdf/1974_3_449-457.pdf
66. Ibragimov N.H., Meleshko S.V., Rudenko O.V. Group analysis of evolutionary integro-differential equations describing nonlinear waves: the general model // J. Physics A. Vol. 44, no.315201.
67. Полякова А.Л., Солуян С.И., Хохлов Р.В. К вопросу о распространении конечных возмущений в релаксирующей среде // Акуст. Журн. 1962. Т. 8, № 1. С. 107-112. http://www.akzh.ru/pdf/1962_1_107-112.pdf
68. Руденко О.В., Солуян С.И. К вопросу о рассеянии звука на звуке // Акуст.Журн. 1972. Т. 18, № 3. С. 421-425. http://www.akzh.ru/pdf/1972_3_421-425.pdf
69. Руденко О.В. Нелинейные интегро-дифференциальные модели для интенсивных волн в средах типа биотканей и геоструктур со сложной внутренней динамикой релаксационного типа // Акуст. Журн. 2014. Т. 60, № 4. С. 368-375. http://www.akzh.ru/pdf/2014_4_368-375.pdf
70. Руденко О.В. Точные решения интегро-дифференциального уравнения с квадратично-кубичной нелинейностью //ДАН. 2016. Т. 469, № 1. С. 30-33.
References
1. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Oscillations and Waves in Linear and Nonlinear Systems. New York: Springer, 1989.
2. Rudenko O.V. The 40th anniversary of the Khokhlov-Zabolotskaya equation. Acoust. Phys., 2010, vol. 56, no. 4, pp. 457-466.
3. Rudenko O.V., Robsman V.A. Equation of nonlinear waves in a scattering medium. Doklady-Physics., 2002, vol. 47, no. 6, pp. 443-446.
4. Gueguen Y., Palciauskas V. Introduction to the Physics of Rocks. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.
5. Hill C.R., Bamber J.C., Ter Haar G.R. (Eds.). Physical Principles of Medical Ultrasonics. John Wiley & Sons, 2004.
6. Boldea A.L. Generalized and potential symmetries of the Rudenko-Robsman equation. Cent. Eur. J. Phys., 2010, vol. 6, no. 6, pp. 995-1000.
7. Averiyanov M.V., Basova M.S., Khokhlova V.A. Stationary and quasi-stationary waves in even-order dissipative systems. Acoust. Phys., 2005, vol. 51, no. 5, pp. 495-501.
8. Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G., Shreiber I.R. Wave Dynamics of Gas- and Vapour-Liquid Media. New York: Begell House Publishers, 1992.
9. Rudenko O.V. Equation admitting linearization and describing waves in dissipative media with modular, quadratic, and quadratically cubic nonlinearities. Doklady Mathematics, 2016, vol. 94, no. 3, pp. 703-707.
10. Rudenko O.V. Nonlinear dynamics of quadratically cubic systems. Physics-Uspekhi, 2013, vol. 56, no. 7, pp. 683-690.
11. Rudenko O.V., Hedberg C.M. Quadratically cubic Burgers' equation as exactly solvable model of mathematical physics. Doklady Mathematics, 2015, vol. 91, no. 2, pp. 232-235.
12. Rudenko O.V., Hedberg C.M. The quadratically cubic Burgers equation: An exactly
solvable nonlinear model for shocks, pulses and periodic waves. Nonlinear Dynamics, 2016, Vol. 85, no. 2, pp. 767-776.
13. Rudenko O.V., Gusev V.A. Self-similar solutions of a Burgers-type equation with quadratically cubic nonlinearity. Doklady Mathematics, 2016, vol. 93, no. 1, pp. 94-98.
14. Rudenko O.V., Soluyan S.I. Some nonstationary problems of the theory of finite amplitude waves in dissipative media. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1970, vol. 190, no. 4, pp. 815-818.
15. PolyaninA.D., Vyaz'min A.V., Zhurov A.I., Kazenin D.A. Handbook of Exact Solutions to Heat and Mass transfer Equations. Moscow: Faktorial, 1998 [in Russian].
16. Ingard U. Nonlinear distorsion of sound transmitted through an orifice. J. Acoust. Soc. Am., 1970, vol. 48, no. 1, pp. 32-33.
17. Idelchik I.E. Flow Resistance: A Design Guide for Engineers. New York: Hemisphere, 1989.
18. Rudenko O.V., Khirnykh K.L. Model of Helmholtz resonator for absorption of high-intensity sound. Sov. Phys. Acoust., vol. 36, no. 3, pp. 527-534.
19. Korobov A.I., Izosimova M.Yu. Nonlinear Lamb waves in a metal plate with defects. Acoust. Phys., 2006, vol. 52, no. 5, pp. 683-692.
20. Nazarov V.E., Kiyashko S.B., Radostin A.V. The wave processes in micro-inhomo-geneous media with different-modulus nonlinearity and relaxation. Radiophys. and Quant. Electr., 2016, vol. 59, no. 3, pp. 246-256.
21. Nazarov V., Radostin A. Nonlinear Acoustic Waves in Micro-Inhomogeneous Solids. John Wiley & Sons, 2015.
22. Radostin A.V., Nazarov V.E., Kiyashko S.B. Propagation of nonlinear acoustic waves in bimodular media with linear dissipation. Wave Motion, 2013, vol. 50, no. 2, pp. 191-196.
23. Ambartsumyan S.A. Elasticity Theory of Different Moduli. Beijing: China Rail. Publ. House, 1986.
24. Hedberg C.M., Rudenko O.V. Collisions, mutual losses and annihilation of pulses in a modular nonlinear medium. Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 90, no. 3, pp. 2083-2091.
25. Rudenko O.V. Modular solitons. Doklady Mathematics, 2016, vol. 94, no. 3, pp. 708-711.
26. Korobov A.I., Prokhorov V.M. Nonlinear acoustic properties of the B95 aluminum alloy and the B95/nanodiamond composite. Acoust. Phys., 2016, vol. 62, no. 6, pp. 661-667.
27. Korobov A.I., Kokshaiskii A.I., Prokhorov V.M., Evdokimov I.A., Perfilov S.A., Volkov A.D. Mechanical and nonlinear elastic characteristics of polycrystalline aluminum alloy and nanocomposite. Phys.of Solid State, 2016, vol. 58, no. 12, pp. 2472-2480.
28. Gray A.L., Rudenko O.V. High-intensity wave in defected media containing both quadratic and modular nonlinearities: Shocks, harmonics and nondestructive testing. Acoust. Phys., 2018, vol. 64, no. 4, pp. 402-407.
29. Mikhailov S.G., Rudenko O.V. A Simple nonlinear element model. Acoust. Phys., 2017, vol. 63, no. 3, pp. 270-274.
30. Karabutov A.A., Lapshin E.A., Rudenko O.V. Interaction between light waves and sound under acoustic nonlinearity conditions. J. Exp. Theor. Physics, 1976, vol. 44, no. 1, pp. 58-63.
31. Rudenko O.V. Wave excitation in a dissipative medium with a double quadratically-modular nonlinearity: A generalization of the inhomogeneous Burgers equation. Doklady Mathematics, 2018, vol. 97, no. 3, pp. 721-724.
32. Sinai Ya.G. Asymptotic behavior of solutions of 1D-Burgers equation with quasipe-riodic forcing. Topol. Methods Nonlinear Anal., 1998, vol. 11, no. 2, pp. 219-226.
33. Kudryavtsev A. G., Sapozhnikov O. A. Determination of the exact solutions to the inhomogeneous Burgers equation with the use of the Darboux transformation. Acoust. Phys., 2011, vol. 57, no. 3, pp. 311-319.
34. Pasmanter R.A. Stability and Backlund transform of the forced Burgers equation. J. Math. Phys., 1986, vol. 29, pp. 2744-2746.
35. Rudenko O.V., Hedberg C.M. Wave resonance in media with modular, quadratic and quadratically-Cubic nonlinearities described by inhomogeneous Burgers-type equations. Acoust. Phys., 2018, vol. 64, no. 4, pp. 422-431.
36. Karabutov A.A., Rudenko O.V. Modified Khokhlov's method for nonstationary trans-sonic flows of compressible gas. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1979, vol. 248, no. 5, pp. 1092-1085.
37. Rudenko O.V. Nonlinear standing waves, resonant phenomena and frequency characteristics of distributed systems. Acoust. Phys., 2009, vol. 55, no. 1, pp. 27-54.
38. Gurbatov S.N., Rudenko O.V., Saichev A.I. Waves and Structures in Nonlinear Nondispersive Media. Berlin and Beijing: Springer and Higher Education Press, 2011.
39. Rudenko O.V. Giant nonlinearities in structurally inhomogeneous media and the fundamentals of nonlinear acoustic diagnostic techniques. Physics Uspekhi, 2006, vol. 49, no. 1, pp. 69-87.
40. Frish U„ Bec J. In: New Trends in Turbulence. Pp. 341-384. Berlin, Heidelberg, Springer, 2001.
41. Zabolotskaya E.A., Khokhlov R.V. Quasi-plane waves in the nonlinear acoustics of confined beams. Sov. Phys. Acoust., 1969, vol. 15, no. 1, pp. 35-40.
42. Bakhvalov N. S., Zhileikin Ya. M., Zabolotskaya E.A. Nonlinear Theory of Sound Beams. New York: AIP, 1987.
43. Ostrovskii L.A., Sutin A.M. Focusing of acoustic waves of finite amplitude. Sov. Phys. Doklady, 1975, vol. 221, no. 6, pp. 1300-1303.
44. Rudenko O.V., Hedberg C.M. Diffraction of high-intensity field in focal region as dynamics of nonlinear system with low-frequency dispersion. Acoust. Phys., 2015, vol. 61, no. 1, pp. 28-36.
45. Brunelli J.C., Sakovich S. Hamiltonian structures for the Ostrovsky-Vakhnenko equation. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 2013, vol. 18, pp. 56-62.
46. Ostrovsky L.A. Nonlinear internal waves in a rotating ocean. Okeanologia, 1978, vol. 18, no. 2, pp. 181-191.
47. Vakhnenko V.A. Solitons in a nonlinear model medium. J. Phys. A, 1992, vol. 25A, pp. 4181-4187.
48. Naugol'nykh K.A., Romanenko E.V. Amplification factor of a focusing system as a function of sound intensity. Sov. Phys. Acoustics, 1959, vol. 5, no. 2, pp. 191-195.
49. Bessonova O.V., Khokhlova V.A., Bailey M.R., Canney M.R., Crum L.A. Focusing of high power ultrasound beams and limiting values of shock wave parameters. Acoust. Phys., 2009, vol. 55, no. 4-5, pp. 463-473.
50. Wu F., Wang Z.B., Chen W.Z., et al. Extracorporeal focused ultrasound surgery for treatment of human solid carcinomas: Early Chinese clinical experience. Ultrasound Med. Biol., 2004, vol. 30, no. 2, pp. 245-260.
51. Vasiljeva О.А., Lapshin Е.А., Rudenko O.V. Projection of the Khokhlov-Zabolots-kaya equation on the axis of wave beam as a model of nonlinear diffraction. Doklady Mathematics, 2017, vol. 96, no. 3, pp. 646-649.
52. Ibragimov N.H., Rudenko O.V. Principle of an A Priori use of symmetries in the theory of nonlinear waves. Acoust. Phys., 2004, vol. 50, no. 4, pp. 406-419.
53. Rudenko O.V., Hedberg C.M. A new equation and exact solutions describing focal fields in media with modular nonlinearity. Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 89, no. 3, pp. 1905-1913.
54. Rudenko O.V. One-dimensional model of KZ-type equations for waves in the focal region of cubic and quadratically-cubic nonlinear media. Doklady Mathematics, 2017, vol. 96, no. 1, pp. 399-402.
55. Rudenko O.V. Nonlinear sawtooth-shaped waves. Physics Uspekhi, 1995, vol. 38, no. 9, pp. 91-98.
56. Panasenko G.P., Lapshin E.A. Homogenization of high frequency nonlinear acousticts equations. Applicable Analysis, 2013, vol. 74, no. 3, pp. 311-331.
57. Landau L.D., Lifschitz E.M. Fluid Mechanics. New York: Pergamon Press, 1987.
58. Broman G.I., Rudenko O.V. Submerged Landau jet: Exact solutions, their meaning and application. Physics Uspekhi, 2010, vol. 53, no. 1, pp. 91-98.
59. Rudenko O.V. On strongly nonlinear waves and waves with strongly displayed weak nonlinearity. In: Nonlinear Waves - 2012 / Ed. A.V. Gaponov-Grekhov and V.I. Nekorkin, pp. 83-97. Nizhny Novgorod: IAP RAS publishing House, 2013.
60. Rudenko O.V., Solodov E.V. Strongly nonlinear shear perturbations in discrete and continuous cubic nonlinear systems. Acoust. Phys., 2011, vol. 57, no. 1, pp. 51-58.
61. Nikitenkova S.P., Pelinovskii E.N. Analysis of the Rudenko-Solodov equation in the theory of highly nonlinear shear vibrations. Acoust. Phys., 2014, vol. 60, no. 3, pp. 258-260.
62. Heisenberg W. Zur Quantisierung nichtlinearer Gleichungen. Nachr. Acad. Wiss. Goettingen. IIa., 1953, pp. 111-127.
63. Rudenko O.V., Tsyuryupa S.N., Sarvazyan A.P. Velocity and attenuation of shear waves in the phantom of a muscle-soft tissue matrix with embedded stretched fibers. Acoust. Phys., 2016, vol. 62, no. 5, pp. 608-614.
64. Sarvazyan A.P., Rudenko O.V. United States Patent: 5, 810, 731. Date of Patent: Sep. 22, 1998. Method and apparatus for elasticity imaging using remotely induced shear wave.
65. Rudenko O.V., Soluyan S.I., Khokhlov R.V. Problems of the theory of nonlinear acoustics. Sov. Phys. Acoust., vol. 20, no. 4, pp. 356-359.
66. Ibragimov N.H., Meleshko S.V., Rudenko O.V. Group analysis of evolutionary integro-differential equations describing nonlinear waves: The general model. J. Physics A, vol. 44, no. 315201.
67. Polyakova A.L., Soluyan S.I., Khokhlov R.V. Propagation of finite disturbances in a relaxing medium. Sov. Phys.Acoustics, 1962, vol. 8, no. 1, pp. 78-82.
68. Rudenko O.V., Soluyan S.I. The scattering of sound by sound. Sov. Phys. Acoustics, 1973, vol. 18, no. 3, pp. 352-355.
69. Rudenko O.V. Nonlinear integro-differential models for intense waves in Media Like Biological Tissues and Geostructures with Complex Internal relaxation-type dynamics. Acoust. Phys., 2014, vol. 60, no. 4, pp. 398-404.
70. Rudenko O.V. Exact solutions of an integro-differential equation with quadratically cubic nonlinearity. Doklady Mathematics, 2016, vol. 94, no. 1, pp. 468-471.
Руденко Олег Владимирович родился в Тбилиси (1947), Грузинская ССР, окончил физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова (1971). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1972, МГУ) и доктора физико-математических наук (1981, МГУ) в области теории волн, нелинейной акустики и ее приложений. Автор около 15 книг, среди них монографии: «Theoretical Foundations of Nonlinear Acoustics» (NY: Plenum, 1977; co-author S.I. Soluyan), «Nonlinear Underwater Acoustics» (NY: Am. Inst. Phys., 1987; co-authors B.K. Novikov and V.I. Timoshenko), «Waves and Structures in Nonlinear Nondispersive Media» (NY: Springer, 2011; Beijing: Higher Education Press, 2011; co-authors S.N. Gurbatov and A.I. Saichev), а также учебные пособия: «Теория волн», 3-е Изд. (М.: Ленанд, 2015; в соавторстве с М.Б. Виноградовой и А.П. Сухоруковым), «Nonlinear Acoustics through Problems and Examples» (Victoria, BC: Trafford, 2010; co-authors S.N.Gurbatov and C.M. Hedberg). Опубликовал около 500 журнальных статей по физике, математике, механике, геофизике, ультразвуковой медицинской и гидроакустической технике. Лауреат Государственных премий СССР и РФ, академик РАН. Главный редактор «Акустического Журнала», заместитель Главного редактора журнала «Успехи Физических Наук».
Россия, 119991 Москва, ГСП-1, Ленинские горы Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова Россия, 119991 Москва, ул. Вавилова 38 Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН Россия, 123242 Москва, Б. Грузинская ул. 10, стр. 1 Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН Blekinge Institute of Technology, Karlskrona, Sweden E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru
