CC BY
25
УДК 550.34
ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЮРГЕРСА, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В ДВУХЖИДКОСТНОЙ СРЕДЕ
Холматжон Худайназарович Имомназаров
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru
Улугбек Каюмович Турдиев
Каршинский филиал Ташкентского университета информационных технологий, 180100, Республика Узбекистан, г. Карши, Бешкентское шоссе, ст. преподаватель, тел. (375)228-02-32
В статье получена система уравнений типа Бюргерса с младшими членами относительно скоростей фаз из модели двухжидкостной среды в диссипативном приближении. Получена нелинейная система дифференциальных уравнений относительно двух одномерных функций описывающая локализацию уединенных бегущих волн. Рассмотрена задача Коши для одномерной системы уравнений типа Бюргерса. Получена нелинейная система интегральных уравнений Вольтерра второго рода являющаяся решением задачи Коши. Показано, что при исчезновении коэффициента межфазного трения, построенные решения для каждой подсистем переходят к известнму решению задачи Коши для уравнения Бюргерса.
Ключевые слова: двухжидкостная среда, коэффициент трения, вязкость, уравнение Бюргерса, преобразование Флорина-Хопфа-Коула, точные решения нелинейных уравнений.
ABOUT A SYSTEM OF THE BURGERS-TYPE EQUATIONS IN A TWO-FLUID MEDIUM
Kholmatzhon Kh. Imomnazarov
Institute of the Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 6, Prospect Аkademik Lavrentiev St., Novosibirsk, 630090, Russia, D. Sc., Leading Researcher, phone: (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru
Ulugbek K. Turgunov
Karshi Branch of the Tashkent University of Information Technologies, Beshkent Kosse, Karshi, 180100, Republic Uzbekistan, Senior Lecturer, phone: (375)228-02-32
In this paper, we obtain a system of the Burgers-type equations with lower terms relative to the phase velocities from a two-fluid model in the dissipative approximation. A nonlinear system of differential equations with respect to the two one-dimensional functions describing the localization of solitary traveling waves has been obtained. The Cauchy problem for a one-dimensional system of the Burgers type equations is considered. A nonlinear system of the Volterra integral equations of the second kind is obtained that is a solution of the Cauchy problem. It is shown that with the disappearance of the interfacial friction coefficient, the solutions constructed for each subsystem transfer to the known solution of the Cauchy problem for the Burgers equation.
Key words: two-fluid medium, coefficient of friction, viscosity, Burgers equation, Florin-Hopf-Cole transformation, exact solutions of nonlinear equations.
Введение
В последние десятилетия, математики становятся все более заинтересованы в проблемах, связанных с поведением решений систем уравнений в частных производных, с малым параметром при старших производных и с учетом кинетических параметров. Эти проблемы возникли из физических приложений, в основном из современной гидродинамики (сжимаемых многофазных жидкостей с малыми значениями вязкости подсистем).
Аналогия уравнению Бюргерса возникает, например, при исследовании слабо-нелинейной одномерной акустической волны, движущейся с линейной скоростью звука. В этом случае нелинейные по скоростям члены в системе уравнений типа Бюргерса происходят из зависимости скоростей звука от амплитуды звуковой волны, а члены со второй производной и разности скоростей представляют затухание звуковых волн, связанное с диссипацией энергии. Другими словами, эти члены, обеспечивают непрерывность решений и представляют диссипативные процессы, связанные с производством энтропии. Эти члены, в свою очередь, обеспечивают неопрокидывание волн [1].
В последнее время многие методы использовались для нахождения аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Среди множества работ можно выделить два класса исследований, непосредственно связанных с данными исследованиями. Первый класс работ: процедура усечения в анализе Пенлеве [2] в которой авторы определяют свойство Пенлеве, для определения пары Лакса для уравнений Бюргерса, КдФ и модифицированных уравнений КдФ; билинейный метод Хироты [3], в котором многократные столкновения N солитонов с изменяющимися амплитудами получены для уравнения КдФ; метод Прелле-Зингера [4], в котором показано, что система дифференциальных уравнений имеет элементарный интеграл, выражаемый через экспоненты, логарифмы и алгебраические функции; метод факторизации [5], в котором решения в виде бегущих волн стандартных и составных уравнений КдФ-Бюргерса найдены с использованием факторизации; или метод однородного баланса [6], в котором получены решения в виде уединенных волн двух типов вариантов уравнений Буссинеска. Можно также упомянуть метод пробных функций [7], в котором преобразования решений, полученные методом Вайсса-Табора-Карневале используются для исследования уравнения Курамото-Сивашинского; метод нелинейного преобразования [8], с помощью которого авторы построили решения бегущих волн решения нелинейных диффузионных уравнений с полиномиальными нелинейностями; также следует отметить хорошо известный метод обратного рассеяния [9] и преобразование Бекллунда [10] при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений.
Уравнение Бюргерса уникально тем, что с помощью подстановки Флори-на-Хопфа-Коула оно сводится к линейному уравнению теплопроводности для вспомогательной функции. Данная линеаризация позволяет записать общее решение уравнения Бюргерса. Эта преобразование для однородного уравнения
было найдено в работе [11], но стало более известным после появления работ [12, 13] и поэтому получило название подстановки Хопфа-Коула. Линеаризация позволяет выписать решение задачи Коши в интегральном виде. Соответствующий интеграл при произвольном начальном профиле в аналитическом виде не вычисляется, но для ряда случаев это сделать удается. Такой подход позволяет регулярным образом выписать точное решение уравнения Бюргерса для ряда физически интересных ситуаций. Весьма примечательно, что подстановка Хопфа-Коула линеаризует и неоднородное уравнение Бюргерса, на что впервые было указано в работе Карабутова А.А., Лапшина Е.А., Руденко О.В. [14].
Метод преобразование Флорина-Хопфа-Коула позволяет описывать структуру волны в произвольный момент времени. Рассматриваемая система уравнений является связанной системой уравнений Бюргерса с младшими членами и является частным случаем системы уравнений двухскоростной гидродинамики в одномерном случае [15-18].
Система уравнений типа Бюргерса
Одномерным аналогом уравнений Навье-Стокса для сжимаемых жидкостей можно считать систему уравнений типа Бюргерса, которая представляет собой систему нелинейных уравнений конвекции-диффузии
Щ + иих = уихх - Ь(и - ^, (1)
V + = ухх + Ь(и - ^, (2)
где величины и и V можно рассматривать, как скорости подсистем с размерностью, составляющих двухскоростной континуум с соответствующими парциальными плотностями рх и р2, р = рх + р2 - общая плотность континуума;
Ь = Р Ь, Ь - коэффициент межкомпонентного трения, который является ана-
Р
логом коэффициента Дарси для пористых сред. Положительные константы у и у играют роль кинематических вязкостей подсистем. Систему типа Бюргерса мы иногда будем называть двухскоростной гидродинамикой без давления.
У системы уравнений двухскоростной гидродинамики и системы уравнений типа Бюргерса много общего. Например, квадратичная нелинейность по и и V члены с адвективным слагаемым, отвечающим зависимости звука от амплитуды звуковых волн и линейных вязкостей у, у, коэффициента трения Ь [1] в правых частях, отвечающие за затухание звуковых волн. Что касается свойств решений, то они совершенно разные. У системы уравнения Бюргерса при исчезающих коэффициентах у, У, Ь, формируются как сильные (ударные волны), так и слабые разрывы, в то время как решения системы двухскоростной гидродинамики такими особенностями не обладают. Однако область применимости
этой системы отнюдь не ограничиваются приведенными примерами, такие системы возникают во многих задачах, чем и определяется ее значение.
Рассмотрим для системы (1), (2) в полосе Г[0 т} - {(г, х): 0 < г < Т, -ю < х < ю} задачу Коши со следующими начальными данными
и
г-0 - и0(х), -ю< х <ю (3)
Ч-0 - v0(х), -ю < х <ю (4)
Нас будут интересовать гладкие решения задачи Коши для системы уравнений типа Бюргерса (1), (2).
Сначала нас интересует решения системы (1), (2) в виде бегущих волн:
и (г, х) - и (д), д- х - сг, (5)
V (г, х) - V (д), (6)
где с - скорость волны. Мы рассматриваем только ситуацию с> 0. Это означает волна, идущая вправо. Подставляя (5), (6) в (1), (2) то (1), (2) сводится в систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно и(%) и V (д):
-си' + ии' - уи" - Ь(и - V), (7)
-с¥ + VV - УV'' + Ь(и - V), (8)
где штрих означает производную по д.
Система уравнений (7), (8) эквивалентна следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений
аи - и
ау - V ад
= (и - с)и + Ь (и - V),
ад
у ^ - (V - су - Ь(и - V).
ад
Из уравнений после несложных преобразований получим
ру^+РУУ^ = Р2-(У - + Р(и - с)и.
ад ад
Отсюда с учетом (), () получим
аи Уау т а (V - с) тт а (и - с)
руад+руад=р(т - с)-д+р(и - с
Это уравнение допускает следующий первый интеграл
урр и + УТ -1 Р2 2
(V - с)2 +Р(и - с)2 Р2
= С
где С - произвольная постоянная.
Формула решения задачи Коши для системы уравнений типа Бюргерса
Удобно сделать замену переменных Флорина-Хопфа-Коула
р = Ехр
у = Ехр
1 I* иах
1л, J
2у — I* vdx
>17 J
2У
При этом функции и и V выражаются через функции р и у по формулам
(х
и = -2у
V = -2У
( ' У
У "
В терминах функции р и у система динамических уравнений (1) и (2) примет вид
у
' ( Л
У Т хх
V р
Г у\
1п (
V
У
Л
уЛ
ух
г у Л
у Т хх
V
У
Ь + —
у
Г У \
1п (
V
У
Л
Решения задачи Коши для данной системы с данными
4=0 = 4(х),
И=0 =^0( Х):
-да < X <<Х>
-да < X < да
имеют вид
1 I
<р{х, х) = | ^ (X, д, X)4о (д)Сд — 11 с (х, д, X - т4(£, т)(° 1п 4д, т) 1п щ(д, т))СдСт.
0 -да
¥(х, х) = 10° (X, д, X)^0 (д)Сд + -11 0° (х, д, X - тЫ£, т)(о 1п т) - °1п т))СдсСт
-да ( 0 -да
где 0(( х,д, х) -- есть фундаментальное решение одномерного уравнения диффузии с коэффициентом теплопроводностью ° .
Далее предположим, также как в [13], что данные Коши и0( х), у0( х) удовлетворяют условиям убывании на бесконечности.
Тогда для решения задачи Коши (1)-(4) справедливы формулы
и (X, х)
да & [-Ехр - X -да Р (ид х,д,х) _ 2° _ сд
да [ Ехр -да - —р («¿(д), х,д,х) 2° _ сд
х дат ( х-д\
[К 1+— и(х,х)--- Р2(и,у,х,д,х,т)сдст
•> •> М х-т\ X т
0 -да
X-т
[ Ехр
1
2°
р («д х,д, х)
ссд
(9)
у(х, х)
да [-Ехр -да -да - р (vо(д), х,д,х) _ 2° _ сд
да [ Ехр -да - —р (vо(д), х,д,х) 2° _ сд
X да
I и 1
0 -да
X-т
у(х, х)
х-д
х-т
о2 (и, V, х, д, х, т)сдст
| Ехр
1
20
р (vо(д), х,д,х)
ссд
где функции f , F2 и G2 определены по следующими формулами [19]
F2 (u, v, х, t , т) = b fa (u, x, g, t, т) — Fi (v, x, g, t, T)}Exp
~ Fi(u,x,g, t, t) 2v
G2 (u, v, x, t, t) = — {/F (v, x, t, t) - F (u, x, g, t, t)} Exp
--1 Fi(u,x,g, t, t) 2v
( )2 У
F (u, x, y, t, t) = 2x( — + J u(т, r )d|,
V /
2У
F(u, x, y, t) = -—2t + J u(t, r )d| .
Замечание. При исчезновении коэффициента трения Ь (в отсутствии диссипации энергии, обусловленной коэффициентом трения формулы (9), (10) переходит к известному решению задачи Коши для уравнения Бюргерса [14].
Заключение
Таким образом, получена система уравнений типа Бюргерса, как частный случай двухскоростной гидродинамики. Данная система отличается от системы Навье-Стокса для двухжидкостной среды отсутствием давления и условиями несжимаемости. По этой причине семейство задач для системы уравнений типа Бюргерса иногда называется двухскоростной гидродинамикой по аналогии од-носкоростной гидродинамики [20]. Рассмотрена задача Коши для одномерной системы уравнений типа Бюргерса. Получена формула для ее решения в виде системы нелинейных уравнений Вольтрерра второго рода. Показано, что при исчезновении коэффициента межфазного трения, построенные решения для каждой из подсистем переходят к известному решению задачи Коши для уравнения Бюргерса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Куликовский А.Г., Свешников Е.И., Чугайнова А.П. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений, Москва, 2010. -122с.
2. Weiss J. Tabor M., Carnevale G. The Painlev'e property for partial differential equations // Journal of Mathematical Physics. - 1983. - v. 24. - No. 3. - pp. 522-526.
3. Hirota, Ryogo Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // Physical Review Letters. - 1971. - v. 27. - pp. 1192-1194.
4. Prelle Myra Jean, Singer M.F. Elementary first integrals of differential equations // Transactions of the American Mathematical Society. - 1983. - v. 279. - No.1. - pp. 215-229.
5. Cornejo-P'erez, O., Negro, J., Nieto, L. M., and Rosu, H. C. Traveling-Wave Solutions for Korteweg-de Vries-Burgers Equations through Factorizations // Foundations of Physics. - 2006. v. 36. - No.10. - pp. 1587-1599.
6. Wang Mingliang Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations // Physics letters A. - 1995. - v. 199. - No. 3-4. - pp. 169-172.
7. Kudryashov N.A.. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation // Physics Letters A. - 1990. - v. 147. - No. 5-6. - pp. 287-291.
8. Otwinowski M., Paul R., Laidlaw W.G. Exact travelling wave solutions of a class of nonlinear diffusion equations by reduction to a quadrature // Physics letters A. - 1988. - v. 128. -No. 9. - pp. 483-487.
9. Ablowitz, M.J., Clarkson P.A. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. Cambridge University Press, Cambridge, U.K. - 1991.
10. Miura, M. R. Backlund Transformation, Springer-Verlag, Berlin. - 1978.
11. Forsyth A.R. Theory of differential equations, v. VI. Cambridge: Cambridge University Press. - 1906. - 582 p.
12. Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics // Quart. Appl. Math. - 1951. - V. 9. - P. 225-236.,
13. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = jjmxx // Communs Pure and Appl.
Math. - 1950. - V. 3. -№3. - pp. 201-230.
14. Карабутов А.А., Лапшин Е.А., Руденко О.В. О взаимодействии светового излучения со звуком в условиях проявления акустической нелинейности // ЖЭТФ. - 1976. - Т. 71. -№ 1(7). - С. 111-121.
15. Доровский~В.Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика. -1989, - No.7. - C.39-45.
16. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Феноменологическое описание двухскоростных сред с релаксирующими касательными напряжениями // ПМТФ. - 1992. - No.9. - С.94-105.
17. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. - 1989. - No. 9. - С.56-64.
18. Перепечко Ю. В., Сорокин К. Э., Имомназаров Х. Х. Влияние акустических колебаний на конвекцию в сжимаемой двухжидкостной среде // Труды XVII Международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды", Ростова-на-Дону. -2014. - С. 166-169.
19. Vasiliev G., Imomnazarov Kh., Kalimoldayev M., Mamasoliyev B.J Cauchy Problem for System of the Burgers Equations Arising in the Two-velocity Hydrodynamics // Math. Model. Nat. Phenom. - 2017- Vol. 12. - №3. - P. 134-138.
20. Синай В.И., Я.Г. Новые результаты в математической и статистической гидродинамике // УМН. - 2000. - т. 55. - вып. 4(334). - С. 25-58.
REFERENCES
1. Kulikovskii, A.G., Sveshnikov, E. I., & Chugaynova, A. P. (2010). Matematicheskie metodi izucheniya razrivnikh resheniy nelineynikh geperbolicheskikh system uravneniy [Mathematical methods for studying discontinuous solutions of nonlinear hyperbolic systems of equations]. (Leksionnie kursi NOS. Vip. 16), Moskva [in Russian].
2. Weiss J. Tabor M., Carnevale G. (1983). The Painlev'e property for partial differential equations, Journal of Mathematical Physics, 3, 522-526.
3.Hirota, Ryogo (1971). Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons, Physical Review Letters, 27, .1192-1194.
4.Prelle Myra Jean, Singer M.F. (1983). Elementary first integrals of differential equations, Transactions of the American Mathematical Society, 1, 215-229.
5.Cornejo-P'erez, O., Negro, J., Nieto, L. M., and Rosu, H. C. (2006). Traveling-Wave Solutions for Korteweg-de Vries-Burgers Equations through Factorizations, Foundations of Physics, 10, 1587-1599.
6.Wang Mingliang (1995). Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations, Physics letters A, (3-4), 169-172.
7.Kudryashov N.A. (1990). Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation, Physics Letters A, (5-6), 287-291.
8.Otwinowski M., Paul R., Laidlaw W.G. (1988). Exact travelling wave solutions of a class of nonlinear diffusion equations by reduction to a quadrature, Physics letters A, 9, 483-487.
9. Ablowitz, M.J., Clarkson P.A. (1991). Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering.Vol. 149. Cambridge University Press, Cambridge, U.K.
10.Miura, M. R. (1978). Backlund Transformation, Springer-Verlag, Berlin.
11. Forsyth A.R. (1906). Theory of differential equations, v. VI. Cambridge: Cambridge University Press.
12. Cole J.D. (1951). On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics, Quart. Appl. Math. 9, 225-236.
13. Hopf E. (1950). The partial differential equation ut + uux = puxx, Communs Pure and
Appl. Math., 3, 201-230.
14. Karabutov, A.A., Lapshin E. A., Rudenko O.V. (1976). On the interaction of light radiation with sound under conditions of acoustic nonlinearity, J. of Exper. Theor. Physics [JETP], 1(7), 111-121 [in Russian].
15. Dorovsky, V.N. (1989). Continual theory of filtration, Sov. Geology and Geophysics, 7,
34-39.
16. Dorovsky, V.N., Perepechko, Yu.V. (1992). Phenomenological description of two-velocity media with relaxing shear stresses, J. Appl. Mech. and Tech. Phys., 3, 403-409.
17. Dorovsky, V.N., Perepechko, Yu.V. (1989). Theory of the partial melting, Sov. Geology and Geophysics, 9, 56-64.
18. Perepechko, Yu.V., Sorokin, K.E., Imomnazarov Kh.Kh. (2014). The influence of acoustic vibrations on convection in a compressible two-fluid medium. In Sbornik materialov Sovremennie problem mekhaniki sploshnoy sredi [Proceedings XVII International Conference "Contemporary Problems of Continuum Mechanics", 2014], (pp. 166-169). Rostov-on-Don, [in Russian].
19. Vasiliev G., Imomnazarov Kh., Kalimoldayev M., Mamasoliyev B.J. (2017). Cauchy Problem for System of the Burgers Equations Arising in the Two-velocity Hydrodynamics, Math. Model. Nat. Phenom. 3, 134-138.
20. Sinai, W. E, Ya. G. (2000). Recent results on mathematical and statistical hydrodynamics, Uspekhi Mat. Nauk, 4(334), 25-58.
© X. X. HMOMHa3apoe, Y. K. Typduee, 2018
